4 Sistemas lineares

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Sistemas	
  de	
  Equações	
  Lineares	
  
Prof.	
  Me	
  Raphael	
  Mar;ns	
  
Equação	
  Linear	
  é	
  toda	
  equação	
  do	
  ;po:	
  
a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = k
Em	
  que:	
  
	
  
•  X1,	
  x2,	
  …..,	
  xn	
  são	
  as	
  incógnitas	
  da	
  equação	
  
•  a1,	
  a2,	
  ….,	
  an	
  são	
  números	
  reais	
  denominados	
  coeficientes	
  da	
  
equação	
  
•  K	
  é	
  o	
  termo	
  independente	
  (número	
  real)	
  
É	
  importante	
  salientar	
  que	
  toda	
  equação	
  linear	
  tem	
  incógnitas	
  de	
  
primeiro	
  grau.	
  
Toda	
  sequência	
  ordenada	
  de	
  números	
  reais	
  que	
  verifica	
  uma	
  
equação	
  linear	
  é	
  chamda	
  de	
  solução	
  da	
  equação.	
  
Ex:	
  	
  
	
   2x1 + 3x2 − x3 = 7 Tem	
  como	
  solução	
  (2,1,0)	
  ou	
  (1,2,1)	
  
4x − 3y + z − 2t = 3 Tem	
  como	
  solução	
  (1,0,√3,2),	
  	
  
(0,0,	
  √3,0),	
  (0,0,2√3,	
  √3/2),	
  
(√3,	
  √3,-­‐√3,0)	
  
Exercícios:	
  
	
  
1)  Verifique	
  se	
  (1,2)	
  é	
  solução	
  da	
  equação	
  2x	
  +	
  3y	
  =	
  8	
  
2)  Dada	
  a	
  equação	
  x	
  -­‐	
  3y	
  -­‐	
  z	
  =	
  4,	
  determine	
  P	
  de	
  modo	
  que	
  (0,0,P)	
  
seja	
  solução	
  da	
  equação.	
  
3)  Verifique	
  quais	
  das	
  soluções	
  sa;sfaz	
  a	
  equação	
  linear	
  x	
  +	
  y	
  -­‐	
  2z	
  =	
  2	
  
•  (1,	
  2,	
  4)	
  
•  (1,	
  2,	
  1/2)	
  
•  (-­‐3,	
  -­‐5,	
  3)	
  
•  (0,	
  0,	
  0)	
  
4)	
  Dada	
  equação	
  2x	
  -­‐	
  2y	
  -­‐	
  4z	
  =	
  4,	
  determine	
  P	
  de	
  modo	
  que	
  cada	
  
uma	
  das	
  soluções	
  sa;sfazem	
  a	
  equação	
  
	
  
(0,	
  0,	
  P),	
  (1,	
  -­‐2P,	
  1),	
  (P+1,	
  3,	
  0),	
  (P,	
  P,	
  P+5)	
  
SISTEMA	
  DE	
  EQUAÇÕES	
  LINEARES	
  
Um	
  sistema	
  de	
  quações	
  lineares	
  mxn	
  é	
  um	
  conjunto	
  de	
  m	
  
equações	
  lineares,	
  cada	
  uma	
  delas	
  com	
  n	
  incógnitas	
  
 
a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm
Em	
  que:	
  
	
  
•  X1,	
  x2,	
  …..,	
  xn	
  são	
  as	
  incógnitas	
  da	
  equação	
  
•  a1,	
  a2,	
  ….,	
  am	
  são	
  coeficientes	
  numéricos	
  
•  K	
  é	
  o	
  termo	
  independente	
  (número	
  real)	
  
Método	
  da	
  SubsCtuição	
  
	
  
Deve-­‐se	
  isolar	
  uma	
  incógnita	
  e	
  subs;tuir	
  em	
  outra	
  equação.	
  
