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Calculo de integrais indefinidos por substituicao

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EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 
 
 1 
Cálculo de integrais indefinidos. Integração por substituição. 
 
 Seja JIxu →:)( e RJtf →:)( . 
 
 Se as funções )(,)( xutf e )(xu′ são continuas e 
CtFtdtf +=⋅∫ )()( , 
então 
CxuFxdxuxuf +=⋅′⋅∫ ))(()())(( . 
 
 
►1) ∫ ⋅−⋅ xdxx 72 )12( . 
 
Substituição: tx =−12 . 
Então 
2
112 +=⇔=− txtx e tdtdttdxd ⋅=⋅
′





 +
=




 +
=
2
1
2
1
2
1
. 
Substituindo no integral temos: 
 
=⋅⋅⋅
++
=⋅⋅⋅




 +
=⋅−⋅ ∫∫∫ tdt
tt
tdttxdxx
2
1
4
12
2
1
2
1)12( 7
2
7
2
72
 
 
( ) ( ) =⋅+⋅+⋅=⋅⋅++⋅= ∫∫ tdttttdttt 78972 28
112
8
1
 
 
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅= ∫∫∫∫∫∫ tdttdttdttdttdttdt
789789
8
1
8
2
8
1
8
12
8
1
8
1
 
 
=+⋅+⋅+⋅=+
+
⋅+
+
⋅+
+
⋅=
+++
CtttCttt 8910
171819
64
1
36
1
80
1
178
1
184
1
198
1
 
 
Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 12 −= xt e obtemos, 
 
Cxxx +−⋅+−⋅+−⋅= 8910 )12(
64
1)12(
36
1)12(
80
1
. ■ 
 
 
►2) ∫ ⋅+⋅
+
xd
x
x
42
32
. 
 
Substituição: tx =+⋅ 42 . 
Então 
2
2
4
2
442 




 −
=⇔
−
=⇔=+⋅
t
x
t
xtx 
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 
 
 2 
 e tdttdttdttdxd ⋅−=⋅⋅




 −
⋅=⋅
′













 −
=




 −
=
2
4
2
1
2
42
2
4
2
4 22
. 
Substituindo no integral temos: 
 
=⋅
−
⋅
+⋅−
=⋅
−
⋅





 −
=⋅
+⋅
+
∫∫∫ td
t
t
tt
tdt
t
t
xd
x
x
2
44
168
2
42
4
42
32
22
 
 ( )
=⋅
⋅
−⋅+⋅−
=⋅
−
⋅
⋅
+⋅−
= ∫∫ tdt
ttt
tdt
t
tt
8
)4(168
2
4
4
168 22
 
 
=⋅
⋅
−⋅+⋅−
=⋅
⋅
−⋅+⋅+⋅−⋅−
= ∫∫ tdt
ttt
td
t
ttttt
8
644812
8
64163284 23223
 
 
=⋅
⋅
−⋅
⋅
⋅
+⋅
⋅
⋅
−⋅
⋅
= ∫∫∫∫ tdt
td
t
t
td
t
t
td
t
t
8
64
8
48
8
12
8
23
 
 
=⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅= ∫∫∫∫ tdt
tdtdttdt 186
2
3
8
1 2
 
 
=+⋅−⋅+⋅−⋅=+⋅−⋅+
+
⋅−
+
⋅=
++
CtnltttCtnlttt 86
4
3
24
186
112
3
128
1 231112
 
 
Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 42 +⋅= xt e obtemos, 
 
( ) ( ) ( ) Cxnlxxx ++⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅−+⋅⋅= 42842642
4
342
24
1 23
. ■ 
 
 
►3) ( )( )
( )
( )( ) ( ) =⋅⋅+⋅
⋅+
=⋅
+⋅
+
=⋅
⋅⋅
⋅
∫∫∫ xdxnlnlx
xnlnl
xd
xnlnlx
xnlnl
xd
xnlx
xnl
24
23
4
3
4
3
2
2
2
2
 
 
Substituição: txnl = . 
Então textxnl =⇔= e ( ) tdeedxd tt ⋅== . 
Substituindo no último integral temos: 
 
