Estruturas Algébricas - Lista 1

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PERNAMBUCO
CENTRO ACADEˆMICO DO AGRESTE
DISCIPLINA: ESTRUTURAS ALGE´BRICAS
PROFESSORA: VIVIANE DE JESUS LISBOA
LISTA DE EXERCI´CIO
1. Prove as seguintes relac¸o˜es num grupo (G, ∗)
(a) (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1, para todos a, b ∈ G.
(b) (a−1)−1 = a, para todo a ∈ G.
(c) A equac¸a˜o a ∗ x = b admite uma u´nica soluc¸a˜o em G.
2. Resolva
(a) Todo grupo (G, ∗) tal que x2 = e, para todo x ∈ G, e´ abeliano.
(b) Vale a rec´ıproca? Se na˜o, apresente um contra exemplo.
3. |G| = 2n⇒ ∃a 6= e, a ∈ G tal que a2 = e.
4. Verifique se sa˜o grupos
(a) GLn(R) = {A ∈ Mn×m(R) | detA 6= 0} com a operac¸a˜o de produto de
matrizes usual.
(b) On(R) = {A ∈ Mn×m(R) | A · At = I} e´ grupo com o produto de matrizes
usual.
(c) TSn(R) = {A ∈Mn×m(R) | A e´ triangular superior } com o produto usual.
5. Denotamos (Z24)∗ = {x¯ ∈ Z24 | ∃y¯ ∈ Z24, x¯ · y¯ = 1¯ }. Prove que
(a) ((Z24)∗, ·) e´ um grupo abeliano de ordem 8.
(b) Para cada x¯ ∈ (Z24)∗ determine o menor inteiro positivo N(x¯) tal que
x¯N(x¯) = 1¯.
6. Seja G um grupo e L ⊆ G um subconjunto, enta˜o
L ≤ G⇔ 〈L〉 = L.
7. (G, ∗) grupo
(a) ord(g−1) = ord(g) para todo g ∈ G.
(b) Se |G| <∞, enta˜o ord(g) <∞ para todo g ∈ G.
1
(c) Se ord(g) = d, enta˜o d e´ o menor natural tal que gd = e.
(d) Se G for abeliano, mostre que T (G) = {g ∈ G | ord(g) <∞} ≤ G.
8. Considere (G, ∗), e ∈ G elemento neutro.
ord(g) = 1⇔ g = e.
9. Se (G, ∗) e´ c´ıclico, enta˜o G e´ abeliano.
10. Sabemos que Z = 〈1〉, prove que
Z = 〈m〉 ⇔ m ∈ {1,−1}.
11. Dado g ∈ G, tal que d = ord(g), se m ∈ Z satisfaz gm = e, enta˜o d divide m.
12. Em (Z,+), H ≤ Z⇔ H = nZ para algum n ∈ Z.
13. Ainda em (Z,+), n ∈ Z, n ≥ 2 vale
Zn = 〈m¯〉 ⇔ mdc(n,m) = 1.
14. Identifique os subgrupos de
(a) (Z2 × Z2,+)
(b) (S3, ◦)
(c) (D4, ◦)
(d) Quais do subgrupos determinados em a.,b. e c. (desta questa˜o) sa˜o normais?
Justifique sua resposta.
15. Seja S = {xyx−1y−1 |x, y ∈ G}, definimos G′ = 〈S〉 como sendo o subgrupo dos
comutadores de G. Enta˜o
(a) G e´ abeliano ⇔ G′ = {e}.
(b) Quem e´ o subgrupo dos comutadores de S3.
16. Um subgrupo H de G e´ normal, se as classes laterias a` direita e a` esquerda sa˜o
iguais, e denotamos por H E G. Note que num grupo abeliano todo subgrupo e´
normal.
(a) Um grupo onde todo subgrupo e´ normal e´ necessariamente abeliano? Se na˜o,
deˆ contra exemplo.
(b) H ≤ G, tal que (G : H) = 2⇒ H E G.
(c) H ≤ G,G c´ıclico ⇒ H c´ıclico.
2
17. Considere H,K ≤ G.
(a) H E G ou K E G⇒ HK ≤ G.
(b) H E G e K E G⇒ HK E G.
18. Sejam G um grupo e G′ o subgrupo dos comutadores de G, como definido
anteriormente. Mostre que
(a) G′ e´ um subgrupo normal de G.
(b) G/G′ e´ abeliano.
(c) G′ e´ o menor subgrupo de G com as propriedades (a) e (b).