	
  
Ex:	
  Resolva	
  os	
  sistemas	
  a	
  seguir	
  pelo	
  método	
  da	
  subs;tuição.	
  
x	
  +	
  y	
  =	
  5	
  
x	
  –	
  y	
  =	
  2	
  
2x	
  +	
  4y	
  =	
  4	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  3y	
  =	
  6	
  
x	
  +	
  3y	
  -­‐	
  2z	
  =	
  0	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  y	
  +	
  4z	
  =	
  0	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  14z	
  =	
  0	
  
x	
  +	
  y	
  +	
  z	
  =	
  6	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  y	
  +	
  z	
  =	
  2	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  z	
  =	
  1	
  
Método	
  da	
  eliminação	
  (adição)	
  
A	
  solução	
  do	
  sistema	
  pode	
  ser	
  ob;da	
  pelo	
  processo	
  conhecido	
  com	
  
eliminação,	
  pelo	
  qual	
  reduzimos	
  o	
  sistema	
  a	
  uma	
  única	
  equação	
  com	
  
uma	
   incógnita.	
   Supondo	
   que	
   o	
   sistema	
   tenha	
   solução	
   única,	
   o	
  
algoritmo	
  de	
  resolução	
  consiste:	
  
Ex.:	
  
x	
  +	
  4y	
  =	
  100	
  
2x	
  +	
  3y	
  =	
  90	
  
x	
  +	
  y	
  =	
  5	
  
x	
  –	
  y	
  =2	
  
2x	
  +	
  y	
  =	
  5	
  
x	
  +	
  4y	
  =	
  6	
  
Passo	
  1:	
  Somar	
  a	
  uma	
  equação	
  em	
  outra,	
  de	
  modo	
  que	
  uma	
  das	
  
incógnitas	
  seja	
  eliminada	
  na	
  equação	
  resultante.	
  
Passo	
  2:	
  Resolver	
  a	
  nova	
  equação	
  e	
  na	
  incógnita	
  dada,	
  e	
  levar	
  seu	
  
valor	
  em	
  uma	
  das	
  equações	
  originais	
  para	
  obter	
  o	
  valor	
  da	
  outra	
  
incógnita.	
  
Método	
   do	
   Determinante	
   definida	
   a	
   par;r	
   dos	
   coeficientes	
  
das	
   incógnitas	
   dos	
   sistemas.	
   Essas	
   Expressões	
   estão	
  
relacionadas	
  as	
  matrizes	
  do	
  sistema.	
  
	
  
Considere	
  um	
  sistema	
  linear	
  2x2	
  genérico:	
  
ax	
  +	
  by	
  =	
  c	
  
dx	
  +	
  ey	
  =	
  f	
   ⇒
a b
c d
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
x
y
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= cf
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
Representação	
  matricial	
  
A = a bd e
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ B = a bd e
c
f
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
Matriz	
  incompleta	
   Matriz	
  completa	
  
Para	
  resolver:	
  
ax + by = c
dx + ey = f
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
(	
  e)	
  
	
  
(-­‐b)	
  
~ aex + bey = ce
−bdx − bey = −bf
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
(ae− bd)x = ce− bf
________________________	
  
ax + by = c
dx + ey = f
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
(-­‐d)	
  
	
  
(	
  a)	
   ~
−adx − bdy = −cd
adx + aey = af
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
(ae− bd)y = af − cd
________________________	
  
∴ y = af − cdae− bd =
det[Ay]
det[A]∴ x =
ce− bf
ae− bd =
det[Ax]
det[A]
∴ y = af − cdae− bd =
det[Ay]
det[A]∴ x =
ce− bf
ae− bd =
det[Ax]
det[A]
Sendo:	
  
	
  
	
  
A = a bd e
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ Matriz	
  incompleta	
  
