04_Torcao

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ECV 107
Resistência dos Materiais I
Prof.: Maila Pereira
CAPÍTULO 04
Torção
4 - Torção
• Considere a barra de seção circular AB submetida em suas extremidades A e B 
a torques iguais e opostos T.
• Ao cortar a barra AB por um plano perpendicular ao 
seu eixo longitudinal em algum ponto arbitrário C 
podemos traçar o diagrama de corpo livre da parte BC:
dF T 
• Considerando o diagrama de corpo livre de BC 
pode-se notar que existem forças internas à barra 
que provocam um torque interno que por equilíbrio 
deve ser igual a T, logo:
• Uma vez que dF =  dA , tem-se:
 dA T  
Equação que relaciona T com , mas não informa 
como as tensões são distribuídas ao longo da seção 
transversal, para tanto é necessário analisar as 
deformações de cisalhamento produzidas na barra.
4.1 Tensões em uma barra de seção circular
4 - Torção
• Considere uma barra de seção circular de raio c
conectada a um suporte rígido em uma de suas 
extremidades. Se um torque T é aplicado à extremidade 
livre a barra sofrerá rotação e sua extremidade livre irá 
girar de um ângulo  (ângulo de torção).
4.2 Deformações de cisalhamento em uma barra de seção circular
• Destacando da barra um cilindro de raio , antes de 
aplicar o carregamento podemos destacar neste cilindro 
um elemento quadrado.
• Ao aplicar o torque T, o elemento quadrado se deforma 
assumindo a forma de losango.
• Sabe-se que a deformação por cisalhamento  em um 
elemento é medida pela variação dos ângulos formados 
pelos lados daquele elemento.
4 - Torção
• Conforme a figura, verificamos que  é o ângulo 
formado pelas linhas AB e A’B (em rad).
4.2 Deformações de cisalhamento em uma barra de seção circular
• A deformação de cisalhamento em uma barra circular varia linearmente com a 
distância do eixo da barra, ou seja, a deformação de cisalhamento varia de zero na 
linha central do eixo até um valor máximo max em seu contorno externo.
• Para pequenos valores de  tem-se:
AA' L
AA'




• Logo:
L

 
Deformação de cisalhamento em uma 
barra circular submetida à torção.
( e  em rad).
• A deformação de cisalhamento é máxima na superfície da barra, ou seja, quando 
 = c
max
c
L

  maxc

 
4 - Torção
• Se o torque T aplicado à barra circular produz tensões de cisalhamento na barra 
abaixo da tensão de escoamento E, então a Lei de Hooke para tensão e deformação 
de cisalhamento é válida:
G 
4.3 Tensões de cisalhamento no regime elástico
• Substituindo na equação acima tem-se:maxc

 
maxG c

  maxc

 
• Assim, desde que todas as tensões na barra não excedam a tensão de escoamento 
(regime elástico), a tensão de cisalhamento na barra de seção circular variará 
linearmente com a distância  do eixo da barra.
• Para seção vazada tem-se:
2
1
max
min
c
c


 1
2
min max
c
c
 
4 - Torção
• Já vimos que:
4.3 Tensões de cisalhamento no regime elástico
• Substituindo na equação acima tem-se:maxc

 
 dA T  
maxT dAc

 
2maxT dA
c


maxT J
c

 max
Tc
J
 
T
J

 
Fórmulas de 
torção no regime 
elástico
Substituindo em 
maxc

 
•Lembrar que:
4
2
1 cJ 
 414221 ccJ  
(Seção cheia)
(Seção vazada de raio externo c2 e interno c1)
4 - Torção
• Unidades:
4.3 Tensões de cisalhamento no regime elástico
4
N.m
ou m Pa
m
T
c
J
 

 

Obs.:
• As equações obtidas são para barras de seção circular;
• Quando uma barras de seção circular é submetida à torção, toda seção transversal 
plana permanece plana porque o eixo circular é axissimétrico, o que não acontece 
com barras de seção transversal não circular, onde há empenamento.
4 - Torção
Exemplo 01:
Uma barra circular vazada de 
aço cilíndrica tem 1,5 m de 
comprimento e diâmetro interno 
e externo, respectivamente 
iguais a 40 mm e 60 mm.
a) Qual é o maior torque que pode ser aplicado á barra circular se a 
tensão de cisalhamento não deve exceder a 120 Mpa?
b) Qual o valor da tensão de cisalhamento mínima?
4 - Torção
• As equações anteriores foram deduzidas para uma barra submetida a torque em 
suas extremidades. No entanto elas podem ser usadas para uma barra de seção 
circular variável ou para barra submetida a torques aplicados fora de suas 
extremidades.
Exemplo 02
Eixo BC é vazado, com diâmetros internos e 
externos de 90 mm e 120 mm, 
respectivamente. Os eixos AB e CD são 
sólidos e tem diâmetro d. Para o carregamento 
mostrado, determine:
a) As tensões de cisalhamento máxima e 
mínima no eixo BC.
b) O diâmetro d necessário para os eixos 
AB e CD, se a tensão de cisalhamento 
admissível nesses eixos for de 65 Mpa.
4 - Torção
• Já foi visto que quando uma barra circular está submetida à 
torção, um elemento de faces paralelas e perpendiculares dessa 
barra está sob tensão de cisalhamento.
max
Tc
J
 
