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EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 1 Cálculo de integrais indefinidos. Integração por substituição. Seja JIxu →:)( e RJtf →:)( . Se as funções )(,)( xutf e )(xu′ são continuas e CtFtdtf +=⋅∫ )()( , então CxuFxdxuxuf +=⋅′⋅∫ ))(()())(( . ►1) ∫ ⋅−⋅ xdxx 72 )12( . Substituição: tx =−12 . Então 2 112 +=⇔=− txtx e tdtdttdxd ⋅=⋅ ′ + = + = 2 1 2 1 2 1 . Substituindo no integral temos: =⋅⋅⋅ ++ =⋅⋅⋅ + =⋅−⋅ ∫∫∫ tdt tt tdttxdxx 2 1 4 12 2 1 2 1)12( 7 2 7 2 72 ( ) ( ) =⋅+⋅+⋅=⋅⋅++⋅= ∫∫ tdttttdttt 78972 28 112 8 1 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅= ∫∫∫∫∫∫ tdttdttdttdttdttdt 789789 8 1 8 2 8 1 8 12 8 1 8 1 =+⋅+⋅+⋅=+ + ⋅+ + ⋅+ + ⋅= +++ CtttCttt 8910 171819 64 1 36 1 80 1 178 1 184 1 198 1 Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 12 −= xt e obtemos, Cxxx +−⋅+−⋅+−⋅= 8910 )12( 64 1)12( 36 1)12( 80 1 . ■ ►2) ∫ ⋅+⋅ + xd x x 42 32 . Substituição: tx =+⋅ 42 . Então 2 2 4 2 442 − =⇔ − =⇔=+⋅ t x t xtx EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 2 e tdttdttdttdxd ⋅−=⋅⋅ − ⋅=⋅ ′ − = − = 2 4 2 1 2 42 2 4 2 4 22 . Substituindo no integral temos: =⋅ − ⋅ +⋅− =⋅ − ⋅ − =⋅ +⋅ + ∫∫∫ td t t tt tdt t t xd x x 2 44 168 2 42 4 42 32 22 ( ) =⋅ ⋅ −⋅+⋅− =⋅ − ⋅ ⋅ +⋅− = ∫∫ tdt ttt tdt t tt 8 )4(168 2 4 4 168 22 =⋅ ⋅ −⋅+⋅− =⋅ ⋅ −⋅+⋅+⋅−⋅− = ∫∫ tdt ttt td t ttttt 8 644812 8 64163284 23223 =⋅ ⋅ −⋅ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ −⋅ ⋅ = ∫∫∫∫ tdt td t t td t t td t t 8 64 8 48 8 12 8 23 =⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅= ∫∫∫∫ tdt tdtdttdt 186 2 3 8 1 2 =+⋅−⋅+⋅−⋅=+⋅−⋅+ + ⋅− + ⋅= ++ CtnltttCtnlttt 86 4 3 24 186 112 3 128 1 231112 Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 42 +⋅= xt e obtemos, ( ) ( ) ( ) Cxnlxxx ++⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅−+⋅⋅= 42842642 4 342 24 1 23 . ■ ►3) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) =⋅⋅+⋅ ⋅+ =⋅ +⋅ + =⋅ ⋅⋅ ⋅ ∫∫∫ xdxnlnlx xnlnl xd xnlnlx xnlnl xd xnlx xnl 24 23 4 3 4 3 2 2 2 2 Substituição: txnl = . Então textxnl =⇔= e ( ) tdeedxd tt ⋅== . Substituindo no último integral temos: ( ) =⋅⋅+ ⋅++− =⋅ ⋅+ ⋅+ =⋅⋅ ⋅+⋅ ⋅+ = ∫∫∫ tdtnl tnlnlnl td tnl tnl tde tnle tnl t t 24 2344 24 23 24 23 =⋅ ⋅+ +=⋅ ⋅+ − + ⋅+ ⋅+ =⋅ ⋅+ −+⋅+ = ∫∫∫ tdtnl nl td tnl nlnl tnl tnl td tnl nlnltnl 24 4 3 1 24 43 24 24 24 4324 EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 