Lista Cálculo I (Limites)

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  (LIMITES)	
  	
  
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  professor.	
  
• Procure	
  agrupar	
  os	
  procedimentos	
  de	
  solução	
  por	
  similaridade.	
  	
  
1). lim
x→2
x2 − 7x +10
x2 − 4 	
  	
  
2). lim
x→−1
x2 + x − 2
x2 −1 	
  	
  
3). lim
x→5
x2 + 2x − 35
x2 −10x + 25 	
  	
  
4). lim
x→25
5− x
25− x 	
  	
  
5). lim
x→9
9 − x
x − 3 	
  	
  
6). lim
x→0
(x + 3)3 − 27
x 	
  	
  
7). lim
x→0
x2
x2 +12 − 12
	
  	
  
8). lim
x→0
3
x
1
5+ x −
1
5− x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 	
  	
  
9). lim
x→4
(x − 4)3
4 − x 	
  	
  
10). lim
x→0
xsen(x)
x 	
  	
  
11). lim
x→3
5x2 −8x −13
x2 − 5 	
  	
  
l2). lim
x→2
3x2 − x −10
x2 − 4 	
  
	
  
13). lim
x→3
x4 −81
2x2 − 5x − 3 	
  	
  
14). lim
x→−2
1
x +
1
2
x3 + 8 	
  	
  
15). lim
x→4
3− x + 5
x − 4 	
  	
  
16). lim
x→27
x − 27
x
1
3 − 3
	
  	
  
17). lim
x→0
sen(5x)
3x 	
  	
  
18). lim
x→0
x3 − 7x
x3 	
  	
  
19). lim
x→0
x4 + 5x − 3
2 − x2 + 4
	
  	
  
20). lim
x→1
x3 −1
(x −1)2 	
  	
  
21). lim
x→∞
100
x2 + 5 	
  	
  
22). lim
x→−∞
7
x3 − 20 	
  	
  
23). lim
x→∞
3x3 −1000x2 	
  	
  
24). lim
x→−∞
x4 + 5x2 +1 	
  	
  
25). lim
x→∞
x5 − x2 + x −10 	
  	
  
26). lim
x→−∞
x + 7
3x + 5 	
  	
  
27). lim
x→∞
7x2 + x −100
2x2 − 5x 	
  
	
  
28). lim
x→∞
x2 − 3x + 7
x3 +10x − 4 	
  	
  
29). lim
x→−∞
7x2 + x +11
4 − x 	
  	
  
30). lim
x→∞
x3 + 7x
4x3 + 5 	
  	
  
31). lim
x→∞
x − x2 + 7 	
  	
  
32). lim
x→−∞
x − x2 + 7 	
  	
  
33). lim
x→∞
x + 3
9x2 + 5x
	
  	
  
34). lim
x→−∞
x + 3
9x2 + 5x
	
  	
  
35). lim
x→∞
log x
6 − 500
x6 + 500
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
	
  	
  	
   	
  
	
  
SOLUÇÕES:	
  	
  
1). lim
x→2
x2 − 7x +10
x2 − 4 = limx→2
(x − 2)(x − 5)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
(x − 5)
(x + 2) = −
3
4 	
  	
  
2). lim
x→−1
x2 + x − 2
x2 −1 = limx→−1
(x + 2)(x −1)
(x −1)(x +1) = nãoexiste 	
  
 
3). lim
x→5
x2 + 2x − 35
x2 −10x + 25 = limx→5
(x + 7)(x − 5)
(x − 5)2 = limx→5
x + 7
x − 5 = nãoexiste 	
  	
  
4). lim
x→25
5− x
25− x = limx→25
5− x
25− x ×
5+ x
5+ x
= lim
x→25
25− x
(25− x)(5+ x ) = limx→25
1
5+ x =
1
10
	
  
	
  
5). lim
x→9
9 − x
x − 3 = limx→9
9 − x
x − 3 ×
x + 3
x + 3
= lim
x→9
(9 − x)( x + 3)
x − 9 = −6
	
  
	
  
	
  6). limx→0
(x + 3)3 − 27
x = limx→0
(x + 3)2(x + 3)− 27
x
= lim
x→0
x3 + 9x2 + 27x + 27− 27
x = limx→0
x3 + 9x2 + 27x
x
= lim
x→0
x(x2 + 9x + 27)
x = limx→0 x
2 + 9x + 27 = 27
	
  
	