4.4 Tensões normais
• As tensões exercidas no elemento c da figura de faces a 
45° do eixo da barra são tensões normais iguais a , 
ou seja, duas faces estão tracionadas e duas faces estão 
comprimidas.
max
• Sabemos de discussões anteriores que podem ser 
encontradas tensões normais, tensões de cisalhamento 
ou uma combinação de ambas sob as mesmas 
condições de carregamento, dependendo da orientação 
do elemento que foi escolhido.
• Assim, se considerarmos um elemento b que forma ângulos arbitrários com o eixo 
da barra de seção circular, esse elemento está submetido a uma combinação das 
tensões normal e de cisalhamento.
4 - Torção
max
Tc
J
 
• A equação acima é usada para determinar o módulo de elasticidade transversal 
(G) do material através do ensaio de torção.
4.5 Ângulo de torção no regime elástico
• Considere o eixo circular de comprimento L e 
seção transversal uniforme de raio c com um 
momento torçor T aplicado em sua extremidade 
livre. Já sabemos que:
max
c
L

  (1) (2)
• Considerando o regime elástico: max maxG   maxmax G

  (3)
TL
JG
 • Substituindo (1) e (2) em (3): (rad)
Equação do ângulo de 
torção no regime elástico 
de um eixo de seção circular 
com uma extremidade fixa.
4 - Torção
• Eixo homogêneo (G = constante).
• Seção transversal constante (J = constante).
• Carregamento aplicado nas extremidades do eixo.
4.6 Ângulo de torção no regime elástico
Restrições para o uso da equação para determinação do ângulo de torção:
TL
JG
 
Caso uma das condições não seja satisfeita, o eixo deverá ser dividido em partes 
componentes que satisfaçam individualmente às condições necessárias para 
aplicação da equação. Nesse caso tem-se:
i i
i i i
T L
J G
 
•  é o ângulo de torção 
total, ou seja, o ângulo pelo 
qual a extremidade A gira 
em relação à extremidade B
• Ti = momento torçor interno em cada parte componente.
• Li = comprimento de cada parte componente.
• Ji = momento de inércia de cada parte componente.
• Gi = módulo de elasticidade transversal de cada parte componente.
AC AC CD CD DE DE EB EB
AC AC CD CD DE DE EB EB
T L T L T L T L
J G J G J G J G
    
4 - Torção
4.6 Ângulo de torção no regime elástico
No caso de um eixo de seção circular variável, a equação para o ângulo de torção 
é aplicada a um disco de espessura dx, assim:
 
Tdxd
J x G
 
 0
L Tdx
J x G
 
Logo:
4 - Torção
Exemplo 03
Qual o torque deverá ser aplicado à 
extremidade do eixo para produzir um 
ângulo de torção de 2°?
Dado: G = 77 GPa e J = 1,021 10-6 m4
4 - Torção
Exemplo 04
O eixo horizontal AD está engastado 
a uma base rígida em D e submetido 
aos torquesmostrados na figura. foi 
feito um furo de 44 mm de diâmetro 
na parte CD do eixo. Sabendo que o 
eixo inteiro é feito de aço para o 
qual G = 77 GPa, determine o 
ângulo de torção na extremidade A.
4 - Torção
4.7 Ângulo de torção quando as duas extremidades do eixo giram
• A equação foi deduzida para eixos com uma 
extremidade fixa, dessa forma, o ângulo de torção  do 
eixo é igual ao ângulo de rotação de sua extremidade livre
TL
JG

AD AD
A
AD AD
T L
J G
 • Eixo AD (fixo em D) – O ângulo de torção do eixo AD é: 
4 - Torção
4.7 Ângulo de torção quando as duas extremidades do eixo giram
• Quando ambas as 
extremidades de um eixo 
giram, o ângulo de torção é 
igual ao ângulo pelo qual uma 
extremidade do eixo gira em 
relação a outra.
BE BE
E/B
BE BE
T L
J G
 
