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Apostila de Mecânica Geral, revisão objetiva - Estática

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,
hbI CGx
⋅= 
2
CGxx yAII CG ⋅+= 
23
212


⋅+⋅= hbhhbI x 
12
3
412
3333 bhbhhbhbI x
⋅+=⋅+⋅= 
312
4 33 hbIhbI xx
⋅=⇒⋅= 
 
5.6 Módulo Resistente 
 Define-se módulo resistente de uma superfície plana em relação aos eixos que 
contém o CG como sendo a razão entre o momento de inércia relativo ao eixo que passa 
pelo CG da figura e a distância máxima entre o eixo e a extremidade da seção estudada. 
x
ysup
yinf
x esq x dir
CG
y
 
maxy
IW CGx = 
 
maxx
IW CGy = 
onde: 
ICG = momento de inércia da peça em relação ao CG da figura 
x, y = distância entre o eixo do CG da figura e a extremidade da peça. 
 A unidade do módulo resistente é [ ][ ] [ ]3
4
L
L
L = . 
 O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças submetidas à 
flexão. 
 
Para o retângulo, tem-se: 
h/2
b
CG
h/2
 
12
3hbI x
⋅= hbA ⋅= 
6
2
12
2
12
23
3
hb
h
hb
h
hb
Wx
⋅=⋅⋅=
⋅
= 
 
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5.7 Raio de Giração 
 Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento 
de inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de 
giração é utilizado para o estudo da flambagem. 
A
Ii = cm
cm
cm =2
4
 
Características Geométricas de algumas figuras conhecidas 
Figura Momento de Inércia 
Momento 
Resistente Raio de Giração 
Quadrado 
 h
h
CG
 
12
4hI x = 6
3hWx = 12
hix = 
Retângulo 
b
CG
h
CGx
 
12
3bhI
CGx = 6
2hbWx
⋅= 
12
hix = 
Triângulo 
CG
b
h
x CG
 
36
3bhI
CGx
= 
12
2hbWx
⋅= 
6
2⋅= hix 
Círculo 
D
CG
x CG
 
64
4dI
CGx
π= 32
3DWx
⋅= π 
4
Dix = 
Círculo vazado 
CG
D d
CG
x
 
 
( )
64
44 dDI
CGx
−= π
 
( )
32
33 dDWx
−= π 22
4
1 dDix += 
 
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Exemplo 
A figura representa a seção transversal de 
uma viga “T”. Para a figura, determinar: 
a) o centro de gravidade; 
b) o momento de inércia em relação ao 
eixo x; 
c) os módulos Resistentes superior e 
inferior; 
d) o raio de giração. 
(medidas em centímetros) 
x
2
5
1
3
2
CG
3
x CG
y
y
sup
inf
32
 
Para facilitar a determinação das propriedades geométricas de figuras compostas, convém 
montar a seguinte tabela: 
 
Figura b (cm) h (cm) yCG (cm) A (cm2) Mx (cm3) ICGi (cm4) Ixi (cm4) 
1 3 2 6 6 36 2 218 
2 2 7 3,5 4 49 57,17 228,67 
3 3 2 6 6 36 2 218 
Σ 26 121 664,67 
 
Centro de gravidade (CG) 
cm
A
M
y xCG 65,426
121 === ∑
∑ 
Como o eixo de referência passa pela base da figura, então yinf=4,65cm e ysup=2,35cm. 
Na coluna ICGi (cm4) foi determinado o momento de inércia de cada figura, passando pelo 
respectivo centro de gravidade. Por se tratar de retângulos, utilizou-se a expressão 
12/3hbI x ⋅= . Em seguida, deve-se proceder à translação destes momentos de inércia para 
eixo x de referência para determinar a sua somatória. 
A translação de eixos é feita por meio da expressão: AyII CGx ⋅+= 2 
Obtido o momento de inércia total em relação ao eixo x, deve-se agora proceder à 
translação para o eixo x que passa pelo centro de gravidade da figura, por meio da seguinte 
expressão: 
A
MII xxCG
2
−= 
26
12167,664
2
−=CGI 
O momento de inércia da figura em relação ao seu centro de gravidade é 455,101 cmICG = 
Em seguida, calculam-se os momentos resistentes: 
3
sup
sup, 21,4335,2
55,101 cm
y
IW CGx === 3
inf
inf, 84,2165,4
55,101 cm
y
IW CGx === 
Finalmente, determina-se o raio de giração. 
A
Ii CGx = cmix 98,126
55,101 == 
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Exercícios: Determinar as características geométricas das figuras abaixo: a) área; b) centro 
de gravidade (xCG , yCG); c) momento de inércia em relação ao eixo x; c) momento de 
inércia em relação ao eixo x; d) módulo resistente superior e inferior; e) raio de giração. 
x
1
1 4
medidas em centímetros
1
8
y
 
