Apostila Resistencia dos Sólidos

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Universidade Federal de Santa Catarina 
Departamento de Engenharia Civil 
Disciplina ECV 5645 – Resistência dos Sólidos 
Turma 0331 – Arquitetura e Urbanismo 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS SÓLIDOS PARA ESTUDANTES DE 
ARQUITETURA 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Enedir Ghisi, PhD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Florianópolis, Março de 2005 
ECV5645 – Resistência dos Sólidos 2
Sumário 
 
Agradecimentos.......................................................................................................................................... 3 
1. Introdução à Resistência dos Materiais............................................................................................... 4 
1.1. Estrutura............................................................................................................................................ 4 
1.1.1. Tipos de estrutura ...................................................................................................................... 4 
1.1.2. Ações externas (cargas)............................................................................................................ 5 
1.1.3. Vínculos (ou apoios) .................................................................................................................. 6 
1.2. Equações de equilíbrio estático ........................................................................................................ 7 
1.2.1. Condições de equilíbrio ............................................................................................................. 8 
1.3. Exercícios - Reações de apoio ......................................................................................................... 9 
2. Esforços internos ................................................................................................................................. 11 
2.1. Método das seções ......................................................................................................................... 12 
2.1.1. Exercícios ................................................................................................................................ 12 
2.2. Diagramas de esforços internos ..................................................................................................... 14 
2.2.1. Exercícios ................................................................................................................................ 18 
2.3. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 19 
3. Diagramas tensão x deformação ........................................................................................................ 21 
3.1. Esforços internos............................................................................................................................. 21 
3.2. Barra carregada axialmente............................................................................................................ 21 
3.2.1. Distribuição dos esforços internos........................................................................................... 21 
3.2.2. Tensão normal ......................................................................................................................... 21 
3.3. Corpos de prova.............................................................................................................................. 22 
3.4. Deformação linear ........................................................................................................................... 22 
3.5. Diagrama tensão x deformação ...................................................................................................... 22 
3.5.1. Materiais dúcteis e frágeis ....................................................................................................... 22 
3.5.2. Lei de Hooke............................................................................................................................ 23 
3.5.3. Módulo de elasticidade ............................................................................................................ 23 
3.5.4. Propriedades mecânicas ......................................................................................................... 23 
3.5.5. Forma geral da Lei de Hooke .................................................................................................. 24 
3.6. Análise elástica e análise plástica................................................................................................... 25 
3.7. Classificação dos materiais............................................................................................................. 25 
3.8. Exercícios........................................................................................................................................ 25 
4. Treliças .................................................................................................................................................. 26 
4.1. Treliças planas ................................................................................................................................ 26 
4.2. Esforços primários e secundários ................................................................................................... 26 
4.3. Treliças isostáticas .......................................................................................................................... 26 
4.4. Método dos nós............................................................................................................................... 27 
4.4.1. Exercícios ................................................................................................................................ 27 
4.5. Método de Ritter.............................................................................................................................. 28 
4.5.1. Exercícios ................................................................................................................................ 28 
4.6. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 28 
5. Cisalhamento simples.......................................................................................................................... 30 
5.1. Deformação no cisalhamento ......................................................................................................... 30 
5.2. Módulo transversal de elasticidade................................................................................................. 30 
5.3. Exercícios........................................................................................................................................ 31 
5.4. Ligações soldadas........................................................................................................................... 31 
5.5. Ligações rebitadas .......................................................................................................................... 31 
5.5.1. Ligação com simples superposição......................................................................................... 31 
5.5.2. Ligação com uma chapa de cobertura .................................................................................... 32 
5.5.3. Ligação com duas chapas de cobertura.................................................................................. 32 
5.6. Ruptura de ligações rebitadas ........................................................................................................ 32 
5.6.1. Cisalhamento nos rebites ........................................................................................................ 32 
5.6.2. Compressão nas paredes dos furos........................................................................................32 
5.6.3. Espaçamento mínimo entre rebites ......................................................................................... 33 
5.6.4. Tração nas chapas .................................................................................................................. 33 
5.7. Exercícios........................................................................................................................................ 34 
5.8. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 35 
6. Propriedades geométricas de superfícies planas............................................................................. 37 
6.1. Momento estático e baricentro........................................................................................................ 37 
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6.1.1. Exercício .................................................................................................................................. 37 
6.2. Centro de gravidade (baricentro) .................................................................................................... 37 
6.2.1. Propriedades do centro de gravidade...................................................................................... 38 
6.2.2. Exercícios ................................................................................................................................ 38 
6.3. Momento estático e centro de gravidade de áreas compostas ...................................................... 38 
6.3.1. Exercícios ................................................................................................................................ 39 
6.4. Momento de inércia......................................................................................................................... 39 
6.4.1. Momento de inércia de um elemento ...................................................................................... 39 
6.4.2. Momento de inércia de uma superfície.................................................................................... 39 
6.4.3. Raio de giração........................................................................................................................ 40 
6.4.4. Propriedades............................................................................................................................ 40 
6.4.5. Exercícios ................................................................................................................................ 40 
6.4.6. Teorema de Steiner ................................................................................................................. 41 
6.4.7. Exercícios ................................................................................................................................ 42 
6.4.8. Momento de inércia de áreas compostas................................................................................ 42 
6.4.9. Exercícios ................................................................................................................................ 42 
6.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 43 
7. Flexão simples...................................................................................................................................... 44 
7.1. Projeto de vigas............................................................................................................................... 46 
7.2. Verificação de vigas ........................................................................................................................ 46 
7.3. Exercícios........................................................................................................................................ 46 
7.4. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 48 
8. Flexão composta .................................................................................................................................. 49 
8.1. Esforço normal excêntrico............................................................................................................... 50 
8.1.1. Exercício .................................................................................................................................. 51 
8.2. Linha neutra .................................................................................................................................... 52 
8.2.1. Linha neutra oblíqua ................................................................................................................ 52 
8.2.2. Linha neutra paralela ao eixo y................................................................................................ 52 
8.2.3. Linha neutra paralela ao eixo z................................................................................................ 52 
8.3. Núcleo central ................................................................................................................................. 52 
8.4. Exercícios........................................................................................................................................ 53 
8.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 54 
9. Tensões de cisalhamento em vigas ................................................................................................... 55 
9.1. Teorema da reciprocidade .............................................................................................................. 55 
9.2. Fluxo de cisalhamento .................................................................................................................... 55 
9.3. Variação das tensões de cisalhamento .......................................................................................... 58 
9.4. Exercícios........................................................................................................................................ 59 
10. Torção.................................................................................................................................................. 61 
10.1. Torção de barras circulares .......................................................................................................... 61 
10.2. Relação entre torque e ângulo de torção...................................................................................... 62 
10.3. Torção de barras circulares vazadas............................................................................................ 62 
10.4. Torção de seções vazadas com paredes delgadas...................................................................... 63 
10.4.1. Relação entre torque e fluxo de cisalhamento ...................................................................... 64 
10.5. Exercícios...................................................................................................................................... 65 
10.6. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................. 66 
11. Flambagem de colunas...................................................................................................................... 67 
11.1. Tensão crítica................................................................................................................................ 68 
11.2. Comprimento de flambagem......................................................................................................... 69 
11.3. Carga admissível...........................................................................................................................69 
11.4. Exercícios...................................................................................................................................... 69 
11.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................. 71 
Referências bibliográficas....................................................................................................................... 72 
 
Agradecimentos 
 
À arquiteta e mestranda do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Marina Vasconcelos 
Santana, pelas ilustrações. 
 
Ao acadêmico do curso de Arquitetura e Urbanismo, Olavo Avalone Neto, pela digitação de parte do 
conteúdo. 
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ECV5645 – Resistência dos Sólidos 4
1. Introdução à Resistência dos Materiais 
 
Cronologicamente o desenvolvimento da resistência dos materiais seguiu-se ao desenvolvimento das 
leis da estática. A estática considera os efeitos externos das forças que atuam num corpo, isto é, o fato 
de as forças tenderem a alterar o estado de movimento do corpo. A resistência dos materiais considera 
os efeitos internos, ou seja, o estado de tensões e deformações que se origina no corpo. 
O estudo da resistência dos materiais constitui-se na determinação das reações vinculares externas 
e na caracterização das solicitações fundamentais, bem como na obtenção da configuração deformada 
de um dado corpo sólido deformável submetido à ações externas e certas condições de vínculos. 
Após o cálculo das ações vinculares externas, penetra-se no interior da estrutura para, em suas 
diversas seções, analisar os esforços internos: esforços normais de tração ou compressão, esforços 
cortantes, momentos fletores e torçores, que provocam a mudança da forma original do corpo, ou seja, 
provocam a deformação e o conseqüente aparecimento de tensões. 
 
