4.1 RETAS

Prévia do material em texto

1 
RETAS 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
 
Considere uma reta r que passa pelo ponto 𝐴(𝑥!,𝑦!, 𝑧!) na direção do vetor diretor 
não nulo 𝑣  =   (𝑎, 𝑏, 𝑐). Se o ponto P(x, y, z) pertence a r, então os vetores 𝑣 e 𝐴𝑃 são 
necessariamente colineares. 
 
Assim, tem-se: 𝐴𝑃  =  𝑡  𝑣  𝑃  −  𝐴   =  𝑡  𝑣  𝑃   =  𝐴  +  𝑡𝑣  
Reescrevendo a equação acima, tem-se: 
 (𝑥,𝑦, 𝑧)  =   (𝑥!,𝑦!, 𝑧!)  +  𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑐)  
a equação acima é denominada equação vetorial da reta r. 
 
Exemplo: 
1) Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3, 0,−5) e 
tem a direção do vetor 𝑣 = 2𝚤 + 2𝚥 − 𝑘. 
Solução: utilizando a equação vetorial da reta determinada anteriormente, tem-se: 𝑃 = 𝐴 + 𝑡𝑣 
logo, 𝑥,𝑦, 𝑧 = 3,0,−5 + 𝑡(2,2,−1) 
 2 
Quando t varia de −∞ a +∞, P descreve a reta r. Assim, se 𝑡 = 2, por exemplo: 
 𝑥,𝑦, 𝑧 = 3,0,−5 + 2(2,2,−1) 𝑥,𝑦, 𝑧 = (7,4,−7) 
 
O ponto P(7,4,-7) é um ponto da reta r. 
 
Exercício: Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(1,−1, 4) e 
tem direção de 𝑣  =   (2, 3, 2). 
(i) Determine o valor do ponto P para t = 5 
 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
 
Dada a equação vetorial da reta r obtida anteriormente: (𝑥,𝑦, 𝑧)  =   (𝑥!,𝑦!𝑧!)  +  𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑐)  (𝑥,𝑦, 𝑧)  =   (𝑥! +  𝑡𝑎,𝑦! +  𝑡𝑏, 𝑧! +  𝑡𝑐)  
assim, as equações paramétricas da reta é: 
𝑟: 𝑥 = 𝑥! + 𝑎𝑡𝑦 = 𝑦! + 𝑏𝑡𝑧 = 𝑧! + 𝑐𝑡 
Exemplo: Determine a equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto A(3,−4, 2) 
e é paralela ao vetor 𝑣 =   (2, 1,−3). 
Solução: De acordo com a equação paramétrica acima, tem-se: 𝑟: 𝑥 = 3+ 2𝑡𝑦 = −4+ 1𝑡𝑧 = 2− 3𝑡 
 
(a) Encontrar dois pontos B e C de parâmetros t = 1 e t = 4. 
B(5,−3,−1) C(11, 0,−10) 
 
(b) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4. 𝑥   =  3  +  2𝑡  4   =  3  +  2𝑡  𝑡   =  1/2  
 3 
(c) Verificar se o ponto D(4,−1, 2) e E(7,−2,−8) pertencem a r. 
O ponto D pertence a reta r se, e somente se, existe um número real t que satisfaz 
todas as condições.