Lista_4 Derivadas

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Instituto de Matemática e Estatística
Departamento de Análise Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Prof(a): Paula Clemente 1
4 Lista - Derivada
1) Determinar a função derivada das seguintes funções:
(a) f (x) = x
√
x7 (m) f (x) =
√
sen(x)
1−sen(x)
(b) f (x) = 3
√
x
√
x (n) f (x) = x
√
x + 1x√x
(c) f (x) =
√
x + 3
√
x − x−2 (o) f (x) = xx+ cx
(d) f (x) =
√
ax2+bx+c
cx2+bx+a , (a, b, c ∈ R) (p) f (x) = (3x − 2)10(5x2 − x + 1)12
(e) f (x) = 3
√(
ax+b
ax−b
)2
, (a, b, ∈ R) (q) f (x) =
√
a + b
√
x , (a, b ∈ R)
(f) f (x) = 3
√
(1 + x + x2)4 (r) f (x) = xsen(x)+cos(x)
(g) f (x) = x
3√
x2 + 1 (s) f (x) = (x2 + 1)
√
3x + 2
(h) f (x) = ln
√
1+x
1−x (t) f (x) = sen(3x) + cos(x/5) + tg(
√
x)
(i) f (x) = x
2+4x+3√
x (u) f (x) = sen
3(5x)cos2(x/3)
(j) f (x) = cossec(x) + ex cotg(x) (v) f (x) = ln(
√
1 + ex − 1) − ln(√1 + ex + 1)
(k) f (x) = cos(a3 + x3) (w) f (x) = ln(ln(3 − 2x3))
(l) f (x) = tg(cos(x)) (x) f (x) = sec
2(x)
1+x2
2) Calcular as derivadas sucessivas para cada uma das seguintes funções:
(a) f (x) = sen(x) (c) f (x) = cos(2x)
(b) f (x) = e−3x (d) f (x) = 1x
3) Um ponto percorre uma curva obedecendo à equação horária s = t2 + t − 2. Calcular a sua
velocidade no instante t0 = 2. (Unidades S.I.).
4) Calcular a aceleração de uma partícula no instante t = 5sabendo que sua velocidade obe-
dece à equação v = 2 + 3t + 5t2. (Unidades S.I.).
Respostas:
1)
(a) f ′(x) = 92
√
x7 (m) f ′(x) =
(b) f ′(x) = 12√x (n) f
′(x) = 32
√
x − 32x2 √x
(c) f ′(x) = 12√x +
1
3
3√
x2
+ 2x3 (o) f
′(x) = 2cx(x2+c)2
(d) f ′(x) = (a−c)|bx
2+2(a+c)x+b|
2
√
(ax2+bx+c)(cx2+bx+a)
(p) f ′(x) = 30(3x − 2)9(5x2 − x + 1)12 + 12(3x − 2)10(10x − 1)(5x2 − x + 1)11
(e) f ′(x) = − 4ab
3 3
√
(ax+b)(ax−b)5
(q) f ′(x) = a
2
√
ax+b
(f) f ′(x) = 8x+4
3
3√
1+x+x2
(r) f ′(x) = sen(x)+cos(x)+xsen(x)−xcos(x)1+sen(2x)
(g) f ′(x) = 5x
2+3
3 3
√
(x2+1)2
(s) f ′(x) = 15x
2+8x+3
2
√
3x+2
(h) f ′(x) = 11−x2 (t) f
′(x) = 3cos(3x) − 15 sen(x/5) + 12√x sec2(
√
x)
(i) f ′(x) = 32
√
x + 2√x − 32x√x (u) f ′(x) = 15sen2(5x)cos(5x)cos2(x/3) − 23 sen3(5x)cos(x/3sen(x/3)
(j) f ′(x) = −cossec(x)cotg(x) + ex(cotg(x) − cossec2(x)) (v) f ′(x) = 1√
ex+1
(k) f ′(x) = −3x2 sen(a3 + x3) (w) f ′(x) = − 6x2(3−2x3) ln(3−2x3)
(l) f ′(x) = −sen(x)sec2(cos(x)) (x) f ′(x) =
2)
(a) f n(x) = sen
(
x + npi2
)
(c) f n(x) = 2ncos
(
2x + npi2
)
(b) f n(x) = (−3)ne−3x (d) f (x) = (−1)nn!x−(n+1)
3) 5m/s ; 4) 53m/s2
2