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Apostila_Introdução_Teoria das Estruturas

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1 MECÂNICA _____________________________________________________________________ 1 
1.1 Introdução ____________________________________________________________________ 1 
1.2 Conceitos Fundamentais _________________________________________________________ 2 
1.3 Sistema Internacional de Unidades _________________________________________________ 2 
1.4 Trigonometria__________________________________________________________________ 4 
1.5 Alfabeto Grego _________________________________________________________________ 6 
2 ESTÁTICA ______________________________________________________________________ 7 
2.1 Forças no plano ________________________________________________________________ 7 
2.2 Equilíbrio de um ponto material ___________________________________________________ 7 
2.3 Resultante de uma força _________________________________________________________ 8 
2.4 Momento de uma força _________________________________________________________ 14 
2.4.1 Momento de um sistema de forças coplanares _____________________________________ 14 
2.4.2 Teorema de Varignon ________________________________________________________ 14 
2.4.3 Momento de um binário ______________________________________________________ 15 
2.4.4 Equilíbrio de corpos rígidos ___________________________________________________ 18 
2.5 Apoios _______________________________________________________________________ 19 
2.6 Tipos de Estruturas ____________________________________________________________ 20 
2.6.1 Estruturas hipostáticas _______________________________________________________ 20 
2.6.2 Estruturas isostáticas_________________________________________________________ 20 
2.6.3 Estruturas hiperestáticas______________________________________________________ 20 
3 TRELIÇAS _____________________________________________________________________ 21 
3.1 Definição ____________________________________________________________________ 21 
3.2 Método do equilíbrio dos nós _____________________________________________________ 22 
4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES_____________________________________________________ 28 
4.1 Introdução ___________________________________________________________________ 28 
4.2 Diagrama tensão-deformação ____________________________________________________ 29 
4.3 Tensão admissível______________________________________________________________ 30 
4.4 Lei de Hooke__________________________________________________________________ 30 
4.4.1 Coeficiente de Poisson________________________________________________________ 32 
4.4.2 Forma geral da Lei de Hooke - Teoria da Elasticidade _______________________________32 
4.5 Estruturas estaticamente indeterminadas ___________________________________________ 35 
4.6 Tensões iniciais e Tensões Térmicas _______________________________________________ 38 
4.7 Tensão de cisalhamento_________________________________________________________ 41 
5 MOMENTO DE INERCIA DAS FIGURAS PLANAS____________________________________ 44 
5.1 Área_________________________________________________________________________ 44 
5.2 Momento Estático (ou Momento de Inércia___________________________________________45 
5.3 Centro de Gravidade____________________________________________________________ 46 
5.4 Momento de Inércia ____________________________________________________________ 50 
5.5 Translação de eixos ____________________________________________________________ 51 
5.6 Módulo Resistente _____________________________________________________________ 53 
5.7 Raio de Giração _______________________________________________________________ 54 
6 ESFORÇOS SOLICITANTES ______________________________________________________ 57 
6.1 Introdução ___________________________________________________________________ 57 
6.2 Classificação dos esforços solicitantes _____________________________________________ 57 
6.3 Convenção de sinais____________________________________________________________ 58 
7 VIGAS _________________________________________________________________________ 60 
7.1 Introdução ___________________________________________________________________ 60 
7.2 Tipos de cargas________________________________________________________________ 60 
7.2.1 Cargas distribuídas __________________________________________________________ 60 
7.3 Apoios ou vínculos _____________________________________________________________ 61 
7.4 Equações diferenciais de equilíbrio________________________________________________ 75 
8 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO _________________________________________ 85 
8.1 Hipóteses admitidas ____________________________________________________________ 85 
8.2 Tensões normais na flexão ______________________________________________________ 86 
8.3 Tensões de cisalhamento na flexão ________________________________________________ 92 
9 DEFORMAÇÕES NAS VIGAS _____________________________________________________ 97 
BIBLIOGRAFIA ____________________________________________________________________ 104 
Matemática - Série Concursos Públicos 
Curso Prático & Objetivo 
 
Resistência dos Materiais - Apostila II 
 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
letras maiúsculas 
A área 
E módulo de elasticidade 
F força 
I momento de inércia 
L comprimento 
M momento, momento fletor 
Ms momento estático 
N força normal 
P carga concentrada 
R resultante de forças, esforço 
resistente 
S esforço solicitante 
V força cortante 
 
letras minúsculas 
a aceleração 
b largura 
g aceleração da gravidade 
h dimensão, altura 
l comprimento 
m metro, massa 
max máximo 
min mínimo 
q carga distribuída 
s segundo 
v deslocamento vertical 
x distância da linha neutra ao ponto de 
maior encurtamento na seção 
transversal de uma peça fletida 
 
letras gregas 
α, θ ângulo, coeficiente 
δ deslocamento 
φ diâmetro 
ε deformação específica 
fγ coeficiente de majoração das ações 
σ tensão normal 
σ tensão normal admissível 
τ tensão tangencial 
τ tensão tangencial admissível 
υ coeficiente de Poisson 
 
índices 
adm admissível 
c compressão 
f ação 
t tração, transversal 
w alma das vigas 
max máximo 
min mínimo 
 
 
 
 
 
 
Matemática - Série Concursos Públicos 
Curso Prático & Objetivo 
 
1
 
 
1 MECÂNICA 
 
1.1 Introdução 
 
 A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e dos 
movimentos. A Mecânica descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de 
corpos sob a ação de forças. 
 A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, fornecendo, assim, 
os fundamentos para as aplicações da Engenharia. 
 A Mecânica é subdividida em três grandes ramos: Mecânica dos Corpos Rígidos, 
Mecânica dos Corpos Deformáveis e Mecânica dos Fluídos, como indicado abaixo. 
 