19. Definamos Z(G) = {g ∈ G | g ∗ x = x ∗ g, ∀ x ∈ G} denominado o centro do
grupo G
(a) Z(G) E G
(b) Se G/Z(G) e´ c´ıclico, enta˜o G e´ abeliano (ou seja, Z(G) = G).
(c) (G : Z(G)) pode ser primo? Justifique sua resposta.
20. Seja f : G→ G1 um homomorfismo de grupos.
(a) Mostre que ker(f), o nu´cleo de f , e´ um subgrupo normal de G.
(b) Se ord(g) <∞, enta˜o ord(f(g)) divide ord(g).
(c) Se f e´ um isomorfismo, enta˜o ord(g) = ord(f(g)).
21. Sejam G1, . . . , Gn grupos e H1, . . . , Hn subgrupos normais de G1, . . . , Gn
respectivamente. Mostre que H1×· · ·×Hn e´ um subgrupo normal de G1×· · ·×Gn,
ale´m disso
G1 × · · · ×Gn
H1 × · · · ×Hn
∼= G1
H1
× · · · × Gn
Hn
.
22. Seja G um grupo finito e n ∈ Z, n > 1. Suponha que (xy)n = xnyn, ∀ x, y ∈ G.
Sejam
Gn = {z ∈ G | zn = e} e Gn = {zn ∈ G | z ∈ G}.
Mostre que:
(a) Gn e G
n sa˜o subgrupos normais de G.
(b) |Gn| = (G : Gn).
3
23. Sejam H e K dois subgrupos normais do grupo G tais que K ∩H = {e}. Mostre
que
hk = kh, ∀ h ∈ H, k ∈ K.
24. Considere a func¸a˜o I : G → I(G) ≤ G definida por I(g) := Ig, onde
Ig(x) = g ∗ x ∗ g−1. Mostre que:
(a) I e´ um homomorfismo de grupos.
(b) ker(I) = Z(G).
(c) G
Z(G)
∼= I(G).
25. Os grupos G e G1 dados a seguir sa˜o isomorfos? Justifique sua resposta!
(a) G = (R,+) e G1 = (R+, ·), onde R+ = {x ∈ R | x > 0} e “·”e´ o produto
usual de nu´meros reais.
(b) G = (Z,+) e G1, onde G1 e´ um subgrupo pro´prio infinito de G.
(c) G = (Q,+) e G1, onde G1 e´ um subgrupo pro´prio infinito de G.
(d) G = (R,+) e G1 = (R[x],+), onde R[x] e´ o conjunto dos polinoˆmios na
varia´vel x com coeficientes em R e “+”e´ a soma usual de polinoˆmios.
26. Dado um elemento x ∈ G, com (G, ∗) um grupo, o conjunto
clG(x) = {g ∗ x ∗ g−1 | g ∈ G}
e´ chamado classe de conjugac¸a˜o de x. Seja H ≤ G, responda
(a) Se H for um subgrupo normal de G, enta˜o mostre que clG(x) ∩ H = ∅ se
x ∈ G \H e clG(x) ∩H = clG(x) se x ∈ H.
(b) Use (a) para concluir que
H =
⋃
x∈H
clG(x)
se H for um subgrupo normal de G.
27. Sejam G um grupo e S ⊂ G. Defina
NG(S) = {g ∈ G | gSg−1 = S}.
Mostre que
(a) NG(S) e´ um subgrupo de G.
(b) Seja H um subgrupo de G, enta˜o mostre que
4
H e´ um subgrupo normal de G⇔ NG(H) = G.
(c) Seja H um subgrupo de G, enta˜o mostre que H e´ um subgrupo normal de
NG(H).
(d) Seja H um subgrupo normal de G, enta˜o mostre que NG(H) e´ o maior
subgrupo de G onde H e´ normal.
NG(H) e´ dito normalizador de H em G.
28. Sejam G um grupo e X = {S |S ≤ G}. Defina a seguinte relac¸a˜o de equivaleˆncia
em X:
S ∼ T ⇔ ∃g ∈ G tal que gSg−1 = T.
(a) Mostre que ∼ define uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em X.
(b) Denote por Cl(S) a classe de equivaleˆncia de S em X. Enta˜o mostre que o
cardinal de Cl(S) (]Cl(S)) e´ iqual ao ı´ndice (G : NG(S)). Os elementos de
Cl(S) sa˜o cahmados de conjugadores de S.
(c) Mostre que H e´ um subgrupo normal de G se, e somente se Cl(H) = {H}.
5