ALGEBRA LINEAR EXERCICIOS
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E VALORES PRÓPRIOS \u2013 Capítulo 5

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2) Calcular os valores próprios e os vetores próprios da transformação linear f representada pela

matriz

 A =

Solução

I) A equação característica de A é

det (A - I) = (1)

isto é,

(7 - ) - (-2) + 0 = 0

(7 - ) [(6 - ) (5 - ) \u2013 4] + 2 [-2 (5 - ) + 0] + 0 = 0

(7 - ) (6 - ) (5 - ) \u2013 4 (7 - ) \u2013 4 (5 - ) = 0

(7 - ) (6 - ) (5 - ) \u2013 28 + 4 - 20 + 4 = 0

(7 - ) (6 - ) (5 - ) \u2013 48 + 8 = 0

(7 - ) (6 - ) (5 - ) \u2013 8 (6 - ) = 0

(6 - ) [(7 - ) (5 - ) \u2013 8] = 0

(6 - ) (35 \u2013 7 - 5 + 2 \u2013 8) = 0

(6 - ) (
2
 - 12 + 27) = 0

(6 - ) ( - 3) ( - 9) = 0

 As raízes dessa equção são 1 = 3, 2 = 6 e 3 = 9 e, por conseguinte, são os valores próprios

de f, ou da matriz A.

 A equação (1) pode ser resolvida, de modo geral, pelo processo apresentado na solução do

problema 2, item A. 19.1, Apêndice.

 II) O sistema homogêneo de equações lineares que permite a determinação dos vetores

próprios associados é (A - I) v = 0. Considerando

 v =

o sistema fica

 (2)

 i) Substituindo em (2) por 3, obtém-se o sistema

VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS \u2013 Capítulo 5

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isto é

 Esse sistema admite uma infinidade de soluções próprias: y = z = 2x e, portanto, os

vetores v1 = (x, 2x, 2x) = x (1, 2, 2), x 0, são os vetores próprios associados ao valor próprio

1 = 3.

 ii) Substituindo em (2) por 6, obtém-se o sistema

 isto é

 Esse sistema admite uma infinidade de soluções próprias: y = -x e z = x. Portanto, os

vetores v3 = ou v3 = x (2, -2, 1), x 0, são os vetores próprios

associados ao valor próprio 3 = 9.

3) Determinar os valores próprios e os vetores próprios da matriz

 A =

Solução

I) A equação característica de A é

det (A - I) =

Isto é,

 (-16 - ) (8 \u2013 ) + 160 = 0

 \u2013128 + 16 \u2013 8 + 2 + 160 = 0

2
 + 8 + 32 = 0,

Equação do 2º grau cujas raízes são = -4 4 i, isto é, 1 = 4 + 4i e 2 = 4 \u2013 4 i, e, por
conseguinte, a matriz A não possui valores próprios nem vetores próprios.

VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS \u2013 Capítulo 5

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 Se na definição de valor próprio de um operador linear f se admitisse qualquer,
real ou complexo, se poderia dizer que a matriz A possui valores próprios

complexos e, em conseqüência, vetores próprios de componentes complexas.

Neste texto se consideram, apenas, valores próprios reais.

5.3 \u2013 PROPRIEDADES DOS VALORES PRÓPRIOS E DOS
VETORES PRÓPRIOS

I) Se é um valor próprio de um operador linear f : V V, o conjunto S de todos os

vetores v V, inclusive o vetor v = 0, tais que f (v) = v, é um subespaço vetorial de V (S =

{v / f (v) = v}). De fato, se v1 e v2 S :

f (v1 + v2) = f (v1) + f (v2) = v1 + v2 = (v1 + v2),

e, portanto, (v1 + v2) S .

 Analogamente, verifica-se que v S para todo IR.

 O subespaço S é denominado subespaço associado ao valor próprio .

 No problema 1, por exemplo, viu-se que ao valor próprio = 6 correspondem os

vetores próprios do tipo v = x (5,2). Assim o subespaço associado a = 6 é.

 S6 = {x (5, 2) / x IR} = [(5, 2)]

que representa uma reta que passa pela origem do sistema x Ou (Fig. 5.3).

 II) Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, por isso, os

mesmos valores próprios. De fato, sejam f : V V um operador linear e A e B bases de V.

