2º relatório

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INTRODUÇÃO
 	Os movimentos harmônicos simples estão presentes em vários aspectos de nossas vidas, como nos movimentos do pêndulo de um relógio, de uma corda de violão ou de uma mola. Esses mecanismos realizam movimentos de “vai e vem” em torno de uma posição de equilíbrio, sendo caracterizados por um período e por uma frequência.
 	Um movimento é dito oscilatório ou vibratório quando o móvel se desloca periodicamente sobre uma mesma trajetória, indo e vindo de um lado para outro em relação a uma posição média de equilíbrio. Essa posição é o ponto sobre a trajetória, para o qual a resultante das forças que agem sobre o móvel, quando o mesmo passa, é nula. Desse tipo, observa-se o movimento de um pêndulo, o movimento de uma lâmina vibrante e o movimento de um corpo preso à extremidade de uma mola.
OBJETIVO
A finalidade deste experimento é reconhecer o MHS executado pelo oscilador massa-mola como o movimento de um ponto material sujeito à ação de uma força restauradora proporcional á elongação da mola. Como também determinar, pelo processo dinâmico, a constante elástica K da mola helicoidal.
Em relação ao pêndulo simples, reconhecer o MHS executado por ele como o movimento de um ponto material sujeito à ação de uma força restauradora proporcional ao seu deslocamento angular. E encontrar relações entre o período de oscilação e a amplitude, o período de oscilação e a massa pendurada e entre o período de oscilação e o comprimento da corda.
Ao tratar de pêndulo físico, objetivamos reconhecer o MHS executado pela régua como o movimento de um corpo extenso sujeito à ação de um torque restaurador proporcional ao seu deslocamento angular e ao momento de inércia com relação ao eixo de giro. Além de determinar, pelo processo dinâmico, o valor de momentos de inércia com relação a diferentes eixos de giro.
MATERIAL UTILIZADO
01 sistema de sustentação principal Arete formado por tripé triangular, haste, sapatas niveladoras, painel com fixação integrada;
02 massas pendulares de mesmo volume e massas diferentes;
01 cronômetro;
01 mola helicoidal;
01 conjunto de massas acopláveis de (50 ± 1)g cada;
01 gancho lastro de massa (8 ± 1)g;
01 régua milimetrada com dois orifícios ( o maior na extremidade e o menor na posição 4,0 cm da escala);
01 trena;
01 transferidor.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Um oscilador massa-mola é um dispositivo formado por um corpo preso a uma mola oscilante em torno da sua posição de equilíbrio. Se a massa da mola for desprezível, isto é, muito menor do que a massa do corpo preso a ela, então o período do movimento se relaciona com a massa do corpo da seguinte maneira: T = 2π, onde T, m e k são, respectivamente, o período, a massa do corpo e a constante elástica da mola.
Um pêndulo simples consiste de um corpo preso por um fio oscilando na vertical em torno de um ponto fixo (posição de equilíbrio). Para que o dispositivo seja considerado um pêndulo simples, as dimensões do corpo e a massa do fio devem ser desprezíveis. Para o caso de oscilações com pequenas amplitudes, o período se relaciona com o comprimento do fio pela seguinte maneira: T = 2π, onde T, l e g são o período o comprimento do fio e a aceleração da gravidade local, respectivamente.
Pêndulo físico é o nome dado a qualquer corpo rígido suspenso por um ponto O e que pode oscilar livremente em torno de um eixo que passa por O e não passa pelo seu centro de massa. Pra pequenos ângulos de oscilação, o período do pêndulo físico pode ser escrito como: T = 2π, onde I é o momento de inércia em torno do eixo que passa por O, d é a distância de O até o centro de massa do objeto, m e g são, respectivamente, a massa do objeto e a gravidade local.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Parte 1
Primeiro montamos o sistema Arete já com a régua e dependuramos a mola, o gancho e as três massas acopláveis;
Puxamos o gancho lastro 10 cm da posição de equilíbrio e tornamos a soltá-lo;
Depois colocamos o sistema para oscilar novamente, medindo o intervalo de tempo que ele leva para executar 10 oscilações completas;
Refizemos a medida anterior pendurando apenas duas massas no gancho lastro e, na sequência, penduramos somente uma massa.
Parte 2 
Montamos o equipamento com o prumo de maior massa e nivelamos o conjunto através das sapatas;
Ajustamos o pêndulo para o comprimento de 20,0 cm;
Deslocamos o pêndulo simples 5º da sua posição de equilíbrio;
Assim pudemos determinar o intervalo de tempo que o pêndulo levou para realizar 10 oscilações completas;
Deslocamos o pêndulo sucessivamente para as amplitudes de 10°, 15° e 20°, medindo o tempo de 10 oscilações;
Após estes procedimentos trocamos o prumo de maior massa pelo de menor massa, deslocamos o pêndulo para uma pequena amplitude de (≤5°), medindo o tempo para 10 oscilações completas;
Trocando novamente o prumo para o de maior massa, variamos o comprimento do pêndulo para 20 cm, 40 cm, 60 cm, 80 cm e 100 cm e medimos o tempo para 10 oscilações completas.
Parte 3
Executamos a montagem do experimento;
Deslocamos a régua 5° da sua posição de equilíbrio;
Determinamos o tempo que a régua levou para realizar 10 oscilações completas;
Com o intervalo de tempo obtido anteriormente, calculamos o tempo médio que a régua levou para executar uma oscilação completa, isto é, seu período;
Repetimos a operação anterior pendurando a régua pelo orifício mais próximo do seu centro, com as distâncias de 18,3 cm e 9,3 cm.
RESULTADOS
Parte 1
Foi observado que assim que a massa, ao sofrer uma elongação, juntamente com a mola, oscila para baixo e para cima até parar, sendo este classificado como Movimento Harmônico Simples (MHS).
A amplitude diminui, à medida que o tempo passa, devido ao sistema massa-mola sofre a ação do atrito e de uma força restauradora (nesse caso uma força restauradora linear, pois a potência da força (-kx), é um), capazes de retirar a energia mecânica do sistema, refletindo na perca de velocidade.
O período aumenta e a frequência diminui.
Tabela 1
	
