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Universidade do Estado do Rio de Janeiro Centro de Tecnologia e Ciências Instituto de Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Análise Matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Prof(a): Paula Clemente 1 3 Lista - Continuidade e definição de derivada 1) Verifique se a função é contínua ou descontínua. Caso seja descontínua indicar em que ponto ocorre a descontinuidade: (a) f (x) = { 9 − x2 , x ≤ 2 3x + 2 , x > 2 (c) f (x) = { |3 − x| , x , 3 2 , x = 3 (b) f (x) = x2 + 7 , 0 < x < 3 x+16 2 − e2x , x ≤ 0 x3 − 11 , x ≥ 3 (d) f (x) = 3− √ x+9 x 2) Ache o valor das constantes a e b que tornam a função dada contínua para todo x real: (a) f (x) = |x − 1| , x < −1 a , x = −1 |1 − x| , x > −1 (c) f (x) = { √ x+2−√2 x , x > 0 3x2 − 4x + a , x ≤ 0 (b) f (x) = sen(x) , x < pi/2 ax + b , pi/2 ≤ x ≤ pi x + 3b , x > pi (d) f (x) = x2 , x < −2 ax + b , −2 ≤ x ≤ 2 2x − 6 , x > 2 3) Ache os valores de a e b tais que f seja derivável em x = 2 se: f (x) = { ax + b , x < 2 2x2 − 1 , x ≥ 2 4) Usando a definição, calcule f ′(x0): (a) f (x) = x3 , x0 = −1 (c) f (x) = |x| , x0 = 0 (e) f (x) = √x , x0 = 1 (b) f (x) = x2 + 2x + 5 , x0 = 1 (d) f (x) = cos(x) , x0 = pi/4 (f) f (x) 5 √ x , x0 = 0 5) Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x0: (a) f (x) = x + 1 , x0 = 3 (c) f (x) = sen(x) , x0 = 0 (e) f (x) = √ x , x0 = 4 (b) f (x) = x2 − 2x , x0 = 1 (d) f (x) = 1x , x0 = 1 (f) f (x) 3√ x2 , x0 = 2 √ 2 Respostas: 1) (a) Descontínua em x = 2 (c) Descontínua em x = 3 (b) Contínua (d) Descontínua em x = 0 2) (a) a = 2 (c) a = √ 2/4 (b) a = 1/pi + pi/2 ; b = 1/2 − pi/4 (d) a = −2 ; b = 0 3) a = 8 ; b = −9 4) (a) 3 (c) não existe (e) 1/2 (b) 4 (d) −√2/2 (f) não existe 5) (a) y = x + 1 (d) y = −x + 2 (b) f (x) = −1 (e) y = 14 x + 1 (c) y = x (f) f (x) = √ 2 3 x + 2 3 2
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