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Apostila de Mecânica Geral, revisão objetiva - Estática

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no seu baricentro, ou cento de gravidade 
(CG). O centro de gravidade pode 
localizar-se dentro ou fora da superfície. 
 O centro de gravidade de uma 
superfície plana é, por definição, o ponto 
de coordenadas: 
CG
y
x CG
x
y CG
 
∫ ⋅==
A
y
CG dAxAA
M
x 1 ∫ ⋅==
A
x
CG dAyAA
My 1 
onde: 
xCG = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente; 
yCG = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente; 
Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x; 
My = momento estático da figura em relação ao eixo y; 
A = área da Figura. 
Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras 
 O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso 
por: 
x
1Ax 1
y1
y n
y
x n
A n
 
∑
∑
=
=
⋅
= n
i
i
n
i
ii
CG
A
xA
x
1
1 
 
∑
∑
=
=
⋅
= n
i
i
n
i
ii
CG
A
yA
y
1
1 
 
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47
Centro de gravidade de algumas figuras planas 
retângulo 
h
b
CG
y
CGx
x
y CG
 
2
bxCG = 
 
2
hyCG = 
triângulo 
h
y
CG
x
CGy
x CG
b 
3
bxCG = 
3
hyCG = 
círculo 
x
CG
y
 
 
0=CGx 
 
0=CGy 
Semicírculo 
CG 3
r r
___4Rπ
 
π3
4ryCG = 
¼ de círculo 
___4R
3
r
π
CG 3
___4Rπ
 
π3
4rxCG = 
 
π3
4ryCG = 
trapézio 
h
CG
y
2
h 1
x 
ba
bahh +
+⋅= 2
31
 
 
ba
bahh +
+⋅= 2
32
 
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48
Exemplos 
1. Determinar o centro de gravidade CG do retângulo 
em relação ao eixo x que passa pela sua base. 
Área do retângulo hbA ⋅= 
O Momento Estático do retângulo em relação ao eixo 
x é somatória do produto de cada elemento de área dA 
pela sua distância em relação ao eixo x. 
dy
h
b
dA
x
 
Momento Estático 
dybdA ⋅= 
∫∫ ⋅⋅=⋅=
h
A
x dybydAyM
0
 
2
0
22
2
0
2 ⋅−⋅=

 ⋅= bhbybM
h
x 2
2hbM x
⋅= 
Centro de Gravidade 
2
2
2
h
hb
hb
A
My xCG =⋅
⋅
== 
2
hyCG = 
 
2. Determinar o CG da Figura. 
(medidas em centímetros) 
( ) ( ) ( )
2
321
84
3446158
cmA
A
AAAA
=
×−×−×=
−−=
 
2
2 4
3
2
6
2
15
1
2
3
y C
G
2 x
3
= 
3,
5
1
= 
7,
5
C
G
y
y
= 
10
2
C
G
 
 
( )
( )
( )
3
,3,2,1
3
33,3
3
22,2
3
11,1
61842240900
42435,3
2404610
9001585,7
cmMMMM
cmAyM
cmAyM
cmAyM
xxxx
CGx
CGx
CGx
=−−=−−=
=××=⋅=
=××=⋅=
=××=⋅=
 
cm
cm
cm
A
My xCG 36,784
618
2
3
=== 
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49
3. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada. 
12
x CG8
33
2
1 3
9
5,
69
( )
( )
2
21
2
2
2
1
87
933
96812
cmAAA
cmA
cmA
=−=
=×=
=×=
 
 
3
,2,1
3
,2
3
,1
495
81339
5761286
cmMMM
cmM
cmM
xxx
x
x
=−=
=××=
=××=
 
 
cm
cm
cm
A
My xCG 69,587
576
2
3
=== 
 
4. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada (medidas em centímetro). 
x
y
3 3
6
4 2
3
4
5,
15
 
 
 A Figura 
hachurada pode ser o 
resultado de um 
retangulo (12×6) cm 
do qual foram retirados 
um triângulo e um 
semicírculo. 
 