( ) =⋅⋅+
⋅++−
=⋅
⋅+
⋅+
=⋅⋅
⋅+⋅
⋅+
= ∫∫∫ tdtnl
tnlnlnl
td
tnl
tnl
tde
tnle
tnl t
t 24
2344
24
23
24
23
 
 
=⋅












⋅+






+=⋅





⋅+
−
+
⋅+
⋅+
=⋅
⋅+
−+⋅+
= ∫∫∫ tdtnl
nl
td
tnl
nlnl
tnl
tnl
td
tnl
nlnltnl
24
4
3
1
24
43
24
24
24
4324
 
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 
 
 3 
=⋅
⋅+
⋅





⋅+=⋅
⋅+
⋅





+= ∫∫∫∫ tdtnl
nltdtd
tnl
nltd
24
2
4
3
2
1
24
1
4
3
 
 
=
⋅+
⋅+
⋅





⋅+=
⋅+
⋅
⋅





⋅+= ∫∫∫∫ tnl
tnld
nltd
tnl
td
nltd
24
)24(
4
3
2
1
24
)2(
4
3
2
1
 
 
=+⋅+⋅





⋅+= Ctnlnlnlt 24
4
3
2
1
 
 
Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição xnlt = e obtemos, 
 
( ) =++⋅





+=+⋅+⋅





⋅+= CxnlnlnlnlxnlCxnlnlnlnlxnl 2
2
1
4
4
324
4
3
2
1
 
 
( ) Cxnlnlnlxnl +⋅⋅






+= 24
2
3
. ■ 
 
 
►4) ∫ ⋅
+
+⋅+⋅
xd
e
ee
x
xx
1
223
. 
 
Substituição: te x =+1 . 
Então ( )1111 222 −=⇔−=⇔=+⇔=+ tnlxtetete xxx 
 e ( )( ) ( )( ) td
t
t
tdtnltnldxd ⋅
−
⋅
=⋅
′
−=−=
1
211 2
22 ; ( ) ( )3233 1−==⋅ tee xx . 
Substituindo no integral temos: 
 
( ) ( )
=⋅
−
⋅
⋅
+−⋅+−
=⋅
+
+⋅+
∫∫
⋅
td
t
t
t
tt
xd
e
ee
x
xx
1
22121
1
22
2
2323
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
=⋅








−
+
−
−⋅
+
−
−
⋅=⋅
−
+−⋅+−
⋅= ∫∫ tdtt
t
t
t
td
t
tt
1
2
1
12
1
12
1
21212 22
2
2
32
2
232
 
 
( ) =⋅
−
⋅+⋅+⋅−⋅= ∫∫∫ tdt
tdtdt
1
14412 2
22
 
 
( ) =⋅
−
⋅+⋅+⋅+⋅−⋅= ∫∫∫ tdt
tdtdtt
1
144122 2
24
 
 
=⋅
−
⋅+⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅= ∫∫∫∫∫ tdt
tdtdtdttdt
1
144242 2
24
 
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 
 
 4 
 
=⋅
−
⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅= ∫∫∫∫ tdt
tdtdttdt
1
14642 2
24
 
 
=+
+
−
⋅⋅+⋅+
+
⋅−
+
⋅=
++
C
t
t
nlttt
1
1
2
146
12
4
14
2
1214
 
 
=+
+
−
⋅+⋅+⋅−⋅= C
t
t
nlttt
1
126
3
4
5
2 35
 
 
Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 1+= xet e obtemos, 
 
( ) ( ) C
e
e
nleee
x
x
xxx +
++
−+
⋅++⋅++⋅−+⋅=
11
11
2161
3
41
5
2 35
. ■ 
 
 
 
►5) ∫ ⋅ xd
xosc
xsen
3 2
5
. 
 
Substituição: txosc =3 2 . 
Então 






=⇔=⇔=⇔= 2
3
2
3
3
2
3 2 tosrccaxtxosctxosctxosc , 
 td
t
t
td
t
t
tdtosrccatosrccadxd ⋅
−
⋅
−=⋅








−
⋅
−=⋅
′
















=
















=
3
2
1
2
2
3
2
1
2
3
2
3
1
2
3
1
2
3
. 
 