 Estática 
 Mecânica dos corpos rígidos Cinemática 
 Dinâmica 
 
Mecânica Mecânica dos corpos deformáveis Resistência dos Materiais 
 
 Fluídos incompressíveis → líquidos 
 Mecânica dos fluídos 
 Fluídos compressíveis → gases 
 
 Mecânica dos corpos rígidos: é subdividida em Estática, Cinemática e Dinâmica. 
 A Estática se refere aos corpos em repouso e estuda as forças em equilíbrio, 
independentemente do movimento por elas produzido. Na Estática, os corpos analisados 
são considerados rígidos, conseqüentemente, os resultados obtidos independem das 
propriedades do material. 
 A Cinemática estuda os movimentos em si e as leis que os regem: 
• movimento uniforme – móvel percorrendo espaços iguais em tempos iguais para 
quaisquer trechos de trajetória; 
• movimento uniformemente variado – a velocidade do móvel varia de valores iguais 
em tempos iguais. Se houver crescimento da velocidade, o movimento será 
uniformemente acelerado; se houver decréscimo, o movimento será uniformemente 
retardado; 
• movimentos de rotação. 
 
 A Dinâmica estuda a relação entre o movimentoe a causa que o produz (força). 
 
Matemática - Série Concursos Públicos 
Curso Prático & Objetivo 
 
2
 Mecânica dos corpos deformáveis: as estruturas e as máquinas nunca são 
absolutamente rígidas, deformando-se sob a ação das cargas a que estão submetidas. Estas 
deformações são geralmente pequenas e não alteram apreciavelmente as condições de 
equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada. 
 No entanto, essas deformações terão importância quando houver riscos de ruptura 
do material. A Mecânica dos corpos deformáveis é estudada pela Resistência dos 
Materiais, Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos, como também são 
conhecidas. 
 O estudo dos corpos deformáveis resume-se na determinação da resistência 
mecânica, da rigidez e da estabilidade de elementos estruturais. 
 
 Mecânica dos fluídos: A Mecânica dos Fluídos é subdividida no estudo dos fluidos 
incompressíveis (líquidos) e fluidos compressíveis (gases). Uma importante subdivisão do 
estudo de fluidos incompressíveis é a hidráulica. 
 
1.2 Conceitos Fundamentais 
 Os conceitos fundamentais da Mecânica baseiam-se na Mecânica Newtonia: 
• espaço: o conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto material, 
o qual pode ser definido por três comprimentos, medidos a partir de um certo ponto 
de referência, ou de origem, segundo três direções dadas. Estes comprimentos são 
conhecidos como as coordenadas do ponto; 
• tempo: para se definir um evento não é suficiente definir sua posição no espaço. O 
tempo ou instante em que o evento ocorre também deve ser dado; 
• força: a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que tende a 
produzir movimento ou a modificá-lo. A força é caracterizada pelo seu ponto de 
aplicação, sua intensidade, direção e sentido; uma força é representada por um 
vetor; 
 
1.3 Sistema Internacional de Unidades 
 O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas e 
unidades derivadas. 
 As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). As unidades 
derivadas são, entre outras, força, trabalho, pressão, etc... 
 As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as 
três unidades básicas escolhidas são independentes dos locais onde são feitas as medições. 
 A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a 
aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F=m.a (segunda Lei de 
Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2. 
 As medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentos chamados 
dinamômetros. 
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Curso Prático & Objetivo 
 
3
 O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N). Da Equação 
P=m.g (terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitação) segue-se que o peso de um corpo de 
massa 1 kg é = (1 kg)×(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é a aceleração da gravidade. 
 A pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão exercida 
por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de 1 
metro quadrado de área, perpendicular à direção da força 2/ mNPa = . Pascal é também 
unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões tangenciais (cisalhamento). 
 
Múltiplos e submúltiplos 
Nome Símbolo fator pelo qual a unidade é multiplicada 
exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 
peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 
tera T 1012 = 1 000 000 000 000 
giga G 109 = 1 000 000 000 
mega M 106 = 1 000 000 
quilo k 103 = 1 000 
hecto h 102 = 100 
deca da 10 
deci d 10-1 = 0,1 
centi c 10-2 = 0,01 
mili m 10-3 = 0,001 
micro µ 10-6 = 0,000 001 
nano n 10-9 = 0,000 000 001 
pico p 10-12 = 0,000 000 000 001 
femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 
atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001 
 
Conversão de Unidades 
A unidade é equivalente a 
1MPa 1 N/mm2 
1 MPa 1 x 106 N/m2 
1 GPa 1 x 109 N/m2 
1 m 100 cm 
1 cm 0,01 m 
1 kgf 9,81 N 
1 kgf 2,20 lb 
1 polegada (ou 1") 2,54 cm 
1 m2 10000 cm2 
 
Exemplo de conversão de medidas de pressão: 
422 10×== cm
N
m
NPa 
1010
1010
242
6
2
6
×=×
×=×=
cm
kN
cm
N
m
NMPa 
2
2
42
9
2
9 10
10
1010
cm
kN
cm
N
m
NGPa ×=×
×=×= 
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4
1.4 Trigonometria 
 Para o estudo da Mecânica necessitam-se dos conceitos fundamentais da 
trigonometria. 
 A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e 
determina um ramo da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados e dos 
ângulos de um triângulo. 
Círculo e Funções Trigonométricas 
 