Área da figura 
( ) ( )[ ] ( )
2
22
72,53
72,565,0635,0612
cmA
cmrA
AAAA SCTR
=
=××−××−×=
−−=
π 
Momento Estático 
3
, 2163612 cmM xR =××= 
3
, 36635,04 cmM xT =×××= 
32
, 37,323
24625,0 cmM xSC =

 ×−×= ππ 
3
,,, 63,147 cmMMMM xCCxTxRx =−−= 
Coordenada yCG do centro de gravidade 
A
My xCG = cmyCG 6,272,56
63,147 == 
 
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50
Analogamente, determina-se a coordenada xCG. 
x
y
6
3 3 4 2
1
8
6
 
3
,,,
3
2
,
3
,
3
,
73,372
26,50
2
28
9
2
631
4326126
cmMMMM
cmM
cmM
cmM
ySCyTyRy
ySC
yT
yR
=−−=
=××=
=××=
=××=
π 
 
Coordenada xCG do centro de gravidade 
A
M
x yCG = cmxCG 57,672,56
73,372 == 
 
5.4 Momento de Inércia 
 O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência é 
definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área que compõem a 
superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de referência, elevadas ao quadrado. 
A
x
y
x
y
dA
 
∫
∫
=
=
Ay
Ax
dAxI
dAyI
2
2
 
 A unidade do momento de inércia é [L]2×[L]2=[L]4 . 
 O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no 
dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a 
resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma 
peça, maior a sua resistência. 
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Propriedade: 
O momento de inércia total de uma 
superfície é a somatória dos momentos de 
inércia das figuras que a compõe. 
xxxx IIII ,3,2,1 ++= 
A 3 CG 3
A
CG
A
CG 1
2
2
1
 
 
Exemplo 
Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x que passa 
pelo CG. (medidas em centímetros) 
3
8
4
4
6
6
x CG
 
12
3hbI
CGx
⋅= 
 
( )33 83128
12
1 ×−×=
CGx
I 
 
4024.1 cmI
CGx
= 
 
5.5 Translação de eixos 
 O momento de inércia de uma 
superfície em relação a um eixo qualquer 
é igual ao momento de inércia em relação 
ao eixo que passa pelo seu centro de 
gravidade, acrescido do produto da área 
(A) pelo quadrado da distância que separa 
os dois eixos. 
2
CGxx yAII CG ⋅+= 2CGyy xAII CG ⋅+= 
onde: 
y y
x CG
CG
CG
x
y CG
CG
x
 
Ix = momento de inércia da figura em relação ao eixo x. 
Iy= momento de inércia da figura em relação ao eixo x. 
CGx
I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGx que passa pelo CG da figura. 
CGy
I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGy que passa pelo CG da figura. 
CGx = distância do eixo y até o eixo CGy . 
CGy = distância do eixo x até o eixo CGx . 
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 O momento de inércia é utilizado para a determinação das tensões normais a que 
estão sujeitas as peças submetidas à flexão. 
 As formulações acima podem ser expressas em função do momento estático: 
AyM x ⋅= → 222 AyM x ⋅= → 2
2
2
A
My x= 
 
 
A
MII xxx CG
2
+= 
2
CGxx yAII CG ⋅+= → AA
MII xxx CG ⋅+= 2
2
 ⇒ 
 
A
MII xxxCG
2
−= 
 
Exemplo: 
Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos seguintes eixos: 
a) x, passando pela base inferior. 
b) CGx , passando pelo CG. 
a) 
 
x
h
b
dy
dA=b.dy
 
 
∫= Ax dAyI 2 
 
∫ 

 ⋅==
h h
x
ybbdyyI
0 0
3
2
3
 → 
3
3hbIx
⋅= 
b) 
h/2
-h/2
x
b
CG
h/2
+h/2
 
 
dAyI
AxCG ∫= 2 
 
 
2
2
32
2
2
3
h
h
h
h
x
hbbdyyI
CG
−−


 ⋅== ∫ 
 



 

−−

⋅=
33
223
hhbI
CGx 
 


 +⋅=
883
33 hhbI
CGx
 
 
128
2
3
33 hbhbI
CGx
⋅=⋅= 
 
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Utilizando a formulação de mudança de eixos 
x
CG
h/2
h
h/2
CG
x
b 
Momento de inércia do retângulo em 
relação ao seu CG → 
12
3