Respostas: 
 
A = 16 cm2 yCG = 4 cm 
Ix,CG = 141,33 cm4 
Wsup = 35,33 cm3 Winf = 35,33 cm3 
i = 2,97 cm 
xmedidas em centímetros
5
2
3
3 32
y
 
Respostas: 
 
A = 86 cm2 yCG = 5,105 cm 
Ix,CG = 683,73 cm4 
Wsup = 139,67 cm3 Winf = 133,94 cm3 
i = 2,82 cm 
x1 10 2
1
4
y
medidas em centímetros 
Respostas: 
A = 25 cm2 yCG = 1,7 cm 
Ix,CG = 56,08 cm4 
Wsup = 16,99 cm3 Winf = 32,99 cm3 
i = 1,50 cm 
x
1
2,5 2,51
1
y
6
medidas em centímetros 
Respostas: 
 
A = 18 cm2 yCG =4,0 cm 
Ix,CG = 166 cm4 
Wsup = Winf =41,5 cm3 
i = 3,04 cm 
y
1,2 3,6 1,2
6 1,
2
medidas em centímetros
x
 
Respostas: 
 
A = 18,72 cm2 yCG = 3,0 cm 
Ix,CG = 43,72 cm4 
Wsup = Winf = 14,57 cm3 
i = 1,53 cm 
x
medidas em centímetros
y
1
1
1,5 3,5
1,
2
1,
2
3,
68
 
Respostas: 
 
A = 23,2 cm2 yCG = 4 cm 
Ix,CG = 179,06 cm4 
Wsup = 44,76 cm3 Winf = 44,76 cm3 
i = 2,78 cm 
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6 ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 
6.1 Introdução 
 Os corpos sólidos não são rígidos e indeformáveis. A experiência mostra que, 
quando submetidos a forças externas, os corpos se deformam, ou seja, variam de 
dimensões. Os esforços internos que tendem a resistir às forças externas são chamados 
esforços solicitantes. 
 Se as forças externas produzirem tensões abaixo do limite de elasticidade do 
material do corpo sólido, ao cessarem, este readquire a forma e as dimensões originais. 
Esta propriedade chama-se elasticidade e a deformação chama-se, então, elástica. 
 Se as forças, porém, passarem de um determinado valor, de modo que, ao cessarem, 
o corpo não volta mais à forma primitiva, mantendo-se permanentemente deformado, diz-
se que o corpo foi solicitado além do limite de elasticidade. 
 Se as forças aumentarem ainda mais, as deformações permanentes aumentam 
rapidamente até provocarem ruptura do corpo. A força que provoca ruptura do corpo serve 
para medir sua solidez, ou seja, sua resistência à ruptura. 
 Ao se dimensionar uma peça deve-se não só evitar a sua ruptura, como também 
evitar deformações permanentes, ou seja, ao cessar a força externa, as deformações devem 
também cessar. 
 Surge então a necessidade de um estudo mais profundo dos esforços a que estão 
submetidos os materiais, com vistas a se obter um dimensionamento seguro e econômico. 
 
6.2 Classificação dos esforços solicitantes 
 Os esforços solicitantes são classificados em: 
• Força Normal (N) 
 Força Normal é a componente da força que age perpendicular à seção transversal. 
Se for dirigida para fora do corpo, provocando alongamento no sentido da aplicação da 
força, produz esforços de tração. Se for dirigida para dentro do corpo, provocando 
encurtamento no sentido de aplicação da força, produz esforços de compressão. 
 As forças normais são equilibradas por esforços internos resistente e se manifestam 
sob a forma de tensões normais (força por unidade de área), representadas pela letra grega 
σ (Sigma), que serão de tração ou de compressão segundo a força normal N seja de tração 
ou compressão. 
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• Força Cortante (V) 
 Força Cortante é componente da força, contida no plano da seção transversal que 
tende a deslizar uma porção do corpo em relação à outra, provocando corte (deslizamento 
da seção em seu plano). As tensões desenvolvidas internamente que opõem resistência às 
forças cortantes são denominadas