derivadas parciais

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Cálculo III – Engenharias
Funções de várias variáveis
Fazer as seguintes representações ().
; ; ; 			b) ; ; ; 
						d) 
 e) 					f) 
 g) 				h) 
 i) 					j) 
 k) 					l) 
 m) 
Sejam uma função de duas variáveis reais e um ponto pertencente ao domínio de . A derivada parcial de em relação a x no ponto é definida por 
,
se este limite existir.
Analogamente, a derivada parcial de em relação a y no ponto é definida por 
,
se este limite existir.
Plano tangente
Seja uma função no ponto . O plano de equação
É chamado plano tangente ao gráfico da função no ponto .
Nos exercícios abaixo encontre as derivadas parciais . 
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
Determine a equação do plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto .
Sejam uma função de duas variáveis reais e um ponto pertencente ao domínio de . A derivada parcial de em relação a x no ponto é definida por 
,
se este limite existir.
Analogamente, 
,
e
,
se estes limites existirem.
Para os exercícios de 12 e 13 , encontre as derivadas parciais .
 
Encontre a derivada para a função 
Diferenciais para funções de várias variáveis.
Caso , definimos as diferenciais e como variáveis independentes e a diferencial , também chamada diferencial total, é definida por
Caso , definimos as diferenciais , e como variáveis independentes e a diferencial , também chamada diferencial total, é definida por
Se , determine a diferencial .
Use a diferencial encontrada em 15 para estabelecer a variação de z, se x variar de 2 a 2,05 e y variar de 3 a 2,96.
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro de nossas medidas de, no máximo, 0,2 cm. Utilize a diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo do volume do cone.
Um prédio de 13 pavimentos é sustentado por 30 colunas de medidas 20X30 cm. Caso haja um erro de +1cm em ambas as medidas, use a diferencial para estimar o excesso no volume de concreto gasto.
Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura se a espessura da folha de estanho por de 0,04 cm.
Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada com 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo possui 0,1 cm de espessura e o das laterais tem espessura de 0,05 cm.
Um modelo para a área da superfície do corpo humano é dado por , na qual é o peso (em quilogramas), é a altura (em centímetros) e é a medida em centímetros quadrados. Se os erros nas medidas de e forem no máximo de 2%, use diferenciais para estimar a porcentagem de erro máxima na área da superfície calculada.
As dimensões de uma caixa retangular são 75 cm, 60 cm e 40 cm, e cada medida foi feita com precisão de 0,2 cm. Use a diferenciais para estimar o maior erro possível quando calculamos o volume da caixa usando essas medidas.
 As dimensões de uma caixa retangular fechada foram medidas como 80 cm, 60 cm e 50 cm, respectivamente, com erro máximo de 0,2 cm em cada dimensão. Utilize os diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo da área da superfície da caixa.
A pressão, o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados pela equação , na qual é a medida em quilopascals, em litros e em Kelvins. Utilize diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de 12L para 12,3L e a temperatura diminui de 310K para 305K.
Derivadas parciais de segunda ordem
Se é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais e são funções de duas variáveis, de modo que podemos considerar novamente suas derivadas parciais e , chamadas derivadas parciais de segunda ordem de . Se , usamos a seguinte notação:
Determine as derivadas parciais de segunda ordem de ; e .
Calcule as derivadas parciais indicadas:
	 e 
	 e 
Máximos e mínimos
Se uma função tem máximo ou mínimo local em e as derivadas parciais de primeira ordem de existem nesses pontos, então e .
Teste da segunda derivada: Suponha que as segundas derivadas parciais de sejam contínuas em uma bola aberta com o centro em , e suponha que e (ou seja, é um ponto crítico de ). Seja
Se e , então é um mínimo local.
Se e , então é um máximo local.
Se , então é chamado de ponto de sela de e o gráfico de cruza seu plano tangente em .
Determine os valores de máximos e mínimos locais e os pontos de sela de .
Determine e classifique os pontos críticos da função .
Determine e classifique os pontos críticos da função .
Determine e classifique os pontos críticos da função .