3 =⋅ ⋅+ ⋅ ⋅+=⋅ ⋅+ ⋅ += ∫∫∫∫ tdtnl nltdtd tnl nltd 24 2 4 3 2 1 24 1 4 3 = ⋅+ ⋅+ ⋅ ⋅+= ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅+= ∫∫∫∫ tnl tnld nltd tnl td nltd 24 )24( 4 3 2 1 24 )2( 4 3 2 1 =+⋅+⋅ ⋅+= Ctnlnlnlt 24 4 3 2 1 Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição xnlt = e obtemos, ( ) =++⋅ +=+⋅+⋅ ⋅+= CxnlnlnlnlxnlCxnlnlnlnlxnl 2 2 1 4 4 324 4 3 2 1 ( ) Cxnlnlnlxnl +⋅⋅ += 24 2 3 . ■ ►4) ∫ ⋅ + +⋅+⋅ xd e ee x xx 1 223 . Substituição: te x =+1 . Então ( )1111 222 −=⇔−=⇔=+⇔=+ tnlxtetete xxx e ( )( ) ( )( ) td t t tdtnltnldxd ⋅ − ⋅ =⋅ ′ −=−= 1 211 2 22 ; ( ) ( )3233 1−==⋅ tee xx . Substituindo no integral temos: ( ) ( ) =⋅ − ⋅ ⋅ +−⋅+− =⋅ + +⋅+ ∫∫ ⋅ td t t t tt xd e ee x xx 1 22121 1 22 2 2323 ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅ − + − −⋅ + − − ⋅=⋅ − +−⋅+− ⋅= ∫∫ tdtt t t t td t tt 1 2 1 12 1 12 1 21212 22 2 2 32 2 232 ( ) =⋅ − ⋅+⋅+⋅−⋅= ∫∫∫ tdt tdtdt 1 14412 2 22 ( ) =⋅ − ⋅+⋅+⋅+⋅−⋅= ∫∫∫ tdt tdtdtt 1 144122 2 24 =⋅ − ⋅+⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅= ∫∫∫∫∫ tdt tdtdtdttdt 1 144242 2 24 EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 4 =⋅ − ⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅= ∫∫∫∫ tdt tdtdttdt 1 14642 2 24 =+ + − ⋅⋅+⋅+ + ⋅− + ⋅= ++ C t t nlttt 1 1 2 146 12 4 14 2 1214 =+ + − ⋅+⋅+⋅−⋅= C t t nlttt 1 126 3 4 5 2 35 Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 1+= xet e obtemos, ( ) ( ) C e e nleee x x xxx + ++ −+ ⋅++⋅++⋅−+⋅= 11 11 2161 3 41 5 2 35 . ■ ►5) ∫ ⋅ xd xosc xsen 3 2 5 . Substituição: txosc =3 2 . Então =⇔=⇔=⇔= 2 3 2 3 3 2 3 2 tosrccaxtxosctxosctxosc , td t t td t t tdtosrccatosrccadxd ⋅ − ⋅ −=⋅ − ⋅ −=⋅ ′ = = 3 2 1 2 2 3 2 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 . 3 2 2 3 2 111 tsenxtsenxxoscsenx −=⇔ −=⇔−= Substituindo no integral temos: ( ) ( ) =⋅ − ⋅−=⋅ − ⋅ −⋅ − =⋅ ∫∫∫ td t t td t t t t xd xosc xsen 2 1 4 3 3 2 1 5 3 3 2 5 1 2 3 1 2 3 1 ( ) =⋅ +⋅− ⋅−=⋅ − ⋅−= ∫∫ td t tt td t t 2 1 63 2 1 23 21 2 31 2 3 EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 5 =⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−=⋅ +⋅−⋅−= ∫∫∫∫ −− tdttdttdttdttt 2 11 2 5 2 1 2 11 2 5 2 1 2 33 2 32 2 3 =+⋅−⋅+⋅−=+ + ⋅− + ⋅+ +− ⋅−= +++− CtttCttt 2 132 3 2 73 2 12 3 1 2 112 3 1 2 531 2 12 3 2 13 2 7 2 11 2 111 2 51 2 1 =+⋅−⋅+⋅−= Cttt 2 13 2 7 2 1 13 3 7 63 Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 3 2 3 2 )( xoscxosct == e obtemos, =+ ⋅− ⋅+ ⋅−= Cxoscxoscxosc 2 13 3 22 7 3 22 1 3 2 )( 13 3)( 7 6)(3 Cxoscxoscxosc +⋅−⋅+⋅−= 3 13 3 7 3 1 )( 13 3)( 7 6)(3 . ■ ►6) ∫ ⋅++ xdxx x 29102 . =⋅ ++ =⋅ +++ =⋅ ++ ∫∫∫ xd x x xd xx xxd xx x 4)5(425102910 222 Substituição: tx =+ 5 . Então 5−= tx , ( ) ( ) tdtdttdxd =⋅′−=−= 55 e na continuação temos: =⋅ + −⋅ + =⋅ + − + =⋅ + − = ∫∫∫∫ tdt td t t td tt t td t t 4 5 44 5 44 5 22222 =⋅ + ⋅− + ⋅=⋅ + ⋅−⋅ + ⋅ ⋅= ∫∫∫∫ tdtt td td t td t t 4 15 4 )( 2 1 4 15 4 2 2 1 22 2 22 =+ ⋅++⋅=⋅ + ⋅− + + ⋅= ∫∫ C t arctgtnltd tt td 22 14 2 1 2 15 4 )4( 2 1 2 222 2 Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 5+= xt e obtemos, =+ + ⋅+++⋅= Cxarctgxnl 2 5 2 14)5( 2 1 2 Cxarctgxxnl + + ⋅+++⋅= 2 5 2 12910 2 1 2 . ■ EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 6 ►7) ∫ ⋅+⋅ xdxx 14 1 . Substituição: tx =+14 . Então 4 1141414 2 22 − =⇔−=⇔=+⇔=+ t xtxtxtx , tdttdttdxd ⋅⋅=⋅ ′ − = − = 2 1 4 1 4 1 22 . Substituindo no integral temos: =⋅ + − − =⋅ − =⋅⋅⋅ ⋅ − =⋅ +⋅ ∫∫∫∫ td tt td t tdt t t xd xx 1 1 1 1 1 2 2 1 4 1 1 14 1 22 =+ + − =++−−=⋅ + −⋅ − = ∫∫ Ct t nlCtnltnltd t td t 1 1 11 1 1 1 1 Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 14 += xt e obtemos, C x x nl + ++ −+ = 114 114 . ■ ►8) ∫ ⋅+⋅−⋅ xdxx x 10124 2 . =⋅ +−⋅ =⋅ ++⋅⋅⋅−⋅ =⋅ +⋅−⋅ ∫∫∫ xd x x xd xx x xd xx x 1)32(19)2(32)2(10124 222 Substituição: tx =−⋅ 32 . Então 2 3+ = t x , tdtdttdxd ⋅=⋅ ′ + = + = 2 1 2 3 2 3 e na continuação temos: =⋅ + ⋅+⋅ + ⋅=⋅ + + ⋅=⋅⋅ + + = ∫ ∫∫∫ tdt td t t td t t td t t 1 3 4 1 14 1 1 3 4 1 2 1 1 2 3 2222 ( ) =+⋅++⋅ + ⋅=⋅ + ⋅+⋅ + ⋅ ⋅= ∫∫ ∫ Ctarctgtdt td t td t t 4 31 1 1 8 1 1 1 4 3 1 2 8 1 2 222 =+⋅++⋅= Ctarctgtnl 4 31 8 1 2 EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 7 Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 32 −⋅= xt e obtemos, =+−⋅⋅++−⋅⋅= Cxarctgxnl )32( 4 31)32( 8 1 2 Cxarctgxxnl +−⋅⋅++⋅−⋅⋅= )32( 4 310124 8 1 2 . ■ ►9) ∫ ⋅ +⋅−⋅ −⋅ xd xx x 5222 22 2 . ( ) =⋅++⋅−⋅ −⋅ =⋅ +⋅−⋅ −⋅ ∫∫ xd xx x xd xx x 41222 22 5222 22 22 ( ) ( ) =⋅+−⋅ −⋅⋅ = ∫ xd x x 412 122 2 Substituição: tx =−⋅ 12 . Então 2 1+ = t x , tdtdttdxd ⋅=⋅ ′ + = + = 2 1 2 1 2 1 e na continuação temos: ( ) =⋅ + ⋅=⋅ + ⋅⋅ =⋅ + =⋅⋅ + ⋅ = ∫∫∫∫ 2 2222 4 1 2 1 4 2 2 1 42 1 4 2 td t td t t td t t td t t ( ) ( ) ( ) ( ) =++=+ +− + ⋅=+⋅+⋅= +− − ∫ CtC t tdt 2 1 2 1 2 1 2 22 1 2 4 1 2 1 4 2 144 2 1 Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição 12 −⋅= xt