Os problemas de resistência dos materiais constituem a verificação e o projeto de estruturas. 
No problema de verificação, conhece-se a estrutura, suas dimensões, carregamento e material 
utilizado. A resolução do problema consiste em calcular o menor coeficiente de segurança para a 
estrutura, ou seja, calcular o coeficiente de segurança no ponto mais solicitado de toda a estrutura. 
No problema de projeto ou dimensionamento, conhece-se a estrutura, o carregamento e o 
coeficiente de segurança mínimo prescrito por norma conforme o material. A resolução do problema 
consiste em escolher o material, a forma e as dimensões da seção transversal da peça de modo que ela 
não venha a falhar devido ao carregamento esperado. 
Qualquer um dos problemas é resolvido por condições matemáticas que comparem as maiores 
tensões que ocorram na estrutura com as tensões limites que caracterizam a capacidade resistente do 
material utilizado na estrutura. 
A fim de responder a estas questões matemáticas, deve ser respondida uma pergunta fundamental: 
“Em que condições uma peça submetida a esforços entra em colapso estrutural?” 
• “Quando, em um ponto, a deformação for elevada?” 
• “Quando, em um ponto, a tensão for elevada?” 
O colapso de um material é determinado por critérios de ruptura definidos de acordo com a 
natureza do material. Portanto, é necessário conhecer as tensões e as deformações máximas atuantes 
na estrutura, bem como o critério de ruptura que o material obedece. 
O projeto de uma estrutura deve ser iniciado pela determinação das seções críticas das vigas, onde 
ocorrem os valores máximos da força cortante, da força normal e do momento fletor. Esses cálculos se 
simplificam bastante pela construção dos diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço 
normal. 
 
1.1. Estrutura 
 
A estrutura é a parte da construção responsável pela resistência às ações externas e é o objeto de 
estudo da resistência dos materiais. 
 
1.1.1. Tipos de estrutura 
 
As estruturas podem ser classificadas de diversas formas: 
- quanto às dimensões 
- quanto à vinculação 
 
Quanto às dimensões: 
- Reticulares: - uma dimensão predomina sobre as outras duas (ex.: vigas, treliças, pórticos planos, etc.) 
 
 
 
 
- Laminares: - duas dimensões predominam sobre a terceira (ex.: cortinas, lajes, etc.) 
 
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- Tridimensionais: - as três dimensões têm a mesma ordem de grandeza (ex.: barragens) 
 
 
 
Nesta disciplina será dado ênfase no estudo das estruturas reticulares planas. 
 
1.1.2. Ações externas (cargas) 
 
Uma estrutura pode estar sujeita à ação de diferentes tipos de carga, tais como pressão do vento, 
reação de um pilar ou viga, as rodas de um veículo, o peso de mercadorias, etc. Estas cargas podem ser 
classificadas quanto à ocorrência em relação ao tempo e quanto às leis de distribuição. 
 
Quanto à ocorrência em relação ao tempo: 
 
 Cargas Permanentes: 
Atuam constantemente na estrutura ao longo do tempo e são devidas ao seu peso próprio e dos 
revestimentos e materiais que a estrutura suporta. Tratam-se de cargas com posição e valor 
conhecidos e invariáveis. 
 
 
 
 Cargas Acidentais: 
São aquelas que podem ou não ocorrer na estrutura e são provocadas por ventos, empuxo de 
terra ou água, impactos laterais, frenagem ou aceleração de veículos, sobrecargas em edifícios, 
peso de materiais que preencherão a estrutura no caso de reservatórios de água e silos, efeitos 
de terremotos, peso de neve acumulada (regiões frias), etc. 
 
 
 
Quanto às leis de distribuição: 
 
 Cargas concentradas: 
São cargas distribuídas aplicadas a uma parcela reduzida da estrutura, podendo-se afirmar que 
são áreas tão pequenas em presença da dimensão da estrutura que podem ser consideradas 
pontualmente (ex.: a carga em cima de uma viga, a roda de um automóvel, etc.). 
 
 Cargas distribuídas: 
 Podem ser classificadas em uniformemente distribuídas e uniformemente variáveis. 
 
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 Uniformemente distribuídas: 
São cargas constantes ao longo ou em trechos da estrutura (ex.: peso próprio, peso de 
uma parede sobre uma viga, pressão do vento em uma mesma altura da edificação, 
etc.). 
 
 
Hh
Vento
 
 
 Uniformemente variáveis: 
São cargas triangulares (ex.: carga em paredes de reservatório de líquido, carga de 
grãos a granel, empuxo de terra ou água, vento ao longo da altura da edificação, etc.). 
 
 
 
 
 
1.1.3. Vínculos (ou apoios) 
 
A função básica dos vínculos ou apoios é de restringir o grau de liberdade das estruturas por meio de 
reações nas direções dos movimentos impedidos, ou seja, restringir as tendências de movimento de uma 
estrutura. Os vínculos têm a função física de ligar elementos que compõem a estrutura, além da função 
estática de transmitir as cargas ou forças. 
Os vínculos ou apoios são classificados em função de número de movimentos impedidos. Para 
estruturas planas existem três tipos de vínculos: 
 
 Vínculos de Primeira Ordem (apoio simples): 
São aqueles que impedem deslocamento somente em uma direção, produzindo reações 
equivalentes a uma força com linha de ação conhecida. Apenas uma reação será a incógnita. 
 
Oou
VV V V
Oou
 
 
O deslocamento na posição y é impedido, logo, nesta direção, tem-se uma reação de apoio V. 
 
 Vínculos de Segunda Ordem (articulação plana): 
São aqueles que restringem a translação de um corpo livre em todas as direções, mas não 
podem restringir a rotação em torno da conexão. Portanto, a reação produzida equivale a uma 
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força com direção conhecida, envolvendo duas incógnitas, geralmente representadas pelas 
componentes x e y da reação. 
 
Oou
V V V
OouH H H
 
 
Vínculo de Terceira Ordem (engaste ou apoio fixo): 
São aqueles que impedem qualquer movimento de corpo livre, imobilizando-ocompletamente. 
 
V
M
H
Engaste
Estrutura H
 
 
Observação: Os vínculos podem ser chamados de 1a, 2a e 3a ordem ou classe ou gênero ou tipo. 
 
Classificação da estrutura quanto à vinculação: 
 
Isostática: tem o número necessário de vínculos para impedir o deslocamento. Bastam as equações 
fundamentais da estática para determinar as suas reações de apoio. 
Hipostática: tem menos vínculos do que o necessário. 
Hiperstática: tem número de vínculos maior que o necessário. O número de reações de apoio excede o 
das equações fundamentais da estática. 
 
Exemplo: Determinar, qualitativamente, as reações de apoio resultantes na estrutura abaixo: 
 
1.5 2.5 2.0
500N 100N500N 200N
A B
 
 
1.2. Equações de equilíbrio estático 
 
Força: é tudo que altera o estado de repouso ou o movimento de um corpo. Sua unidade no S.I. é N 
(Newton). 
 
As forças são quantidades vetoriais com direção, sentido e intensidade. 
 
Direção
Sentido
Intensidade 
 
Observação: 1 kgf = 10 N 
 
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Kk
Kj
Y
X
Z
Ki
 
 
zyx FkFjFiF ++= 
 
Momento: se chama momento de uma força F em relação ao ponto zero ao produto vetorial M = om x F 
(m é um ponto situado sobre a linha de ação de F). Sua unidade no S.I. é Nm (Newton x metro). 
 
F
0 m
 
 
Os momentos também são quantidades vetoriais com direção, sentido e intensidade. 
 
Direção
Sentido
Intensidade 
 
Kk
Kj
Y
X
Z
Ki
 
 
zyx MkMjMiM ++= 
 
1.2.1. Condições de equilíbrio 
 
Para um corpo, submetido a diferentes forças, estar em equilíbrio, é necessário que as forças não 
provoquem tendência à rotação e translação. 
 
Translação depende das forças resultantes: ∑ F = 0 
Rotação depende dos momentos resultantes: ∑ M = 0 
 
Logo, tem-se as seis equações fundamentais da estática: 
∑ Fx = 0; ∑ Fy = 0; ∑ Fz = 0 
∑ Mx = 0; ∑ My = 0; ∑ Mz = 0 
 
 
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1.3. Exercícios - Reações de apoio 
 
Determinar as reações de apoio para as estruturas dadas abaixo. Exercícios a serem resolvidos em sala 
de aula. 
 
1. Viga biapoiada com carga concentrada: 
 
400N
A B
2,0m 2,0m
 
 
 
2. Viga biapoiada com carga concentrada: 
 
400N
3,0m 1,0m
BA
 
 
 
3. Viga biapoiada com carga concentrada: 
 
400N
45ºBA
3,0m 1,0m
 
 
 
4. Viga engastada com carga concentrada: 
 
200N
2,0m
BA
 
 
 
5. Viga biapoiada com momento aplicado: 
 
2,0m 2,0m
100Nm
 
 
 
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6. Pórtico com carga concentrada e momento aplicado: 
 
6t
8tm 4t
3,0m
3,0m
4,0m 4,0m
A
B
C 
D 
 
 
 
7. Viga biapoiada com cargas concentradas na direção horizontal: 
 
A B
1kN
1kN
0,5
0,5
2,0m 2,0m
 
 
 
8. Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída: 
 
BA
Ll 
Lq[N/m] 
 
 
 
9. Viga engastada com carga uniformemente variável e uniformemente distribuída: 
 
2,0m3,0m
1,01,01,02,0
10kNm
2kN/m
1kN/m
 
 
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2. Esforços internos 
 
Viu-se, anteriormente, os esforços que atuam numa estrutura em equilíbrio. Veremos agora os esforços 
que atuam numa seção qualquer da estrutura, provocados por forças ativas e reativas. Numa seção 
qualquer, para manter o equilíbrio, as forças da esquerda devem ser iguais às da direita. 
 
