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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Instituto de Matemática e Estatística
Departamento de Análise Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Prof(a): Paula Clemente 1
3 Lista - Continuidade e definição de derivada
1) Verifique se a função é contínua ou descontínua. Caso seja descontínua indicar em que ponto
ocorre a descontinuidade:
(a) f (x) =
{
9 − x2 , x ≤ 2
3x + 2 , x > 2 (c) f (x) =
{ |3 − x| , x , 3
2 , x = 3
(b) f (x) =

x2 + 7 , 0 < x < 3
x+16
2 − e2x , x ≤ 0
x3 − 11 , x ≥ 3
(d) f (x) = 3−
√
x+9
x
2) Ache o valor das constantes a e b que tornam a função dada contínua para todo x real:
(a) f (x) =

|x − 1| , x < −1
a , x = −1
|1 − x| , x > −1
(c) f (x) =
{ √
x+2−√2
x , x > 0
3x2 − 4x + a , x ≤ 0
(b) f (x) =

sen(x) , x < pi/2
ax + b , pi/2 ≤ x ≤ pi
x + 3b , x > pi
(d) f (x) =

x2 , x < −2
ax + b , −2 ≤ x ≤ 2
2x − 6 , x > 2
3) Ache os valores de a e b tais que f seja derivável em x = 2 se:
f (x) =
{
ax + b , x < 2
2x2 − 1 , x ≥ 2
4) Usando a definição, calcule f ′(x0):
(a) f (x) = x3 , x0 = −1 (c) f (x) = |x| , x0 = 0 (e) f (x) = √x , x0 = 1
(b) f (x) = x2 + 2x + 5 , x0 = 1 (d) f (x) = cos(x) , x0 = pi/4 (f) f (x) 5
√
x , x0 = 0
5) Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x0:
(a) f (x) = x + 1 , x0 = 3 (c) f (x) = sen(x) , x0 = 0 (e) f (x) =
√
x , x0 = 4
(b) f (x) = x2 − 2x , x0 = 1 (d) f (x) = 1x , x0 = 1 (f) f (x)
3√
x2 , x0 = 2
√
2
Respostas:
1)
(a) Descontínua em x = 2 (c) Descontínua em x = 3
(b) Contínua (d) Descontínua em x = 0
2)
(a) a = 2 (c) a =
√
2/4
(b) a = 1/pi + pi/2 ; b = 1/2 − pi/4 (d) a = −2 ; b = 0
3)
a = 8 ; b = −9
4)
(a) 3 (c) não existe (e) 1/2
(b) 4 (d) −√2/2 (f) não existe
5)
(a) y = x + 1 (d) y = −x + 2
(b) f (x) = −1 (e) y = 14 x + 1
(c) y = x (f) f (x) =
√
2
3 x +
2
3
2

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