  
7). lim
x→0
x2
x2 +12 − 12
= lim
x→0
x2
x2 +12 − 12
× x
2 +12 + 12
x2 +12 + 12
= lim
x→0
x2 ( x2 +12 + 12)
(x2 +12)−12
= lim
x→0
x2 ( x2 +12 + 12)
x2
= lim
x→0
x2 +12 + 12 = 2 12
	
  
	
  
8). lim
x→0
3
x
1
5+ x −
1
5− x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = limx→0
3
x
(5− x)− (5+ x)
(5+ x)(5− x)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= lim
x→0
3
x
−2x
25− x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= lim
x→0
−6
25− x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
6
25
	
  
	
  
9). lim
x→4
(x − 4)3
4 − x = limx→4
(x − 4) 4 − x 2
4 − x
= lim
x→4
(x − 4) 4 − x
= 0
	
  
	
  
10). lim
x→0
xsen(x)
x
como: −1≤ xx ≤1
então: − sen(x) ≤ xsen(x)x ≤ sen(x)
pelo teorema do sanduiche: lim
x→0
xsen(x)
x = 0
	
  
	
   	
  
	
  	
  
11). lim
x→3
5x2 −8x −13
x2 − 5 =
8
4 = 2 	
  	
  	
  
l2). lim
x→2
3x2 − x −10
x2 − 4 = limx→2
(x − 2)(3x + 5)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
(3x + 5)
(x + 2) =
3(2)+ 5
(2)+ 2 =
11
4 	
  	
  	
  
13). lim
x→3
x4 −81
2x2 − 5x − 3 = limx→3
(x2 − 9)(x2 + 9)
(x − 3)(2x +1)
= lim
x→3
(x − 3)(x + 3)(x2 + 9)
(x − 3)(2x +1)
= lim
x→3
(x + 3)(x2 + 9)
(2x +1) =
((3)+ 3)((3)2 + 9)
2(3)+1 =
108
7
	
  
	
  
14). lim
x→−2
1
x +
1
2
x3 + 8 = limx→−2
x + 2
2x
x3 + 8
= lim
x→−2
x + 2
2x
1
x3 + 8
como A3 + B3 = (A + B)(A2 − AB + B2 )
= lim
x→−2
x + 2
2x(x + 2)(x2 − 2x + 4)
= lim
x→−2
1
2x(x2 − 2x + 4) = −
1
48
	
  
	
  	
  
15). lim
x→4
3− x + 5
x − 4 = limx→4
3− x + 5
x − 4 ×
3+ x + 5
3+ x + 5
= lim
x→4
9 − (x + 5)
(x − 4)(3+ x + 5)
= lim
x→4
4 − x
(x − 4)(3+ x + 5)
= lim
x→4
−(x − 4)
(x − 4)(3+ x + 5) =
−1
3+ 4 + 5 = −
1
6
	
  
	
  
16). lim
x→27
x − 27
x
1
3 − 3
= lim
x→27
x1 3( )3 − 33
x1 3 − 3
como A3 + B3 = (A + B)(A2 − AB + B2 )
= lim
x→27
(x1 3 − 3)((x1 3)2 + 3x1 3 + 9)
x1 3 − 3
= lim
x→27
((x1 3)2 + 3x1 3 + 9)
= ((27)1 3)2 + 3(27)1 3 + 9 = 27
	
  
	
  	
  	
  
17). lim
x→0
sen(5x)
3x = limx→0
5
5
sen(5x)
3x = limx→0
5
3
sen(5x)
5x
como lim
x→0
sen(x)
x =1, então: limx→0
sen(5x)
5x =1
lim
x→0
5
3
sen(5x)
5x =
5
3 (1)
	
  
	
  	
  
18). lim
x→0
x3 − 7x
x3 = limx→0
x(x2 − 7)
x(x2 ) = limx→0
x2 − 7
x2 = −∞ 	
  	
  
19). lim
x→0
x4 + 5x − 3
2 − x2 + 4
= −30− = +∞ 	
  	
  
20). lim
x→1
x3 −1
(x −1)2
como A3 + B3 = (A + B)(A2 − AB + B2 )
= lim
x→1
(x −1)(x2 + x +1)
(x −1)(x −1) = limx→1
x2 + x +1
x −1
lim
x→1−
(1− )2 + (1− )+1
(1− )−1 =
>1
0− = −∞
lim
x→1+
(1+ )2 + (1+ )+1
(1+ )−1 =
>1
0+ = +∞
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
o limite não existe!
	
