Aula 03 momento de forca ou torque2

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Professor: Dr. Cristian Bernardi
Semestre 2011_2
Momento de forças ou Torque 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Exemplos
1-
M = F. d
40 = F . 0,22
F= 40/0,22 = 181,8 N
?
Obs: cuidado com as unidades, 40N.m , e distancia estava em cm
tem que passar para metro.
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
40 N
Lembrando que o momento
resultante no ponto o é a soma
do momento de todas as forças
envolvidas.
mNdFM .1002.50. 
Resolução
Para força de 50 N Momento horário então ele é negativo 
Para força de 60 N 
mNdFM .00.60. 
Para força de 20 N 
d msenddsen 5,130.3
3
30 
Primeiro temos que achar a distancia d
Momento anti-horário então ele é 
positivo 
mNdFM .305,1.20. 
Para força de 40 N 
y myy 6,230cos.3
3
30cos 
md 6,66,222 
mNdFM .2646,6.40. 
Momento horário então ele é negativo 
mNM .334264300100 
Obs: esse sistema tende a rotacionar no sentido horário. 
Exemplo 6
NsenFx
Fx
sen 20030.400
400
30 
Primeiro temos que achar a força na 
direção X e na direção Y.
Fy
Fx
NFy
Fy
4,34630cos.400
400
30cos 
  MyMxMo
mNdFyMy .1384,0.4,346. 
mNdFxMx .402,0.200. 
mNMo .56,9856,13840 
F= 100N F= 100N
Fr= 0 N
Na prática da engenharia, em geral, a carga sobre um corpo pode 
ser representado como um sistema coplanar de forças.
A aplicação, com sucesso, das equações de equilíbrio requer a
especificações completa de todas as forças conhecidas e
desconhecidas que atuam sobre o corpo. A melhor maneira de
considerar essas forças é desenhar o diagrama de corpo livre.
M = F. d
F
cabo
.d
cabo
=F
grifo
.d
grifo
40.0,180 =F.0,03
F=
40.0,180
0,03
= 240N
Exemplo 7
0=ΣM
Para estar em equilíbrio, 
a gangorra tem que estar
parada.
0=)M(+M BA 
P1=30 N
2 m 4 m
A B
MA=MB
F
A
.d
A
=F
B
.d
B
30.2=P. 4
P=
30.2
4
= 15N
Exemplo 8
Calcular a força no bíceps:
ΣM= 0
0=)M(+M abic 
M
bic
=M
a
F
bic
.d
bic
=F
a
.d
a
20.0,34.0,04=Fbic
N==Fbic 170
0,04
20.0,34
Montar um diagrama de forças
0,04m 0,30 m P=20N
Exemplo 9
Reações (forças de vínculo) numa estrutura
 Ações externas conhecidas forças ou qualquer outro 
tipo de ação que cause deformação na estrutura. Exemplos: 
peso do corpo, vento, variação de temperatura, movimento 
do solo sobre o qual a estrutura está apoiada (recalque), 
forças decorrentes do tipo de utilização da estrutura (peso 
de paredes, equipamentos, etc)
 Forças externas desconhecidas reações ou forças de 
vínculos. Através dessas forças o solo e/ou outros corpos 
impedem que a estrutura se translade ou sofra rotação, 
obrigando-a a permanecer na mesma posição. As reações 
ocorrem nos pontos da estrutura onde a mesma é vinculada 
(tem contato) com o solo ou outro corpo.
Reações incógnitas do problema
 Numa estrutura bidimensional, há 3 tipos de vínculos:
1. Apoio móvel (1º gênero) Impede apenas 1 movimento de 
translação (a reação tem linha de ação conhecida). 
Exemplos
Reações (forças de vínculo) numa estrutura
Impedem o 
movimento vertical
Ry Reação: Ry
2. Apoio fixo (2º gênero) Impede a translação em todas as 
direções, mas não impede rotação. (a reação não tem linha de 
ação conhecida). Exemplos
3. Engaste (3º gênero) Impede movimentos de translação e 
rotação
Reações (forças de vínculo) numa estrutura
Impedem o 
movimento vertical e 
horizontal
Ry
Rx
Ry
Rx
Reações: Rx e Ry
Reações: Rx, Ry e 
MZ
Mz
ENGASTAMENTO
Reações (forças de vínculo) numa estrutura
 
 
Representação:
a)Viga em balanço engastada na 
extremidade:
b)Viga bi-apoiada
engaste Apoio 
fixo
Apoio 
móvel
Ry
Rx
RyRy
Rx
M
Exemplo: 
dente Gerber Representa um apoio fixo (uma 
viga está se apoiando na outra)
Outra representação de apoio móvel:
 
A B 
Apoio móvel 
RA 
Representa um apoio móvel 
(rolete confinado entre chapas 
planas)
Exemplos de apoios em estruturas
a)Pontes em viga (entre a viga e o pilar existe um aparelho de apoio)
Esquema estático: (cada pilar 
representa um apoio para a viga; 
as vigas são calculadas separadas 
dos pilares)
Viga com 4 apoios 
vigapilar
 
