Lista XII ALGA

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Universidade Federal de Pelotas - UFPEL
ALGA - LISTA XII
1. A seguir são dados operadores lineares T em R2 e em R3. Verificar quais são inversíveis
e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T−1.
a) T : R2 → R2, T (x, y) = (3x− 4y,−x+ 2y). R.: T−1(x, y) = (x+ 2y, 1
2
x+ 3
2
y)
b) T : R2 → R2, T (x, y) = (x− 2y,−2x+ 3y). R.: T−1(x, y) = (−3x− 2y,−2x− y)
c) T : R2 → R2, T (x, y) = (2x− y,−4x+ 2y). R.: T não é inversível
d) T : R2 → R2, T (x, y) = (5x+ 2y,−4x− 2y). R.: T−1(x, y) = (x+ y,−2x− 5
2
y)
e) T : R2 → R2, T (x, y) = (x,−y). R.: T−1(x, y) = (x,−y)
f) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x − y + 2z, y − z, 2y − 3z). R.: T−1(x, y, z) =
(x− y + z, 3y − z, 2y − z)
g) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+y−z, x+2y, z). R.: T−1(x, y, z) = (2x−y+2z,−x+
y − z, z)
h) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x, x− z, x− y − z). R.: T−1(x, y, z) = (x, y − z, x− y)
i) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x− y + 2z, y − z,−2x+ y − 3z). R.: T não é inversível
j) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+ z, x− z, y). R.: T−1(x, y, z) = (1
2
x+ 1
2
y, z, 1
2
x− 1
2
y)
2. Seja o operador linear T : R3 → R3 definido pela matriz 1 0 12 −1 1
0 0 −1

a) Mostrar que T é um isomorfismo.
b) Determinar a lei que define o operador T−1. R.: T−1(x, y, z) = (x+z, 2x−y+z,−z)
c) Utilizar a matriz de T ou de T−1 para obter o vetor v ∈ R3 tal que T (v) = (2,−3, 0).
R.: v = (2, 7, 0)
1
3. Mostrar que o operador linear, no R3, definido pela matriz 1 2 32 3 4
3 5 7

não é inversível. Determinar v ∈ R3 tal que T (v) = (6, 9, 15). R.: (z, 3− 2z, z), z ∈ R
4. Verificar se o operador linear T : R3 → R3 definido por T (1, 0, 0) = (2,−1, 0), T (0,−1, 0) =
(−1,−1,−1) e T (0, 3,−1) = (0, 1, 1) é inversível e, em caso afirmativo, determinar T−1(x, y, z).
R.: T−1(x, y, z) = (−y + z,−2x− 4y + 7z, x+ 2y − 3z)
5. No plano, uma rotação de
pi
3
radiamos é seguida de uma reflexão em torno do eixo dos y.
a) Mostrar que a transformação é um isomorfismo.
b) Determinar a inversa da transformação defnida. R.: T−1(x, y) = (−1
2
x+
√
3
2
y,
√
3
2
x+
1
2
y)
6. Utilizar a inversão de matrizes 2× 2 para mostrar que:
a) A transformação linear inversa de um reflexão em torno do eixo dos x é uma reflexão
em torno desse eixo.
b) A transformação inversa de uma dilatação ao longo de um eixo é uma contração ao
longo desse eixo.
7. Os pontos A(2,−1) e B(−1, 4) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os
outros dois vértices a partir de rotações. R.: Duas soluções (4, 7) e (7, 2) ou (−6, 1) e
(−3,−4)
8. Os pontos A(−1,−1), B(4, 1) e C(a, b) são vértices de um triângulo retângulo isósceles,
reto em A. Determinar o vértice C fazendo uso de uma matriz rotação. R.: C(−3, 4)
ou (1,−6)
9. Em um triângulo ABC, os ângulos B e C medem 75◦ cada. Sendo A(1, 1) e B(−1, 5),
determinar o vértice C. R.: C(−1−√3, 2√3) ou C(3−√3, 2 + 2√3)
10. Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R2 em R2 que representa
a sequência de tranformações dadas:
a) Reflexão em torno do eixo dos y;
b) Rotação de 30◦ no sentido horário e a inversão dos sentidos.
c) Rotação de 60◦ no sentido anti-horário, seguida de um reflexão em relação ao eixo dos
y.
e) Reflexão em torno da reta y = −x.
2