• Eixo BE (ambas extremidades giram) – O ângulo de torção do eixo BE é igual à 
diferença entre os ângulos de rotação B e E
E/B E B   
(Extremidade E gira em 
relação à extremidade B).
4 - Torção
Exemplo 05
Dois eixos de seção cheia feitos de aço 
estão estão ligados por engrenagens. 
Sabendo que para cada eixo G = 77,2 
GPa, e que a tensão de cisalhamento 
admissível é de 55 MPa, determine: 
a) O maior torque T0 que pode ser 
aplicado à extremidade A do eixo AB
b)O ângulo correspondente pelo qual a 
extremidade A do eixo AB gira..
4 - Torção
4.8 Eixos estaticamente indeterminados
• Nos casos em que os momentos torçores internos não podem ser determinados, 
ou seja, para problemas estaticamente indeterminados, as deformações nos eixos 
serão utilizadas para a resolução destes problemas.
• Convenção de sinais:
4 - Torção
Um eixo circular AB consiste em um cilindro de 
aço de 240 mm de comprimento e 22 mm de 
diâmetro, no qual foi feito um furo de 120 mm 
de profundidade e 16 mm de diâmetro na 
extremidade B. O eixo está engastado a suportes 
fixos em ambas as extremidades, e é aplicado 
um torque de 120 N.m em sua seção média. 
Determine o torque aplicado no eixo por cada 
um dos suportes.
Exemplo 06
4 - Torção
Um eixo de aço e um tubo de alumínio 
são engastados a um suporte rígido e 
conectados a um disco também rígido, 
conforme está indicado na figura. 
Sabendo que as tensões iniciais são iguais 
a zero, determine o torque máximo To que 
pode ser aplicado ao disco se as tensões 
admissíveis são de 120 Mpa no eixo de 
aço e 70 MPa no tubo de alumínio. 
Use G = 77 GPa para o aço e G = 27 GPa
para o alumínio.
Exemplo 07
4 - Torção
4.9 Torção em eixos de seção não circular
• Já foi visto que quando um eixo de seção circular é submetido a 
um torque em suas extremidades, a seção transversal não se 
deforma (permanece plana), isto devido a axissimetria da seção.
maxc

  maxc

 
• Foi visto também que a tensão de cisalhamento varia linearmente 
de zero na linha central do eixo até uma tensão de cisalhamento 
máxima na superfície externa do eixo de seção circular.
• No entanto, eixo de seção transversal não circular 
não possui a propriedade de axissimetria, portanto, 
sua seção transversal não permanece plana e a 
distribuição de tensões não é linear ao longo da 
seção transversal. Assim as fórmulas deduzidas 
para os eixos de seção circular não podem ser 
utilizadas.
• Uma consequência da distribuição de deformação é que a análise de torção se torna 
complexa. 
4 - Torção
4.9 Torção em eixos de seção não circular
• No entanto, através de análise matemática 
baseada na teoria da elasticidade chegou-se 
aos resultados abaixo apresentados:
• Para outras formas:
Gabc
TL
abc
T
3
2
2
1
max  
• Para seções retangulares 
uniformes:
• Em grandes valores de a/b, 
a tensão de cisalhamento 
máxima e ângulo de torção 
são os mesmos de 
elementos de paredes finas 
de espessura uniforme e 
forma arbitrária.
4 - Torção
• Destacando do componente o elemento colorido AB
de comprimento x e espessuras tA em A tB em B.
• Considere um componente vazado cilíndrico de 
seção não circular submetido ao torçor T
4.10 Eixos vazados de paredes finas
• Como o elemento AB está em equilíbrio, tem-se:
0 0x A BF F F    
A A A
A A
F A
A t x

 
 A A AF t x 
B B B
B B
F A
A t x

 
 B B BF t x 
    0A A B Bt x t x    
A A B Bt t 
O produto entre a tensão de cisalhamento longitudinal média e a espessura do tubo 
é o mesmo em cada ponto da seção transversal. Esse produto é denominado fluxo 
de cisalhamento e é dado por: q t
4 - Torção
• Para relacionar o torque T aplicado a um componente de 
seção vazada e o fluxo de cisalhamento q em sua parede, 
considere a seção mostrada na figura:
4.10 Eixos vazados de paredes finas
• Considere o elemento ds:
• Área do elemento:
• Força de cisalhamento que atua no elemento:
dA t ds
dF dA
   dF t ds dF t ds    
• O torque dT da força dF em relação a um ponto 
arbitrário O dentro da cavidade do elemento é dado por:
   dT p dF dT p q ds dT q p ds    
• Considerando o triângulo colorido, tem-se:
2m
ds pdA 
2 mdT q dA
dF q ds
4 - Torção
4.10 Eixos vazados de paredes finas
2 mdT q dA   → como o fluxo de cisalhamento é constante
2 mT q dA  → a integral indica que a integração é executada em toda a borda da área.
2 mT q A
•  = tensão de cisalhamento média que age na espessura do tubo
• T = torque interno resultante na seção transversal
• t = espessura do tubo no local onde  está sendo determinada
• Am = área média contida no contorno da linha central da espessura 
do tubo
→ substituindo na equação acima, tem-se:q t
2 mT t A  2 m
T
t A
  (Tensão de cisalhamento)
→ O ângulo de torção é dado por:
4 m
TL ds
A G t
  
4 - Torção
Exemplo 08
A barra de alumínio tem seção transversal 
vazada retangular 64 mm x 100 mm. Determine 
a tensão de cisalhamento em cada uma das 
quatro paredes da barra quando ela é submetida 
a um torque de 2,7 kN m supondo:
a) uma espessura de parede uniforme de 4 mm
b) que, como resultado de um defeito de 
fabricação, as paredes AB e AC têm 
espessura de 3 mm, e as paredes BD e CD 
têm espessura de 5 mm.