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03 Circuitos de corrente contínua

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Circuitos de corrente contínua 
 
Iniciamos os estudos relacionados à eletricidade apresentando os conceitos mais fundamentais a respeito 
das cargas elétricas em repouso e suas interações. Agora, estudaremos as cargas elétricas em 
movimento. 
 
O movimento ordenado de portadores de carga elétrica está relacionado ao conceito de corrente 
elétrica. Quando este movimento ocorre ao longo de uma determinada trajetória condutora, este 
caminho percorrido é denominado circuito elétrico. 
 
Assim como em uma corrida, a energia inicial das partículas carregadas é convertida em outras 
formas de energia ao percorrer um circuito elétrico. Inicialmente a Energia potencial elétrica é 
convertida em energia cinética, ou seja, em movimento, aos portadores de carga. Mas, durante o 
percurso, essas partículas podem interagir com determinados “obstáculos” e parte da sua energia pode 
ser convertida em outras formas de energia como energia térmica, luminosa, novamente em energia 
mecânica de outros componentes ou armazenada em capacitores. 
 
A energia inicial dos portadores de carga é proveniente de uma fonte de energia (pilhas, baterias, 
etc.). Estes “obstáculos” mencionados acima são os componentes ou equipamentos eletrônicos 
associados ao circuito elétrico. Então, dizemos que o movimento das partículas elétricas em um circuito 
transfere energia da fonte para os componentes elétricos. 
Esse processo é fundamental para o funcionamento de todos os equipamentos eletrônicos que 
conhecemos. Por exemplo, em um chuveiro elétrico a energia potencial elétrica é convertida em 
energia térmica; em uma lâmpada ela é convertida em energia luminosa; ou ainda em um 
ventilador, onde é convertida em energia cinética nos movimentos das pás. As aplicações são 
inúmeras e vão muito além. 
 
Estas e outras aplicações dos circuitos elétricos serão analisadas ao longo do curso. Mas antes disso 
vamos apresentar algumas propriedades básicas a respeito das interações entre as partículas 
carregadas e os condutores. Na sequência, estudaremos as propriedades das fontes (pilhas e baterias) e 
a função delas no movimento das cargas num circuito. 
 
 
 
Corrente elétrica 
 
Já sabemos que para uma carga elétrica se movimentar numa determinada direção, um campo elétrico, 
e consequentemente uma força elétrica, deve atuar sobre a mesma. 
 
Em um material condutor sólido – nosso principal interesse, os portadores de cargas que se 
movimentam são os elétrons. No entanto, mesmo que não haja um campo elétrico no condutor, a 
teoria mostra que esses elétrons estão sempre em movimento no interior dos metais. Esse movimento 
por sua vez é desordenado, ou seja, não apresenta uma direção ou sentido preferenciais. 
 
Ao aplicar um campo elétrico no condutor, o movimento dos elétrons permanece desordenado devido às 
“colisões” no interior do material. Mas, agora, esse movimento apresenta uma velocidade de 
arraste em uma determinada direção e sentido (Figura 1). 
 
Figura 1 – Acima representação de um condutor sem campo elétrico, abaixo a representação 
do mesmo condutor sob influência de um campo elétrico 
 
 
Essa velocidade de arraste é muito pequena dentro de um condutor ( . Mas a 
velocidade de propagação do campo elétrico no condutor é próxima à velocidade da luz. Ou seja, quando 
um campo elétrico é aplicado, todos os elétrons do condutor passam a se movimentar com uma 
velocidade “média” igual a . Quando ligamos um interruptor, a luz se acende quase instantaneamente 
devido a este fato. 
 
Figura 2 –Movimento dos portadores de carga elétrica (positiva) no interior de um condutor 
retilíneo de área transversal A constante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Sears e Zemansky, Física III - Eletromagnetismo. 
Considerando um fio condutor de secção reta constante (Figura 2), definimos como corrente elétrica 
instantânea a quantidade de cargas dQ que atravessa uma determinada área A num dado intervalo de 
tempo dt. 
 
 (1) 
 
 
Se a quantidade de cargas que atravessa a área A com relação ao tempo for constante podemos 
escrever a equação (1) da seguinte forma: 
 
 (2) 
A unidade de corrente elétrica é o Ampère (A). 
 
 
 
A corrente elétrica é uma grandeza escalar, mas, para fins práticos, é interessante sabermos o seu 
sentido. Ao aplicar um campo elétrico em um condutor, os portadores de carga elétrica positiva vão se 
deslocar no mesmo sentido do campo aplicado. Já os portadores de carga negativa vão se deslocar no 
sentido oposto ao campo. 
 
Em condutores sólidos (metais), a corrente elétrica está associada ao movimento dos elétrons 
exclusivamente. Já em soluções iônicas e gazes ionizados (plasmas) temos duas correntes de sentidos 
opostos, devido ao movimento tanto das cargas positivas, quanto das negativas. 
 
A corrente elétrica é definida, por convenção, no mesmo sentido do movimento das cargas 
positivas, ou seja, no sentido do campo elétrico, mesmo num condutor metálico, onde sabemos 
que o movimento é o dos elétrons. No entanto, isso não altera as análises de problemas. 
 