E D
RRR R
M M 
 
Uma seção S de uma estrutura em equilíbrio está submetida a um par de forças R e –R e um par de 
momentos M e –M aplicados no seu centro de gravidade, resultantes das forças atuantes à direita e à 
esquerda da seção. 
 
M R
R
M 
 
Decompondo a força resultante e o momento em duas componentes, uma perpendicular e a outra 
paralela à seção, teremos: 
 
N 
RRQ 
M0
T
M
 
 
Assim, têm-se os seguintes esforços solicitantes: 
N = força normal (força perpendicular à seção S); 
Q = esforço cortante (força pertencente à seção S); 
T = momento torçor (momento perpendicular à seção S); 
M = momento fletor (momento pertencente à seção S). 
 
 Esforço Normal (N): é a soma algébrica de todas as componentes, na direção normal à seção, 
de todas as forças atuantes de um dos lados da seção. Por convenção, o esforço normal é positivo 
quando determina tração e negativo quando determina compressão. 
 
N N
 
NN
 
 
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 Esforço Cortante (Q): é a soma vetorial das componentes sobre o plano da seção das forças 
situadas de um mesmo lado da seção. Por convenção, as projeções que se orientarem no sentido dos 
eixos serão positivas e nos sentidos opostos, negativas. 
 
Z
Y 
CG Q z
Q yQ 
 
Z
Y 
CG 
Q y
Q z
Q 
 
 
 Momento Fletor (M): é a soma vetorial das componentes dos momentos atuantes sobre a seção, 
situados de um mesmo lado da seção em relação ao seu centro de gravidade. 
 
M z
M 
Z
Y 
Tração
Compressão
M 
 
 
No caso de momento fletor, o sinal positivo ou negativo é irrelevante, importante é determinar o seu 
módulo e verificar onde ocorre compressão e tração. 
 
Tração Compressão
M y
 
Tração
Compressão
M z
 
 
2.1. Método das seções 
 
Imagine-se uma estrutura qualquer com forças aplicadas; considerando que as partes do corpo têm de 
estar em equilíbrio quando o corpo o está, e fazendo-se um corte imaginário perpendicular ao eixo da 
viga, qualquer parte da viga poderá ser considerada como um corpo livre. Cada um dos segmentos da 
viga está em equilíbrio, cujas condições exigem a existência de um sistema de forças na seção de corte 
da viga. Em geral, na seção de uma viga, são necessários uma força vertical, uma horizontal e um 
momento para manter a parte da viga em equilíbrio. 
A representação gráfica dos esforços internos em qualquer ponto da viga, representados em 
função de uma distância x a partir de uma das extremidades da mesma, se dá através dos chamados 
diagramas de estado ou diagramas de esforços internos. Por meio desses diagramas é possível a 
determinação dos valores máximos absolutos do esforço cortante, do momento fletor e do esforço 
normal. 
 
2.1.1. Exercícios 
 
Determinar os esforços simples atuantes nas seções indicadas nas estruturas dadas abaixo. Exercícios 
a serem resolvidos em sala de aula. 
 
 
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1. Viga biapoiada com carga concentrada: 
 
1,0m 1,0m 2,0m
10kN
S
 
 
2. Pórtico com cargas concentradas: 
 
2,0m
3,0m 3,0m3,0m
9t
S2
9t
S1
A 
B C 
D 
2,0m
2,0m
 
 
3. Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída: 
 
4,0m
1,0t/m
1,5m
S
 
 
 
4. Pórtico com cargas diversas: 
 
6,0m
1t
1,0t/m
S
A B
2,0m
2,0m
 
5. Viga biapoiada com carga concentrada e trecho 
em balanço: 
 
 
S1
1,0
10kN
S2 S3
2,0m
1,0 0,5
3,0m 1,0m
5kN
 
 
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2.2. Diagramas de esforços internos 
 
Viga biapoiada com carga concentrada: 
 
 
 
 
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Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída: 
 
 
 
 
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Balanço com carga uniformemente distribuída: 
 
 
 
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Viga biapoiada com carga triangular: 
 
 
 
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2.2.1. Exercícios 
 
Traçar os diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço normal para as estruturas dadas 
abaixo. Exercícios a serem resolvidos em salade aula. 
 
1) 
 
 
2) 
 
 
3) 
 
 
4) 
 
 
5) 
 
 
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2.3. Lista de exercícios (atividade extra-classe) 
 
Traçar os diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço normal para as estruturas dadas 
abaixo. 
 
1) 
 
 
 
 
2) 
3) 
 
 
 
4) 
5) 
 
 
6) 
7) 
 
 
 
8) 
9) 
 
 
10) 
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11) 
 
 
 
12) 
 
 
 
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3. Diagramas tensão x deformação 
 
3.1. Esforços internos 
 
O objetivo principal deste módulo é estudar os esforços ou efeitos internos de forças que agem sobre um 
corpo. Os corpos considerados não são supostos perfeitamente rígidos; são corpos deformáveis de 
diferentes formas e submetidos a diferentes carregamentos. 
 
3.2. Barra carregada axialmente 
 
Considerando-se uma barra prismática (de eixo reto e seção transversal constante) sob ação de duas 
forças iguais e opostas, coincidentes com o seu eixo, a barra é tracionada quando as forças são 
direcionadas para fora da barra. Em caso contrário, a barra é comprimida. 
 
 
P P
TRAÇÃO
PP
COMPRESSÃO
P
 
 
Sob a ação dessas forças externas surgem 
esforços internos na barra; para o seu estudo, 
imagina-se a barra cortada ao longo de uma seção 
transversal qualquer. 
 
Removendo-se a parte do corpo situada à direita 
do corte, tem-se a situação onde está apresentada 
a ação que a parte suprimida exercia sobre o 
restante. P P
Pa
P P
Pa
 
 
 
Através deste artifício, os esforços internos na seção considerada transformam-se em externos. Para 
que não se altere o equilíbrio, estes estorços devem ser equivalentes à resultante, também axial de 
intensidade P, e devem ser perpendiculares à seção transversal considerada. 
 
3.2.1. Distribuição dos esforços internos 
 
A distribuição dos esforços resistentes ao longo de todos os pontos da seção transversal é considerada 
uniforme embora talvez nunca se verifique na realidade. O valor exato do esforço que atua em cada 
ponto é função da natureza cristalina do material e da orientação dos cristais no ponto. 
 
3.2.2. Tensão normal 
 
Quando o esforço interno resistente atuando em cada ponto da seção transversal for perpendicular à 
esta seção, recebe o nome de tensão normal. A tensão normal tem a mesma unidade de pressão, ou 
seja, força por unidade de área. No exemplo em questão, a intensidade da tensão normal em qualquer 
ponto da seção transversal é obtida dividindo-se a força P pela área A da seção transversal. 
 
σ = P/A 
 
Onde: 
σ é a tensão normal (N/m2); 
P é a força aplicada na seção transversal (N); 
A é a área da seção transversal (m2). 
 
Se a força P é de tração, a tensão normal é de tração. 
Se a força P é de compressão, a tensão normal é de compressão. 
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3.3. Corpos de prova 
 
Para a análise de tensões e deformações, corpos de prova são ensaiados em laboratório. Os ensaios 
são padronizados: a forma e as dimensões dos corpos de prova variam conforme o material a ser 
ensaiado ou o tipo de ensaio a se realizar. 
 
3.4. Deformação linear 
 
Ensaiando-se um corpo de prova à tração, 
com forças axiais gradualmente crescentes 
e medindo-se os acréscimos sofridos pelo 
comprimento inicial, pode-se obter a 
deformação linear. 
PP
L
P’ P’
LL
 ε = ∆L/L 
 
Onde: 
ε é a deformação linear (adimensional); 
∆L é o acréscimo do comprimento do corpo de prova devido à aplicação da carga (m); 
L é o comprimento inicial do corpo de prova (m). 
 
3.5. Diagrama tensão x deformação 
 
Pode-se então medir os diversos ∆Ls correspondentes aos acréscimos da carga axial aplicada à barra e 
realizar o ensaio até a ruptura do corpo de prova. Chamando de A a área da seção transversal inicial do 
corpo de prova, a tensão normal σ pode ser determinada para qualquer valor de P, com a fórmula σ = 
P/A. 
 
Obtêm-se, assim, diversos pares de valores σ e ε. A representação gráfica da função que os relaciona 
recebe o nome de diagrama tensão x deformação. 
 