3
2
2
3
2 111 tsenxtsenxxoscsenx −=⇔






−=⇔−= 
 
Substituindo no integral temos: 
 
( ) ( )
=⋅
−
⋅−=⋅












−
⋅
−⋅
−
=⋅ ∫∫∫ td
t
t
td
t
t
t
t
xd
xosc
xsen
2
1
4
3
3
2
1
5
3
3 2
5 1
2
3
1
2
3
1
 
 
( )
=⋅
+⋅−
⋅−=⋅
−
⋅−= ∫∫ td
t
tt
td
t
t
2
1
63
2
1
23 21
2
31
2
3
 
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 
 
 5 
 
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−=⋅







+⋅−⋅−= ∫∫∫∫
−−
tdttdttdttdttt 2
11
2
5
2
1
2
11
2
5
2
1
2
33
2
32
2
3
 
 
=+⋅−⋅+⋅−=+
+
⋅−
+
⋅+
+−
⋅−=
+++−
CtttCttt
2
132
3
2
73
2
12
3
1
2
112
3
1
2
531
2
12
3 2
13
2
7
2
11
2
111
2
51
2
1
 
 
=+⋅−⋅+⋅−= Cttt 2
13
2
7
2
1
13
3
7
63 
Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 3
2
3 2 )( xoscxosct == e 
obtemos, 
=+







⋅−







⋅+







⋅−= Cxoscxoscxosc
2
13
3
22
7
3
22
1
3
2
)(
13
3)(
7
6)(3 
 
Cxoscxoscxosc +⋅−⋅+⋅−= 3
13
3
7
3
1
)(
13
3)(
7
6)(3 . ■ 
 
►6) ∫ ⋅++ xdxx
x
29102
. 
 
=⋅
++
=⋅
+++
=⋅
++ ∫∫∫
xd
x
x
xd
xx
xxd
xx
x
4)5(425102910 222 
 
Substituição: tx =+ 5 . 
Então 5−= tx , ( ) ( ) tdtdttdxd =⋅′−=−= 55 e na continuação temos: 
 
=⋅
+
−⋅
+
=⋅





+
−
+
=⋅
+
−
= ∫∫∫∫ tdt
td
t
t
td
tt
t
td
t
t
4
5
44
5
44
5
22222 
 
=⋅
+
⋅−
+
⋅=⋅
+
⋅−⋅
+
⋅
⋅= ∫∫∫∫ tdtt
td
td
t
td
t
t
4
15
4
)(
2
1
4
15
4
2
2
1
22
2
22 
 
=+





⋅++⋅=⋅
+
⋅−
+
+
⋅= ∫∫ C
t
arctgtnltd
tt
td
22
14
2
1
2
15
4
)4(
2
1 2
222
2
 
 
Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 5+= xt e obtemos, 
=+




 +
⋅+++⋅= Cxarctgxnl
2
5
2
14)5(
2
1 2
 
Cxarctgxxnl +




 +
⋅+++⋅=
2
5
2
12910
2
1 2
. ■ 
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 
 
 6 
►7) ∫ ⋅+⋅ xdxx 14
1
. 
 
Substituição: tx =+14 . 
 
Então 
4
1141414
2
22 −
=⇔−=⇔=+⇔=+
t
xtxtxtx , 
 tdttdttdxd ⋅⋅=⋅
′






−
=





−
=
2
1
4
1
4
1 22
. 
 
Substituindo no integral temos: 
 
=⋅





+
−
−
=⋅
−
=⋅⋅⋅
⋅
−
=⋅
+⋅ ∫∫∫∫
td
tt
td
t
tdt
t
t
xd
xx 1
1
1
1
1
2
2
1
4
1
1
14
1
22 
 
=+
+
−
=++−−=⋅
+
−⋅
−
= ∫∫ Ct
t
nlCtnltnltd
t
td
t 1
1
11
1
1
1
1
 
 
Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 14 += xt e obtemos, 
 
C
x
x
nl +
++
−+
=
114
114
. ■ 
 
 
►8) ∫ ⋅+⋅−⋅ xdxx
x
10124 2
. 
 