Ainda com base na figura 2, podemos definir a corrente elétrica de uma maneira alternativa, em função 
do módulo da velocidade de arraste . Nesse caso, temos que: 
 (3) 
 
Nessa equação, n é a concentração de partículas (partículas por ) e é a carga elementar. Da 
equação (3), podemos obter o valor da corrente elétrica por unidade de da seção reta: 
 
 (4) 
Onde J é o módulo da densidade de corrente elétrica. A densidade de corrente elétrica é uma 
grandeza vetorial que descreve como as cargas fluem (direção e sentido) em cada ponto do condutor. 
 
 (5) 
 
 
O vetor tem sempre a mesma direção e sentido do campo elétrico no condutor. Na figura 2, a 
corrente elétrica é a mesma em todos os pontos, mas a densidade de corrente não. No trecho vertical, 
logo após a saída da bateria a direção de é diferente da direção de no elemento de condutor no 
trecho horizontal. 
Além disso, como o elemento possui uma área maior a densidade de corrente naquele ponto será menor. 
 
Figura 3 –Movimento dos portadores de carga 
elétrica positivas e negativas no interior de um 
condutor retilíneo de área transversal A 
constante sob influência de um campo elétrico 
 
Fonte: Sears e Zemansky, Física III - Eletromagnetismo 
 
 
 
 
 
Para saber mais, assista ao vídeo a seguir: 
 
https://www.youtube.com/watch?v=-x8ra7ZtxIU 
 
Resistividade 
 
Se aplicarmos um campo elétrico em um condutor, teremos uma determinada densidade de corrente 
. No entanto, a intensidade J depende do material. A relação entre o módulo de campo elétrico e o 
módulo da densidade de corrente é uma propriedade elétrica dos materiais denominada resistividade. 
 
 (6) 
A Unidade é o . 
 
O valor da resistividade dos materiais tem uma forte dependência com a temperatura. No entanto, para 
alguns materiais, esse valor se mantém praticamente constante numa dada faixa de temperatura. 
 
Tabela 1 – Valores de resistividade a temperatura ambiente (20°C) 
 
Fonte: Sears e Zemansky, Física III - Eletromagnetismo 
Com base nos valores de resistividade (tabela 1), podemos classificar os materiais 
em condutores, isolantes e semicondutores. A resistividade de materiais isolantes são muitas 
ordens de grandezas maiores do que as dos condutores e isso lhes confere características elétricas tão 
distintas. Nesse contexto, às vezes podemos ouvir o termo condutividade elétrica que é o inverso da 
resistividade elétrica. A resistividade, em geral, pode variar de formacomplexa em função da 
temperatura. Mas, para alguns materiais (na maioria metais) e numa faixa de temperatura de 
aproximadamente 0 a 100 °C, a seguinte relação pode ser utilizada: 
 
 (7) 
Onde é a resistividade para uma dada temperatura de referência (geralmente 0°C ou 20°C) e é o 
coeficiente de temperatura. 
A tabela 2 apresenta os valores de coeficiente temperatura para alguns materiais. Da equação (7) e do 
gráfico da figura 4, podemos perceber que, em geral, a resistividade aumenta à medida que a 
temperatura aumenta. 
 
Tabela 2 – Valores de coeficiente de temperatura da resistividade para vários materiais 
 
Fonte: Sears e Zemansky, Física III - Eletromagnetismo 
 
Figura 4 – Resistividade em função da temperatura para metais 
 
Fonte: Sears e Zemansky, Física III - Eletromagnetismo 
 
 
 
No entanto, essa situação pode ser muito diferente para outros tipos de materiais, como por exemplo a 
grafita, que apresenta um coeficiente de temperatura negativo (-0,0005), assim como alguns 
semicondutores. Nesse caso, a resistividade diminui com o aumento da temperatura, como pode ser 
observado na figura 5. 
 
Figura 5 – Resistividade em função da temperatura para semicondutores 
 
Fonte: Sears e Zemansky, Física III - Eletromagnetismo 
A variação da resistividade de um cristal semicondutor é o princípio utilizado em determinados tipos de 
sensores de temperatura, os termistores (figura 6). 
 
Figura 6 – Vários modelos de termistores. 
 
Fonte: http://cfqelectro.webnode.pt/resist%C3%AAncias/termistores/ 
Vamos entender melhor a corrente elétrica e a resistividade? Então não perca o vídeo que está no 
material on-line com as explicações do professor Fábio! 
 
Lei de Ohm e Resistência Elétrica 
 
Vamos novamente considerar um fio condutor de seção reta uniforme A e comprimento L (Figura 7). 
 
Figura 7 – representação de um fio condutor de seção reta uniforme e comprimento L, 
percorrido por um campo elétrico uniforme 
 
Fonte: Sears e Zemansky, Física III – Eletromagnetismo. 
Supondo que o campo elétrico e a densidade de corrente elétrica são uniformes no interior do fio 
temos que: 
 
 e 
 
Onde V é a diferença de potencial entre as duas extremidades do fio. Substituindo as equações 
anteriores na equação (6): 
 
 Logo: (8) 
A equação (8) é equivalente à equação (6) e nos fornece uma maneira alternativa para analisar o fluxo 
de cargas elétricas em condutores. Neste caso definimos a Resistência de um fio como: 
 
 (9) 
 
E por fim temos: 
 
 (10) 
 