EFsen =α 
OF=αcos 
ABtg =α 
DCg =αcot 
OB=αsec 
OCec =αcos 
1== ROE 
Triângulo retângulo 
 No triângulo retângulo, os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º. A 
hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90º e é determinada pela relação: 222 cba += . 
Relações trigonométricas 
a
c
hipotenusa
opostocatetosen ==α 
a
b
hipotenusa
adjacentecateto ==αcos 
b
c
adjacentecateto
opostocatetotg ==α 
b
a
adjacentecateto
hipotenusa ==αsec 
b
carctg=α 
a
carcsen=α 
a
barccos=α 
bC
a
α
A
B
c
triângulo retângulo 
 
Relação fundamental da trigonometria: 1cossen 22 =+ xx 
Razões Trigonométricas Especiais 
 30º 45º 60º 
Seno 
2
1 
2
2 
2
3 
Cosseno 
2
3 
2
2 2
1 
Tangente 
3
3 1 3 
 
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5
Exemplos 
 
1. Calcule o valor de c da figura 
20
º30 csen = 
202
1 c= 
 
202 =c mc 10= 
 
2. Determine o valor de b da figura 
20
º30cos b= 
202
3 b= 
 
3202 =b mb 310= 
b
20 m
30°
c
 
 
3. Calcule o valor de a da figura 
222 34 +=a 
 
22 34 +=a ma 5= 
 
4. Determine o valor do ângulo α da figura 
4
3arctg=α º87,36=α 
4 m
α
a
3 m
 
 
 
Triângulo qualquer 
Lei dos senos: R
C
c
B
b
A
a 2
sensensen
=== 
Lei dos cossenos 
Abccba cos2222 ×−+= 
Baccab cos2222 ×−+= 
Cabbac cos2222 ×−+= 
 
 
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6
1.5 Alfabeto Grego 
 Os problemas usuais em engenharia são definidos por formulações matemáticas, as 
quais, usualmente, utilizam letras do alfabeto grego. É, pois, necessário, seu conhecimento 
para as práticas comuns da Engenharia. 
 
Alfabeto Grego 
Símbolo 
Nome 
Maiúscula Minúscula
Alfa Α α 
Beta Β β 
Gama Γ γ 
Delta ∆ δ 
Épsilon Ε ε 
Zeta Ζ ζ 
Eta Η η 
Teta Θ θ 
Iota Ι ι 
Capa Κ κ 
Lambda Λ λ 
Mi Μ µ 
Ni Ν ν 
Csi Ξ ξ 
Ômicron Ο ο 
Pi Π π 
Rô Ρ ρ 
Sigma Σ σ 
Thau Τ τ 
Upsilon Υ υ 
Phi Φ ϕ 
Chi Χ χ 
Psi Ψ ψ 
Omega Ω ω 
 
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7
2 ESTÁTICA 
 
 
2.1 Forças no plano 
 A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu 
ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. 
 A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de 
Unidades (SI). 
 A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo 
da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo, 
como indicado na Figura 1 abaixo. 
F
α
F
α
 
Figura 2.1 
 O sentido da força é indicado por uma seta (vetor). 
 Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto 
de um corpo. 
 Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos 
diversos de um mesmo corpo. 
 
2.2 Equilíbrio de um ponto material 
 Ponto material é uma pequena porção de matéria que pode ser consideradacomo se 
ocupasse um ponto no espaço. 
 Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é nula, 
este ponto está em equilíbrio. Este princípio é conseqüência da primeira lei de Newton: “se 
a força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto permanece em 
repouso (se estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo de uma reta com 
velocidade constante (se originalmente estava em movimento)”. 
 Para exprimir algebricamente as condições de equilíbrio de um ponto material, 
escreve-se: 
0==Σ RF 
onde: 
F = força 
R = resultante das forças 
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8
 A representação gráfica de todas as 
forças que atuam em um ponto material 
pode ser representada por um diagrama de 
corpo livre, como indica a figura ao lado. 
F3
F2
A
F4 F1
 
Figura 2.2 
 
Exemplo: verificar se o sistema de forças indicado está em equilíbrio 
As condições necessárias e suficientes 
para o equilíbrio são: 
0=Σ xF 
0º302000º3010001500 =−−=Σ sensenFx
010005001500 =−−=Σ xF ok 
 
0=Σ yF 
0866º30cos1000º30cos2000 =−−=Σ yF 
08668661732 =−−=Σ yF ok 
xA F = 1500N1
F = 1000N3 F = 866N2
30°
y
F = 2000N4
30°
Resposta: O sistema de forças está em equilíbrio 
 
 
2.3 Resultante de uma força 
 Constata-se experimentalmente que duas forças P e Q que atuam sobre um ponto 
material podem ser substituídas por uma única força R que tenha o mesmo efeito sobre 
esse ponto material. Essa força é chamada de resultante de P e Q. Portanto, a resultante de 
um grupo de forças é a força que, atuando sozinha, produz ação idêntica à produzida pelo 
grupo ou sistema de forças. A resultante pode ser determinada por soluções gráficas ou 
analíticas. 
a) Soluções gráficas: quando um ponto material está em equilíbrio sob a ação de mais de 
três forças o problema pode ser resolvido graficamente pelo desenho de um polígono de 
forças, como indicado nas figuras abaixo. 
Regra do paralelogramo 
Q
A P A P
Q
R R
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9
Regra do Triângulo 
A
Q
A
R=P+Q
P
Q
P
R=P+Q
 
Composição de forças 
R=F1+F2-F3
F3
R=F1+F2
F1
F1
R=F1+F2+F3
F2
F3
F3
F2 F3
 
Decomposição de forças F
Fx
y
x
y
F
 
 
 
 
b) Soluções analíticas: os métodos analíticos utilizam a trigonometria e as equações de 
equilíbrio. 
Exemplos 
 
Determinar a Resultante das duas forças P e 
Q agem sobre o parafuso A. 
 
