problemas

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Esboc¸o de gra´ficos
Determine:
1 o dom´ınio e as ra´ızes de f (x) (quando houver);
2 os pontos cr´ıticos (aqueles em que f ′(x) = 0 ou f ′(x) na˜o existe) de f (x). A
seguir, classifique os pontos cr´ıticos em ma´ximos ou min´ımos ou nenhum
destes;
3 estude os intervalos de de crescimento e decrescimento da func¸a˜o (sinal de
f ′(x));
4 determine o tipo de concavidade da func¸a˜o (sinal de f ′′(x));
5 calcule os pontos de inflexa˜o (se houver);
6 calcule os limites ass´ınto´ticos nos casos em que x pode assumir valores
grandes positivos ou negativos;
7 esboce o gra´fico da func¸a˜o utilizando as informac¸o˜es obtidas.
A. f (x) = x
2
x+1
B. f (x) = x4 − 2x2
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C. f (x) =
√
x2 − 4
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Func¸o˜es receita: custo e lucro
A sua empresa possui as seguintes func¸o˜es:
yc = x +
4
x + 12
e yr = 5 + 3x − x3
sendo yc o custo total e yr a receita total. Para o intervalo de produc¸a˜o
0 ≤ x ≤ 2, determine:
1 a produc¸a˜o para que o custo seja m´ınimo;
2 no intervalo onde a func¸a˜o custo cresce ou decresce, se isso ocorre a taxas
crescentes ou decrescentes;
3 o gra´fico da func¸a˜o custo;
4 a produc¸a˜o para que a receita seja ma´xima;
5 nos intervalos onde a receita cresce ou decresce, se isso ocorre a taxas
crescentes ou decrescentes;
6 o gra´fico da func¸a˜o receita;
7 a produc¸a˜o para que o lucro seja ma´ximo (obs: as ra´ızes do polinoˆmio
−3x4 − 3x3 + 5
4
x2 + 2x + 9
2
= 0 sa˜o x = {−1, 45; 1, 09});
8 o ponto de ruptura dado por yr = yc (obs: as ra´ızes do polinoˆmio
−x4 − 1
2
x3 + 2x2 + 6x − 3
4
= 0 sa˜o x = {0, 12; 1, 97});
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Diferencial
Seja y = −x2 − 2x + 99, a func¸a˜o demanda para certo produto onde x e´ a
quantidade e y o prec¸o unita´rio. Para uma quantidade x0 = 3 e ∆x = 0, 05
(aumento na quantidade de demanda):
1 qual a variac¸a˜o aproximada no prec¸o de venda?
2 qual o valor aproximado do novo prec¸o?
Considere a func¸a˜o demanda do exercicio anterior, y = f (x). Sabendo que a
empresa opera com um custo fixo, Cf , de 10 unidades moneta´rias e um custo
varia´vel, Cv , de 4 unidades moneta´rias por unidade de produc¸a˜o, achar a
variac¸a˜o aproximada do lucro quando se passa de uma quantidade de 3 para
3,1 unidades de produc¸a˜o. E´ interessante aumentar a produc¸a˜o sem alterar a
estrutura de custos? (obs: func¸a˜o receita R(x) = xf (x), func¸a˜o custo
C (x) = Cf + Cvx e lucro L(x) = R(x)− C (x)).
23 de maio de 2016 4 / 10
1 Obtenha uma aproximac¸a˜o da raiz real da equac¸a˜o 2x − e−x = 0. Use
x0 = 0, 3 como uma primeira aproximac¸a˜o.
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Te´cnicas de integrac¸a˜o
1
∫
x2 cos(3x)dx
2
∫
tan3(2x)dx
3
∫
2 ln(5x)dx
4
∫ √
9− (x − 1)2dx
5
∫
arcsen(x)dx
6
∫
4x tan(x2)dx
7
∫
dx
x(ln(x))2
8
∫
xarctan(x)dx
9
∫
x3ex
2
dx
10
∫
tan4(x)dx
11
∫ 3
−2 |2x + 2|dx
23 de maio de 2016 6 / 10
Taxa de variac¸a˜o
1 Um homem com seis pe´s de altura esta´ caminhando a uma taxa de 3 pe´s por
segundo em direc¸a˜o a um poste de iluminac¸a˜o, com 18 pe´s de altura. A que
taxa esta´ variando o comprimento da sombra?
2 Uma part´ıcula move-se ao longo de uma curva cuja equac¸a˜o e´
xy3
1 + y2
=
8
5
.
Suponha que a coordenada x esteja crescendo a uma taxa de 6 unidades por
segundo, quando a pat´ıcula estiver no ponto (1, 2). Com que taxa estara´
variando a coordenada y do ponto naquele instante?
3 Um controlador de tra´fego ae´reo percebe que dois avio˜es, que esta˜o voando
na mesma altitude e ao longo de duas retas perpendiculares entre sei, ira˜o se
chocar no ponto de intersecc¸a˜o ddestas retas. Um dos avio˜es esta´ 150 milhas
deste ponto e esta´ se deslocando a uma velocidade de 450 milhas por hora.
O outro avia˜o esta´ a 200 milhas do ponto e tem uma velocidade de 600
milhas por hora. Aque taxa a distaˆncia entre os avio˜es esta´ diminuindo?
23 de maio de 2016 7 / 10
1 A fo´rmula da expansa˜o adiaba´tica do ar e´ pv1,4 = c , onde p denota pressa˜o,
v , o volume e c e´ uma constante. Em certo instante a pressa˜o e´ 40 dinas/cm2
e esta´ aumentando a` raza˜o de 3 dinas/cm2 por segundo. Se, naquele mesmo
instante, o volume e´ de 60cm3, determine a taxa de variac¸a˜o do volume.
2 Uma bola de neve esta´ derretendo de modo que seu volume esta´
desacelerando a uma raza˜o de 0,17 metros cu´bicos por minuto. Ache a raza˜o
segundo a qual seu raio esta´ decrescendo no instante em que o volume da
bola e´ 0,4 metros cu´bicos.
23 de maio de 2016 8 / 10
Polinoˆmios de Taylor
1 Encontre o polinoˆmio de Taylor de ordem 3 que a proxima as func¸o˜es abaixo
em torno do ponto x = 0 e estime o erro.
1 f (x) = ln(1 + x)
2 f (x) = xex
2 Pesquisas teˆm mostrado que a proporc¸a˜o p da populac¸a˜o com QI entre α e β
e´ aproximadamente
p =
1
16
√
2pi
∫ β
α
e−
1
2 (
x−100
16 )
2
dx .
Use os treˆs primeiros termos diferentes de zero de uma se´rie de Maclaurin
apropriada para estimar a proporc¸a˜o da populac¸a˜o que tem QI entre 100 e
110.
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Ma´ximos e mı´nimos
1 Uma lata cil´ındrica fechada deve ter uma a´rea superficial de S unidades
quadradas. Mostre que uma lata com volume ma´ximo e´ obtida quando a
altura for igual ao diaˆmetro da base.
2 Um fio de 12cm cortado em duas partesformando um c´ırculo e um quadrado.
Quanto do fio deve ser usado no c´ırculo para que a a´rea total englobada
pelas figuras seja ma´xima (ou m´ınima)?
3 Um veterina´rio tem 100 pe´s de cerca e deseja construir seis canis, primeiro
cercando uma regia˜o retangular e em seguida subdividindo a regia˜o em seis
retaˆngulos menores, colocando cinco cercas paralelas a um dos lados. Que
dimenso˜es da regia˜o maximizara˜o a a´rea total?
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