Esquema estático: viga com 4 
apoios e 2 balanços)
 
viga
a)Pontes em Pórtico (não há aparelho de apoio entre viga e pilar, 
vigas e pilares formam um único sólido)
Esquema estático: (considera as 
vigas junto com os pilares 
formando um pórtico)
Considera esses apoios como apoio fixo ou engaste 
dependendo da rigidez do solo onde o pórtico está 
apoiado
ou
Esquema estático:
PÓRTICO
Treliças Planas para Coberturas: tesouras
Treliça plana
Pilar que serve de apoio 
para a treliça
Esquema estático
Exemplos:
a)
b)
Treliças para Pontes e Passarelas
a) Exemplos de esquemas estáticos
b) Exemplos de pontes treliçadas
EQUILÍBRIO DE UM CORPO BIDIMENSIONAL
 Seja uma estrutura bidimensional, definida no plano (x,y): as 
forças são na direção x e y; os momentos são em torno do eixo z, 
logo:
0 xF 0 yF 0 AM
0xM 0yM
0zF
zA MM 
A estrutura estará em equilíbrio se:
Momento em torno do eixo z, em relação 
a um ponto qualquer A da estrutura
Através das equações de equilíbrio, calculam-se as reações nos 
vínculos, que são incógnitas.
ESTRUTURA ISOSTÁTICA Nº de reações incógnitas = Nº de 
equações de 
equilíbrio
3 equações de equilíbrio
EQUILÍBRIO DE ESTRUTURAS
ESTRUTURA ISOSTÁTICA Nº de reações incógnitas = Nº de 
equações de 
equilíbrio
ESTRUTURA HIPOSTÁTICA Nº de reações incógnitas < Nº de 
equações de equilíbrio
O nº de vínculos que a estrutura possui, é apenas 
aquele necessário para impedir seu movimento ( a 
estrutura não se movimenta)
O nº de vínculos que a estrutura possui é menor 
que aquele necessário para impedir seu 
movimento ( a estrutura se movimenta)
ESTRUTURA HIPERESTÁTICA Nº de reações incógnitas >Nº de 
equações de equilíbrio
O nº de vínculos que a estrutura possui é maior que 
aquele necessário para impedir seu movimento ( a 
estrutura não se movimenta)
Movimento 
horizontal 
não está 
impedido!
Exemplos de cálculos de apoios em estruturas 
F= 5 kN
3 m
Calcule a força e o momento que o engaste tem que fazer para manter 
a viga em equilíbrio. 
Exemplo 10
F= 5 kN
3 m
Força que o engaste tem que suportar é de 5 kN.
mNdFM .150003.5000. 
Calculo do momento, a força de 5kN causa um momento no sentido horário. 
Então o momento que o engaste tem que fazer é de 15000 N.m no 
sentido anti-horário. 
Calcule a força e o momento que o engaste tem que fazer para manter 
uma viga de 200 kg em equilíbrio. Use g= 10 m/s²
F= 2 kN
4 m
Exemplo 11
F= 2 kN
4 m
P= m.g = 200.10 = 2000 N
P
A força resultante na viga é de: FR= P + F = 2 kN + 2 kN = 4 kN
Força que o engaste tem que suportar é de 4 kN.
Calculo do momento para cada força. 
mNdPM .40002.2000. 
mNdFM .80004.2000. 
mNMMM Fpeso .12000)8000(4000 
Então o momento que o engaste tem que fazer é de 12000 N.m no 
sentido anti-horário. 
Calcule a força de reação em cada apoio tem que fazer para manter 
uma viga em equilíbrio. 
Exemplo 12
5 m
P= 50 kN
A B
5 m
P= 50 kN
A B
RA= 25kN RB= 25kN
Obs: Como a força resultante se concentra no meio da viga e os apoios estão 
nas extremidades,
a força é divida pela metade em cada apoio. 
Calcule a força de reação em cada apoio tem que fazer para manter 
uma viga em equilíbrio. 
Exemplo 13
5 m
FR= 50 kN
A B
2 m
0=ΣM
0=MΣ A dRd= BA ..F - 0 R 
5 m
FR= 50 kN
A B
2 m
RA RB
Existem duas incógnitas a reação em A e em B, então temos que ter 2 equações 
RR= BB 
5
000.100
5.2.50.000 - 0
RB= 20 kN
0=MΣ B dRd= AB ..F 0 R 
RR= AA 
5
000.150
5.3.50.000 0
RA= 30 kN
Calcule a força de reação em cada apoio tem que fazer para manter o 
eixo equilíbrio. 
Exemplo 14
0=ΣM
0=MΣ A
RR= BB 
4,0
5,312
5,0.2254,0.25,0.800 - 0
RB= 781,25 N
0=MΣ B
RR= AA 
4,0
5,97
1,0.2254,0.15,0.800 0
RA= 243,75 N
RA RB