A equação 10 nos fornece uma relação entre a diferença de potencial entre dois pontos de um condutor 
e a corrente elétrica no mesmo. Para o caso em que é constante, R também será. 
Assim, de acordo com a equação 10, a corrente elétrica I será diretamente proporcional à 
diferença de potencial. Essa relação direta é conhecida como Lei de Ohm. De modo geral, a 
Resistência elétrica é definida pela razão entre a diferença de potencial sobre um elemento pela corrente 
elétrica que o percorre: 
 
 (11) 
 
A unidade de resistência elétrica no SI é o Ohm . Outra forma de interpretar essa relação é que, para 
uma dada diferença de potencial, a corrente elétrica que percorrerá o sistema será limitada pela sua 
Resistência elétrica. 
 (12) 
Podemos fazer uma analogia com um sistema hidráulico (figura 8). A diferença de altura entre as duas 
partes do sistema gera uma diferença de pressão na tubulação. Esta por sua vez é responsável pela 
vazão de água na saída. No entanto, se tivermos uma válvula podemos regular a vazão. A válvula 
oferece uma resistência a passagem do fluido reduzindo a vazão (ou pode interromper completamente). 
Em um circuito elétrico, uma fonte fornece uma diferença de potencial. Essa diferença de potencial gera 
uma corrente elétrica. No entanto, se tivermos uma Resistência no caminho ela atuará como uma 
válvula, reduzindo a corrente elétrica do circuito. 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Analogia entre a diferença de 
pressão num sistema hidráulico e a 
diferença de potencial elétrico (tensão). 
Neste caso, o sentido da corrente elétrica 
ilustrado foi a corrente dos elétrons e não 
a convencional. 
 
 
 
 
 
Diferença de 
Pressão 
Vazão 
Válvula 
Diferença 
de Potencial 
Resistência 
Corrente 
elétrica 
Na simulação disponível no site a seguir, analise o comportamento da corrente elétrica no circuito 
enquanto variam a Tensão e a Resistência. 
 
http://phet.colorado.edu/sims/ohms-law/ohms-law_pt_BR.html 
 
Os elementos que apresentam uma relação linear entre a tensão aplicada e a corrente elétrica que o 
percorre são denominados ôhmico (figura 9a). Nesse caso a resistência R na equação 10 deve 
necessariamente ser constante. Por outro lado, alguns elementos não apresentam essa linearidade entre 
tensão e corrente e são denominados elementos não-ôhmicos (figura 9b). 
 
Figura 9 – Gráficos da corrente elétrica I em função da tensão aplicada sobre dois elementos 
diferentes (a) um ôhmico (resistor) e (b) um não-ôhmico (diodo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fonte: Sears e Zemansky, Física III - Eletromagnetismo. 
Mesmo os elementos considerados ôhmicos, como fios condutores ou resistores, somente o são numa 
determinada faixa de temperatura. Por exemplo, na equação 9 vimos que a Resistência R depende da 
resistividade do material que constitui o fio. Como tem forte dependência com a temperatura, a 
resistência R também terá. A Resistência para alguns materiais pode ser descrita, em função da 
temperatura, por: 
 
 (13) 
 
Onde é a resistência do fio numa dada temperatura de referência e é o coeficiente de temperatura 
do material. Essa equação nos mostra que, para pequenas variações de temperatura, a variação de 
resistência elétrica será pequena, podendo ser considerada constante. 
Resistores 
Um componente eletrônico cuja função principal é fornecer uma resistência elétrica ao sistema é 
denominado Resistor. Os resistores são utilizados como limitadores de corrente elétrica e como 
conversores de energia elétrica em energia térmica. Na verdade, essas duas características são 
interligadas, ou seja, sempre que um resistor for utilizado para limitar uma corrente elétrica, ele 
converterá energia elétrica em energia térmica. Esse fenômeno é denominado efeito Joule. 
 
Para algumas aplicações, como em um chuveiro ou em um ferro de passar, o efeito Joule é vantajoso. 
Mas em sistemas como uma placa-mãe de um computador ou uma fiação elétrica residencial, esse efeito 
é indesejável. Provavelmente, você já viu os fios que ligam o chuveiro da sua casa derretem devido ao 
calor gerado pela passagem de corrente. 
 
 
Figura 10 – Código de cores para determinação da resistência de resistores. 
 
 
Voltando ao caso dos resistores, é possível encontrá-los comercialmente em uma ampla faixa de valores, 
que vai de . Os resistores para aplicações em projetos individuais (pessoais) geralmente 
têm um formato próximo ao de um cilindro, e o valor da sua resistência é dado por uma sequência de 
faixas coloridas em seu corpo. 
 
Essas faixas seguem um código de cor que deve ser “decifrado” para se saber a resistência desses 
resistores (figura 10). Vale ressaltar que esses tipos de resistores raramente são utilizados em 
equipamentos modernos (por exemplo um celular), pois são relativamente volumosos. 
 
Figura 10 – Código de cores para determinação da resistência de resistores. 
 
 
Para se determinar a resistência pelocódigo de cores, inicialmente devemos identificar a extremidade 
onde as faixas estão mais juntas. Nessa extremidade, a primeira faixa é equivalente ao primeiro dígito, a 
segunda faixa ao segundo dígito, a terceira faixa ao multiplicador e a quarta faixa (geralmente um pouco 
mais afastada) determina a tolerância do resistor. 
 