	Massa (g)
± (0,3)
	Tempo de 10 oscilações (s)
	Período (s)
	Frequência (Hz)
	1
	58
	(3,77 ± 0,01)
	(0,338 ± 0,001)
	2,96 ± 3,38x10-6
	2
	108
	(4,98 ± 0,01)
	(0,455 ± 0,001)
	2,10 ± 4,55x10-6
	3
	158
	(5,88 ± 0,01)
	(0,558 ± 0,001)
	1,70 ± 5,58 x10-6
Cálculos para determinação da constante elástica k, e construção do gráfico (gráfico 01 em anexo) período versus massa pendurada.
Lembrando que T= 2πtemos:
y = b + ax
T= 2π 
log T = log (2π)
log T = log2π + log ()
log T = log2π + log ()
log T = log2π + (log m – log k)
b = log2π - log k
b = log2π - a log k
log T = y e log m = x
Massa:
58g = 0,058 kg log 0,058 = -1,236
108g = 0,108 kg log 0,108 = -0,966
158g = 0,158 kg log 0,158 = -0,801
Período:
0,338s log 0,338 = -0,471
0,455s log 0,455 = -0, 342
0,558s log 0,558 = -0, 253
Pelo Método dos Mínimos Quadrados:
a = ; b = 
	 	
a = b = 
 
a = b = 
a = = 0,435 b = = 0,200 
Substituímos os valores de a e b na equação abaixo e encontramos o valor de k.
b = log2π - a log k
0,200 = 0,798 – 0,435 log k
0,435 log k = 0,598
log k = 1,374
k = 23,66 N/m
O valor encontrado para k = 23,66 N/m diverge do valor etiquetado k = 20 N/m. Essa pequena diferença se deu devido aos erros ou de montagem ou execução do mesmo.
Discrepância: Δ% = 
Δ% = = 18,3%
Parte 2
Intervalo de tempo que o pêndulo levou para realizar 10 oscilações completas: 901s. 
Período do pêndulo: T = T = 9,01/10 T = 0,901s.
Tabela 2
	