Q=60 N
25º
20ºA P=40 N
 
 
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10
a. Soluções gráficas 
35.0°
R=98 N
A 20º
25º
P=40 N
Q=60 N
 
R=98 N
Q=60 N
A P=40 N
35.0°
 
Regra do paralelogramo Regra do triângulo 
 
b. Solução analítica: trigonometria 
Cálculo da força resultante: 
Lei dos cossenos: BPQQPR cos2222 −+= 
º155cos604024060 222 ×××−+=R 
NR 7,97= 
 
Cálculo do ângulo α 
Lei dos senos 
R
senB
Q
senA = 
7,97
º155
60
sensenA = 
25,0=senA º15=A 
º20+= Aα º35º20º15 =+=α 
A
R
Q=60 N
α
P=40 N
B
155°
C
 
 
 
 Sabendo-se que o parafuso está fixo, portanto em equilíbrio, existem forças de 
reação que equilibram as forças Q e P. Este princípio é explicado pela terceira lei de 
Newton: “A toda ação corresponde uma reação, com a mesma intensidade, mesma direção 
e sentido contrário”. 
 Portanto, o parafuso está 
reagindo por uma força de 
mesma intensidade da resultante 
de P e Q, mas em sentido 
contrário. A força de reação 
pode ser decomposta em duas 
forças Fx e Fy, que são suas 
projeções sobre os eixos (x e y). 
 
NFx 80º35cos7,97 =×= 
NsenFy 56º357,97 =×= 
A
R=97,7 N
35°
Fx=80 N 20º
Fy=56 N
R=97,7 N
P=40 N
25º
Q=60 N
35.0°
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11
Verificação do equilíbrio do ponto A 
Para que o ponto A esteja em equilíbrio é necessário que a somatória de todas as forças que 
agem no ponto A sejam nulas, ou seja: 0
1
=∑
=
n
i
nF 
y
Q=60 N
Fy=56 N
x
25º
20ºAFx=80 N P=40 N
 
 
 
∑ = 0xF 
∑ =−×+×= 080º20cos40º45cos60xF 
 00 = ok 
 
∑ = 0yF 
∑ =−×+×= 056º2040º4560 sensenFy
 00 = ok 
 
 
 
 Um caso particular da terceira lei de Newton é a lei da gravitação que trata da 
atração da Terra sobre um ponto material localizado em sua superfície. A força de atração 
exercida pela Terra sobre o ponto material é definida como o seu peso (P). a intensidade do 
peso P de um ponto material de massa m é expresso como. 
gmP ⋅= 
onde g=9,81 m/s2 é a aceleração da gravidade. 
 
2. Determinar as forças 
nos cabos. 
gmP ⋅= 
( )2/81,9)(75 smkgP ×=
NP 736= 
30°50° A
75 kg
C
B
 
 
736 N
80°
60°
ACT
40°
TAB
 
solução gráfica: desenho do polígono de forças. 
 
º80
736
º40º60 sensen
T
sen
T ACAB == 
TAB = 647 N e TAC = 480 N 
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12
50°
30°
A
736 N
TAB
ACT
 
solução analítica: equações de equilíbrio. 
0=Σ xF 
0º50cosº30cos =⋅−⋅ ABAC TT 
º30cos
º50cos⋅= ABAC TT (1) 
0=Σ yF 
0736º30º50 =−⋅+⋅ senTsenT ACAB 
Substituindo TAC pela relação (1), tem-se 
736º30
º30cos
º50cosº50 =⋅⋅+⋅ senTsenT ABAB 
TAB = 647 N e TAC = 480 N 
 
Exercícios 
1. Determinar a força F e o ângulo α. 
A
AT =2,5 kN BT = 2,5 kN
F
y
α
x
50°20°
C
20° B50°
α
F
 
 
Respostas: F=2,85 kN e α = 74,7º 
2. Determinar as forças nos cabos 
x
y
60°
20°
AT
TB
P
m=50 kg
A
60°
20°
B
 
Respostas: TA = 761,3 N e TB = 381 N 
 
3. Determinar a resultante do 
sistema de forças indicado e o seu 
ângulo de inclinação em relação ao 
eixo x. 
 
70°
F = 15 N3
F = 10 N1
x50°
F = 20 N2
 
 
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13
Roteiro: 
a. Determinar inicialmente a resultante entre as forças F1 e F2 e seu respectivo ângulo (α12) 
em relação ao eixo x. Chamar a resultante de R12; 
b. Em seguida, determinar a resultante de todo o sistema, chamando-a de R123 (R123 é a 
resultante entre R12 e F3); 
c. Finalmente, determinar o ângulo (α123) de R123 em relação ao eixo x. 
Respostas: R123 = 32,19 N e α123 = 61,46º 
 
4. Determinar o valor da força F. 
a) 
y
x
159,65 N
300 N
20°
60°
F 
b) 
x
F60°
346,41 N
30°
200 N y
 
 
Resp. F = 314,41 N Resp. F = 400 N 
c) 
F
y
x
45°
45°
141,42 N
141,42 N 
d) 
y
x
F30°
60°
45°
250 N
120 N
91,9 N 
 