Por exemplo, na figura 10, o primeiro resistor tem faixas – verde, azul, amarela e prateada. Assim o 
primeiro dígito é 5, o segundo dígito é 6, o multiplicador é 10 (10.000 ) e a tolerância é de 10%. 
 
 
A tolerância está associada à precisão do resistor. No caso apresentado, significa que o valor pode variar 
entre mais 10% e menos 10% em relação ao valor principal. 
 
Agora, para tirar as dúvidas que possam ter ficado pendentes, assista ao vídeo com as explicações do 
professor Fábio sobre Lei de Ohm e resistência elétrica. Acesse o material on-line! 
 
Força eletromotriz e circuitos elétricos 
Para que haja uma corrente elétrica em um condutor, é necessário um campo elétrico ou uma diferença 
de potencial. Quando essa condição é atendida, os elétrons vão espontaneamente da região de maior 
para a de menor potencial elétrico. Durante o percurso, os elétrons transferem a sua energia potencial 
elétrica armazenada para os elementos do circuito (incluindo a fiação). Os elétrons que estão no final do 
circuito já transferiram toda a sua energia para o sistema. 
 
Para manter uma corrente permanente, precisamos fornecer energia continuamente para os elétrons. 
Aumentando a energia dos elétrons, eles podem novamente percorrer o circuito transferindo sua energia 
para os componentes. 
Fornecer energia aos elétrons equivale a conduzi-los de uma região de baixo potencial para a região de 
potencial alto. Os elementos que desempenham essa função nos circuitos são as fontes de força 
eletromotriz (fem) . 
Fontes de fem são dispositivos que convertem energia de qualquer tipo em energia elétrica como pilhas, 
baterias, geradores, células solares etc. Vamos inicialmente trabalhar com fontes de corrente contínua, 
ou seja, fontes que fornecem uma corrente sempre no mesmo sentido para o circuito. As pilhas e 
baterias são os exemplos mais comuns desse tipo de fonte e convertem energia química em energia 
elétrica. 
 
Para fins práticos uma fonte de fem fornece uma diferença de potencial ao circuito. Essa fem 
 é dada em volts. 
Novamente, uma analogia com um sistema hidráulico será utilizada, mas agora para compreendermos 
melhor a função da fonte de fem num circuito. A figura 11 mostra dois reservatórios. 
 
O reservatório I tem uma elevação em relação ao segundo. O fluido vai se deslocar espontaneamente da 
região onde a energia potencial gravitacional é maior (Reservatório I) para a região onde essa energia é 
menor (Reservatório II). Ao descer o fluido converte a sua energia potencial em energia cinética, que é 
utilizada para mover um moinho. Se nada for feito, o reservatório I se esvaziará e o processo será 
interrompido. 
 
Para que o processo seja contínuo é necessário que uma bomba hidráulica seja utilizada. A bomba 
converterá energia elétrica ou química em movimento ao fluido e o conduzirá novamente para a região 
onde a energia potencial gravitacional é alta. 
 
A fonte de fem realiza um processo similar com os elétrons. Observe a animação a seguir: 
Figura 11 – Analogia entre uma bomba hidráulica e uma fonte de fem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/23218/01%20-%20Analogia%20Eletrico-
hidraulica_1_Circuito%20simples%20corrigido.jpg?sequence=1 
Clique nos links a seguir para ver duas simulações que podem ser úteis para compreender o 
funcionamento interno das fontes de fem. Na segunda simulação, é possível analisar a relação entre 
resistência, corrente elétrica e temperatura em um condutor. 
 
http://phet.colorado.edu/sims/battery-voltage/battery-voltage_pt_BR.jnlp 
http://phet.colorado.edu/sims/battery-resistor-circuit/battery-resistor-circuit_pt_BR.jnlp 
 
A partir de agora analisaremos o comportamento de circuitos compostos por vários elementos, como 
resistores, fontes, capacitores, entre outros. 
 
Para facilitar, passaremos a representar estes elementos por símbolos (tabela 3) e os circuitos serão 
representados por diagramas. 
 
Tabela 3 – Símbolos utilizados para diversos componentes em diagramas de circuitos 
eletrônicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Sears e Zemansky, Física III - Eletromagnetismo. 
Uma fonte, como uma pilha por exemplo, fornece uma força eletromotriz para um circuito. No entanto, 
essa não é a diferença de potencial efetiva que será útil para o circuito. Como toda fonte real apresenta 
uma resistência interna, associada aos materiais que a compõem, sempre haverá uma queda de 
potencial (tensão) interna. Ou seja, parte da energia gerada por esse tipo de fonte é dissipada antes 
mesmo de ir para o circuito. 
 
 
Assim, a tensão útil ( ) para o sistema será a diferença entre a fem gerada pela bateria e a queda 
de potencial interna ( ). 
 (14) 
 
Como para um resistor, temos que , logo: 
 Assim: 
 (15) 
 
A tensão fornecida pela fonte depende da corrente I demandada da mesma. Ou seja, quanto maior 
for a corrente que o circuito “puxa” da fonte, menor será a tensão fornecida por ela. 
A figura 12 mostra o diagrama de um circuito 
formado por uma fonte, com resistência interna 
r, conectada a um resistor externo de resistência 
R. Nessa situação, temos que: 
 
 (16) 
 
Combinando as equações (15) e (16) e isolando a 
corrente elétrica, temos 
 
 (17) 
 
Figura 12 – Ilustração de um circuito 
formado por uma fonte de fem ε, com 
uma resistência interna , ligada a um 
resistor de resistência R. A seta azul 
ilustra a elevação de potencial no circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, a corrente elétrica em um circuito depende tanto da resistência R externa quanto da resistência 
interna r da fonte. Quando , ou seja, quando ligamos apenas um fio condutor entre os polos de 
uma fonte, a corrente elétrica no sistema será máxima e limitada apenas pela resistência interna r. 
 
