09 - Método dos Quadrados Mínimos

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09
AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS
CASO DISCRETO
O problema de ajuste de curvas no caso em que temos uma tabela de pontos (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), ..., (xm, f(xm)) com x1, x2, xm, pertencentes a um intervalo [a, b], consiste em: "escolhidas" n funções g1(x), g2(x), ..., gn(x), contínuas em [a, b], obter n constantes (1, (2, ..., (n tais que a função 
 se aproxime o máximo de f(x).
Seja 
 o desvio em xk. O método dos quadrados mínimos consiste em escolher os (j´s de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima.
Portanto, dentro do critério dos quadrados mínimos, os coeficientes (k, que fazem com que ((x) se aproxime ao máximo de f(x), são os que minimizam a função
Para obter um ponto de mínimo de 
, devemos ter 
 j = 1, 2, ..., n
Calculando as derivadas parciais para cada j = 1, 2, ..., n, temos
Impondo a condição
 j = 1, 2, ..., n
temos
 j = 1, 2, ..., n
Assim,
que é um sistema linear com n equações e n incógnitas: 
Este sistema linear pode ser escrito na forma matricial A( = b, onde:
 e 
EXEMPLO:
	x
	–1,0
	–0,75
	–0,6
	–0,5
	–0,3
	0
	0,2
	0,4
	0,5
	0,7
	1,0
	f(x)
	2,05
	1,153
	0,45
	0,4
	0,5
	0
	0,2
	0,6
	0,512
	1,2
	2,05
 ( 
Solução: m = 11 n = 1
Construindo uma tabela com 
 e 
, temos:
	x
	–1,0
	–0,75
	–0,6
	–0,5
	–0,3
	0
	0,2
	0,4
	0,5
	0,7
	1,0
	Somas
	(x2)(x2)
	1,0
	0,3164
	0,1296
	0,0625
	0,0081
	0
	0,0016
	0,0256
	0,0625
	0,2401
	1
	2,8464
	f(x)x2
	2,05
	0,6486
	0,162
	0,1
	0,045
	0
	0,008
	0,096
	0,128
	0,588
	2,05
	5,8756
Portanto 2,8464( = 5,8756 ( ( = 2,0642
Logo, ((x) = 2,0642 x2
CASO CONTÍNUO
No caso contínuo, o problema de ajuste de curvas consiste em: dada uma função f(x) contínua num intervalo [a, b] e escolhidas as funções g1(x), g2(x), ..., gn(x) todas contínuas em [a, b], determinar n constantes (1, (2, ..., (n de modo que a função 
 se aproxime "ao máximo" de f(x) no intervalo [a, b].
Desenvolveremos aqui um caso com apenas duas funções.
Sejam então f(x) contínua em um intervalo [a, b] e g1(x) e g2(x) duas funções contínuas em [a, b]. É preciso encontrar duas constantes reais (1 e (2, tais que 
 esteja "o mais próximo possível" de f(x).
Desta forma, os coeficienes (1 e (2 a serem obtidos deverão ser tais que o valor de 
 seja o menor possível.
Portanto, o problema consiste em obter o mínimo para 
Para encontrar os pontos críticos de F temos que 
 i =1, 2
Assim, 
Se	
	
		
	
		
podemos definir o sistema linear como:
EXEMPLO: Aproximar 
 por um polinômio do primeiro grau, uma reta, no intervalo [a, b] = [0, 1].
portanto 
 e 
	
		
		(	
 e 
Logo, a aproximação de 
 no intervalo [0, 1], por um polinômio de primeiro grau é a reta 
EXEMPLO: Ajuste os dados abaixo pelo método dos quadrados mínimos utilizando:
a) uma reta
b) uma parábola do tipo 
	x
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	y
	0,5
	0,6
	0,9
	0,8
	1,2
	1,5
	1,7
	2,0
Solução: 
a) 
	
	
 m = 8 n = 2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Somas
	x
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	36
	f(x)
	0,5
	0,6
	0,9
	0,8
	1,2
	1,5
	1,7
	2,0
	9,2
	x2
	1
	4
	9
	16
	25
	36
	49
	64
	204
	f(x)x
	0,5
	1,2
	2,7
	3,2
	6
	9
	11,9
	16
	50,5
 ( 
Logo, ((x) = 0,21667x + 0,175
b) 
	
	
	
 m = 8 n = 3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Somas
	x
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	36
	f(x)
	0,5
	0,6
	0,9
	0,8
	1,2
	1,5
	1,7
	2,0
	9,2
	x2
	1
	4
	9
	16
	25
	36
	49
	64
	204
	x3
	1
	8
	27
	64
	125
	216
	343
	512
	1296
	x4
	1
	16
	81
	256
	625
	1296
	2401
	4096
	8772
	xf(x)
	0,5
	1,2
	2,7
	3,2
	6
	9
	11,9
	16
	50,5
	x2f(x)
	0,5
	2,4
	8,1
	12,8
	30
	54
	83,3
	128
	319,1
 ( 
Logo, ((x) = 0,01548x2 + 0,07738x + 0,40714
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