Exemplos de diagrama tensão x deformação: 
 σ
ε
 
0
ε 
σ
 
 
O diagrama tensão x deformação varia muito de material para material e, dependendo da temperatura do 
corpo de prova ou da velocidade de crescimento da carga podem ocorrer resultados diferentes para um 
mesmo material. Entre os diagramas tensão x deformação de vários grupos de materiais é possível, no 
entanto, distinguir algumas características comuns que nos levam a dividir os materiais em duas 
importantes categorias: materiais dúcteis e materiais frágeis. 
 
3.5.1. Materiais dúcteis e frágeis 
 
Material dúctil é aquele que apresenta grandes deformações antes de se romper (aço e alumínio, por 
exemplo), enquanto que o frágil é aquele que se deforma relativamente pouco antes de se romper (ferro 
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ECV5645 – Resistência dos Sólidos 23
fundido e concreto, por exemplo). 
 
3.5.2. Lei de Hooke 
 
Para os materiais dúcteis, observa-se que a função tensão x 
deformação, no trecho OP, é linear. Esta relação linear entre os 
deslocamentos e as cargas axiais foi apresentada por Robert 
Hooke em 1678 e é conhecida como Lei de Hooke. Logo, o 
trecho OP do diagrama é representado por: 
 
σ = E ε 
 
Onde: 
σ é a tensão normal (N/m2); 
E é o módulo de elasticidade do material (N/m2) e representa a 
tangente do ângulo que a reta OP forma com o eixo ε; 
ε é a deformação linear (adimensional). 
σ
ε
P
 
 
3.5.3. Módulo de elasticidade 
 
A constante E representa o módulo de elasticidade do material sob tração e também pode ser chamada 
de Módulo de Young. Tabelas com os módulos de elasticidade de diferentes materiais podem ser 
obtidas em manuais ou livros de engenharia. 
 
3.5.4. Propriedades mecânicas 
 
A análise dos diagramas tensão x deformação permite caracterizar diversas propriedades do material: 
 
Limite de proporcionalidade: A tensão correspondente ao ponto P recebe o nome de limite de 
proporcionalidade e representa o valor máximo da tensão abaixo da qual o material obedece a Lei de 
Hooke. Para um material frágil, não existe limite de proporcionalidade (o diagrama não apresenta parte 
reta). 
 
Limite de elasticidade: Muito próximo a P, existe um ponto na curva tensão x deformação ao qual 
corresponde o limite de elasticidade; representa a tensão máxima que pode ser aplicada à barra sem 
que apareçam deformações residuais ou permanentes após a retirada integral da carga externa. Para 
muitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e proporcionalidade são praticamente iguais, 
sendo usados como sinônimos. 
 
Região elástica: O trecho da curva 
compreendido entre a origem e o limite de 
proporcionalidade recebe o nome de região 
elástica. 
 
Região plástica: O trecho da curva entre o 
limite de proporcionalidade e o ponto de 
ruptura do material; é chamado de região 
plástica. 
ε
σ
Região 
Elástica
Região 
Plástica
 
 
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Limite de escoamento: A tensão correspondente ao ponto Y 
tem o nome de limite de escoamento. A partir deste ponto, 
aumentam as deformações sem que se altere praticamente 
o valor da tensão. Quando se atinge o limite de 
escoamento, diz-se que o material passa a escoar-se. 
 
Limite de resistência (ou resistência à tração): A tensão 
correspondente ao ponto U recebe o nome de limite de 
resistência. 
 
Limite de ruptura: A tensão correspondente ao ponto R 
recebe o nome de limite de ruptura (ocorre a ruptura do 
corpo de prova). 
σ
ε
P
Y
U
R
 
 
Tensão admissível: Obtém-se a tensão admissível dividindo-se a tensão correspondente ao limite de 
resistência ou atensão correspondente ao limite de escoamento por um número, maior do que a unidade 
(1), denominado coeficiente de segurança. A fixação do coeficiente de segurança é feita nas normas de 
cálculo ou, às vezes, pelo próprio calculista, baseado em experiência própria. 
 
σadm = σres/s 
σadm = σesc/s 
 
Limite de escoamento de materiais frágeis: 
Denomina-se agora o limite de escoamento como 
a tensão que corresponde a uma deformação 
permanente, pré-fixada, depois do 
descarregamento do corpo de prova. Fixa-se ε1, 
traça-se a reta tangente à curva partindo da 
origem, traça-se uma reta paralela à tangente 
passando por O’; sua interseção com a curva 
determina o ponto Y que corresponde ao limite 
de escoamento procurado. 
0 0’
Y
εε1
σ
 
 
Coeficiente de Poisson: a relação entre a 
deformação transversal e a longitudinal verificada 
em barras tracionadas recebe o nome de 
coeficiente de Poisson (ν). Para diversos metais, 
o coeficiente de Poisson varia entre 0,25 e 0,35. 
 
ν = deformação específica transversal / 
deformação específica longitudinal 
 
ν = εy / εx ou ν = εz / εx 
Yx
Yy
Yz
P 
 
3.5.5. Forma geral da Lei de Hooke 
 
Considerou-se, anteriormente, o caso particular da Lei de Hooke aplicável ao caso simples de solicitação 
axial. No caso mais geral, em que um elemento do material está solicitado por três tensões normais σx, 
σy e σz, perpendiculares entre si, às quais correspondem, respectivamente, as deformações εx, εy e εz, 
a Lei de Hooke se escreve da seguinte forma: 
 
εx = (1/E) [σx – ν (σy + σz)] 
 
εy = (1/E) [σy – ν (σx + σz)] 
 
εz = (1/E) [σz – ν (σx + σy)] 
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3.6. Análise elástica e análise plástica 
 
Tensões e deformações nas regiões plásticas dos materiais são 
freqüentemente permitidas em certas estruturas. Algumas normas 
construtivas permitem que certos membros estruturais sofram 
deformações plásticas e certos componentes de aviões e mísseis são 
projetados deliberadamente para agir na região plástica de modo a se 
obter menores pesos. 
 
Para pequenas deformações plásticas de aços estruturais de baixo e 
médio carbono, a curva de tensão x deformação é normalmente 
representada por duas linhas retas, uma com inclinação definida por 
E, representando a região elástica, outra horizontal, representando a 
região plástica. Tal curva de tensão x deformação representa um, 
assim chamado, material elástico e perfeitamente plástico; não 
levando em consideração deformações plásticas ainda menores que 
ocorrem na região mostrada na porção à direita da curva tensão x 
deformação. 
ε
σ
 
3.7. Classificação dos materiais 
 
O conteúdo que foi apresentado neste capítulo 3 baseia-se na hipótese de que o material satisfaça a 
duas condições, isto é, que seja: 
 
Material homogêneo: 
Com as mesmas propriedades (mesmos E e ν), em todos os seus pontos. 
 
Material isótropo: 
Com as mesmas propriedades, qualquer que seja a direção escolhida, no ponto considerado. Nem todos 
os materiais são isótropos. Se um material não possui qualquer espécie de simetria elástica, ele é 
chamado anisótropo e, à vezes, aelótropo. Em lugar de dias constantes elásticas (E e ν), que definem o 
sólido isótropo que obedece à Lei de Hooke, tal substância terá 21 constantes elásticas. Se o material 
possui três planos de simetria elástica, perpendiculares entre si, ele recebe o nome de ortótropo. Nesse 
caso, o número de constantes independentes é 9. Aqui se consideram somente os materiais isótropos e 
homogêneos que obedecem à Lei de Hooke. 
 
3.8. Exercícios 
 
1) Uma barra de 3 metros de comprimento tem seção transversal retangular de 3 cm x 1 cm. Determinar 
o alongamento produzido pela carga axial de 60N. O módulo de elasticidade do material é de 200000 
N/mm2. 
 
60N 60N
 
 
2) Uma barra de 30 cm de comprimento e diâmetro de 1 cm sofre um alongamento produzido por uma 
carga de 5 toneladas. O módulo de elasticidade do material é de 150000 N/mm2. Determinar o 
alongamento da barra. 
 
5t 5t
 
 
3) Uma barra de 500 mm de comprimento e 16 mm de diâmetro é tracionada por uma carga axial de 12 
kN. O seu comprimento aumenta em 0,3 mm e o seu diâmetro se reduz em 0,0024 mm. Determinar o 
módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material. 
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4. Treliças 
 
 
As treliças são um tipo de estrutura usado em 
engenharia normalmente em projetos de 
pontes e edifícios. Uma treliça é uma estrutura 
composta de barras retas articuladas nas 
juntas. 
 
 
 
Em geral as barras de uma treliça são finas e 
podem suportar pequena carga lateral. Todas 
as cargas são, portanto, aplicadas às juntas e 
não às barras. 
Embora as barras sejam unidas por 
meio de conexões pivotadas ou soldadas, 
costuma-se considerar que as barras são 
unidas através de pinos; logo, as forças que 
atuam em cada extremidade de uma barra 
reduzem-se a uma única força sem nenhum 
momento. 
 