	Deslocamento inicial (°)
	Tempo de 10 oscilações (s)
	Período (s)
	Frequência (Hz)
	1
	(5,0 ± 0,5)
	(9,01 ± 0,01)
	(0,863 ± 0,001)
	1,158 ± 8,63x10-6
	2
	(10± 0,5)
	(9,15 ± 0,01)
	(0,890 ± 0,001)
	1,123 ± 8,90x10
	3
	(15 ± 0,5)
	(9,06 ± 0,01)
	(0,930 ± 0,001)
	1,075 ± 9,3x10-6
	4
	(20 ± 0,5)
	(9,08 ± 0,01)
	(0,953 ± 0,001)
	1,049 ± 9,53x10-6
Gráfico 02 do período versus amplitude e gráfico 03 frequência versus amplitude em anexo.
A relação para qual tendo o período em função das amplitudes sofridas pelo pêndulo esta na medida em que a amplitude aumenta logo percebemos que o período também aumenta.
Tabela 3
	Amplitude (°) ± (0,5)
	Massa do pêndulo
	Tempo de 10 oscilações (s)
	Período (s)
	Frequência (Hz)
	5
	m
	(8,98 ± 0,01)
	(0,871 ± 0,001)
	1,148 ± 8,71x10-6
	5
	M
	(8,34 ± 0,01)
	(0,863 ± 0,001)
	1,158 ± 8,63x10-6
A partir da tabela 3, pode-se concluir que, ao variar a massa oscilante e manter fixo o comprimento do fio o valor dos períodos são praticamente iguais, não havendo influência das massas, isto é, as massas são desprezíveis.
Tabela 4
	
	Comprimento do pêndulo (cm)
	Tempo de 10 oscilações (s)
	Período (s)
	Frequência (Hz)
	1
	(20,00 ± 0,05)
	(18,52 ± 0,01) 
	(0,860 ± 0,001)
	1,162 ± 8,6x10-6
	2
	(40,00 ± 0,05)
	(12,52 ± 0,01)
	(1,240 ± 0,001)
	0,806 ±1,24x10-5
	3
	(60,00 ± 0,05)
	(15,38 ± 0,01)
	(1,460 ± 0,001)
	0,684 ±1,46x10-5
	4
	(80,00 ± 0,05)
	(18,15 ± 0,01)
	(1,660 ± 0,001)
	0,602 ±1,66x10-5
	5
	(100,00 ± 0,05)
	(20,17 ± 0,01)
	(1,880 ± 0,001)
	0,531 ±1,88x10-5
Gráfico 04 (em anexo) do período versus comprimento do fio.
Sendo a frequência determinada por f = , inversamente proporcional ao período, é possível observar que com o aumento do comprimento do fio a frequência diminui.
Gráfico 05 (papel log-log).
A obtenção de g:
Lembrando que T= 2π temos:
y = b + ax
T= 2π 
log T = log (2π)
log T = log2π + log ()
log T = log2π + log ()
log T = log2π + (log l – log g)
b = log2π - log g
b = log2π - a log g
log T = y e log l = x
Comprimento:
20 cm = 0,20 m log 0,20 = -0,699
40 cm = 0,40 m log 0,40 = -0,398
60 cm = 0,60 m log 0,60 = -0,221
80 cm = 0,80 m log 0,80 = -0,096
100 cm = 1m log 1 = 0
Período:
0,86s log 0,86 = -0,065
1,24s log 1,24 = 0,093
1,46s log 1,46 = 0,164
1,66s log 1,66 = 0,220
1,88s log 1,88 = 0,274
Pelo Método dos Mínimos Quadrados:
a = ; b = 
a = b = 
 
a = b = 
a = = 0,475 b = = 0,271 
Substituímos os valores de a e b na equação abaixo e encontramos o valor de g.
b = log2π - a log g
0,271 = 0,798 – 0,475 log g
0,475 log g = 0,527
log g = 1,109
g = 12,8 m/s²
Como g = 12,8 m/s² com o valor tabelado 
g = 9,8 m/s², percebe-se que uma diferença devido aos erros de montagem ou execução do mesmo.
Discrepância: Δ% = 
Δ% = = 30,61%
Parte 3
Tabela 5
	
	
Distância do ponto O para o centro de massa (cm)
	
Tempo de 10 oscilações (s)
	