Tendo em vista que a relação entre matrizes semelhantes é

 TB = Q
-1

TA Q,

VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS \u2013 Capítulo 5

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Conforme foi visto em 4.3, vem:

 det (TB \u2013 I) = det (Q
-1

 TA Q \u2013 I)

 = det (Q
-1

 TA Q - Q
-1

 I Q)

 = det (Q
-1

 (TA - I) Q)

 = det Q
-1

 x det (TA - I) x det Q

 = det Q
-1

 x det Q x det (TA - I)

 = det (Q
-1

 Q) x det (TA - I)

 = det I x det (TA - I)

 = det (TA - I)

5.4 \u2013 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES

 Sabe-se que, dado um operador linear f : V V, a cada base B de V corresponde

uma matriz TB que representa f na base B. Prestende-se obter uma base do espaço vetorial V

de modo que a matriz de f, nessa base, seja a mais simples possível. A seguir se verá que essa

matriz é uma matriz diagonal.

5.4.1 \u2013 Propriedades

 I) Vetores próprios associados a valores próprios distintos de um operador linear f : V

 V são linearmente independentes.

 A demonstração será feita para o caso de f : IR
2
 IR

2
 em que 1 e 2 são distintos.

 Sejam f (v1) = 1 v1 e f (v2) = 2 v2, com 1 2 e considere-se a igualdade

a1 v1 + a2 v2 = 0 (1)

Pela linearidade de f, tem-se:

a1f (v1) + a2 f (v2) = 0

ou

 a1 1 v1 + a2 2 v2 = 0 (2)

 Multiplicando ambos os membros da igualdade (1) por 1, vem

 a1 1v1 + a2 1v2 = 0 (3)

 Subtraindo (3) de (2), tem-se

VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS \u2013 Capítulo 5

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 a2 ( 2 - 1) v2 = 0,

mas,

 2 - 1 0 e v2 0,

logo, a2 = 0.

 Substituindo a2 por seu valor em (1) e tendo em vista que v1 0, tem-se

 a1 = 0

Portanto, o conjunto {v1, v2} é LI, pois (1) só admite a solução trivial a1 = a2 = 0

 II) Se f : V V é um operador linear, dim V = n e f possui n valores próprios

distintos, o conjunto {v1, v2 ..., vn}, formado pelos correspondentes vetores próprios, é uma

base de V.

 Esta propriedade é conseqüência imediata da propriedade anterior.

 Exemplo

Dado o operador linear f : IR
2
 IR

2
, f (x, y) = (-3x \u2013 5y, 2y), os valores

próprios de f são 1 = 2 e 2 = -3 (a cargo do leitor). Calculando os vetores

próprios, obtém-se:

a) Para 1 = 2, os vetores v1 = (1, -1), x 0;

b) Para 2 = -3, os vetores v2 = x (1, 0), x 0.

Tendo em vista que 1 2, o conjunto {(1, -1), (1, 0)} é uma base IR
2
.

III) Se um operador linear f : IR
3
 IR

3
admite valores próprios 1, 2 e 3 distintos,

associados av1, v2 e v3, respectivamente, a propriedade II) assegura que o conjunto P = {v1, v2,

v3} é uma base do IR
3
.

Tendo em vista que

 f (v1) + 1 v1 + 0 v2 + 0 v3

 f (v2) = 0 v1 + 2v2 + 0 v3 3

 f (v3) = 0 v1 + 0v2 + 3v3,

o operador f é representado na base P dos vetores próprios pela matriz diagonal

VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS \u2013 Capítulo 5

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cujos elementos da diagonal principal são os valores próprios de f. A matriz diagonal D é a

mais simples representante do operador linear f.

5.4.2 \u2013 Matriz Diagonalizável

Sendo A a matriz canônica do operador f, as matrizes A e D são semelhantes por

representarem o mesmo operador em bases diferentes. Logo, a relação entre matrizes

semelhantes (ver item 4.3) permite escrever

D Q
-1

A Q (1)

sendo Q a matriz de mudança de base de P para a matriz canônica

C = { e1 = (1,0,0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0,1) }.

Tendo em vista que

Q = C
-1

 P = I
-1

 P = P,

a igualdade (1) escreve-se:

D = P
-1

A P, (2)

sendo P a matriz cujas colunas são os vetores próprios do operador f (P está designando tanto

a base dos vetores próprios de f quanto a matriz ora descrita; no contexto, identifica-se

quando se trata de uma ou de outra).

A igualdade (2) dá motivo à definição a seguir:

A matriz quadrada A é diagonizável se existe uma matriz inversível P tal que P
-1

 A P

seja matriz diagonal.

Diz-se, nesse caso, que a matriz P diagonaliza A ou que P é a matriz diagonalizadora.

A definição