Fundamentos do escoamento dos fluidos

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1111 Fundamentos do escoamento dos fluidosFundamentos do escoamento dos fluidosFundamentos do escoamento dos fluidosFundamentos do escoamento dos fluidos
1.11.11.11.1 ConceitosConceitosConceitosConceitos 
Escoamento → mudança contínua na forma do fluido sob a ação 
de um esforço tangencial.
Fluidez → capacidade de escoar, característica dos fluidos.
Cinemática → estuda o movimento dos fluidos em termos dos 
deslocamentos, velocidades e acelerações, sem considerar suas 
causas, isto é, as forças que os produzem.
1.21.21.21.2 Métodos de estudoMétodos de estudoMétodos de estudoMétodos de estudo
a) Lagrangeano 
acompanhando-a em sua trajetória
se com a partícula (Joseph Louis Lagrange);
b) Euleriano →→→→ adota
volume de controle (V.C.) no espaço e consideram
partículas que atravessam este local (Leonhard Euler).
Obs.: Volume de controle (VC) é um volume fixo no espaço, de 
paredes imaginárias ou não, que permite a passagem, através de 
sua superfície externa, de massa, energia, quantidade de 
movimento e demais quantidades associadas ao escoamento.
Figura 
Em Engenharia não há interesse no comportamento individual 
da partícula e sim no comportamento do conjunto das partículas 
no processo de escoamento, utilizando
maioria dos seus estudos, o
Fundamentos do escoamento dos fluidosFundamentos do escoamento dos fluidosFundamentos do escoamento dos fluidosFundamentos do escoamento dos fluidos 
mudança contínua na forma do fluido sob a ação 
de um esforço tangencial. 
capacidade de escoar, característica dos fluidos.
estuda o movimento dos fluidos em termos dos 
deslocamentos, velocidades e acelerações, sem considerar suas 
causas, isto é, as forças que os produzem. 
Métodos de estudoMétodos de estudoMétodos de estudoMétodos de estudo 
 →→→→ descreve o movimento da partícula 
a em sua trajetória total. O observador desloca
se com a partícula (Joseph Louis Lagrange); 
adota-se um intervalo de tempo, escolhe
volume de controle (V.C.) no espaço e consideram
partículas que atravessam este local (Leonhard Euler).
Volume de controle (VC) é um volume fixo no espaço, de 
paredes imaginárias ou não, que permite a passagem, através de 
sua superfície externa, de massa, energia, quantidade de 
movimento e demais quantidades associadas ao escoamento.
 
Figura 5 – Volume de controle (a) e sistema (b)
Em Engenharia não há interesse no comportamento individual 
da partícula e sim no comportamento do conjunto das partículas 
no processo de escoamento, utilizando-se, portanto, para a 
maioria dos seus estudos, o método Euleriano. 
a b
Cinemática 
1 
mudança contínua na forma do fluido sob a ação 
capacidade de escoar, característica dos fluidos. 
estuda o movimento dos fluidos em termos dos 
deslocamentos, velocidades e acelerações, sem considerar suas 
descreve o movimento da partícula 
total. O observador desloca-
se um intervalo de tempo, escolhe-se um 
volume de controle (V.C.) no espaço e consideram-se todas as 
partículas que atravessam este local (Leonhard Euler). 
Volume de controle (VC) é um volume fixo no espaço, de 
paredes imaginárias ou não, que permite a passagem, através de 
sua superfície externa, de massa, energia, quantidade de 
movimento e demais quantidades associadas ao escoamento. 
 
Volume de controle (a) e sistema (b) 
Em Engenharia não há interesse no comportamento individual 
da partícula e sim no comportamento do conjunto das partículas 
se, portanto, para a 
Cinemática 
2 
 
2222 Conceito de vazãoConceito de vazãoConceito de vazãoConceito de vazão 
Tomando-se um tubo de corrente onde: 
- dA é a seção transversal da linha de corrente infinitesimal; 
- v é a velocidade do fluido ao passar pela seção dA. 
 
Figura 6 – Tubo de corrente 
Pode-se definir: 
a) Vazão em massa (dQM) – quantidade de massa fluida que 
atravessa a seção dA na unidade de tempo: 
��� = ����																																[��
� ∙
� ∙ 
� =
��
� = ����] 
 
b) Vazão em volume (dQ) – volume de fluido que atravessa a 
seção dA na unidade de tempo: 
�� = ���																																								[
� ∙ 
� =
�
� = �����] 
 
Para uma seção transversal de uma linha de corrente de área 
transversal A: 
�� = � ��� = � ����												�													� = � ��� = � ������ 
 
Integrando-se as equações: 
�� = ���															�														� = �� 
 
Cinemática 
3 
 
Em que: 
- ρ é a massa específica do fluido em escoamento (kg/m³); 
- U é a velocidade média do escoamento (m/s); 
- A é a área transversal ao escoamento (m²). 
Para fluidos incompressíveis (ρ=constante), pode-se tratar de 
vazões tanto mássicas quanto volumétricas. 
Para fluidos compressíveis (ρ=f(p,T,t...)), gases em geral, trata-se 
apenas de vazões mássicas. 
 