Resp. F = 200 N Resp. F = 255,45 N 
e) 
329,36 N
100 N
100 N
F
60°
70°
45°
x
y
 
f) 
65°
61 kg
45°
F
450 N
 
Resp. F = 321,74 N Resp. F=268,95 N 
 
 
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14
2.4 Momento de uma força 
 Define-se Momento como a tendência de uma força F fazer girar um corpo rígido 
em torno de um eixo fixo. O Momento depende do módulo de F e da distância de F em ao 
eixo fixo. 
 Considere-se uma força F que atua em um 
corpo rígido fixo no ponto 0, como indicado na 
figura. 
 A força F é representada por um vetor que 
define seu módulo, direção e sentido. O vetor d é a 
distância perpendicular de 0 à linha de ação de F. 
0
A
d
M0
F
 
 Define-se o momento escalar do vetor F em relação a 0, como sendo 
dFM ×=0 
onde: M0= momento escalar do vetor F em relação ao ponto 0 
 0 = pólo ou centro de momento 
 d= distância perpendicular de 0 à linha de açãode F, também chamada de braço de 
 alavanca 
 O momento M0 é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto 0. O sentido 
de M0 é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F. 
 Convenciona-se momento positivo 
se a força F tender a girar o corpo no 
sentido anti-horário e negativo, se tender a 
girar o corpo no sentido horário. 
M-M+
 
 No SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m). 
Portanto, o momento é expresso em newtons × metros (N × m). 
 
2.4.1 Momento de um sistema de forças coplanares 
 Chama-se Momento de um sistema de forças coplanares S={(F1,A1),....,(Fn,An)} em 
relação ao ponto 0, à soma algébrica dos Momentos de cada força em relação ao mesmo 
ponto 0. 
0
A
A
F F
3
1
1 2
A 2b1 b2
b3 F3
 
∑
=
=
n
i
FS i
MM
1
0,0,
 
 
2.4.2 Teorema de Varignon 
 Seja R a resultante do sistema de forças S. “O 
Momento da resultante de um sistema de forças em relação a 
um ponto é igual ao momento do sistema ou seja, a soma 
algébrica dos Momentos de todas as forças componentes em 
relação ao mesmo ponto O”. 
∑
=
==
n
i
FSR i
MMM
1
0,0,0,
 
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15
2.4.3 Momento de um binário 
 Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e 
sentidos opostos formam um binário. A soma das componentes das duas forças em 
qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um 
dado ponto não é zero. Apesar de as duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, 
tendem a fazê-lo girar. 
b
1-F
2A
A1 F1
 
Exemplos 
1. Uma força de 450 N é aplicada no ponto A como ilustrado na figura. Determinar: 
 
a) o momento da força em relação a D; 
b) a menor força aplicada em D que ocasiona 
o mesmo momento em relação a D; 
c) o módulo e o sentido da força vertical que, 
aplicada em C, produz o mesmo momento em 
relação a D; 
d) a menor força que, aplicada em C, 
ocasiona o mesmo momento em relação a D. 
B
30°
A
D
22
5m
m
225mm C
12
5m
m
300mm
450 N
 
30°
B
197.3mm
22
5m
m
C225mm
52.6°
D12
5m
m
300mm
37.4°325
30°
22.6° A
450 N
 
 
 
Solução 
a) braço de alavanca 197,3 mm 
Momento M=F×b 
M=450×197,3= 88785 N.mm ou 
M= 88,8 N.m 
 
B
30°
A
22
5m
m 375 mm
225mm C
53.1°
36.9°
12
5m
m
D
300mm
450 N
 
b) Para se obter a menor força aplicada 
em B que ocasiona o mesmo momento 
em relação a D, deve-se utilizar o 
maior braço de alavanca, ou seja: 
375300225 22 =+=b mm 
b
MF = 8,236
375,0
8,88 ==F N 
c) 
b
MF = 7,394
225,0
8,88 ==F N 
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16
 
d) A menor força que, aplicada em C, 
ocasiona o mesmo momento em relação a D é 
aquela cujo braço de alavanca é o maior 
possível, ou seja: 
2,318225225 22 =+=b mm 
b
MF = 279
3182,0
8,88 ==F N 
30°
318,2 mm22
5m
m
C225mm
D1
25
m
m
300mm
B
A
450 N
 
 
 
2. A figura abaixo representa uma junta rebitada, composta por dois rebites de mesmo 
diâmetro. Determinar as forças horizontais e verticais atuantes nos rebites. 
 Como os rebites são iguais, as cargas e as reações verticais em cada rebite também 
são iguais: RAV= RBV= 3000÷2= 1500 N. 
 O rebite A está sendo “puxado” para a direita, portanto, possuirá uma reação 
horizontal para a esquerda; 
 
O rebite B está sendo 
“empurrado” para a esquerda, 
portanto, possuirá uma reação 
horizontal para a direita. 
Determinação dos esforços 
horizontais: 
∑ = 0AM 
RBH×200=3000×600 = 9000 N 
RAH= RBH=9000 N 
B
RBV
ARAH
RAV
RBH
20
0m
m
600mm
3000 N
 
 
 
 
3. Determinar o Momento em A devido ao 
binário de forças ilustrado na figura 
 
MA= F×b 
MA= 500×0,12 = 60 N.m 
30
0m
m
12
0m
m
F1=500 N
F2=500 N 
A
30°
B
 
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17
 
4. Substituir o binário da figura por uma 
força F vertical aplicada no ponto B. 
F1=F2= 500 N 
MA= F×b 
b
MF = 400
15,0
60 ==F N 
30
0m
m
150mm
AM =60N.m
12
0m
m
A
30°
F=400 N
B
 
5. Substituir o binário e a força F ilustrados 
na figura por uma única força F=400 N, 
aplicada no ponto C da alavanca. 
Determinar a distância do eixo ao ponto de 
aplicação desta força. 
 