 (18) 
 
Essa corrente é denominada corrente de curto-circuito. 
 
Em circuitos as fontes fornecem uma elevação de tensão enquanto os componentes geram 
uma queda de tensão. 
 
 
Energia e Potência 
 
Da mecânica, sabemos que a definição de potência está relacionada à quantidade de energia transferida 
por unidade de tempo. 
 
 (19) 
 
A unidade de potência é o Watt. 
 
 
Em um circuito elétrico, utilizamos esse conceito para analisar as energias envolvidas em cada 
componente. Nesse caso, a potência é dada por: 
 
 (20) 
Como ou ainda 
 
Vamos utilizar a situação da figura 12 como exemplo. As tensões envolvidas nesse caso se relacionam 
por: 
 
 
 
Multiplicando todos os termos por : 
 (21) 
 
O primeiro termo da equação 21 é definido como a potência útil do circuito: 
 
Podemos interpretar esse termo como sendo a quantidade de energia por unidade de tempo, fornecida 
para o circuito. O segundo termo da equação 21 é denominado potencial total 
 
 
 
Esse termo está relacionado a quantidade de energia gerada pela fonte por unidade de tempo. E por fim, 
o último termo da equação 21 é a potência dissipada pela resistência interna. 
 
 
 
Nesse caso, a potência dissipada pela resistência interna está associada à energia por unidade de tempo, 
convertida em calor no resistor r. 
 
Em geral,podemos escrever: (22) 
 
Conhecendo as potências envolvidas no circuito, podemos, através da equação 19, determinar as 
energias visto que: 
 
 (23) 
 
Onde é o tempo em que o dispositivo está “ligado”. A expressão (23) deu origem à unidade prática de 
eletricidade, o quilowatt-hora kWh. 
 
Um ferro de passar de potência 1200W ligado por um período de 1 hora consome uma energia igual a: 
 
 
Para mais informações sobre a força eletromotriz e os circuitos elétricos, acesse o material on-line e 
assista ao vídeo com as explicações do professor Fábio! 
 
Associação de resistores 
 
Em um circuito contendo uma fonte e vários resistores, a corrente elétrica total que “circulará” pelo 
sistema depende da Resistência total (equivalente) do circuito. 
 
Essa resistência equivalente do circuito não depende apenas dos valores de resistência envolvidos, mas 
também da maneira como estes resistores são ligados entre si. Os resistores podem ser associados em 
série ou em paralelo. 
 
Figura 13– Diagrama de uma associação de resistores em série 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Sears e Zemansky, Física III - Eletromagnetismo. 
 
Numa associação em série (figura 13) de resistores a corrente elétrica que atravessa cada resistor é a 
mesma: 
 
 
Para a referida situação, a queda de tensão total é igual à soma das quedas de tensão em cada resistor: 
 
 
 
Como , a equação anterior pode ser escrita como: 
 
 
 
Logo: 
 
 (24) 
A equação 24 nos mostra que a Resistência 
equivalente de uma associação de 
resistores em série é igual à soma das 
resistências individuais de cada resistor. 
 
Em uma associação em paralelo (figura 14), a 
tensão em cada resistor é a mesma 
 
 
 
 
Figura 14– Diagrama de uma associação de 
resistores em paralelo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Sears e Zemansky, Física III - Eletromagnetismo. 
 
Para a referida situação, a corrente elétrica total é igual à soma das correntes elétricas em cada resistor: 
 
 
 
Como , a equação acima pode ser escrita como: 
 
 
 
Logo: 
 
 (25) 
A equação 25 nos mostra que, em uma associação de resistores em paralelo, o inverso da Resistência 
equivalente é igual à soma dos inversos das resistências individuais de cada resistor. Vale 
ressaltar que a resistência equivalente em uma ligação em paralelo terá sempre um valor 
menor do que a menor das resistências envolvidas. Pense nessa afirmação! 
 
As propriedades das ligações em série e em paralelo são úteis em diversas situações práticas que serão 
apresentadas nesta aula. 
 
 Figura 15 – Redução e analise de uma associação mista de resistores 
 
Fonte: Sears e Zemansky, Física III - Eletromagnetismo. 
 
 
São muito comuns em circuitos elétricos as 
associações mistas de resistores em série e em 
paralelo. Neste caso precisamos reduzir o 
circuito por etapa. Não existe um procedimento 
padrão para isso, mas a dica é identificar a 
associação entre cada par de resistores e resolvê-
la. 
 
 
Vamos ver o passo a passo: 
 
 
Nessa figura, a ligação mais óbvia é a ligação em paralelo entre os resistores de 6Ω e 3Ω, logo será a 
primeira associação a ser resolvida, utilizando a equação 25 ( ). Obtemos um valor de 
resistência equivalente entre esses dois resistores igual a 2Ω e redesenhamos o diagrama como na figura 
15b. 
 