=⋅
+−⋅
=⋅
++⋅⋅⋅−⋅
=⋅
+⋅−⋅ ∫∫∫
xd
x
x
xd
xx
x
xd
xx
x
1)32(19)2(32)2(10124 222 
 
Substituição: tx =−⋅ 32 . 
Então 
2
3+
=
t
x , tdtdttdxd ⋅=⋅
′





 +
=




 +
=
2
1
2
3
2
3
 e na continuação temos: 
=⋅
+
⋅+⋅
+
⋅=⋅
+
+
⋅=⋅⋅
+
+
= ∫ ∫∫∫ tdt
td
t
t
td
t
t
td
t
t
1
3
4
1
14
1
1
3
4
1
2
1
1
2
3
2222 
 
( ) =+⋅++⋅
+
⋅=⋅
+
⋅+⋅
+
⋅
⋅= ∫∫ ∫ Ctarctgtdt
td
t
td
t
t
4
31
1
1
8
1
1
1
4
3
1
2
8
1 2
222 
 
=+⋅++⋅= Ctarctgtnl
4
31
8
1 2
 
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 
 
 7 
Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 32 −⋅= xt e obtemos, 
 
=+−⋅⋅++−⋅⋅= Cxarctgxnl )32(
4
31)32(
8
1 2
 
 
Cxarctgxxnl +−⋅⋅++⋅−⋅⋅= )32(
4
310124
8
1 2
. ■ 
 
 
►9) ∫ ⋅
+⋅−⋅
−⋅
xd
xx
x
5222
22
2
. 
 
( ) =⋅++⋅−⋅
−⋅
=⋅
+⋅−⋅
−⋅
∫∫ xd
xx
x
xd
xx
x
41222
22
5222
22
22
 
 ( )
( ) =⋅+−⋅
−⋅⋅
= ∫ xd
x
x
412
122
2
 
 
Substituição: tx =−⋅ 12 . 
Então 
2
1+
=
t
x , tdtdttdxd ⋅=⋅
′





 +
=




 +
=
2
1
2
1
2
1
 e na continuação temos: 
 
( ) =⋅
+
⋅=⋅
+
⋅⋅
=⋅
+
=⋅⋅
+
⋅
= ∫∫∫∫
2
2222 4
1
2
1
4
2
2
1
42
1
4
2
td
t
td
t
t
td
t
t
td
t
t
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) =++=+
+−
+
⋅=+⋅+⋅=
+−
−
∫ CtC
t
tdt 2
1
2
1
2
1
2
22
1
2 4
1
2
1
4
2
144
2
1
 
Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 12 −⋅= xt e obtemos, 
 
( ) ( ) CxxCxxCx ++⋅−⋅=++⋅−⋅=+



 +−⋅= 52225222412 22
1
22
1
2
. ■ 
 
 
►10) ∫ ⋅
−−
−⋅
xd
xx
x
21
82
. 
 
( ) =⋅






−+⋅⋅+−
−⋅
=⋅
+−
−⋅
=⋅
−−
−⋅
∫∫∫ xd
xx
x
xd
xx
x
xd
xx
x
4
1
4
1
2
121
82
1
82
1
82
2
22
 
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 
 
 8 
=⋅






+−
−⋅
=⋅
+





+⋅⋅+−
−⋅
= ∫∫ xd
x
x
xd
xx
x
2
2
2
1
4
5
82
4
1
4
1
2
121
82
 
 
=⋅






+⋅








−⋅
−⋅
=⋅














+⋅−⋅
−⋅
= ∫∫ xd
x
x
xd
x
x
222
2
1
5
21
2
5
82
2
1
5
41
4
5
82
 
 
=⋅








+⋅−
−⋅
⋅= ∫ xd
x
x
2
5
1
5
21
82
5
2
 
 
Substituição: tx =+⋅
5
1
5
2
. 
Então 
2
15 −⋅
=
t
x , tdtd
tt
dxd ⋅=⋅
′








−⋅
=








−⋅
=
2
5
2
15
2
15
 
e na continuação temos: 
 
