6 Base de um espaco vetorial

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Base	
  e	
  dimensão	
  de	
  um	
  espaço	
  vetorial	
  	
   	
  
	
  Agora,	
  estamos	
  interessados	
  em	
  encontrar,	
  dentro	
  de	
  um	
  espaço	
  vetorial	
  V,	
  um	
  conjunto	
   finito	
   de	
   vetores,	
   tais	
   que	
   qualquer	
   outro	
   vetor	
   de	
   V	
   seja	
   uma	
  combinação	
  linear	
  deles.	
  Em	
  outras	
  palavras,	
  queremos	
  determinar	
  um	
  conjunto	
  de	
   vetores	
   que	
   gere	
   V	
   e	
   tal	
   que	
   todos	
   os	
   elementos	
   sejam	
   realmente	
  
necessários	
   para	
   gerar	
   V.	
   Se	
   pudermos	
   encontrar	
   tais	
   vetores,	
   teremos	
   os	
  alicerces	
  de	
  nosso	
  espaço.	
  	
  
Definição	
  A:	
  Um	
  conjunto	
  𝐵 = 𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣! ⊂ 𝑉	
  é	
  uma	
  base	
  do	
  espaço	
  vetorial	
  V	
  se:	
  i) B	
  é	
  LI	
  ii) B	
  gera	
  V	
  	
  
Exemplos:	
  1) 𝐵 = { 1,0 , (0,1)}	
  é	
  base	
  do	
  ℝ!,	
  denominada	
  base	
  canônica.	
  De	
  fato:	
  i) B	
  é	
  LI	
  ii) B	
  gera	
  ℝ!	
  	
  2) 𝐵 = { 1,2 , (3,5)}	
  é	
  base	
  do	
  ℝ!?	
  	
  3) 𝐵 = {𝑣! = 1,1,1 , 𝑣! = 1,1,0 , 𝑣! = (1,0,0)}	
  é	
  base	
  do	
  ℝ!?	
  	
   	
  4)	
  𝐵 = { 1,0 , 0,1 , (7,4)}	
  é	
  base	
  do	
  ℝ!?	
  	
  
Teorema:	
   Seja	
  um	
  espaço	
  vetorial	
  V	
  gerado	
  por	
  um	
  conjunto	
   finito	
  de	
  vetores	
  𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣! .	
   Então	
   qualquer	
   conjunto	
   com	
   mais	
   de	
   𝑛 	
  vetores	
   é	
  necessariamente	
   LD	
   (e	
   portanto,	
   qualquer	
   conjunto	
   LI	
   tem	
   no	
   máximo	
  𝑛	
  vetores).	
  	
  
Corolário:	
  qualquer	
  base	
  de	
  um	
  espaço	
  vetorial	
   tem	
  sempre	
  o	
  mesmo	
  número	
  de	
  elementos.	
  Este	
  número	
  é	
  chamado	
  de	
  dimensão	
  de	
  V,	
  e	
  denotado	
  dim	
  V.	
  
	
   	
  
Definição	
  B:	
  um	
  conjunto	
  𝐵 = {𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣!}	
  de	
  vetores	
  é	
  uma	
  base	
  de	
  V	
  se	
  todo	
  vetor	
  𝑣 ∈ 𝑉	
  pode	
   escrever-­‐se	
   de	
   maneira	
   única	
   como	
   combinação	
   linear	
   dos	
  vetores	
  base.	
  Diz-­‐se	
  que	
  um	
  espaço	
  vetorial	
  V	
  tem	
  dimensão	
  finita	
  n,	
  ou	
  que	
  é	
  n-­‐dimensional,	
  e	
  se	
  escreve:	
  	
  
dim	
  V	
  =	
  n	
  
	
  
Teorema:	
  seja	
  V	
  um	
  espaço	
  vetorial	
  de	
  dimensão	
  finita	
  n.	
  i) quaisquer	
  n+1	
  ou	
  mais	
  vetores	
  em	
  V	
  são	
  linearmente	
  dependentes	
  ii) qualquer	
  conjunto	
  linearmente	
  independente	
  de	
  S	
  com	
  n	
  elementos	
  é	
  uma	
  base	
  de	
  B.	
  iii) Qualquer	
  conjunto	
  gerador	
  de	
  V	
  com	
  n	
  	
  elementos	
  é	
  uma	
  base	
  de	
  V.	
  	
  
Teorema:	
  Suponha	
  que	
  S	
  gere	
  um	
  espaço	
  vetorial	
  V.	
  i) qualquer	
  número	
  máximo	
  de	
  vetores	
  linearmente	
  independentes	
  em	
  S	
  formam	
  uma	
  base	
  de	
  V.	
  ii) Suponhamos	
   que	
   se	
   elimine	
   de	
   S	
   cada	
   vetor	
   que	
   seja	
   combinação	
  linear	
  dos	
  precedentes.	
  Então	
  os	
  vetores	
  restantes	
  formam	
  uma	
  base	
  de	
  V.	
  	
  
Posto	
  de	
  uma	
  Matriz	
  
	
  O	
   posto	
   linha	
   	
   da	
   matriz	
   A	
   é	
   igual	
   ao	
   número	
   máximo	
   de	
   linhas	
   linearmente	
  independentes,	
  ou	
  se	
  diz,	
  equivalentemente,	
  à	
  dimensão	
  do	
  espaço	
  linha	
  de	
  A.	
  Analogamente,	
  temos	
  o	
  posto	
  coluna	
  de	
  	
  A	
  é	
  igual	
  ao	
  número	
  máximo	
  de	
  colinas	
  linearmente	
  independentes	
  ou,	
  equivalente,	
  à	
  dimensão	
  do	
  espaço	
  coluna	
  de	
  A.	
  	
  
Teorema:	
  o	
  posto	
  linha	
  e	
  o	
  posto	
  coluna	
  de	
  qualquer	
  matriz	
  A	
  são	
  iguais.	
  	
  	
  Exemplo:	
  
	
  1)	
   Encontre	
   uma	
   base	
   e	
   a	
   dimensão	
   do	
   espaço	
   linha	
   dos	
   vetores	
  𝑣! = 1,2,0,−1 , 𝑣! = 2,6,−3,−3 𝑒  𝑣! = (3,10,−6,−5).	
  	
  2)	
   Determine	
   se	
   (1,1,1),	
   (1,2,3)	
   e	
   (2,-­‐1,1)	
   formam	
   uma	
   base	
   para	
   o	
   espaço	
  vetorial	
  ℝ!.	
  	
  3)	
  Determine	
  se	
  (1,1,1,1),	
  (1,2,3,2),	
  (2,5,6,4)	
  e	
  (2,6,8,5)	
  forma	
  uma	
  base	
  para	
  ℝ!.