Analisando essa figura, vemos que o resistor de 4Ω está em série com o resistor equivalente de 2Ω, 
determinado na etapa anterior. Assim, utilizando a equação 24 ( ), obtemos uma 
resistência equivalente final de 6Ω (próxima imagem). 
 
 
 
 
As propriedades das associações em série e em paralelo também são muito úteis na determinação da 
corrente elétrica e da queda de potência em cada elemento do circuito. Na figura 15d, temos que a 
queda de potencial no resistor equivalente final de 6Ω é igual a 18V (tensão de saída da fonte). 
 
 
Utilizando a relação , determinamos a corrente total do sistema . No entanto, o 
resistor de 6Ω, na verdade, é uma associação em série entre os resistores de 4Ω e 2Ω (figura 15e). 
Nesse caso, sabemos que a corrente em ambos os resistores é a mesma ( ), mas como as 
resistências são diferentes, cada um terá uma queda de potencial, que somadas devem ser iguais a 18V. 
Calculando e = 6V. 
 
Por fim, ainda sabemos que o resistor de 2Ω é uma associação em paralelo entre os resistores de 6Ω e 
3Ω (figura 15f). Para esse tipo de ligação, a queda de potencial em ambos os resistores é a mesma e 
será igual a 6V. Mas a corrente elétrica será dividida entre os dois resistores. No resistor de menor 
resistência, a corrente elétrica será maior, e, no de maior resistência, ela será menor 
. 
 
 
Essa redução ou simplificação dos circuitos através da identificação das associações em série e em 
paralelo não funciona para todas as situações. Determinadas associações de resistores ou em circuitos 
envolvendo mais de uma fonte, por exemplo, necessitam de outras técnicas para determinação de 
quedas de potenciais, correntes elétricas etc. 
 
Para saber mais sobre o assunto trabalhado neste tema, assista aos vídeos que estão disponíveis nos 
links a seguir: 
https://www.youtube.com/watch?v=MxbvO3cqI9w 
https://www.youtube.com/watch?v=dS2kFtwmgvg 
https://www.youtube.com/watch?v=bWjF4KNIVmM 
 
Acesse o material on-line e acompanhe as explicações do professor Fábio sobra a associação de 
resistores no vídeo que está disponível. Não perca! 
 
 
 
 
 
Leis de Kirchhoff 
Análise de circuitos e as Leis de Kirchhoff 
 
As leis de Kirchhoff são ferramentas mais gerais para a análise de circuitos e são aplicáveis em casos 
mais complexos, mas antes precisamos definir dois conceitos. O primeiro é o nó ou junção num 
diagrama, que se refere a um ponto onde há uma junção ou divisão de correntes elétricas. O 
segundo é o conceito de malha que se refere a qualquer caminho condutor fechado no circuito. 
 
A lei dos nós de Kirchhoff afirma que: a soma algébrica de todas as correntes que entram ou saem de 
um nó é igual a zero. 
 (26) 
Essa regra decorre do fato de que a quantidade de carga no interior dos condutores deve se conservar, 
ou seja, a corrente elétrica que entra em um nó deve ser igual à corrente elétrica total que sai desse nó. 
Por convenção, consideramos as correntes que entram em um nó positivas e as que saem de um 
nó negativas. 
 
A lei das malhas de Kirchhoff afirma que: a soma algébrica de todas as diferenças de potencial 
através de uma malha, incluindo os elementos resistivos e a fem de todas as fontes, é necessariamente 
igual a zero. 
 
 (27) 
 
A lei das malhas está relacionada à conservação da energia no circuito. Em resumo, a soma de todas as 
quedas de potencial numa malha deve ser igual à soma de todas as elevações de potencial (fem) 
fornecidas. 
 
Dica: Veja no livro texto na página 174, a convenção de sinais para a lei das malhas e a estratégia para 
solução de problemas 26.2. 
 
 
Figura 16 – Diagrama de uma ligação envolvendo uma fonte de 12 V conectada a uma 
bateria recarregável de fem desconhecida e a uma lâmpada de resistência de 3Ω. 
 
 
Fonte: Sears e Zemansky, Física III - Eletromagnetismo. 
Para compreender um pouco melhor as leis de Kirchhoff, vamos analisá-las em uma determinada 
aplicação. No exemplo a seguir, uma fonte é utilizada para recarregar uma bateria e ao mesmo tempo 
acender uma lâmpada. Umafonte de 12 V, com uma resistência interna r, é conectada a uma bateria 
recarregável com fem e resistência interna igual a 1Ω. 
 
Essa fonte também está conectada a uma lâmpada de resistência igual a 3Ω que transporta uma 
corrente de 2A (como na figura 16). A corrente que passa na bateria descarregada é de 1A no sentido 
indicado. Vamos determinar a resistência interna r, a corrente I e a fem da fonte. 
 
O primeiro passo consiste em supor um sentido para a corrente no circuito. Mas, nesse caso, o sentido já 
havia sido pré-determinado como sendo no sentido horário. 
 