=⋅
−
−−⋅
=⋅⋅
−
−
−⋅
⋅
⋅= ∫∫ td
t
t
td
t
t
22 1
815
2
5
1
8
2
15
2
5
2
 
 
=⋅
−
⋅−⋅
−
⋅
=⋅








−
−
−
⋅
=⋅
−
−⋅
= ∫∫∫∫ td
t
td
t
t
td
tt
t
td
t
t
22222 1
19
1
5
1
9
1
5
1
95
 
 
=+⋅−⋅
−
⋅
⋅=+⋅−⋅
−
⋅= ∫∫ Ctarcsentd
t
tCtarcsentd
t
t 9
1
2
2
5
9
1
5
22
 
 
( ) ( ) =+⋅−
−
−
⋅−=+⋅−⋅
−
⋅= ∫∫ Ctarcsen
t
tdCtarcsentd
t
9
1
1
2
5
9
1
1
2
5
2
2
2
2
 
 
( ) ( ) ( ) =+⋅−
+−
−
⋅−=+⋅−−⋅−⋅−=
+−
−
∫ Ctarcsen
tCtarcsentdt 9
1
2
1
1
2
5
911
2
5 12
1
2
22
1
2
 
( ) =+⋅−−⋅−= Ctarcsent 915 212 
 
Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 
 
 9 
 
5
12
5
1
5
2 +⋅
=+⋅=
x
xt e obtemos, 
 
=+







 +⋅
⋅−















 +⋅
−⋅−= Cxarcsenx
5
129
5
1215
2
1
2
 
 
=+







 +⋅
⋅−




 +⋅+⋅
−⋅−= Cxarcsenxx
5
129
5
14415
2
1
2
 
 
=+







 +⋅
⋅−





−⋅−⋅−
⋅−= Cxarcsenxx
5
129
5
14455
2
1
2
 
 
( ) =+







 +⋅
⋅−−−⋅⋅−= Cxarcsenxx
5
1291
5
25 2
1
2
 
 
Cxarcsenxx +







 +⋅
⋅−−−⋅−=
5
12912 2 . ■ 
 
 
►11) ∫ ⋅
−⋅
xd
xx 2
1
2
. 
 
Substituição: 
t
x
1
= . 
Então td
t
td
tt
dxd ⋅−=⋅
′






=





= 2
111
 e na continuação temos: 
 
=⋅
⋅−
−=





⋅−⋅
⋅−
⋅
=





⋅−⋅
−





⋅
∫∫∫ td
t
td
t
t
t
t
td
t
tt
22
2
222 21
11
211
11
211
1
 
 
( ) ( ) ( ) =+⋅⋅−=⋅⋅⋅−⋅−= ∫ Ctarcsentdt 22
1
2
21
1
2
1
2
 
Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 
x
t
1
= e obtemos, 
C
x
osrccaC
x
arcsen +








⋅=+








⋅−=
2
2
12
2
1
. ■ 
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 
 
 10 
►12) ∫ ⋅+⋅ xde x 1
1
4 . 
 
Substituição: tnlx −= . 
Então ( ) ( ) td
t
tdtnltnldxd ⋅−=⋅′−=−= 1 e na continuação temos: 
( ) ( ) ( ) =⋅+−=⋅⋅+−=




⋅−⋅
+
=⋅
+ ∫∫∫∫ −−−⋅⋅ tt
td
td
te
tdte
xd
e tnltnlx 1
1
1
11
1
1
1
1
4444 
 ( ) ( )
=
+
+
−=
+
−=
+
⋅⋅
−=
+
⋅
−=
⋅





+
−= ∫∫∫∫∫ 4
4
4
4
4
3
4
3
4
1
1
4
1
14
1
1
4
4
1
111 t
td
t
td
t
tdt
t
tdt
t
t
td
 
 
( ) =++⋅−= Ctnl 41
4
1
 
Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição xet −= e obtemos, 
 
( )( ) ( ) CenlCenl xx ++⋅−=++⋅−= ⋅−− 44 1
4
11
4
1
. ■

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