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Rafael Santos
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no seu baricentro, ou cento de gravidade (CG). O centro de gravidade pode localizar-se dentro ou fora da superfície. O centro de gravidade de uma superfície plana é, por definição, o ponto de coordenadas: CG y x CG x y CG ∫ ⋅== A y CG dAxAA M x 1 ∫ ⋅== A x CG dAyAA My 1 onde: xCG = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente; yCG = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente; Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x; My = momento estático da figura em relação ao eixo y; A = área da Figura. Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso por: x 1Ax 1 y1 y n y x n A n ∑ ∑ = = ⋅ = n i i n i ii CG A xA x 1 1 ∑ ∑ = = ⋅ = n i i n i ii CG A yA y 1 1 Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 47 Centro de gravidade de algumas figuras planas retângulo h b CG y CGx x y CG 2 bxCG = 2 hyCG = triângulo h y CG x CGy x CG b 3 bxCG = 3 hyCG = círculo x CG y 0=CGx 0=CGy Semicírculo CG 3 r r ___4Rπ π3 4ryCG = ¼ de círculo ___4R 3 r π CG 3 ___4Rπ π3 4rxCG = π3 4ryCG = trapézio h CG y 2 h 1 x ba bahh + +⋅= 2 31 ba bahh + +⋅= 2 32 Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 48 Exemplos 1. Determinar o centro de gravidade CG do retângulo em relação ao eixo x que passa pela sua base. Área do retângulo hbA ⋅= O Momento Estático do retângulo em relação ao eixo x é somatória do produto de cada elemento de área dA pela sua distância em relação ao eixo x. dy h b dA x Momento Estático dybdA ⋅= ∫∫ ⋅⋅=⋅= h A x dybydAyM 0 2 0 22 2 0 2 ⋅−⋅= ⋅= bhbybM h x 2 2hbM x ⋅= Centro de Gravidade 2 2 2 h hb hb A My xCG =⋅ ⋅ == 2 hyCG = 2. Determinar o CG da Figura. (medidas em centímetros) ( ) ( ) ( ) 2 321 84 3446158 cmA A AAAA = ×−×−×= −−= 2 2 4 3 2 6 2 15 1 2 3 y C G 2 x 3 = 3, 5 1 = 7, 5 C G y y = 10 2 C G ( ) ( ) ( ) 3 ,3,2,1 3 33,3 3 22,2 3 11,1 61842240900 42435,3 2404610 9001585,7 cmMMMM cmAyM cmAyM cmAyM xxxx CGx CGx CGx =−−=−−= =××=⋅= =××=⋅= =××=⋅= cm cm cm A My xCG 36,784 618 2 3 === Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 49 3. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada. 12 x CG8 33 2 1 3 9 5, 69 ( ) ( ) 2 21 2 2 2 1 87 933 96812 cmAAA cmA cmA =−= =×= =×= 3 ,2,1 3 ,2 3 ,1 495 81339 5761286 cmMMM cmM cmM xxx x x =−= =××= =××= cm cm cm A My xCG 69,587 576 2 3 === 4. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada (medidas em centímetro). x y 3 3 6 4 2 3 4 5, 15 A Figura hachurada pode ser o resultado de um retangulo (12×6) cm do qual foram retirados um triângulo e um semicírculo. Área da figura ( ) ( )[ ] ( ) 2 22 72,53 72,565,0635,0612 cmA cmrA AAAA SCTR = =××−××−×= −−= π Momento Estático 3 , 2163612 cmM xR =××= 3 , 36635,04 cmM xT =×××= 32 , 37,323 24625,0 cmM xSC = ×−×= ππ 3 ,,, 63,147 cmMMMM xCCxTxRx =−−= Coordenada yCG do centro de gravidade A My xCG = cmyCG 6,272,56 63,147 == Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 50 Analogamente, determina-se a coordenada xCG. x y 6 3 3 4 2 1 8 6 3 ,,, 3 2 , 3 , 3 , 73,372 26,50 2 28 9 2 631 4326126 cmMMMM cmM cmM cmM ySCyTyRy ySC yT yR =−−= =××= =××= =××= π Coordenada xCG do centro de gravidade A M x yCG = cmxCG 57,672,56 73,372 == 5.4 Momento de Inércia O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência é definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área que compõem a superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de referência, elevadas ao quadrado. A x y x y dA ∫ ∫ = = Ay Ax dAxI dAyI 2 2 A unidade do momento de inércia é [L]2×[L]2=[L]4 . O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma peça, maior a sua resistência. Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 51 Propriedade: O momento de inércia total de uma superfície é a somatória dos momentos de inércia das figuras que a compõe. xxxx IIII ,3,2,1 ++= A 3 CG 3 A CG A CG 1 2 2 1 Exemplo Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x que passa pelo CG. (medidas em centímetros) 3 8 4 4 6 6 x CG 12 3hbI CGx ⋅= ( )33 83128 12 1 ×−×= CGx I 4024.1 cmI CGx = 5.5 Translação de eixos O momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo qualquer é igual ao momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo seu centro de gravidade, acrescido do produto da área (A) pelo quadrado da distância que separa os dois eixos. 2 CGxx yAII CG ⋅+= 2CGyy xAII CG ⋅+= onde: y y x CG CG CG x y CG CG x Ix = momento de inércia da figura em relação ao eixo x. Iy= momento de inércia da figura em relação ao eixo x. CGx I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGx que passa pelo CG da figura. CGy I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGy que passa pelo CG da figura. CGx = distância do eixo y até o eixo CGy . CGy = distância do eixo x até o eixo CGx . Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 52 O momento de inércia é utilizado para a determinação das tensões normais a que estão sujeitas as peças submetidas à flexão. As formulações acima podem ser expressas em função do momento estático: AyM x ⋅= → 222 AyM x ⋅= → 2 2 2 A My x= A MII xxx CG 2 += 2 CGxx yAII CG ⋅+= → AA MII xxx CG ⋅+= 2 2 ⇒ A MII xxxCG 2 −= Exemplo: Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos seguintes eixos: a) x, passando pela base inferior. b) CGx , passando pelo CG. a) x h b dy dA=b.dy ∫= Ax dAyI 2 ∫ ⋅== h h x ybbdyyI 0 0 3 2 3 → 3 3hbIx ⋅= b) h/2 -h/2 x b CG h/2 +h/2 dAyI AxCG ∫= 2 2 2 32 2 2 3 h h h h x hbbdyyI CG −− ⋅== ∫ −− ⋅= 33 223 hhbI CGx +⋅= 883 33 hhbI CGx 128 2 3 33 hbhbI CGx ⋅=⋅= Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 53 Utilizando a formulação de mudança de eixos x CG h/2 h h/2 CG x b Momento de inércia do retângulo em relação ao seu CG → 12 3