Inicialmente aplicamos a lei dos nós no ponto (a). Por convenção, as correntes que entram no nó 
considerado são positivas e as que saem são negativas 
 
 logo 
 
Para determinar r aplicamos a lei das malhas para a malha (1). Se o sentido da corrente é o mesmo 
do percurso da malha, as quedas de potenciais são negativas. As fems serão positivas se atravessadas 
do polo – para o + e negativas se atravessadas do + para o -. Partindo da fonte, temos: 
 
 isolando r 
 
Por fim, para determinarmos , aplicamos a lei das malhas para a malha (2). Se o sentido da corrente 
é oposto ao do percurso da malha, as quedas de potenciais são positivas: 
 
 logo 
 
Poderíamos ter utilizado também a malha (3) e teríamos: 
 
 logo 
Para saber mais sobre as Leis de Kirchhoff, acompanhe as explicações no vídeo a seguir: 
 
https://www.youtube.com/watch?v=-brtlt7HmnQ 
 
Acesse o material on-line e assista ao vídeo que o professor Fábio preparou para você! Preste atenção, 
pois esses conteúdos serão importantes para você no seu futuro profissional! 
 
 
 
 
Instrumentos de medidas elétricas e aplicações 
 
Alguns instrumentos de medidas elétricas são fundamentais quando trabalhamos com circuitos elétricos 
reais. Geralmente é mais rápido e fácil se executar uma medição de uma determinada grandeza elétrica 
no circuito do que calculá-la. Mas para isso precisamos saber um pouco sobre estes instrumentos e como 
utilizá-los corretamente. 
 
Atualmente, o equipamento mais comum para esse tipo de medida é o multímetro, que recebe este 
nome por ser a combinação de vários equipamentos num só aparelho. Um multímetro geralmente dispõe 
das funções voltímetro, amperímetro e ohmímetro. 
 
Os equipamentos analógicos (de ponteiro) são equipamentos mais antigos nos quais o funcionamento 
está associado a transdutores denominados galvanômetros. Estes são constituídos de bobinas 
pivotadas com um ponteiro acoplado. Quando uma corrente elétrica atravessa um galvanômetro, ocorre 
uma deflexão no ponteiro, proporcional à corrente elétrica. 
 
Já os equipamentos digitais não apresentam 
bobinas móveis e as medidas são realizadas 
através de circuitos lógicos que comparam 
periodicamente um sinal de entrada com um 
valor constante definido no sistema. Nesse 
caso, os sinais são apresentados na tela de 
um dispositivo. 
Figura 17 – Exemplos de multímetros 
digital (à esquerda) e analógico (à direita). 
 
 
O amperímetro, como o próprio nome sugere, é utilizado para medir a corrente elétrica num 
determinado ponto do circuito. O amperímetro deve necessariamente ser ligado em série com o 
elemento ou trecho do circuito em que se desejar medir a corrente. Na prática, se não houver um nó 
entre o amperímetro e o elemento eles estarão em série. Ou seja, a corrente que passa em ambos será a 
mesma. 
 
Figura 18 – Diagrama de um circuito onde um amperímetro está em série com um resistor 
de resistência R. Também é mostrado (à direita) um diagrama da configuração interna 
básica de um amperímetro. 
 
 
 
Um equipamento de medida ideal é aquele que não afeta as grandezas do sistema. Quando a 
corrente elétrica passa pelo amperímetro temos uma queda de potencial adicional que pode afetar o 
funcionamento do circuito. Para minimizar isso, é preciso que a resistência interna do amperímetro 
seja muito baixa (muito menor do que a resistência total do ramo em que ele está inserido). Desta 
forma, a queda de potencial no amperímetro será pequena a ponto de ser desconsiderada. 
 
O arranjo interno de um amperímetro envolve um elemento sensor (galvanômetro) com uma 
determinada resistência e um resistor com resistência , denominado de resistor shunt. A 
resistência deve ser menor que a resistência do sensor e eles devem estar ligados em paralelo. 
Desta forma a resistência equivalente do amperímetro será menor do que a menor das resistências 
envolvidas (neste caso ). Além disso, como , a corrente elétrica que passará pelo shunt será 
maior, minimizando o risco de dano ao sensor. 
 
O voltímetro é utilizado para medir a tensão (ou “voltagem”) em um determinado elemento ou ponto 
do circuito. O voltímetro deve necessariamente ser ligado em paralelo com o elemento ou trecho do 
circuito em que se desejar medir a tensão. Na prática, se houver um nó entre o voltímetro e o 
elemento, eles estarão em paralelo. Desta forma, a queda de potencial no voltímetro será igual à do 
elemento em análise. 
 
Figura 19 – Diagrama de um circuito onde um voltímetro está em paralelo com um resistor 
de resistência R. Também é mostrado (à direita) um diagrama da configuração interna 
básica de um voltímetro. 
 
 
 
Assim como o amperímetro, o voltímetro não deve alterar as grandezas do circuito. Quando ele é 
inserido no circuito, surge uma divisão de corrente elétrica. A corrente elétrica drenada pelo voltímetro 
deve ser mínima, logo a resistência interna dele deve ser alta. Nesse caso, um resistor de resistência 
alta é adicionado em série com o elemento sensor (galvanômetro) de resistência , no interior do 
voltímetro. 
 
