3.4 Produto vetorial

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PRODUTO VETORIAL 
 
Dados os vetores 𝑢 = 𝑥!𝚤 + 𝑦!𝚥 + 𝑧!𝑘   e 𝑣 = 𝑥!𝚤 + 𝑦!𝚥 + 𝑧!𝑘, tomados nesta ordem, 
chama-se produto vetorial dos vetores 𝑢 e 𝑣, e se representa por 𝑢×𝑣, ao vetor: 
 𝑢×𝑣 = 𝑦!𝑧! − 𝑧!𝑦! 𝚤 − 𝑥!𝑧! − 𝑧!𝑥! 𝚥 + (𝑥!𝑦! − 𝑦!𝑥!)𝑘 
 
Cada componente deste vetor pode ainda ser expresso na forma de um determinante 
de segunda ordem: 
 𝑢×𝑣 = 𝑦! 𝑧!𝑦! 𝑧! 𝚤 − 𝑥! 𝑧!𝑥! 𝑧! 𝚥 + 𝑥! 𝑦!𝑥! 𝑦! 𝑘 
 
Uma maneira fácil de memorizar esta fórmula é utilizar a notação: 
 
𝑢×𝑣 = 𝚤 𝚥 𝑘𝑥! 𝑦! 𝑧!𝑥! 𝑦! 𝑧! 
Na verdade os termos da primeira linha são vetores ao invés de escalares, o que nos 
impediria de realizar a operação de determinante, no entanto, usaremos esta notação 
pela facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial. 
 
Observação: 
 O produto vetorial do vetor 𝑢 pelo vetor 𝑣 é também indicado por 𝑢 ∧ 𝑣 e se lê 
“𝑢 vetorial 𝑣” 
 
Exemplo: Calcule o produto vetorial dos vetores 𝑢 = 5𝚤 + 4𝚥 + 3𝑘 e 𝑣 = 𝚤 + 𝑘 
 
𝑢×𝑣 = 𝚤 𝚥 𝑘5 4 31 0 1 
. 
. 
. 
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Se trocarmos a ordem dos vetores, vem: 
𝑣×𝑢 = 𝚤 𝚥 𝑘1 0 15 4 3 
. 
. 
. 
. 
Logo, os vetores 𝑢×𝑣 e 𝑣×𝑢 são opostos, isto é, 𝑢×𝑣 = −𝑣×𝑢, o que significa que o 
produto vetorial não é comutativo. 
 
PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL 
Veremos que algumas propriedades do produto vetorial estão intimamente 
relacionadas com as propriedades dos determinantes. 
 
I) 𝑢×𝑢 = 0, qualquer que seja 𝑢. 
De fato, de acordo com a definição: 
𝑢×𝑢 = 𝑖 𝑗 𝑘𝑥! 𝑦! 𝑧!𝑥! 𝑦! 𝑧! 
tendo em vista uma propriedade dos determinantes (... duas linhas iguais ...) 
 
II) 𝑢×𝑣 = −𝑣×𝑢 
III) 𝑢× 𝑣 + 𝑤 = 𝑢×𝑣 + 𝑢×𝑤 
IV) 𝑚𝑢 ×𝑣 = 𝑚 𝑢×𝑣 
V) 𝑢×𝑣 = 0 se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se 𝑢 e 𝑣 são 
colineares. 
VI) 𝑢×𝑣 é ortogonal simultaneamente aos vetores 𝑢 e 𝑣. 
 
Exemplo: 
 
O produto vetorial dos vetores 𝑢 = 3𝚤 + 2𝚥 − 4𝑘 e 𝑣 = 2𝚤 − 2𝚥 + 𝑘 é o vetor: 𝑢×𝑣 = −6𝚤 − 11𝚥 − 10𝑘 
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O vetor 𝑢×𝑣 é ortogonal, simultaneamente, aos vetores 𝑢 e 𝑣. De fato: (Verifique!) 
 
VII) Os vetores 𝑢, 𝑣 e 𝑢×𝑣 têm as direções das arestas de um triedro 0xyz 
direto. 
 
VIII) 𝑢×𝑣 ! = 𝑢 ! 𝑣 ! − 𝑢. 𝑣 !   
IX) Se 𝑢 ≠ 0, 𝑣 ≠ 0 e se 𝜃 é o ângulo dos vetores 𝑢 e 𝑣: 𝑢×𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜃 
X) Produto vetorial não é associativo 
De fato, o vetor 𝑢× 𝑣×𝑤 é coplanar com 𝑣 e 𝑤, ao passo que o vetor 𝑢×𝑣 ×𝑤 é coplanar com 𝑢 e 𝑣. Então, em geral: 𝑢× 𝑣×𝑤 ≠ 𝑢×𝑣 ×𝑤 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO 
VETORIAL DE DOIS VETORES 
 
Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores 𝑢 e 𝑣 mede a área do 
paralelogramo ABCD determinado pelos vetores 𝑢 = 𝐴𝐵 e 𝑣 = 𝐴𝐶. 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores 𝑢 = 2,−6,3 e 𝑣 = 4,3,1 
2) Dados os vetores 𝑢 = 1,2,−1 e 𝑣 = 0,−1,3 calcular a área do 
paralelogramo determinado pelos vetores 3𝑢 e 𝑣 − 𝑢. 
3) Sejam os vetores 𝑢 = 3,1,−1 e 𝑣 = 𝑎, 0,2 . Calcular o valor de 𝑎 para que 
a área do paralelogramo determinado por 𝑢 e 𝑣 seja igual a 2 6 
4) Calcular a área do triângulo de vértices A(1,-2,1), B(2,-1,4) e C(-1,-3,3).