2.5 Metodo do ponto fixo

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CÁLCULO NUMÉRICO 
PROF. ME. RAPHAEL MARTINS 
Método do ponto fixo 
 
A importância deste método está mais nos conceitos que são introduzidos em 
seu estudo que em sua eficiência computacional. 
 
Seja f(x) uma função contínua em [a,b], intervalo que contém uma raiz da 
equação f(x) = 0. 
 
Este consiste em transforma a função f(x) em uma equação equivalente, 𝑥 = 𝜑(𝑥) e a partir de uma aproximação inicial 𝑥! gerar a sequência {𝑥!} de 
aproximação para 𝜉. E neste método veremos que o nosso intuito será obter um ponto 
fixo de 𝜑 𝑥 . 
 
Observe as ilustrações: 
 
Pontos 𝜑(𝑥) converge para 𝜉 
 
 
 
 
 
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Pontos 𝜑(𝑥) converge para 𝜉 
 
 
Pontos 𝜑(𝑥) diverge de 𝜉 
 
 
 
 
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Pontos 𝜑(𝑥) diverge de 𝜉 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Para a equação 𝑥! + 𝑥 − 6 = 0 temos várias funções de iteração, entre as quais: 
a) 𝜑! 𝑥 = 6− 𝑥! 
b) 𝜑! 𝑥 = ± 6− 𝑥 
c) 𝜑! 𝑥 = !! − 1 
d) 𝜑! 𝑥 = !!!! 
 
nesta função facilmente podemos obter suas raízes sem fazer uso dos métodos 
numéricos, no qual obteríamos as raízes 𝜉! = −3    𝑒  𝜉! = 2, no entanto vamos fazer 
usos do cálculo numérico para observar a convergência, ou não do método. 
 
Considerando a raiz 𝜉! = 2  𝑒  𝜑! 𝑥 = 6− 𝑥! . Tomando 𝑥! = 1,5 , temos 𝜑 𝑥 =𝜑!(𝑥) 𝑥! = 𝜑 𝑥! = 6− 1,5! = 3,75 
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𝑥! = 𝜑 𝑥! = 6− 3,75 ! = −8,0625 ⋮ 
 
logo, conclui-se que {𝑥!} não está convergindo para 𝜉! = 2. 
 
Graficamente 
 
 
Considerando agora, 𝜑! 𝑥 = 6− 𝑥 e novamente 𝑥! = 1,5 , temos então, 𝜑 𝑥 =𝜑!(𝑥): 
 𝑥! = 𝜑 𝑥! = 6− 1,5 = 2,12132 𝑥! = 𝜑 𝑥! = 6− 2,12132 = 1,96944 ⋮ 
 
 
 
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Graficamente 
 
 
 
Critério de parada semelhante ao método da posição falsa: 𝑓 𝑥! < 𝜀! ou 𝑥! − 𝑥! < 𝜀! 
 
Teorema 
Seja 𝜉 uma raiz da equação 𝑓 𝑥 = 0, isolada num intervalo I centrado em 𝜉. 
Seja 𝜑 𝑥 uma função de iteração para a equação 𝑓 𝑥 = 0. 
Se: 
i) 𝜑(𝑥) e 𝜑'(𝑥) são contínuas em I; 
ii) 𝜑'(𝑥) ≤ 𝑀 < 1,∀𝑥 ∈ 𝑒 
iii) 𝑥! ∈ 𝐼 
Demonstração do teorema em Ruggiero, página 59.