MA= (400×0,15) + (200×0,12) = 84 N.m 
 
F
Md = 21,0
400
84 ==d m = 210 mm 
420
º60cos
210 ==AC mm 
30
0m
m
12
0m
m
AM 
200 N
200 N
d=210mm
150mm
A
30°
F=400 N
AC
B
C
 
 
5. Determinar a intensidade da força F para que 
atue no parafuso o torque (momento) de 40 N.m. 
217
º23cos
200 ==a mm = 0,217 m 
MA= F×b 
b
MF = 1,184
217,0
40 ==F N 
 
 
6. Um grifo é utilizado para rosquear um tubo de φ 20 mm a uma luva, como mostra a 
figura. Determinar a intensidade da força F exercida pelo grifo no tubo, quando a força 
aplicada no aperto for 40 N. 
∑ = 0AM 
40 × 180 = F × 30 
240
30
18040 =×=F N 
 
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18
2.4.4 Equilíbrio de corpos rígidos 
 Um corpo rígido está em equilíbrio quando todas as forças externas que atuam 
sobre ele formam um sistema de forças equivalente a zero, isto é, quando todas as forças 
externas podem ser reduzidas a uma força nula e a um binário nulo. 
0=ΣF 00=ΣM 
 As expressões acima definem as equações fundamentais de Estática. 
 Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas, 
encontram-se as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido 
no espaço: 
x
0
y
z
 
0=Σ xF 0=Σ yF 0=Σ zF 
0=Σ xM 0=Σ yM 0=Σ zM 
 
 
 
Equilíbrio ou em duas dimensões 
 As condições de equilíbrio de um corpo rígido simplificam-se consideravelmente 
no caso de uma estrutura bidimensional. Escolhendo os eixos x e y no plano da estrutura, 
tem-se: 
x
0
y
 
0=zF 0== yx MM 0MM z= 
 
para cada uma das forças aplicadas ao corpo rígido, então as seis equações de equilíbrio no 
espaço reduzem-se a: 
0=Σ xF 0=Σ yF 0=Σ AM 
onde A é um ponto qualquer no plano da estrutura. Estas três equações podem ser 
resolvidas para um máximo de três incógnitas. 
 O equilíbrio em duas dimensões é também conhecido como equilíbrio no plano. 
 
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19
2.5 Apoios 
 Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente as 
forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo 
rígido está apoiado. 
 Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e 
recebem a seguinte classificação: 
Apoio móvel 
 ou 
• Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao 
plano do apoio; 
• Permite movimento na direção paralela ao plano do 
apoio; 
• Permite rotação. 
Apoio fixo 
 
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
• Impede movimento na direção paralela ao plano do 
apoio; 
• Permite rotação. 
 
Engastamento 
 
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
• Impede movimento na direção paralela ao plano do 
apoio; 
• Impede rotação. 
 
 
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20
2.6 Tipos de Estruturas 
 As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou 
vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada. 
 Para as estruturas planas, a Estática fornece três equaçõesfundamentais: 
0=Σ xF 0=Σ yF 0=Σ AM 
2.6.1 Estruturas hipostáticas 
 Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é 
inferior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 
 A figura ao lado ilustra um tipo de estrutura 
hipostática. As incógnitas são duas: RA e RB. Esta 
estrutura não possui restrição a movimentos 
horizontais. 
 
 
L
P
A RB
B
R
A
 
2.6.2 Estruturas isostáticas 
 Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é 
igual ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 
 No exemplo da estrutura da figura, as 
incógnitas são três: RA, RB e HA. Esta estrutura está 
fixa; suas incógnitas podem ser resolvidas somente 
pelas equações fundamentais da Estática. 
RA
A
HA
L
P
RB
B
 
2.6.3 Estruturas hiperestáticas 
 Estruturas hiperestáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é 
superior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 Um tipo de estrutura hiperestática es’ta 
ilustrado na figura ao lado. As incógnitas são quatro: 
RA, RB, HA e MA. As equações fundamentais da 
Estática não são suficientes para resolver as equações 
de equilíbrio. São necessárias outras condições 
relativas ao comportamento da estrutura, como, p. 
ex., a sua deformabilidade para determinar todas as 
incógnitas. RA RB
HA
A
AM
L
P
B
 
 
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21
3 TRELIÇAS 
 
3.1 Definição 
 Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades. O 
ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos são aplicados 
unicamente nos nós. 
 Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um 
mesmo plano. 
 Para se calcular uma treliça deve-se: 
a) determinar as reações de apoio; 
b) determinar as forças nas barras. 
 A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é: 
vbn +=2 
onde: 
b= número de barras 
n= número de nós 
v= número de reações de apoio 
 
 Adota-se como convenção de sinais: 
barras tracionadas: positivo 
setas saindo do nó 
barras comprimidas: negativo 
setas entrando no nó 
 
 Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e 
analíticos. 
 Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós, 
abaixo exemplificado. 
 
