2.6 Metodo de Newton

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MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 
 
O que método de Newton faz, na tentativa de garantir e acelerar a convergência do 
Método do Ponto Fixo, é escolher para função de iteração a função 𝜑(𝑥) tal que 𝜑' 𝑥 = 0. 
 
Motivação Geométrica 
 
O método de Newton é obtido geometricamente da seguinte forma: 
 Dado o ponto (𝑥! , 𝑓(𝑥!)) traçamos a reta 𝐿!(𝑥) tangente à curva neste ponto: 𝐿! 𝑥 = 𝑓 𝑥! + 𝑓'(𝑥!)(𝑥 − 𝑥!) 𝐿!(𝑥) é um modelo linear que aproxima a função 𝑓(𝑥) numa vizinhança de 𝑥!. 
 
Encontrando o zero deste modelo, obtemos: 
 𝐿! 𝑥 = 0⇔ 𝑥 = 𝑥! − 𝑓 𝑥!𝑓' 𝑥! 
fazemos então 𝑥!!! = 𝑥 
 
 
 
 
Ilustração do método iterativo 
 
 
Exemplo: 
 
1) Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 𝑥 − 6, 𝜉! = 2 e 𝑥! = 1,5. 
 𝜑 𝑥 = 𝑥 − 𝑓 𝑥𝑓! 𝑥 = 𝑥 − 𝑥! + 𝑥 − 62𝑥 + 1 
 
compare agora os resultados obtidos entre o método de Newton e o método do Ponto 
Fixo. 
 
2) Considera a função 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 9𝑥 + 3 que possui três zeros: 𝜉! ∈ 𝐼! = −4,−3 , 𝜉! ∈ 𝐼! = [0,1] e 𝜉! ∈ 𝐼! = [2,3] e seja 𝑥! = 1,5, escreva a sequência de 𝑥! e 𝑓(𝑥!). 
 
Iteração x f(x) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
 
Obs.: no início do processo iterativo há uma divergência da região onde estão as raízes, 
mas, a partir de 𝑥! , os valores aproximam-se cada vez mais de 𝜉! . A causa da 
divergência inicial é que 𝑥! está próximo de 3 que é zero de 𝑓'(𝑥) e esta aproximação 
inicial gera 𝑥! = −1,666667 = − 3 que é outro zero de 𝑓'(𝑥) pois: 
 𝑓' 𝑥 = 3𝑥! − 9⇔ 𝑓' 𝑥 = 0⇔ 𝑥 = ± 3 
 
 
3) 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 9𝑥 + 3;              𝑥! = 0,5          𝜀! = 𝜀! = 10!!            𝜉 ∈ [0,1] 
 
 
 
 
MÉTODO DA SECANTE 
 
Uma grande desvantagem do método de Newton é a necessidade de se obter 𝑓'(𝑥) e calcular seu valor numérico a cada iteração. 
Uma forma de se contornar este problema é substituir a derivada 𝑓'(𝑥!) pelo 
quociente das diferenças: 
 𝑓' 𝑥! = 𝑓 𝑥! − 𝑓(𝑥!!!)𝑥! − 𝑥!!! 
 
onde 𝑥! e 𝑥!!! são duas aproximações para a raiz. 
 
 Neste caso, a função de iteração fica: 
 
𝜑 𝑥! = 𝑥! − 𝑓 𝑥!𝑓 𝑥! − 𝑓 𝑥!!!𝑥! − 𝑥!!! = 𝑥! − 𝑓 𝑥!𝑓 𝑥! − 𝑓 𝑥!!! 𝑥! − 𝑥!!! 
 
reorganizando 𝜑 𝑥! = 𝑥!!!𝑓 𝑥! − 𝑥!𝑓(𝑥!!!)𝑓 𝑥! − 𝑓 𝑥!!! 
 
ressaltando que são necessárias 2 aproximações para se iniciar o método. 
 
Interpretação Geométrica 
 
A partir de duas aproximações 𝑥!!!  𝑒  𝑥!, o ponto 𝑥!!! é obtido como sendo a 
abcissa do ponto de intersecção do eixo 0𝑥 e da reta secante que passa por 𝑥!!!, 𝑓 𝑥!!!  𝑒  (𝑥! , 𝑓(𝑥!)): 
 
 
Exemplo: 
1) Considere 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 𝑥 − 6;    𝜉! = 2; 𝑥! = 1,5  𝑒  𝑥! = 1,7. Calcule: 
2) Considere 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 9𝑥 + 3, 𝑥! = 0      𝑒  𝑥! = 1,        𝜀! = 𝜀! = 5×10!!