e obtemos, ( ) ( ) CxxCxxCx ++⋅−⋅=++⋅−⋅=+ +−⋅= 52225222412 22 1 22 1 2 . ■ ►10) ∫ ⋅ −− −⋅ xd xx x 21 82 . ( ) =⋅ −+⋅⋅+− −⋅ =⋅ +− −⋅ =⋅ −− −⋅ ∫∫∫ xd xx x xd xx x xd xx x 4 1 4 1 2 121 82 1 82 1 82 2 22 EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 8 =⋅ +− −⋅ =⋅ + +⋅⋅+− −⋅ = ∫∫ xd x x xd xx x 2 2 2 1 4 5 82 4 1 4 1 2 121 82 =⋅ +⋅ −⋅ −⋅ =⋅ +⋅−⋅ −⋅ = ∫∫ xd x x xd x x 222 2 1 5 21 2 5 82 2 1 5 41 4 5 82 =⋅ +⋅− −⋅ ⋅= ∫ xd x x 2 5 1 5 21 82 5 2 Substituição: tx =+⋅ 5 1 5 2 . Então 2 15 −⋅ = t x , tdtd tt dxd ⋅=⋅ ′ −⋅ = −⋅ = 2 5 2 15 2 15 e na continuação temos: =⋅ − −−⋅ =⋅⋅ − − −⋅ ⋅ ⋅= ∫∫ td t t td t t 22 1 815 2 5 1 8 2 15 2 5 2 =⋅ − ⋅−⋅ − ⋅ =⋅ − − − ⋅ =⋅ − −⋅ = ∫∫∫∫ td t td t t td tt t td t t 22222 1 19 1 5 1 9 1 5 1 95 =+⋅−⋅ − ⋅ ⋅=+⋅−⋅ − ⋅= ∫∫ Ctarcsentd t tCtarcsentd t t 9 1 2 2 5 9 1 5 22 ( ) ( ) =+⋅− − − ⋅−=+⋅−⋅ − ⋅= ∫∫ Ctarcsen t tdCtarcsentd t 9 1 1 2 5 9 1 1 2 5 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) =+⋅− +− − ⋅−=+⋅−−⋅−⋅−= +− − ∫ Ctarcsen tCtarcsentdt 9 1 2 1 1 2 5 911 2 5 12 1 2 22 1 2 ( ) =+⋅−−⋅−= Ctarcsent 915 212 Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 9 5 12 5 1 5 2 +⋅ =+⋅= x xt e obtemos, =+ +⋅ ⋅− +⋅ −⋅−= Cxarcsenx 5 129 5 1215 2 1 2 =+ +⋅ ⋅− +⋅+⋅ −⋅−= Cxarcsenxx 5 129 5 14415 2 1 2 =+ +⋅ ⋅− −⋅−⋅− ⋅−= Cxarcsenxx 5 129 5 14455 2 1 2 ( ) =+ +⋅ ⋅−−−⋅⋅−= Cxarcsenxx 5 1291 5 25 2 1 2 Cxarcsenxx + +⋅ ⋅−−−⋅−= 5 12912 2 . ■ ►11) ∫ ⋅ −⋅ xd xx 2 1 2 . Substituição: t x 1 = . Então td t td tt dxd ⋅−=⋅ ′ = = 2 111 e na continuação temos: =⋅ ⋅− −= ⋅−⋅ ⋅− ⋅ = ⋅−⋅ − ⋅ ∫∫∫ td t td t t t t td t tt 22 2 222 21 11 211 11 211 1 ( ) ( ) ( ) =+⋅⋅−=⋅⋅⋅−⋅−= ∫ Ctarcsentdt 22 1 2 21 1 2 1 2 Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição x t 1 = e obtemos, C x osrccaC x arcsen + ⋅=+ ⋅−= 2 2 12 2 1 . ■ EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 10 ►12) ∫ ⋅+⋅ xde x 1 1 4 . Substituição: tnlx −= . Então ( ) ( ) td t tdtnltnldxd ⋅−=⋅′−=−= 1 e na continuação temos: ( ) ( ) ( ) =⋅+−=⋅⋅+−= ⋅−⋅ + =⋅ + ∫∫∫∫ −−−⋅⋅ tt td td te tdte xd e tnltnlx 1 1 1 11 1 1 1 1 4444 ( ) ( ) = + + −= + −= + ⋅⋅ −= + ⋅ −= ⋅ + −= ∫∫∫∫∫ 4 4 4 4 4 3 4 3 4 1 1 4 1 14 1 1 4 4 1 111 t td t td t tdt t tdt t t td ( ) =++⋅−= Ctnl 41 4 1 Passamos para a variável x , isto é, efectuamos a substituição xet −= e obtemos, ( )( ) ( ) CenlCenl xx ++⋅−=++⋅−= ⋅−− 44 1 4 11 4 1 . ■
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