Cada barra pode então, ser tratada como uma barra 
sob a ação de duas forças; e a treliça pode ser 
considerada como um grupo de pinos e barras com 
duas forças. A ação das forças sobre uma barra 
individual pode provocar esforços de tração ou 
compressão. 
 
4.1. Treliças planas 
 
São estruturas constituídas por barras de eixo retilíneo, articuladas entre si em suas extremidades, 
formando malhas triangulares. As articulações (ou juntas) são chamadas de nós. Como as cargas 
externas são aplicadas somente nos nós, as barras das treliças são solicitadas apenas por forças 
normais. 
 
Hipóteses de Cálculo: 
1) As barras que formam a treliça ligam-se por meio de articulações sem atrito. 
2) As cargas e as reações são aplicadas somente nos nós da treliça. 
3) O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulações nas extremidades. 
4) As barras são solicitadas somente por esforço normal. 
 
4.2. Esforços primários e secundários 
 
Sempre que as barras da treliça forem dispostas de modo que os eixos se cruzem em um único ponto, 
os esforços secundários são desprezíveis (por exemplo: a flexão que surge nas barras devido à rigidez 
dos nós). 
 
4.3. Treliças isostáticas 
 
Conhecendo-se os esforços externos ativos, através das equações de equilíbrio da estática, pode-se 
determinar tanto as reações nos apoios quanto as forças normais nas barras. 
 
Condição necessária, mas não suficiente, para que uma treliça seja isostática: 
 
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ECV5645 – Resistência dos Sólidos 27
2n = b + v 
 
Onde: 
n = número de nós na treliça, incluindo os vínculos externos; 
b = número de barras da treliça; 
v = número total de reações dos vínculos externos; 
b + v indica o número de incógnitas do problema. 
 
Logo, a condição necessária é de que o número de equações seja igual ao número de incógnitas. 
Exemplo: 
 
 
 
Enquanto a treliça da esquerda é isostática, a da direita não o é, pois a malha BCFE é deformável 
(hipostática), não tendo condições de permanecer em equilíbrio (a não ser sob carregamentos 
particulares). O trecho ABED é hiperestático. 
Assim, a condição “2n = b + v” é necessária, mas não suficiente, pois além de verificada esta 
condição é preciso que as malhas sejam triangulares. 
 
4.4. Método dos nós 
 
Consiste em determinar as forças atuantes em cada nó da treliça. 
 
4.4.1. Exercícios 
 
Determinar o esforço normal em cada barra das treliças abaixo indicadas: 
 
1) 
 
 
 
2) 
 
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4.5. Método de Ritter 
 
Consiste em cortar a treliça de modo a evidenciar os esforços internos (solicitantes) das barras em que 
se quer determiná-los. O corte deve seccionar no máximo três barras da treliça (número de incógnitas a 
determinar). 
 
4.5.1. Exercícios1) Determinar o esforço normal em cada barra da treliça abaixo indicada: 
 
 
 
2) Determinar o diâmetro das barras da treliça do exercício anterior. A tensão admissível do material à 
tração é de 210 N/mm² e à compressão é de 120 N/mm². O módulo de elasticidade do material é de 
210.000 N/mm². 
 
4.6. Lista de exercícios (atividade extra-classe) 
 
Determinar o esforço normal em cada barra das treliças abaixo indicadas, especificando se o esforço é 
de compressão ou tração. 
 
 
1) 
 
2) 
 
 
 
3 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
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5) 
 
6) 
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5. Cisalhamento simples 
 
Força cortante Q é uma força que atua no plano de uma seção transversal. A força cortante provoca, em 
cada ponto da seção, o aparecimento de uma tensão tangencial denominada tensão de cisalhamento, 
representada pela letra grega τ (tau). 
 
τ = Q/A 
 
Onde: 
τ é a tensão de cisalhamento (N/m2); 
Q é a força cortante aplicada na seção transversal 
(N); 
A é a área da seção transversal (m2). 
 
Com relação à distribuição das tensões de cisalhamento, admite-se, com precisão satisfatória, para os 
fins da prática, a hipótese da distribuição uniforme, segundo a qual, em todos os pontos da seção se 
tenha a mesma tensão média τ. 
 
5.1. Deformação no cisalhamento 
 
Considere-se a deformação de um elemento plano retangular, cortado em um corpo onde as forças que 
nele atuam dão origem somente à tensões de cisalhamento. 
 Como não existem tensões normais atuando no elemento, os comprimentos das arestas não se 
alteram com a aplicação das tensões de cisalhamento. No entanto, aparece uma distorção dos ângulos 
inicialmente retos. A variação γ do ângulo A, inicialmente reto, denomina-se distorção e é expressa em 
radianos (adimensional). 
 
 
γ 
τ 
 
 
5.2. Módulo transversal de elasticidade 
 
Desde que o material obedeça à Lei de Hooke, há proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e a 
distorção. A constante de proporcionalidade é chamada de módulo transversal de elasticidade e 
designada pela letra G. 
 
Na tração tínhamos que E = σ/ε 
 
No cisalhamento teremos: G = τ/γ 
 
A determinação experimental de G pela região de proporcionalidade entre τ e γ é feita através de 
diagramas tensão x deformação para cisalhamento. Esses diagramas são semelhantes àqueles obtidos 
em ensaios de tração. Todavia, valores tais como tensão de escoamento, limite de resistência, etc para 
um determinado material, dão em torno da metade dos valores obtidos no ensaio de tração desse 
mesmo material. 
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5.3. Exercícios 
 
1) Um bloco retangular é feito de material que tem módulo de elasticidade transversal de 600 MPa. O 
bloco é colado a duas placas horizontais rígidas. A placa inferior é fixa e a superior é submetida à uma 
força P. Sabendo-se que a placa superior se move 0,8 mm sob a ação da força, determine: (a) a 
deformação de cisalhamento no material, (b) a força P que atua na placa superior. 
 
 
 
2) Na ligação rebitada abaixo atua um carregamento axial de 20 kN. Determine a tensão de 
cisalhamento no pino, sabendo-se que o mesmo tem um diâmetro de 1 cm. 
 
 
 
5.4. Ligações soldadas 
 
Para o caso da ligação soldada indicada na figura abaixo, a área que resiste ao cisalhamento é dada por 
A = 2.b.l (pois tem-se solda nos dois lados); b = 
2
e (a ser deduzido em aula). 
 
 
5.5. Ligações rebitadas 
 
A união de duas chapas por meio de rebites pode ser feita de três maneiras. 
 
5.5.1. Ligação com simples superposição 
 
Cada rebite proporciona uma seção resistente. 
 
 
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5.5.2. Ligação com uma chapa de cobertura 
 
Cada rebite proporciona uma seção resistente. 
 
 
 
5.5.3. Ligação com duas chapas de cobertura 
 
Cada rebite proporciona duas seções resistentes. 
 
 
 
5.6. Ruptura de ligações rebitadas 
 
Os fenômenos que podem provocar o colapso de estruturas rebitadas são os seguintes: 
 
5.6.1. Cisalhamento nos rebites 
 
Para que não ocorra ruptura, a tensão de cisalhamento nos rebites deve ser inferior à tensão admissível 
ao cisalhamento nos rebites (τ ≤ τadm). A tensão de cisalhamento nos rebites é dada por: 
 
τ = Q/A 
 
onde a força cortante Q é igual à carga P e a área A é dada pela área total de seções resistentes dos 
rebites. 
 
5.6.2. Compressão nas paredes dos furos 
 
Para que não ocorra ruptura, a tensão de compressão nas paredes dos furos deve ser inferior à tensão 
admissível à compressão (σc ≤ σadmc). A compressão exercida pelo rebite na parede tem distribuição 
não uniforme e atua num semicírculo de altura “e” e diâmetro “d”. A tensão de compressão nas paredes 
dos furos é dada por: 
 
σc = A.n
P 
 
onde: 
n é o número de rebites; 
A é a área resistente à compressão; Para ficar a favor da segurança, normas recomendam que se adote 
A = d.e, sendo “e” a espessura da chapa em condições mais desfavoráveis. 
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5.6.3. Espaçamento mínimo entre rebites 
 
Para evitar a possibilidade de ruptura da chapa entre os furos, a ABNT recomenda que sejam adotados 
os espaçamentos indicados na figura abaixo (“d” representa o diâmetro dos furos). 
 
 
 
5.6.4. Tração nas chapas 
 
Ao se fazerem furos para colocação dos rebites, a área resistente à tração fica reduzida. Logo, para que 
não ocorra ruptura por tração, a tensão de tração deve ser inferior à tensão admissível à tração (σt ≤ 
σadmt). A tensão de tração nas chapas será dada por: 
 
σt = A
P 
 
A representa a área da seção transversal da chapa descontadas as áreas dos furos. 
 
 
 
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5.7. Exercícios 
 
1) Projetar a ligação com duas chapas de cobertura com rebites de diâmetro de 1,6cm e carga P de 300 
kN. 
 
 
2) As chapas soldadas da figura abaixo têm espessura de 1,60cm. Qual o valor máximo de P se na solda 
usada a máxima tensão admissível ao cisalhamento da solda usada é de 80 MPa. 
 