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22
3.2 Método do equilíbrio dos nós 
 Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de apoio. 
 No caso da treliça da figura, no 
nó A tem-se um apoio móvel e no nó 
B, um apoio fixo. 
 Como os apoios móveis 
restringem somente deslocamentos os 
perpendiculares ao plano do apoio, 
tem-se uma reação vertical RA. 
 Como os apoios fixos 
restringem deslocamentos paralelos e 
perpendiculares ao plano do apoio, 
tem-se uma reação vertical RB e uma 
reação horizontal HE. 
C
RA
A F
2 m
B
50 kN 100 kN
D
2 m
RE
E
α
2 m
HE
50 kN
Verificar se a treliça é uma estrutura isostática 
barras b = 9 
nós n = 6 
reações v = 3 
vbn +=2 Conclusão: 
3962 +=× a treliça é uma estrutura isostática 
 
Cálculo do ângulo de inclinação das barras º45
2
2 ===
adjacentecateto
opostocatetoarctgα 
a) Cálculo das reações de apoio 
Equação de equilíbrio das forças na horizontal: 
0=Σ HF conclusão: HE = 0 
Equação de equilíbrio das forças na vertical: 
0=Σ VF 05010050 =−−−+ EA RR 200=+ EA RR kN (1) 
Equação de equilíbrio de momentos: 
Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer 
ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se por exemplo o nó A como referência, tem-se 
0=Σ AM 021004504 =×−×−× ER 4
400=ER 100=ER kN 
Substituindo o valor de RE na equação (1), tem-se: 
200100 =+AR kN logo 100=AR kN 
 
b) Cálculo das forças nas barras 
 Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças 
devem estar tracionando o nó (seta saindo). Como não se sabe a priori se as forças nas 
barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor 
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23
determinado for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta 
deve ser mudado. 
Nó A 
A
RA
N2
N1
 
0=Σ HF → 02 =N 
 
0=Σ VF 
01100 =+ N → 1001 −=N kN 
Nó B 
B
100
45°
N4
50
N3
 
0=Σ HF 
0º45cos43 =+ NN → 503 −=N kN 
 
0=Σ VF 
0º45450100 =−− senN → 7,704 =N kN 
Nó C 
N550
100
N6
C
 
0=Σ HF 
0550 =+ N → 505 −=N kN 
 
0=Σ VF 
06100 =+ N → 1006 −=N kN 
Nó D 
45°
50
50
N7 N8
D
 
0=Σ HF 
0º45cos750 =− N → 7,707 =N kN 
 
0=Σ VF 
0º457,70850 =++ senN → 1008 −=N kN 
Nó E 
100
100
E
N9
 
0=Σ HF → 09 =N 
Nó F Verificação 
45° 45°
100
70,770,7
0,0 0,0
F
 
0=Σ HF 
0º45cos7,70º45cos7,70 =+− → 0 = 0 ok 
 
0=Σ VF 
0º457,70º457,70100 =++− sensen →0 = 0 ok 
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24
 Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças 
que agem nos nós D e E são iguais às dos nós B e A, respectivamente. Portanto, não há 
necessidade de se calcular as forças nos nós D e E. 
 
Resultados 
 
NAB= -100 kN compressão 
NAF= 0 
NBC= -50 kN compressão 
NBF= +70,7 kN tração 
NCF= -100 kN compressão 
NCD= -50 kN compressão 
NDF= +70,7 kN tração 
NDE= -100 kN compressão 
NFE= 0 kN 
C
RA
A F
2 m
B
50 kN 100 kN
D
2 m
RE
E
α
2 m
HE
50 kN
 
 
2. Calcular as forças em cada barra da treliça “mão francesa” da figura. 
1.
0 
m
C
2.0 m
40 kN
AHA
1.
0 
m
E
2.0 m
α
D
20 kN
θ
RB
HB B
 
 
Cálculo dos ângulos de inclinação das barras 
º43,63
1
2 === arctgα º56,26
2
1 === arctgθ 
 
a) Cálculo das reações de apoio 
0=Σ HF 40=+ BA HH kN 
0=Σ VF 020 =+BR 20−=BR kN 
0=Σ BM 01402402 =×−×−×+ AH 60=AH kN 20−=BH kN 
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25
b) Cálculo das forças nas barras 
Nó B 
N2
N1
63.4°
20 kN
20 kN
B
 
0=Σ HF 
022 =+− αsenN → 4,222 =N kN 
 
0=Σ VF 
0cos2120 =−+ αNN → 101 =N kN 
Nó A 
60
N3
100
26.6°
A
N4
10
 
0=Σ HF 
0346 =++ θsenNN 
04,2246 =−+ θsenN → 404 =N kN 
 
0=Σ VF 
0cos310 =+ θN → 4,223 −=N kN 
 
 
Nó E 
40 N6
E
N5
 
0=Σ HF → 406 =N kN 
 
0=Σ VF → 05 =N kN 
Nó D 
26.6°
N7
40
D
20
 
0=Σ VF 
0720 =+− θsenN → 7,447 =N kN 
 
0=Σ HF 
0cos7,4440 =+− θsen → 0 = 0 ok 
Nó C 
22,4 44,70,0
22,4
26.6° 40C
 
0=Σ HF 
0cos7,4440cos4,22cos4,22 =+−− θθθ =0 kN 
 
0=Σ VF 
07,444,224,22 =−− θθθ sensensen 
→ 10+10-20 =0 ok 
 
 
 
 
 
 
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26
Resultados 
 
NAB= +10 kN tração 
NAC= -22,4 kN compressão 
NBC= +40 kN tração 
NBC= +22,4 kN tração 
NCE= 0 
NCD= +44,7 kN tração 
NED= +40 kN tração 
1.
0 
m
C
2.0 m
40 kN
AHA
1.
0 
m
E
2.0 m
α
D
20 kN
θ
RB
HB B
 
Exercícios 
 
1. Determine a força em cada barras das treliças ilustradas. Indique se cada barra está 
tracionada ou comprimida. 
1. 
FAB = 8 kN C 
FAC = 10 kN T 
FBC = 8,545 kN T 
C
1.2mA
9000 N
2.4m
0.
9m
B
 
 
A
400mm
B C
500mm
37
5m
m
1200 N
2. 
FAB = 3 900 N T 
FAC = 4 500 N C 
FBC = 3600 N C 
 