3333 Equação da continuidade ou da conservação da massaEquação da continuidade ou da conservação da massaEquação da continuidade ou da conservação da massaEquação da continuidade ou da conservação da massa 
Tomando-se um volume de controle unidimensional: 
 
Figura 7 – Estudo da equação da continuidade 
Considera-se assim a variação do fluxo de massa (�
� ) no interior 
de um V.C. considerado: 
∆
� = ∆��∀� ! = � ������ − � �������#�$
 
Num escoamento permanente as propriedades não variam com o 
tempo, portanto: 
∆
� = 0 
� ������ = � �������#�$
 
Considerando um fluido incompressível, ρ=constante: 
Cinemática 
4 
 
� ���� = � �����#�$ 
Multiplicando e dividindo cada termo da equação acima pela 
área correspondente: 
�� & 1��� �����$ ( = �� &
1
��� �����# ( 
 
Chamando de velocidade média do fluido em cada ponto: 
�� = 1��� �����$ 														�										�� =
1
��� �����# 
 
Obtém-se ,de forma clara, a equação da continuidade: 
 
���� = ���� 
 
 
Por meio desta equação podemos verificar: 
 
Figura 8 – Verificando a equação da continuidade (http://www.alunosonline.com.br) 
 
Se o diâmetro no ponto 2 é menor que no ponto 1, D
2
<D
1
, a área 
do escoamento no ponto 2 (A
2
) é menor que a área do escoamento 
no ponto 1 (A
1
), e, para uma vazão constante, obrigatoriamente 
a velocidade do escoamento deve aumentar, isto é, U
2
>U
1
. 
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOS 
Cinemática 
5 
 
4444 Equação de Bernoulli para fluidos ideais (Equação de Bernoulli para fluidos ideais (Equação de Bernoulli para fluidos ideais (Equação de Bernoulli para fluidos ideais (µµµµ=0)=0)=0)=0) 
 
Figura 9 – Dedução da equação de Bernoulli 
Considerando, na figura 9: 
- ) – ângulo entre a força peso (d*) e a perpendicular ao 
comprimento diferencial do tubo de corrente (dL). 
- o fluido se encontra em movimento unidimensional, portanto, 
pela 2ª lei de Newton, +F=ma. 
,�� − �, + �,!�� − �*��.) = ,�� − ,�� − �,�� − 	�*��.) = 
/ 
−�,�� − 	�*��.) = 
/ 
 
Lembrando que: 
� = �
�∀ 				 ∴ 				�
 = ��∀= ����� 
/ = ���� 
�* = ��
�! = ��
 = ������ = 1���� 
��.) = �2�� 				 ∴ 				�2 = ��.)�� 
 
Substituindo os itens acima na expressão anteriormente obtida: 
−�,�� − 1������.) = ,���� ���� 
Cinemática 
6 
 
−�,�� − 1���2 − ����� ���� = 0 
Dividindo por dA e chamando dL/dt=v: 
−�, − 1�2 − ���� = 0 
 
Multiplicando por (-1), dividindo por 1=�g e rearranjando: 
�2 + �,1 +
1
� ��� = 0 
 
Integrando esta equação: 
2 + ,1 +
��
2� = 4										5/.6�7	8�9.:;776	�
	1738 
Em que: 
- H é a carga do sistema, isto é, a energia total por unidade de 
peso do fluido (m); 
- z é a carga de posição ou altimétrica (m); 
- p/1 é a carga de pressão ou piezométrica (m); 
- v²/2g é a carga de velocidade, cinética ou taquicarga (m). 
Para um fluido ideal, ondea viscosidade é considerada zero 
(?=0) e, portanto, não há atrito (perdas de energia) entre as 
partículas em movimento, a carga total do sistema não varia: 
4� = 4� 
2� + ,�1 +
���2� = 2� +
,�1 +
���2� 
 
E o plano de carga efetivo (PCE) para esta situação apresenta-se 
na figura 10, para uma tubulação de diâmetro único 
(U=constante) e na figura 11, para uma tubulação com 
diâmetros variando ao longo do percurso. 
Cinemática 
7 
 
 
Figura 10 – Plano de carga efetivo para um sistema com tubulação de diâmetro único 
 
Figura 11 – Plano de carga efetivo para um sistema com tubulações de 
diâmetros variados 
Observa-se na figura 11 que, quando há redução no diâmetro da 
tubulação, há um aumento na carga de velocidade e, em 
contrapartida, quando há um aumento no diâmetro da 
Cinemática 
8 
 
tubulação, há uma consequente redução na carga de velocidade. 
As variações nas cargas de velocidade só acontecem nas 
mudanças de diâmetro. 
Já as variações das cargas de posição e de pressão se apresentam 
como no plano estático, isto é, quando a carga de posição 
aumenta, a carga de pressão diminui, mantendo-se a velocidade 
constante. E quando a carga de posição diminui, a carga de 
pressão aumenta, mantendo-se a velocidade constante. 
• Trecho do ponto 2 – diâmetro D1, velocidade U1; 
• Trecho do ponto 3 – diâmetro D2<D1, velocidade U2>U1; 
• Trecho do ponto 4 – diâmetro D3>D2, velocidade U3<U2; 
• Trecho do ponto 5 – diâmetro D5>D4, velocidade U5<U4. 
 
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