 
 
3) As chapas soldadas da figura abaixo têm espessura de 2,50 cm. Qual a tensão máxima de 
cisalhamento quando a carga P for de 480 kN. 
 
 
 
4) Dimensionar as ligações em A e em B, colocando um parafuso por ligação com uma seção resistente. 
A tensão admissível ao cisalhamento é de 80 MPa. 
 
 
 
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5) Verificar se a ligação rebitada abaixo foi dimensionada corretamente. Dados: 
 
τadm = 120 MPa 
σadmc = 250 MPa 
σadmt = 180 MPa 
P = 100 kN 
d = 1,27 cm 
 
 
 
5.8. Lista de exercícios (atividade extra-classe) 
 
1. Considere um pino de aço de 10 mm de diâmetro sujeito à força de tração de 10 kN. Calcule a tensão 
de cisalhamento na cabeça do pino admitindo que a seção resistente seja uma superfície cilíndrica de 
mesmo diâmetro que o pino. (Resposta: 40 MPa). 
 
 
 
2. Emprega-se um rebite de 20 mm de diâmetro para ligar duas chapas de aço sujeitas a uma carga P 
de 20 kN. Determine a tensão de cisalhamento no rebite. (Resposta: 64 MPa). 
 
 
 
3. Determine a força de tração admissível P para a ligação soldada abaixo, sabendo-se que a tensão 
admissível ao cisalhamento é de 80 MPa. (Resposta: 265 kN). 
 
 
 
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4. Determine a tensão de cisalhamento nos 2 rebites da estrutura abaixo sabendo-se que o diâmetro dos 
mesmos é de 20 mm. (Resposta: 80 MPa). 
 
 
 
5. Calcular a tensão de cisalhamento da junta colada abaixo. (Resposta: 7,5 MPa). 
 
 
 
6. Verifique se a ligação rebitada abaixo foi projetada corretamente. 
 
Dados: 
τadm = 100 MPa 
σadm comp = 180MPa 
σadm trac = 150 MPa 
P = 40 kN 
drebites = 1,27 cm 
(Resposta: Sim) 
 
 
 
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6. Propriedades geométricas de superfícies planas 
 
6.1. Momento estático e baricentro 
 
 
Momento estático de um elemento de uma superfície plana em 
relação a um eixo é o produto da área do elemento pela sua 
distância ao eixo considerado. Logo: 
 
O momento estático do elemento em relação ao eixo x será: 
Q’x = y dA 
 
O momento estático do elemento em relação ao eixo y será: 
Q’y = x dA 
 
Momento estático de uma superfície plana em relação a um eixo é a soma dos momentos estáticos, em 
relação ao mesmo eixo, dos elementos que a constituem. Logo: 
 
O momento estático da superfície em relação ao eixo x será: 
∫∫ == AA xx ydA'QQ 
 
O momento estático da superfície em relação ao eixo y será: 
∫∫ == AA yy xdA'QQ 
 
Momento estático é uma grandeza escalar com dimensão Q = l³, podendo ser positivo, negativo ou nulo. 
 
6.1.1. Exercício 
 
1) Determinar os momentos estáticos do retângulo abaixo em relação aos eixos x e y. 
 
 
 
6.2. Centro de gravidade (baricentro) 
 
 
Sendo CG o centro de gravidade de uma superfície plana de área A definido 
pelo par ordenado ( x , y ) tem-se as seguintes expressões: 
AyQx = e Axy =Q 
que exprimem o chamado teorema dos momentos estáticos e possibilitam 
determinar o centro de gravidade da superfície plana, ou seja: 
A
Q
x y= e 
A
Qy x= 
 
Logo: 
A
xdA
x A∫= e 
A
ydA
y A∫= 
 
 
 
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ECV5645 – Resistência dos Sólidos 38
6.2.1. Propriedades do centro de gravidade 
 
• O momento estático de uma superfície em relação a qualquer eixo baricêntrico (que passe pelo 
CG) é nulo. 
• Se existe um eixo de simetria na peça, então o CG está contido neste eixo. 
 
6.2.2. Exercícios 
 
1) Determinar as coordenadas do CG do retângulo abaixo. 
 
 
 
2) Determinar as coordenadas do CG do triângulo abaixo. 
 
 
 
6.3. Momento estático e centro de gravidade de áreas compostas 
 
Qualquer polígono pode ser decomposto em retângulos ou triângulos, cujos CGs podem ser facilmente 
determinados. 
 
=
 
 
Para a figura acima, os momentos estáticos em relação aos eixos x e y poderão ser determinados da 
seguinte forma: 
 
∑
=
=++=
n
0i
ii332211x AyAyAyAyQ 
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∑
=
=++=
n
0i
ii332211y AxAxAxAxQ 
 
6.3.1. Exercícios 
 
Determinar as coordenadas do CG das figuras abaixo: 
 
1) 
 
2) 
 
3) 
 
6.4. Momento de inércia 
 
Momento de inércia (ou inércia rotacional) é uma medida da resistência que um corpo oferece a uma 
mudança em seu movimento de rotação em torno de um dado eixo. 
 
6.4.1. Momento de inércia de um elemento 
 
 
O momento de inércia de um elemento de uma superfície plana em relação a 
um eixo qualquer é o produto da área do elemento pelo quadrado de sua 
distância ao eixo considerado. 
 
O momento de inércia do elemento em relação ao eixo x será: 
I’x = y2 dA 
 
O momento de inércia do elemento em relação ao eixo y será: 
I’y = x2 dA 
 
Por analogia, o momento de inércia de um elemento em relação ao ponto “o” (origem do sistema de 
eixos) será: 
 
I’o = r2 dA 
 
Como r2 = x2 + y2, tem-se: 
 
I’o = (x2 + y2) dA = x2 dA + y2 dA = I’x + I’y 
 
O produto de inércia de um elemento em relação a um par de eixos é o produto da área do elemento 
pelos eixos considerados. 
 
I’xy = x y dA 
 
6.4.2. Momento de inércia de uma superfície 
 
O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo é a soma dos momentos de 
inércia dos elementos que a constituem, em relação ao mesmo eixo. 
 
O momento de inércia da superfície em relação ao eixo x será: 
 
∫∫ == A 2A xx dAy'II 
 
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O momento de inércia da superfície em relação ao eixo y será: 
∫∫ == A 2A yy dAx'II 
 
Por analogia, o momento de inércia de um elemento em relação ao ponto “o” (origem do sistema de 
eixos) será: 
 
xy
A
2
A
222
A
2
A
oo IIdAydAxdA)yx(dAr'II +=+=+=== ∫∫∫∫∫ 
 
Por analogia, o produto de inércia de uma superfície em relação a um par de eixos x e y será: 
 
∫∫ == AA xyxy xydA'II 
 
6.4.3. Raio de giração 
 
O raio de giração de uma área A em relação ao eixo x é definido pela grandeza rx que satisfaz a relação: 
 
ArI 2xx = 
 
Portanto: 
 
A
Ir xx = 
 
De maneira análoga, tem-se 
 
A
I
r yy = 
 
A
Ir oo = 
 
6.4.4. Propriedades 
 
• Momentos de inércia são grandezas escalares com dimensão I = l4 e são positivos. 
• Produtos de inércia são grandezas escalares com dimensão I = l4 e podem ser positivos, 
negativos ou nulos. 
• Se o produto de inércia em relação a um par de eixos for nulo, os eixos serão chamados 
conjugados. 
• Sempre que existir pelo menos um eixo de simetria o produto de inércia em relação a este par de 
eixos será 0 (zero). 
 
6.4.5. Exercícios 
 
1) Determinar o momento de inércia de um retângulo de base b e altura h em relação a um eixo que 
passe pela sua base. 
 
 
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2) Determinar o momento de inércia de um retângulo de base b e altura h em relação a um eixo que 
passe pelo CG. 
 
 
 
3) Determinar o produto de inércia de um retângulo de base b e altura h em relação aos eixos x e y e 
também em relação aos eixos que passam pelo CG. 
 
 
 
6.4.6. Teorema de Steiner 
 
 
O teorema de Steiner, também conhecido como teorema dos eixos paralelos, 
é utilizado para determinar o momento de inércia de superfícies em relação a 
eixos que não tocam a mesma. 
 
Já sabemos que: 
 
∫∫ == A 2A xx dAy'II 
 
Portanto, o momento de inércia da superfície plana de área A em relação ao eixo x’ será: 
 
∫∫∫∫∫ ++=++=+= A 2AA 2A 22A 2'x dAyydAy2dAydA)yyy2y(dA)yy(I 
 
Analisando-se as três integrais, temos que: 
 
1) A primeira integral pode ser facilmente resolvida: 
 
AydAydAy 2
A
2
A
2 == ∫∫ 
 
2) A segunda integral representa o momento estático Qx da área A em relação ao eixo x. Este momento 
estático é nulo, uma vez que o eixo x passa pelo CG. 
 
0Qy2ydAy2dAyy2 x
AA
=== ∫∫ 
 
3) A terceira integral representa Ix. 
 
