Exercício GA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Geometria Anal´ıtica
Lista 5
(1) Ache a equac¸a˜o da esfera com centro na origem e tangente ao plano 16x− 15y − 12z + 75 = 0.
(2) Obtenha a equac¸a˜o da esfera que passa pelos pontos A(3, 1,−3), B(−2, 4, 1) e C(−5, 0, 0), cujo
centro esta´ no plano 2x + y − z + 3 = 0.
(3) Ache a equac¸a˜o da esfera de raio igual a 3 e tangente ao plano x + 2y + 2z + 3 = 0 no ponto
A(1, 1,−3).
(4) Calcule o raio da esfera tangente aos planos 3x + 2y − 6z − 15 = 0 e 3x + 2y − 6z + 55 = 0.
(5) Uma esfera tem centro na reta 2x + 4y − z − 7 = 04x + 5y + z − 14 = 0
e, ale´m disso, ela e´ tangente aos planos x + 2y − 2z − 2 = 0 e x + 2y − 2z + 4 = 0. Ache sua
equac¸a˜o.
(6) Determine as equac¸o˜es parame´tricas do diaˆmetro da esfera x2 + y2 + z2 + 2x− 6y + z− 11 = 0,
o qual e´ perpendicular ao plano 5x− y + 2z − 17 = 0.
(7) Verifique se o ponto A(2,−1, 3) esta´ no interior, no exterior ou sobre as esferas seguintes:
(a) (x− 3)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = 4;
(b) (x + 14)2 + (y − 11)2 + (z + 12)2 = 625;
(c) x2 + y2 + z2 − 4x + 6y − 8z + 22 = 0.
(8) Verifique se a reta e´ secante, e´ tangente ou na˜o intersecta a esfera, nos seguintes casos:
(a) x = −2t + 2, y = 3t− 7
2
, z = t− 2; x2 + y2 + z2 + x− 4y − 3z + 1
2
= 0;
(b)
x− 5
3
=
y
2
=
z + 25
−2 ; x
2 + y2 + z2 − 4x− 6y + 2z − 67 = 0.
(9) Determine o centro e o raio da circunfereˆncia (x− 3)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 1002x− 2y − z + 9 = 0.
1
2
(10) Ache a equac¸a˜o do plano tangente a` esfera x2 + y2 + z2 = 49 no ponto A(6,−3,−2).
(11) Demonstre que o plano 2x − 6y + 3z − 49 = 0 e´ tangente a` esfera x2 + y2 + z2 = 49. Ache as
coordenadas do ponto de contato.
(12) Deduza a condic¸a˜o segundo a qual o plano Ax + By + Cz + D = 0 e´ tangente a` esfera
x2 + y2 + z2 = R2.
(13) Pelos pontos de intersec¸a˜o da reta x = 3t− 5; y = 5t− 11; z = −4t + 9 com a esfera
(x + 2)2 + (y − 1)2 + (z + 5)2 = 49
trac¸am-se planos tangentes a` esfera. Obtenha as equac¸o˜es destes planos.
(14) Ache as equac¸o˜es dos planos tangentes a` esfera x2 + y2 + z2 = 9 e paralelos ao plano
x + 2y − 2z + 15 = 0.
(15) Demonstre que pela reta x = 4t + 4, y = 3t + 1, z = t + 1 pode-se trac¸ar somente um plano
tangente a` esfera x2 + y2 + z2 − 2x + 6y + 2z + 8 = 0 e ache sua equac¸a˜o.
(16) Verifique que a curva de intersec¸a˜o do plano x = 2 com o elipso´ide
x2
16
+
y2
12
+
z2
4
= 1 e´ uma
elipse e ache seus semi-eixos e seus ve´rtices.
(17) Demonstre que o parabolo´ide el´ıptico
x2
9
+
z2
4
= 2y tem um ponto em comum com o plano
2x− 2y − z − 10 = 0 e ache suas coordenadas.
(18) Demonstre que o hiperbolo´ide de duas folhas
x2
3
+
y2
4
− z
2
25
= −1 tem um ponto em comum
com o plano 5x + 2z + 5 = 0 e ache suas coordenadas.
(19) Ache a equac¸a˜o do plano que e´ perpendicular ao vetor N = (2,−1,−2) e e´ tangente ao
parabolo´ide el´ıptico
x2
3
+
y2
4
= 2z.
(20) Identifique as curvas determinadas pelas equac¸o˜es seguintes:
(a)

x2
3
+
y2
6
= 2z
3x− y + 6z − 14 = 0;
(b)

x2
4
− y
2
3
= 2z
x− 2y + 2 = 0;
(c)

x2
4
+
y2
9
− z
2
36
= 1
9x− 6y + 2z − 28 = 0.
3
Respostas:
(1) x2 + y2 + z2 = 9.
(2) (x− 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 49.
(3) (x− 2)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 9 ou (x− 2)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 9.
(4) R = 5.
(5) (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 1.
(6) x = 5t− 1, y = −t + 3, z = 2t− 1
2
.
(7) (a) exterior; (b) na superf´ıcie; (c) interior.
(8) (a) secante; (b) nao intersecta.
(9) C(−1, 2, 3);R = 8.
(10) 6x− 3y − 2z − 49 = 0.
(11) (2,−6, 3).
(12) A2R2 + B2R2 + C2R2 = D2.
(13) 3x− 2y + 6z − 11 = 0 e 6x + 3y + 2z − 30 = 0.
(14) x + 2y − 2z − 9 = 0 e x + 2y − 2z + 9 = 0.
(15) x− y − z − 2 = 0.
(16) 3;
√
3; (2, 3, 0); (2,−3, 0); (2, 0,√3); (2, 0,−√3).
(17) (9, 5,−2).
(18) (3, 0,−10).
(19) 2x− y − 2z − 8 = 0.
(20) (a)Elipse, (b)Para´bola, (c)Hipe´rbole.