  
	
  	
  
21). lim
x→∞
100
x2 + 5 =
100
∞
= 0 	
  	
  	
  
22). lim
x→−∞
7
x3 − 20 =
7
−∞
= 0 	
  
	
  
23). lim
x→∞
3x3 −1000x2 = ∞−∞ = indeterminação
para remover a indeterminação, basta fazer:
lim
x→∞
3x3 −1000x2 = lim
x→∞
x2 (3x −1000) = (∞)(∞) = ∞
	
  
	
  	
  
24). lim
x→−∞
x4 + 5x2 +1= (x4 )+ (5x2 +1){ } = ∞ +∞ = ∞ 	
  	
  	
  
25). lim
x→∞
x5 − x2 + x −10 = ∞−∞ = indeterminação
lim
x→∞
x5 − x2 + x −10 = lim
x→∞
x2 (x3 −1)+ (x −10){ } = (∞)(∞)+∞ = ∞ +∞ = ∞ 	
  	
  	
  
26). lim
x→−∞
x + 7
3x + 5 = limx→−∞
x 1+ 7x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x 3+ 5x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= lim
x→−∞
1+ 7x
3+ 5x
= 1+ 03+ 0 =
1
3 	
  	
  	
  
27). lim
x→∞
7x2 + x −100
2x2 − 5x = limx→∞
x2 7+ 1x −
100
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x2 2 − 5x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= lim
x→∞
7+ 1x −
100
x2
2 − 5x
= 72 	
  	
  	
  
28). lim
x→∞
x2 − 3x + 7
x3 +10x − 4 = limx→∞
x3 1x −
3
x2 +
7
x3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x3 1+ 10x2 −
4
x3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= lim
x→∞
1
x −
3
x2 +
7
x3
1+ 10x2 −
4
x3
= 0 	
  
	
  	
  
29). lim
x→−∞
7x2 + x +11
4 − x = limx→−∞
x2 7− 1x +
11
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x2 4x2 −
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= lim
x→−∞
7+ 1x +
11
x2
4
x2 −
1
x
Note que: 4x2 −
1
x =
1
x
4
x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ quando x→−∞ tanto 
1
x quanto 
4
x −1 tendem para valores negativos
Portanto: lim
x→−∞
7+ 1x +
11
x2
4
x2 −
1
x
= ∞
	
  	
  
	
  
30). lim
x→∞
x3 + 7x
4x3 + 5 = limx→∞
x3 + 7x
4x3 + 5 = limx→∞
x3 1+ 7x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x3 4 + 5x3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= lim
x→∞
1+ 7x2
4 + 5x3
= 14 =
1
2
	
  
	
  	
  
31). lim
x→∞
x − x2 + 7 = ∞−∞ = indeterminação. Para resolver a indeterminação, fazemos:
= lim
x→∞
(x − x2 + 7) (x + x
2 + 7)
(x + x2 + 7)
= lim
x→∞
x2 − (x2 + 7)x + x2 + 7
= lim
x→∞
−7
x + x2 + 7
= −7
∞ +∞
= −7
∞
= 0	
  	
  	
  
32). lim
x→−∞
x − x2 + 7 = −∞ −∞ = −∞ 	
  	
  	
  
33). lim
x→∞
x + 3
9x2 + 5x
= lim
x→∞
(x + 3)2
9x2 + 5x
= lim
x→∞
(x + 3)2
9x2 + 5x
= lim
x→∞
x2 + 6x + 9
9x2 + 5x = limx→∞
x2 + 6x + 9
9x2 + 5x = limx→∞
x2 1+ 6x +
9
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x2 9 + 5x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= lim
x→∞
1+ 6x +
9
x2
9 + 5x
= lim
x→∞
1
9 =
1
9 =
1
3
	
  
	
  
34). lim
x→−∞
x + 3
9x2 + 5x
= lim
x→−∞
− (x + 3)2
9x2 + 5x
= − lim
x→−∞
(x + 3)2
9x2 + 5x
= − lim
x→−∞
x2 + 6x + 9
9x2 + 5x = − limx→−∞
x2 1+ 6x +
9
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x2 9 + 5x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − lim
x→−∞
1+ 6x +
9
x2
9 + 5x
= − lim
x→−∞
1
9 = −
1
9 = −
1
3	
  	
  
35). lim
x→∞
log x
6 − 500
x6 + 500
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= log lim
x→∞
x6 − 500
x6 + 500
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= log lim
x→∞
x6 1− 500x6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x6 1+ 500x6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
= log lim
x→∞
1− 500x6
1+ 500x6
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= log(1) = 0