Logo: AyI 2x'x +=I 
 
Por analogia: 
 
AxII 2y'y += 
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xyAII xy'y'x += 
 
Exemplo: Sabendo-se que para um retângulo Ix = b.h³ / 12 (eixo passando pelo eixo de gravidade – x é o 
eixo que passa pelo C.G.) determine o seu momento de inércia em relação a um eixo que passe pela 
sua base. 
 
6.4.7. Exercícios 
 
1) Determinar o momento de inércia de um triângulo de base b e altura h em relação a um eixo que 
passa pela sua base. 
 
 
2) Aplicando o teorema de Steiner, determine o momento de inércia em relação ao eixo baricêntrico para 
o triângulo do exercício anterior. 
 
 
 
6.4.8. Momento de inércia de áreas compostas 
 
O momento de inércia de uma superfície complexa é a soma dos momentos de inércia das diversas 
superfícies que a compõe. 
 
6.4.9. Exercícios 
 
Calcular o momento de inércia das seções abaixo em relação ao eixo baricêntrico. 
 
1) 
 
2) 
 
 
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6.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe) 
 
1) 
 
2) 
 
 
3) 
 
4) 
 
5) 
 
6) 
 
 
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7. Flexão simples 
 
No estudo da flexão simples serão analisadas as tensões internas decorrentes de momentos fletores. 
Para isso, analisemos as seguintes imagens: 
 
 
 
 
 
 
 
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Supondo uma viga biapoiada com um carregamento qualquer e um momento fletor Mx conhecido na 
seção S e isolando-se a zona à esquerda de S tem-se: 
 
 
 ∆ 
 
 
Na seção transversal, x e y são eixos principais de inércia (passando pelo centro de gravidade). 
Supondo que a seção S, plana antes da atuação do momento Mx, continuará plana após a atuação 
deste momento, então a seção S antes da atuação de Mx, passará para a posição S’ após a atuação de 
Mx. Analisando uma fibra genérica “f” na parte inferior da viga, observa-se que o seu alongamento é 
proporcional à coordenada y e independe da coordenada x. Logo, as tensões normais causadas por Mx 
nos diversos pontos da seção S têm distribuição linear ao longo de y e independentes de x. Assim, o 
diagrama de tensões será: 
 
σ σ
σ 
 
De acordo com o exposto é possível admitir uma lei de variação das tensões normais nos diversos 
pontos da seção. Tal lei é σ = c.y , onde c é uma constante não nula. Como as tensões normais são 
provocadas pelo momento Mx, o momento resultante das tensões em relação ao eixo x deve ser o 
próprio Mx. Logo: 
 
M = F d = σ A d 
 
No nosso caso temos: 
 
 
dAyccyydAydAσM
A
2
AA
x ∫∫∫ === 
 
Como já sabemos que , teremos: x
A
2 IdAy =∫
 
x
A
2
x cIdAycM == ∫ 
 
Portanto, a constante c será dada por: 
 
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x
x
I
Mc = 
 
Assim, a tensão normal será dada por: 
 
y
I
M
σ
x
x= [N/m2] 
 
Pode-se fazer também: 
 
w
M
σ x= 
 
onde 
y
Iw x= é chamado de módulo de resistência à flexão [m3]. 
 
7.1. Projeto de vigas 
 
O projeto de vigas de seção constante e material homogêneo segue os seguintes passos: 
a) Calcular o momento fletor máximo; 
b) Verificar as tensões máximas de tração e compressão em função do momento; 
c) Comparar as tensões máximas de tração e compressão com as tensões admissíveis do material; 
d) Calcular as dimensões da seção transversal. 
 
7.2. Verificação de vigas 
 
Em um problema de verificação deve-se calcular o coeficiente de segurança seguindo os seguintes 
passos: 
a) Calcular o momento fletor máximo; 
b) Calcular o coeficiente de segurança no ponto em pior situação na seção mais solicitada. 
 
7.3. Exercícios 
 
1) Tem-se uma seção quadrada de lado ‘a’ e uma seção circular de raio R, ambas com mesma área. 
Qual possui maior resistência à flexão? 
 
 
 
2) Uma viga de madeira, com seção transversal de 30 x 40 cm, pesa 75 kgf/m e suporta uma carga 
concentrada de 2000 kgf aplicada na extremidade com sentido de baixo para cima. Determinar as 
máximas tensões de flexão numa seção a 2 m da extremidade livre. 
 
 
 
3) Para o exercício anterior considere L = 6m e determine as tensões de flexão no engaste. 
 
4) Calcule a altura da viga abaixo sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de 5 kN/cm². Adote 
coeficiente de segurança igual a 2. 
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5) Sabendo-se que a tensão de ruptura do material utilizado na viga abaixo é de 500 N/cm², verifique a 
sua resistência à flexão. 
 
 
 
6) Dada a estrutura abaixo, determine a carga máxima que ela suportará. A tensão admissível é de 150 
MPa e Ix = 5140 cm4. 
 
 
 
7) Determinar a seção transversal da viga abaixo (h = 2b). A viga será construída com material dúctil 
com tensão de escoamento igual a 4000 kgf/cm². Adote coeficiente de segurança igual a 2,5. 
 
 
 
8) Considerando que no exercício anterior se adote uma seção transversal triangular, determine a 
dimensão ‘b’ sabendo-se que a tensão de ruptura do material à tração é de 800 kgf/cm2 e à compressão 
é de 1600 kgf/cm2. Adote coeficiente de segurança igual a 3. 
 
 
 
9) Determinar a dimensão ‘b’ da seção transversal da viga abaixo de forma a resistir ao carregamento 
indicado. A tensão de ruptura do material à tração é de 800 kgf/cm2 e à compressão é de 1600 kgf/cm2. 
Adote coeficiente de segurança igual a 3. 
 
 
 
10) Calcular o coeficiente de segurança para a viga abaixo. O material é dúctil com tensão de 
escoamento de 25 kN/cm². 
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11) Verificar a viga abaixo. O material é dúctil com tensão de escoamento de 4000 Kgf/cm². O peso 
próprio do perfil duplo T é 26,3 kgf/m. 
 
 
 
7.4. Lista de exercícios (atividade extra-classe) 
 
1) Utilizando seção transversal retangular com altura igual ao dobro da base (h=2b), determine b e h 
para todas as vigas da lista de exercícios do item 2.2.2. A tensão de ruptura à tração é de 70MPa e à 
compressão é de 90MPa. Utilize coeficiente de segurança 2 para tração e 3,5 para compressão. 
 
2) Utilizando a seção transversal do tipo I dada abaixo, verifique todas as vigas da lista de exercícios do 
item 2.2.2. Material dúctil com tensão de escoamento de 8kN/cm2. 
 
 
 
3) Utilizando a seção transversal do tipo T dada abaixo, verifique todas as vigas da lista de exercícios do 
item 2.2.2. Material frágil com tensão de ruptura à tração de 10kN/cm2 e à compressão de 20kN/cm2. 
 
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8. Flexão composta 
 
No estudo de flexão composta são estudadas colunas submetidas a esforços excêntricos, ou seja, 
aplicados fora do centro de gravidade da seção transversal da estrutura. Para isso, analisemos as 
seguintes imagens: 
 
 
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8.1. Esforço normal excêntrico 
 
Seja o pilar abaixo, submetido a uma carga P cuja direção é a mesma do eixo do pilar. A seção 
transversal é constante e seus eixos principais de inércia são y e z. 
 
 
 
A posição do ponto de aplicação da carga P (ponto A) é determinada pelas distâncias Ly e Lz. 
Transladando P ao baricentro tem-se: 
 
My = P Ly 
Mz = P Lz 
 
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Tem-se então dois sistemas vetorialmente equivalentes. 
a) Carga P aplicada no ponto A. 
b) Carga P aplicada no CG mais o momento My atuando em torno do eixo y e mais o momento Mz 
atuando em torno do eixo z. 
 
Analisando-se a distribuição de tensões através do segundo sistema tem-se: 
 
Seção transversal submetida à carga P: tem-se compressão normal simples. 
 
 
A
P'σ −= 
 
Seção transversal submetida ao momento Mz: O momento fletor Mz provoca tensões normais de tração 
na zona do semi-eixo y negativo e compressão na zona do semi-eixo y positivo. A linha neutra é o eixo z. 
 
 
 
y
I
M''σ
z
z±= 
 
Seção transversal submetida ao momento My: O momento fletor My provoca tensões normais de tração 
na zona do semi-eixo z positivo e compressão na zona do semi-eixo z negativo. A linha neutra é o eixo y. 
 
 
 
z
I
M
'''σ
y
y±= 
 
Por superposição de efeitos tem-se: σ = σ’ + σ’’ + σ’’’ 
σ é a tensão em qualquer ponto da seção transversal. 
 
8.1.1. Exercício 
 
1) Verificar as tensões provocadas nos pontos indicados na seção transversal quando uma carga P é 
posicionada em A. 
 
