Exercícios - Planos e Retas

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Universidade Federal do Cariri - UFCA
Lista 3 A´lg. Linear 2016.1 Prof. Pla´cido Andrade
Eng. Civil NOME
Exerc´ıcios sobre aplicac¸o˜es do produto interno
1. Seja ∆ o triaˆngulo em E3 com ve´rtices A, B e C. Classifique-os em equila´tero, iso´sceles ou
retangular.
(a) A(1, 1, 1), B(4, 3, 2) e C(2, 4, 3).
(b) A(1, 1, 1), B(4, 3, 2) e C(2,−1, 2). (c) A(1, 1, 1), B(4, 3, 2) e C(3, 0, 4).(d) A(3, 0, 2), B(4, 3, 0) e C(8, 1,−1).
2. Calcule um dos aˆngulos formados pelas retas r e s que conte´m os segmentos AB e AC, respec-
tivamente, onde A(1, 1, 1), B(4, 3, 2) e C(3, 0, 4).
3. Calcule um vetor na˜o nulo que seja ortogonal ao vetor v do R2 (existem infinitos vetores
satisfazendo esta condic¸a˜o).
(a) v = (2, 1). (b) v = (−2, 4).
4. Calcule um vetor na˜o nulo que seja simultaneamente ortogonal aos vetores v e w de R3 (existem
infinitos vetores satisfazendo esta condic¸a˜o).
(a) v = (1,−1, 3) e w = (3, 0, 2). (b) v = (0, 1, 1) e w = (2, 1, 3).
Para cada item, calcule a projec¸a˜o do vetor v sobre w.
5. Calcule um vetor na˜o nulo que seja simultaneamente ortogonal aos vetores v e w de R3 (existem
infinitos vetores satisfazendo esta condic¸a˜o).
(a) v = (1,−1, 3). (b) w = (0, 1, 1).
6. Sejam P(1, 1, 0), Q(3, 4,−1) e R(4, 3, 2) pontos
do E3.
(a) Determine as coordenadas do ponto S ob-
tido por projec¸a˜o ortogonal de R sobre a
reta r determinada pelos pontos P e Q e
calcule a distaˆncia do ponto R a` reta r.
(b) Determine as coordenadas do ponto V ∈
E3 tal que Q, S, R e V sejam ve´rtices de
um retaˆngulo.
7. Fixemos os reais α,θ ∈ R. Considere os vetores u1 = (cosα, senα) e u2 = (cosθ, senθ) do R2.
(a) Verifique que u1 e u2 sa˜o vetores unita´rios e que ⟨u,v⟩ = cos(α − θ).
(b) Calcule o determinante da matriz [A] = [u1,u2] e conclua que O2 = {u1,u2} e´ uma base
ordenada do R2.
(c) Expresse o vetor w = (3,−2) como combinac¸a˜o linear de u1 e u2, nesta ordem.
Exerc´ıcios sobre bases ortonormais
Definic¸a˜o 0.1. Diz-se que uma base ordenada On = {u1,u2, . . . ,un} do Rn e´ uma base ortonormal
quando ⟨ui,uj⟩ = { 1 se i = j
0 se i /= j .
Em outras palavras, a base ortonormal e´ constitu´ıda por vetores unita´rios e ortogonais dois a
dois. Por exemplo, a base canoˆnica do Rn e´ uma base ortonormal.
1. Mostre que toda base ortonormal de R2 e´ da forma O2 = {u1,u2}, onde u1 = (cosα, senα) e
u2 = (senα,−cosα) (ou u1 = (cosα, senα, ) e u2 = (senα,−cosα)).
2. Deˆ um exemplo de uma base ortonormal do R3 que na˜o seja a base canoˆnica.
3. Mostre que se O3 = {u1,u2,u3} e´ uma base ortonormal de R3, enta˜o vale a identidade matricial[A]t ⋅ [A] = [id], onde [A] = [u1,u2,u3].
4. Reciprocamente, se [A] = [u1,u2,u3] e´ uma matriz 3 × 3 e´ uma matriz tal [A]t ⋅ [A] = [id],
enta˜o O3 = {u1,u2,u3} e´ uma base ortonormal de R3.
5. Este exerc´ıcio mostra a grande vantagem em trabalhar com bases ortonormais. Seja O3 ={u1,u2,u3} uma base ortonormal de R3. Mostre que qualquer vetor escreve-se como
w = ⟨w,u1⟩u1 + ⟨w,u2⟩u2 + ⟨w,u3⟩u3.
Antes, veja que isto vale para a base canoˆnica do R3. Observe quew e´ a soma das suas projec¸o˜es
sobre os vetores da base!
6. Verifique que um conjunto {u1,u2, . . . ,un} de vetores do Rn unita´rios e dois a dois ortogonais
e´ uma base ordenada do Rn.