Ax = c bf e
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
Ay = a cd f
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
Matriz	
  que	
  se	
  obtém	
  subs;tuindo	
  em	
  A	
  os	
  
coeficientes	
  de	
  x	
  pelos	
  termos	
  independentes	
  
Matriz	
  que	
  se	
  obtém	
  subs;tuindo	
  em	
  A	
  os	
  
coeficientes	
  de	
  Y	
  pelos	
  termos	
  independentes	
  
Ex:	
  Resolva	
  os	
  sistemas:	
  
x + 2y + 3z = 2
2x − y + z = −1
−2x − 3y + 3z = −11
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
x + y + 3z = 4
x + 2y + z = 5
2x + y + z = 6
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
x − 2y = 3
2x − 3y = 4
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
a)	
   b)	
  
c)	
  
Escalonamento	
  
	
  
Sistema	
   Linear	
   escalonado	
   é	
   todo	
   sistema	
   no	
   qual	
   as	
  
incógnitas	
   das	
   equações	
   lineares	
   estão	
   escritas	
   em	
   uma	
  
mesma	
  ordem	
  e	
  o	
   1º	
   coeficiente	
  não-­‐nulo	
  de	
   cada	
   equação	
  
está	
  à	
  direita	
  do	
  1º	
  coeficiente	
  não-­‐nulo	
  da	
  equação	
  anterior:	
  
x	
  +	
  y	
  +	
  2z	
  =	
  5	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  y	
  +	
  z	
  =	
  3	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  z	
  =	
  1	
  
x	
  +	
  y	
  =	
  3	
  
x	
  –	
  y	
  =	
  1	
  
	
  	
  x	
  +	
  y	
  =	
  3	
  
3x	
  +	
  y	
  =	
  7	
  
2x + 2y + 3z = 1
2x + y + z = 0
5x + 2y + z = 0
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Como	
  visto	
  anteriormente,	
  um	
  par	
  u	
  =	
   (x1,x2)	
  que	
   sa;sfaz	
  ambas	
  
equações	
  é	
  chamado	
  de	
  solução	
  simultânea	
  das	
  equações	
  dadas,	
  
ou	
   solução	
   do	
   sistema	
   de	
   equações.	
   Dentre	
   as	
   soluções	
   há	
   três	
  
casos,	
  que	
  podem	
  acontecer.	
  Vejamos	
  a	
  descrição	
  geométrica.	
  	
  
Sistema	
  Possível	
  e	
  Determinado	
  
SPD	
  
Sistema	
  Impossível	
  
SI	
  
Sistema	
  Possível	
  e	
  Indeterminado	
  
SPI	
  
Os	
  casos	
  (b)	
  e	
  (c)	
  só	
  podem	
  ocorrer	
  quando	
  oscoeficientes	
  de	
  x	
  
e	
  y	
  nas	
  duas	
  equações	
  forem	
  proporcionais,	
  isto	
  é:	
  
a1 b1
a2 b2
= 0
Especificamente,	
  os	
  casos	
  (b)	
  e	
  (c)	
  ocorrem	
  se:	
  
a1
a2
= b1b2
≠ c1c2
a1
a2
= b1b2
= c1c2
Exercícios	
  
1)  Em	
  um	
  restaurante	
  há	
  12	
  mesas,	
  todas	
  ocupadas.	
  Algumas	
  
por	
  4	
  pessoas,	
  outras	
  por	
  apenas	
  2	
  pessoas	
  num	
  total	
  de	
  38	
  
fregueses.	
  O	
  número	
  de	
  mesas	
  ocupadas	
  por	
  apenas	
  duas	
  
pessoas	
  é?	
  
2)  Resolva	
  o	
  sistema	
  matricial	
  
1 4 7
2 3 6
5 1 −1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
x
y
z
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
2
2
8
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
3)	
  Resolva	
  os	
  sistemas:	
  
5x + 3y = 22
8x + 5y = 36
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2x + 2y + 3z = 10
2x + y + z = 0
5x + 2y + z = 5
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
3x + 4y + 5z + 2w = −5
−x + 5y − 2z + 4w = 15
3x − 2y − 4z − 2w = 12
2x + 2y − 3z +w = 15
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