 
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8.2. Linha neutra 
 
A linha neutra é caracterizada por tensões nulas (σ = 0) 
 
8.2.1. Linha neutra oblíqua 
 
Para Lz ≠ 0 e Ly ≠ 0, a linha neutra é oblíqua em 
relação aos eixos y e z. Neste caso tem-se 
flexão composta oblíqua. 
 
8.2.2. Linha neutra paralela ao eixo y 
 
Para Lz = 0 e Ly ≠ 0, a carga é aplicada em um 
ponto sobre o eixo z e a linha neutra é paralela 
ao eixo y. Neste caso tem-se flexão composta 
normal. 
 
8.2.3. Linha neutra paralela ao eixo z 
 
Para Lz ≠ 0 e Ly = 0, a carga é aplicada em um 
ponto sobre o eixo y e a linha neutra é paralela 
ao eixo z. Neste caso também tem-se flexão 
composta normal. 
 
 
8.3. Núcleo central 
 
Seja uma seção qualquersubmetida a um esforço normal excêntrico. Os eixos y e z são eixos principais 
de inércia. 
 
 
 
 
Para a carga aplicada em P1 a linha neutra é LN1, que neste caso não corta a seção. Só ocorrem 
tensões do mesmo tipo da carga. 
 
Para a carga aplicada em P3 a linha neutra é LN3 e corta a seção. Neste caso, ocorrerão tensões de 
tração e compressão. 
 
Para a carga aplicada em P2, entre P1 e P3, a linha neutra LN2 é tangente à seção transversal. Nesta 
situação todas as tensões são do mesmo tipo da carga. 
 
Portanto, pode-se concluir: 
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Para Ly < z a linha neutra não corta a seção e ocorrem tensões somente de um tipo. 
Para Ly > z a linha neutra corta a seção e ocorrem tensões de dois tipos. 
Para Ly = z a linha neutra é tangente a seção e ocorrem tensões somente de um tipo. 
 
Logo diz-se que P2 é um ponto do contorno do núcleo central da seção. Deslocando-se o ponto de 
aplicação da carga sobre qualquer reta baricêntrica chega-se a uma infinidade de pontos que 
caracterizam o núcleo central. 
 
 
 
Propriedade: se a carga está aplicada no interior ou no contorno do núcleo central, só ocorrerão, na 
seção, tensões normais de um tipo. 
 
8.4. Exercícios 
 
1) Um pilar de seção circular é carregado excentricamente com 2000 kN. Calcular o coeficiente de 
segurança. A tensão de ruptura do material por compressão é de 25 MPa e por tração é de 5 MPa. 
 
 
 
2) Determinar a posição da linha neutra para o pilar do exercício 1. 
 
3) Determinar o núcleo central para o pilar do exercício 1. 
 
4) Determinar as tensões máximas de tração e compressão que ocorrem na seção transversal do pilar 
abaixo. Resposta em MPa. Determinar a posição da linha neutra. 
 
 
 
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5) Determinar o núcleo central de uma seção retangular de dimensões a x b. 
 
 
 
 
8.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe) 
 
1) Calcule o coeficiente de segurança para o pilar abaixo. Material frágil com tensão de ruptura à tração 
de 10 MPa e à compressão de 40 MPa. 
 
 
 
2) Determinar a posição da linha neutra para o pilar comprimido excentricamente. 
 
 
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9. Tensões de cisalhamento em vigas 
 
9.1. Teorema da reciprocidade 
 
As tensões de cisalhamento são recíprocas. 
 
 
 
Fazendo Σ MS = 0 teremos τxy ∆A a - τyx ∆A a = 0 logo τxy = τyx 
 
9.2. Fluxo de cisalhamento 
 
Supõe-se uma viga sujeita à flexão simples, ou seja, com esforços combinados de momento fletor e 
força cortante. 
 
 
 
Sempre que existir uma força cortante diferente de zero, os momentos fletores que ocorrem nas 
diferentes faces de um segmento de viga com comprimento ∆x serão diferentes. 
 
∆ 
 
Logo: MB = MA + ∆M 
 
Fazendo Σ MA = 0, tem-se: 
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MB - MA - V ∆x = 0, ou seja, ∆M - V ∆x = 0 
 
x∆
M∆V = 
 
V
x∆
M∆lim
ox∆
=→ 
 
Logo: 
 
V
dx
dM = 
 
No estudo do problema de cisalhamento causado pela flexão admite-se: 
• A distribuição de tensões causada pela flexão; 
• Vigas com seção transversal simétrica; 
• Cargas aplicadas no eixo de simetria da viga; 
• Requisitos de equilíbrio de força e de momento. 
 
A existência de tensões horizontais de cisalhamento pode ser demonstrada através de um ensaio com 
duas barras retangulares iguais, sobrepostas e submetidas à flexão. Se não existir atrito entre as barras 
haverá deslizamento de uma em relação à outra. Para viga com h = 2 c deverão ocorrer tensões de 
cisalhamento ao longo de plano neutro para impedir o deslizamento. 
 
 
 
Para se obter a distribuição de tensões de cisalhamento ao longo da altura da viga, verifica-se o 
equilíbrio de um elemento infinitesimal de viga. Consideremos uma seção transversal retangular 
constituída de várias pranchas e sujeita a uma força cortante. 
 
 
 
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A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
 
 
 
As tensões normais variam linearmente com y, ou seja: 
 
y
I
M
σ = 
 
Na área elementar dA da face B, a força FB será: 
 
∫∫∫ ===
abcd
B
abcd
B
abcd
B ydAI
MydA
I
MdAσF 
 
Já sabemos que representa o momento estático da superfície abcd, portanto, teremos: ∫
abcd
ydA
 
abcd
B
B QI
MF = 
 
Para a face A, teremos: 
 
abcd
A
abcd
A
abcd
A
abcd
A QI
MydA
I
MydA
I
MdAσF ==== ∫∫∫ 
 
Fazendo a diferença entre as duas forças, obtemos: 
 
( )
I
QMMQ
I
MQ
I
MFF abcdABabcdAabcdBAB −=−=− 
 
Também podemos escrever: 
 
I
QdMdF abcd= 
 
Dividindo-se a equação acima por dx, tem-se: 
 
I
QV
I
Q
dx
dM
dx
dF abcdabcd == 
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Chamando == q
dx
dF fluxo de cisalhamento, tem-se: 
 
I
VQq = [N/m] 
 
onde: 
 
q é o fluxo de cisalhamento (N/m); 
V é o esforço cortante (N); 
Q é o momento estático (m3); 
I é o momento de inércia (m4). 
 
9.3. Variação das tensões de cisalhamento 
 
Se q
dx
dF = ou q
x∆
F∆ = então x∆qF∆ =
 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
∆ 
σ
∆ 
 
 
Assim 
τmed b
q
x∆b
x∆q
x∆b
F∆
A∆
F∆ ==== 
 
τmed Ib
VQ= [N/m2] 
 
Para verificar a variação da tensão de cisalhamento (τ) com y1 deve-se analisar a variação do momento 
estático (Q) com y1, pois o esforço constante (V), o momento de inércia (I) e a base da viga b são 
constantes. 
 



 −=

 

 −+

 −=== 21
2
111abcd y4
h
2
by
2
h
2
1yy
2
hbyAyAQ 
 
Logo τ 


 −=


 −= 21
2
2
1
2
y
4
h
I2
Vy
4
h
2
b
Ib
V 
 
Para 
2
hy1 ±= teremos τ = 0 
 
Para teremos τ 0y1 = A2
V3
3
bh2
V
12
bh8
Vh
I8
Vh
3
22
==== = máxima tensão de cisalhamento. 
 
Também pode-se fazer essa verificação sabendo-se que a tensão de cisalhamento (τ) será máxima 
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quando o momento estático (Qabcd) for máximo, ou seja, na seção sobre a linha neutra (y1 = 0). 
 
8
bh
4
h
2
hbyAQ
2
=== 
 
τ 
A2
V3
b
12
bh
8
bhV
Ib
VQ
3
2
=== 
 
τ 
τ 
τ τ 
τ 
τ 
 
 
A forma de distribuição das tensões de cisalhamento dependerá da forma da seção transversal. Para 
uma seção duplo T, teremos: 
 
 
 
Na prática, considera-se que todo esforço cortante em seções I ou T é absorvido pela alma, e que uma 
boa aproximação do valor máximo da tensão de cisalhamento é dado pela divisão do esforço cortante 
(V) pela área da seção transversal da alma (A). 
 
9.4. Exercícios 
 
1) Calcular as tensões de cisalhamento nas posições indicadas na seção transversal para uma força 
cortante de 10 tf, sendo a seção constante ao longo da peça. Resposta em kgf/cm2. 
 
 
 
2) Calcular as tensões de cisalhamento nas posições indicadas na viga T. Força cortante igual a 10 tf. 
Resposta em kgf/cm2. 
Prof. Enedir Ghisi 
ECV5645 – Resistência dos Sólidos 60
 
 
3) Sabendo-se que as peças da viga de madeira abaixo são unidas por pregos espaçados a cada 2,5 cm 
e que a viga está submetida a uma força cortante de 500 N, determine a força cortante em cada prego. 
 
 
 
4)