Período (s)
	1
	d1= 18,3 ± (0,3)
	(9,94 ± 0,01)
	(0,941 ± 0,001)
	2
	d2 = 9,3 ± (0,3)
	(7,94 ± 0,01)
	(0,896 ± 0,001)
Cálculo do valor do momento de inércia da régua em relação a cada um dos eixos de giros utilizados.
Valores esperados: I = 1/12 m(a² + b²) + md²
 m = (40 ± 0,3) g = (0,04 ± 0,0003) kg
			 a = (3,2 ± 0,1) cm = (0,032 ± 0,001) m
			 b = (37,0 ± 0,1) cm = (0,37 ± 0,001) m
Para d1= 18,3 cm = 0,183 m
I = 1/12 0,04 ((0,032)² + (0,37)²) + 0,04(0,183)²
I1e = 1,79 x 10-3 
Para d2 = 9,3 cm = 0, 093 m 
I = 1/12 0,04 ((0,032)² + (0,37)²) + 0,04(0,093)²
I2e = 8,05 x 10-4
Valores obtidos: T = 2π √I/ mgd
 m = (40 ± 0,3) g = (0,04 ± 0,0003) kg
 g = 9,8 m/s²
Para d1= 18,3 cm = 0,183 m
T = 2π √I/ mgd 
(0,94/2π)² = I/(0,04x9,8x0,183)
0,022 = I/0,071
I1o = 1,56 x 10-3
Para d2 = 9,3 cm = 0, 093 m 
T = 2π √I/ mgd 
(0,86/2π)² = I/(0,04x9,8x0,093)
0,018 = I/0,036
I2o = 6,83 x 10-4
Comparação entre os valores do memento de inércia obtidos com os valores esperados:
Discrepância: Δ% = 
d1: Δ% = (|1,79x10-3 – 1,56x10-3| / 1,79x10-3)*100%
 Δ% = 12,84%
d2: Δ% = (|8,05x10-4 – 6,83x10-4|/ 8,05x10-4)*100%
 Δ% = 15,15%
As diferenças entre os valores de inércia obtidos e os valores de inércia esperados são pequenas e ocorrem devido ao erro existente nas medidas.
CONCLUSÃO
 Um corpo ligado a extremidade de uma mola comprimida possui energia potencial elástica. De fato a mola comprimida exerce uma força sobre o corpo, a qual realiza um trabalho sobre ele quando o abandonamos. Entretanto, ao tentarmos comprimir uma mola, nota- se que a força produzida pela mola é diretamente proporcional ao seu deslocamento no estado de equilíbrio. O equilíbrio na mola ocorre quando ela está em seu estado natural.
 De acordo com os resultados, podemos observar que, á medida que aumenta o peso, o comprimento da mola aumenta proporcionalmente de acordo com a equação enunciada na lei de Hooke. Outro ponto observado é que em nenhum dos experimentos realizados a mola ultrapassou seu limite de elasticidade, uma vez quando retirados os pesos a mola voltava para seu estado inicial.
 Concluímos que o período de oscilação depende da massa do corpo suspenso e da constante elástica da mola. Experimentalmente quanto maior a massa do corpo suspenso, mais lentamente ela oscilará. 
 Também podemos constar que o aumento do comprimento do fio a frequência diminui, em relação ao pêndulo simples sendo este possuindo uma dependência no comprimento do fio.
 Também em relação ao pêndulo físico, tendo este dependência ao momento de inércia, de acordo com as observações assim que a distância do ponto 0 para o centro de massa do objeto, o período aumenta.
 Portanto com os experimentos acima, determinamos a constante elástica da mola, e o período e a freqüência de um oscilador massa-mola, estaticamente e dinamicamente conforme os valores acima, o valor experimental da aceleração da gravidade (g) e o valor do momento de inércia do pêndulo físico (régua) experimental. Como esperado há diferenças entre os valores encontrados e os valores teóricos. Essa diferença se dá por pequenos erros de montagens, ou mesmo de execução.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MOVIMENTO PERIÓDICO – MOVIMENTO HARMONICO SIMPLES.
HALLIDAY, DAVID e RESNICK, ROBERT. Fundamentos da Física: Gravitação, Ondas e Termodinâmica. 7. ed. v.2. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
YOUNG & FREEDMAN. Física II: Termodinâmica e Ondas. 10. ed. v.2. São Paulo: PEARSON ADDISON WESLEY, 2002.
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