Os multímetros também apresentam a função ohmímetro utilizada para medir a resistência elétrica 
de um componente ou de um trecho do circuito. Em uma medida de resistência, cada ponta do 
ohmímetro é conectada a uma extremidade do resistor, como em uma ligação em paralelo. A medida da 
resistência em um ohmímetro é feita de forma indireta. Ao medir uma resistência, o dispositivo aplica 
uma tensão conhecida no resistor e realiza a medida da corrente elétrica. Conhecendo ambos os valores, 
a resistência é determinada (internamente) pela lei de ohm . 
Medindo a tensão V e a corrente I para um determinado elemento podemos obter o valor da sua 
resistência elétrica com o circuito ligado. Estes valores também podem ser utilizados para determinar a 
potência (fornecida ou dissipada) pelo elemento. Na internet é possível encontrar uma grande 
quantidade de material audiovisual relacionado a medidas utilizando multímetros. Clique no botão para 
ver um exemplo: 
 
http://pt.wikihow.com/Usar-um-Mult%C3%ADmetro-Digital 
 
A seguir, você pode interagir com um simulador multímetro. Altere as funções (gire o botão) e veja o 
que acontece em cada situação. Relacione com o que foi exposto nesta aula! 
 
http://www.physics-chemistry-interactive-flash-
animation.com/electricity_electromagnetism_interactive/multimeter.htm 
Aplicações - Sistemas de distribuição de potência 
 
Nos circuitos vistos até agora, consideramos apenas o caso da corrente contínua, ou seja, o sentido da 
corrente não varia com o tempo. Em aplicações cotidianas, como a instalação elétrica de uma 
residência, por exemplo, utilizamos uma corrente alternada (que será objeto de estudo de aulas futuras). 
No entanto, alguns dos conceitos vistos nessa aula podem ser aplicados tanto para circuitos de corrente 
contínua quanto para circuitos de corrente alternada. 
 
Figura 20 – Ilustração de uma rede elétrica residencial e seus diversos componentesFonte: Sears e Zemansky, Física III - Eletromagnetismo 
 
 
 
Em uma residência, a tensão é proveniente dos cabos vindos da rede externa. A energia elétrica, 
fornecida pela companhia, é monitorada por um medidor instalado na entrada, como na figura 20. 
 
Em uma residência, todas as lâmpadas, tomadas e equipamentos eletrônicos estão ligadas em paralelo 
com a fonte de tensão, pois, nesse caso, a tensão em cada elemento (110V ou 220V) é a mesma. 
Além disso, no circuito em paralelo, caso um dos componentes deixe de funcionar (ou seja, desligado), 
todos os outros componentes continuam funcionando, pois ainda há corrente elétrica passando por eles. 
 
Em uma ligação totalmente em série, se algum dos componentes for desligado ou deixar de funcionar, 
a corrente elétrica em todo o circuito é interrompida. No entanto, um interruptor (chave) em série com 
um elemento do circuito (por exemplo uma lâmpada) torna mais fácil o processo de ligá-lo e desligá-
lo. Nesse caso, interrompemos apenas a corrente que passa nesse componente, mas como ele está em 
paralelo com todo o restante do circuito, os demais componentes continuam ligados. 
Como vimos anteriormente, a passagem de corrente elétrica por um condutor sempre resulta em 
aquecimento no mesmo. Se a corrente elétrica for elevada, o calor liberado pode ser suficiente para 
causar um incêndio na fiação e consequentemente na residência. 
 
Com base nisso, recomenda-se a utilização de fios de maior calibre (mais grossos) em trechos do circuito 
percorridos pela corrente elétrica total e para equipamentos que demandam uma corrente alta 
(chuveiros, fornos elétricos etc). Os fios de maior seção transversal (mais grossos) oferecem uma menor 
resistência à passagem da corrente elétrica e por isso aquecem menos. 
 
Para evitar que correntes elétricas elevadas passem em determinadas partes do circuito ou em alguns 
componentes, é comum utilizarmos dispositivos de proteção, como disjuntores e fusíveis. A função básica 
desses dispositivos é interromper a passagem de corrente elétrica quando esta ultrapassar um 
determinado limite. 
Sendo assim, esses dispositivos devem ser 
inseridos em série com o componente (ou 
sistema) que se deseja proteger, de modo que a 
corrente elétrica que passe por ambos seja a 
mesma. 
 
Um fusível, muito comum em equipamentos 
eletrônicos, é composto basicamente por um fio 
metálico dentro de um invólucro de vidro (figura 
21). Quando a corrente que passa pelo 
equipamento for maior que o valor nominal do 
fusível, por exemplo 2mA, o fio metálico irá se 
fundir interrompendo a corrente. 
Figura 21 – Fusível e disjuntor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em uma residência, utilizam-se disjuntores que são dispositivos diferentes, mas que possuem a mesma 
função dos fusíveis. Quando a corrente que percorre o disjuntor excede o limite, por exemplo 30A, o 
disjuntor “desarma” interrompendo a corrente. A vantagem é que, ao contrário dos fusíveis, basta ligá-
los novamente, não sendo necessária a sua troca (em condições normais). 
 
Geralmente, utiliza-se um disjuntor geral e disjuntores individuais para cada parte da residência, por 
exemplo, um para a cozinha e lavanderia, outro para o banheiro. 
 
Para encerrar a aula de hoje, não esqueça a videoaula que está disponível no material on-line sobre os 
instrumentos de medidas elétricas e aplicações! Assista com atenção!

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