2 Erros absolutos e relativos

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Erros absolutos e relativos 
 
Definimos como erro absoluto a diferença entre o valor exato de um número x e de 
seu valor aproximado dado por: 𝑥 = 𝐸𝐴! = 𝑥 − 𝑥 
 
Em alguns casos, dependendo da ordem de grandeza dos números abordados o erro absoluto 
não é suficiente para descrever a precisão de um cálculo, por esta razão, o erro relativo é 
amplamente empregado. 
 
O Erro relativo é dado por: 𝐸𝑅! = 𝐸𝐴!𝑥 = 𝑥 − 𝑥𝑥 
 
Por exemplo, sabe-se que 𝜋 ∈ [3,14        3,15], toma-se para 𝜋 um valor dentro desse intervalo, 
então 𝐸𝐴! = 3,14− 3,15 < 0,01. 
 
Seja agora um número x representado por 𝑥  =  2112,9 de tal forma que |𝐸𝐴!|  <  0,1, ou 
seja 𝑥 ∈ [2112,8          2113] e seja y representado por 𝑦  =  5,3 de tal forma que |𝐸𝐴!| < 0,1, 
ou seja 𝑦 ∈ [5,2        5,4]. Os limitantes superiores para os erros absolutos são os mesmos. 
Podemos dizer que ambos os números estão representados com a mesma precisão? 
 
Para tal questionamento é preciso comparar a ordem de grandeza de x e y. Isso pode ser feito 
pelo calculo do erro relativo, que é definido como o erro absoluto dividido pelo valor 
aproximado: 𝐸𝑅! = 𝐸𝐴!𝑥 = 𝑥 − 𝑥𝑥 
Assim, temos: 𝐸𝑅! = |𝐸𝐴!||𝑥| < 0,12112,9 ≅ 4,7.10!! 
 
e 𝐸𝑅! = |𝐸𝐴!||𝑥| < 0,15,3 ≅ 0,02 
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assim, os cálculos acima sugerem que o número x é representado com maior precisão que o 
número y. 
 
Exercício 
 
1- Calcule o erro absoluto e o erro relativo dos números abaixo: 
(a) 𝑥 ∈   [1,2 ∶  1,3] e 𝑥   =  1,258 (b) 𝑥 ∈   [0,25 ∶  0,48]  𝑒  𝑥   =  0,38 
(c) 𝑦 ∈   4,1 ∶  4,5  𝑒  𝑦   =  4,4 
qual desse números possui o menor erro? 
 
 
Erros de arredondamento e truncamento em um sistema de aritmética de 
ponto flutuante 
 
Vimos que a representação de um número depende da máquinas utilizada, pois seus 
sistema estabelecerá a base numérica adota, o total de dígitos na mantissa, etc. 
 
Por exemplo, se 𝑡   =  4 e 𝑥   =  234,57, então a representação desse número nesse 
sistema pode ser feita adotando-se dois critérios: o do arredondamento e o do truncamento (ou 
cancelamento). 
No truncamento o número 0,23457  . 10! fica 0,2345  . 10!, já no arredondamento o 
número fica 0,2346  . 10!. Porém, nesses casos como definir o erro absoluto (ou relativo) 
máximo cometido? 
 
Para calcular o erro relativo e absoluto no truncamento, deve-se definir 𝑓! e 𝑔!, observando o 
número em questão, tem-se: 
 234,57 = 0,2345  . 10! + 0,7  . 10!! 
 𝑓! 𝑔! 
como na mantissa só admite 4 números, e pelo truncamento cancela-se os demais após 
a 4 casa, então tem-se o seguinte: 
 𝑓! = 0,2345    𝑒  𝑔! = 0,7 
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assim o erro absoluto e o erro relativo deste número é: 
 𝐸𝐴! = 𝑥 − 𝑥 = 0,23457  . 10! − 0,2345  . 10! < 0,00007 
 𝐸𝑅! = 𝐸𝐴!𝑥 < 0,000070,2345.10! = 0,298 
 
De modo geral, no truncamento 𝑔!  . 10!!! é desprezado e 𝑥 = 𝑓!  . 10!. Neste caso, temos: 
 
 𝐸𝐴! = 𝑥 − 𝑥 = 𝑔! . 10!!! < 10!!!, visto que 𝑔! < 1 
 
 𝐸𝑅! = 𝐸𝐴!𝑥 < 𝑔!  .    10!!!𝑓!  .    10! < 10!!!0,1  .    10! = 10!!!! 
 
visto que 0,1 é o menor valor possível para 𝑓_𝑥. 
 
No arredondamento, 𝑓! é modificado para levar em consideração 𝑔! . A forma de 
arredondamento mais utilizada é o arredondamento simétrico. 
 
𝑥 = 𝑓!  .    10!                                          𝑠𝑒   𝑔! < 12𝑓!  . 10! + 10!!!            𝑠𝑒   𝑔! ≥ 12 
 
portanto se 𝑔! < !!, 𝑔! é desprezado, caso contrário, somamos o número 1 ao último dígito de 𝑓!. 
 
Exercício: Sabe-se que um computador admite 3 números na mantissa, sendo assim, 
arredonde os números abaixo por truncamento e por arredondamento e calcule o erro absoluto 
e relativo. 
(a) 456,345 
(b) 12345,987 
(c) 0,0098873 
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Análise de Erros nas Operações Aritméticas de Ponto Flutuante 
 
Em uma sequencia de operações, é importante a noção de como um erro se propaga ao 
longo das operações. 
Nos exemplos a seguir, vamos supor que as operações são efetuadas num sistema 
aritmética de ponto flutuante do quatro dígitos, na base 10. 
 
Exemplo: Dados 𝑥   =  0,937  . 10! e 𝑦   =  0,1272  . 10!, obter 𝑥  +  𝑦. 
 
 A adição em aritmética de ponto flutuante requer o alinhamento dos pontos decimais 
dos dois números. Para isto, a mantissa do número de menor expoente deve ser deslocada 
para a direita. Este deslocamento deve ser de um número de casas decimais igual à diferença 
entre os dois expoentes. 
 
Alinhando os pontos decimais dos valores acima, temos: 
 
 𝑥   =  0,937  . 10!  𝑒  𝑦   =  0,001272  . 10!  
 
assim 𝑥  +  𝑦   =   0,937  +  0,001271  . 10!  =  0,938272  . 10!  
 
Este é o resultado exato desta operação, porém, em nosso sistema t = 4, assim este resultado 
deve ser arredondado ou truncado. 
 𝑥  +  𝑦   =  0,9383  . 10! no arredondamento 𝑥  +  𝑦  =  0,9382  . 10! no truncamento 
 
 
Exercício: Utilizando x e y do exemplo anterior, obtenha 𝑥.𝑦, 𝑥  −  𝑦    𝑒   !!. 
Calcule o erro absoluto e o erro relativo.