3.3 Aproximacoes de Funcoes minimos quadrados

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APROXIMAÇÕES DE FUNÇÕES: MÉTODO DOS MÍNIMOS 
QUADRADOS 
 
O objetivo deste estudo consiste em aproximar um função 𝑦 = 𝑓(𝑥) por uma função 
F(x) que seja combinação linear de funções conhecidas, isto é: 
 𝑓 𝑥 ≅ 𝑎!𝑔! 𝑥 + 𝑎!𝑔! 𝑥 +⋯+ 𝑎!𝑔! 𝑥 = 𝐹(𝑥) 
 
de tal modo que a distância de f(x) a F(x) seja a menor possível. 
 
A substituição de f(x) por uma função F(x) e indicada quando o uso da função dada 
oferece alguns inconvenientes, tais como: 
a) f(x) é definida através de processos não-finitos como integrais, soma de 
séries,... 
b) f(x) é conhecida através de pares de pontos, obtidos em experimentos, e 
desejamos substituí-la por uma função cujo gráfico se ajuste aos pontos 
observados; 
que podem ser afastados através de uma escolha apropriada da função F(x). 
 
 Antes de descrevermos o método do mínimos quadrados relembremos alguns 
conceitos básicos. 
 Sabemos da geometria plana euclidiana que: dados um reta r e um ponto P 
fora dela, o ponto da reta r mais próximo de P é o único ponto Q tal que PQ é 
ortogonal a r. 
 O mesmo acontece na geometria euclidiana sólida, isto é: dados um plano 𝛼 e 
um ponto P fora dele, o ponto de 𝛼 mais próximo de P é o pé da perpendicular 
traçada de P a 𝛼. 
 
APROXIMAÇÃO POLINOMIAL 
 
 Vamos tratar aqui da aproximação de uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 por um polinômio 
de um certo grau m, isto é, 𝐹 𝑥 = 𝑃!(𝑥), tanto no caso em que 𝑓 𝑥 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], onde 
𝐶[𝑎, 𝑏] é o espaço vetorial das funções contínuas reais definidas no intervalo fechado 
e limitado [𝑎, 𝑏], (caso contínuo), como no caso onde 𝑓(𝑥) é dada por pares de pontos 
(caso discreto). 
 
REPRESENTAÇÃO NA BASE CANÔNICA 
 
Desejamos aproximar 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , por um polinômio de grau no máximo 
m, isto é: 𝑓 𝑥 ≅ 𝑎! + 𝑎!𝑥 +⋯+ 𝑎!𝑥! = 𝑃!(𝑥) 
de tal modo que a distância de 𝒇 a 𝑷𝒎 seja mínima. 
 
Neste caso, 𝑔! 𝑥 = 1, 𝑔! 𝑥 = 𝑥,… ,𝑔! 𝑥 = 𝑥! são funções conhecidas. 
 
Assim, o polinômio 𝑃!(𝑥), deve ser tal que: 
 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑓,𝑃! = 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑓,𝑃! = 𝑓 − 𝑃! = 𝑓 − 𝑃𝑚, 𝑓 − 𝑃! !! 
 
= 𝑓 𝑥 − 𝑃! 𝑥 !𝑑𝑥!! !/! = 𝑓 − 𝑃! ! 
 
Assim, o que desejamos obter é: 
 𝑄 = 𝑓 − 𝑃! ! = 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 
daí a justificativa para o nome mínimos quadrados. 
 
Precisamos, então, determinar na classe de todos os polinômios de grau menor 
ou igual a m aquele que minimize: 
 𝑄 = 𝑓 − 𝑃! ! = 𝑓 𝑥 − 𝑃! 𝑥 !𝑑𝑥!! 
 
Sabemos, entretanto, que os polinômios de grau ≤ 𝑚 constituem um espaço 
vetorial 𝐾!(𝑥), do qual 1, 𝑥, 𝑥!,… , 𝑥! é uma base. E mais: 𝐾!(𝑥), para 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 
é um sub-espaço de 𝑎, 𝑏 . 
Se nos lembrarmos de projeção ortogonal de um vetor sobre um sub-espaço, o 
nosso problema está resolvido, pois, a distância de 𝑓 a 𝑃! será mínima quando 𝑃! for 
a projeção ortogonal de 𝑓 sobre 𝐾!(𝑥). 
 
Ou seja: para aproximar 𝑓 ∈ 𝐶 𝑎, 𝑏 por um polinômio 𝑃!(𝑥) de grau no 
máximo 𝑚, basta determinar a projeção ortogonal de 𝑓 sobre 𝐾!(𝑥), o qual é gerado 
por 1, 𝑥, 𝑥!,… , 𝑥! . 
Portanto os coeficientes 𝑎!,𝑎!,… ,𝑎! de 𝑃!(𝑥) , são dados pelo sistema 
normal, isto é: 1,1 𝑥, 1 … 𝑥!, 11, 𝑥 𝑥, 𝑥 … 𝑥!, 𝑥⋮1, 𝑥! 𝑥, 𝑥! … 𝑥!, 𝑥!
𝑎!𝑎!⋮𝑎! =
𝑓, 1𝑓, 𝑥⋮𝑓, 𝑥! 
 
A menos que seja sugerido o produto escalar a ser utilizado, usa-se o produto 
escalar usual de 𝐶 𝑎, 𝑏 , isto é, para 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶 𝑎, 𝑏 : 𝑓,𝑔 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥!! 
 
Exercícios: 
1) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 5𝑥, 𝑥 ∈ [−1,1] . Aproximar 𝑓(𝑥) por um 
polinômio do segundo grau, usando o método dos mínimos 
quadrados. 
2) Usando o método dos mínimos quadrados, aproximar a função 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 1 !, 𝑥 ∈ [0,1] 
a) por uma reta; 
b) por um polinômio do 2º grau.