3. 
FAB = FDE = FBG = FDI = 0; 
FAF = FCH = FEJ = 400 N C; 
FBC = FCD = 800 N C; 
FBF = FDJ = 849 N C; 
FBH = FDH = 283 N T; 
FFH = FGH = FHI = FIJ = 600 N T 
 
a a a
a
B C D E
G H I J
400 N 400 N 400 N 400 N
F
a
A
400 N
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27
2,
7m
9000 N
F
3,6m
E
2,
7m
DC
9000 N BA
 
4. 
FAB = 9 kN; 
FAC = 0; 
FBC = 11,25 kN C 
FBD = 6,75 kN T; 
FCD = 18 kN T 
FCE = 6,75 kN C; 
FDE = 22,50 kN C 
FDF = 20,25 kN T 
 
5. 
FAB = FDE = 8 kN C 
FAF = FFG = FHE = 6,93 kN T 
FBC = FCD = FBG = FDE = 4 kN C 
FBF = FDH = FCG = 4 kN T 
 a a aa
30° 30° 30° 30°
G
C
F H
4 kN4 kN
A E
DB
 
FD E
3,6 m 3,6 m
100 kN
A
1,5 m
1,5 m
1,5 m
B
C 6. 
FAB = 130 kN T 
FAD = 100 kN T 
FAE = 130 kN C 
FBC = 173,5 kN T 
FBE = 50 kN T 
FBF = 52,05 kN C 
FCF = 33,35 kN T 
FDE = 0 
FEF= 1120 kN C 
 
 
 
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28
4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
 
4.1 Introdução 
 Os conceitos de tensão e deformação podem ser ilustrados, de modo elementar, 
considerando-se o alongamento de uma barra prismática (barra de eixo reto e de seção 
constante em todo o comprimento). 
 Considere-se uma barra prismática carregada nas extremidades por forças axiais P 
(forças que atuam no eixo da barra), que produzem alongamento uniforme ou tração na 
barra. Sob ação dessas forças originam-se esforços internos no interior da barra. Para o 
estudo desses esforços internos, considere-se um corte imaginário na seção mm, normal a 
seu eixo. Removendo-se por exemplo a parte direita do corpo, os esforços internos na 
seção considerada (m-m) transformam-se em esforços externos. Supõe-se que estes 
esforços estejam distribuídos uniformemente sobre toda a seção transversal. 
m
m
σ
L
P
δ
P
P
 
Figura 4.1. 
 
 Para que não se altere o equilíbrio, estes esforços devem ser equivalentes à 
resultante, também axial, de intensidade P. 
 Quando estas forças são distribuídas perpendiculares e uniformemente sobre toda a 
seção transversal, recebem o nome de tensão normal, sendo comumente designada pela 
letra grega σ (sigma). 
 Pode-se ver facilmente que a tensão normal, em qualquer parte da seção transversal 
é obtida dividindo-se o valor da força P pela área da seção transversal, ou seja, 
A
P=σ (1) 
 A tensão tem a mesma unidade de pressão, que, no Sistema Internacional de 
Unidades é o Pascal (Pa) corresponde à carga de 1N atuando sobre uma superfície de 1m2, 
ou seja, Pa = N/m2. Como a unidade Pascal é muito pequena, costuma-se utilizar com 
freqüência seus múltiplos: MPa = N/mm2 = (Pa×106), GPa = kN/mm2 = (Pa×109), etc. Em 
outros Sistemas de Unidades, a tensão ainda pode-se ser expressa em quilograma força por 
centímetro quadrado (kgf/cm2), libra por polegada quadrada (lb/in2 ou psi), etc. 
 Quando a barra é alongada pela força P, como indica a Figura 4.1, a tensão 
resultante é uma tensão de tração; se as forças tiverem o sentido oposto, comprimindo a 
barra, tem-se tensão de compressão. 
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29
 A condição necessária para validar a Equação (1) é que a tensão σ seja uniforme 
em toda a seção transversal da barra. 
 O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela 
letra grega δ (delta). O alongamento por unidade de comprimento, denominado 
deformação específica, representado pela letra grega ε (epsilon), é dado pela seguinte 
equação: 
L
δε = (2) 
onde: 
ε = deformação específica 
δ = alongamento ou encurtamento 
L = comprimento total da barra. 
 Note-se que a deformação ε é uma quantidade adimensional. É de uso corrente no 
meio técnico representar a deformação por uma fração percentual (%) multiplicando-se o 
valor da deformação específica por 102 ou mesmo até (‰) multiplicando-se por 103. 
 
4.2 Diagrama tensão-deformação 
 As relações entre tensões e deformações para um determinado material são 
encontradas por meio de ensaios de tração. Nestes ensaios são medidos os alongamentos δ, 
correspondentes aos acréscimos de carga axial P, que se aplicarem à barra, até a ruptura do 
corpo-de-prova. 
 Obtêm-se as tensões dividindo as forças pela área da seção transversal da barra e as 
deformações específicas dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual a 
deformação é medida. Deste modo obtém-se um diagrama tensão-deformação do material 
em estudo. Na Figura 4.2 ilustra-se um diagrama tensão-deformação típico do aço. 
 região
elástica região plástica
C
ε0
L
p
P
r
σ
σ Ap
e
σσ
escoamento
B
ε
δ
P
εr
ED
 
Tensão 
A
P=σ 
 
Deformação 
L
δε = 
 
σr = tensão de ruptura 
σe = tensão de escoamento 
σp = tensão limite de 
 proporcionalidade 
 
Figura 4.2. Diagrama tensão-deformação do aço 
 
 Região elástica: de 0 até A as tensões são diretamente proporcionais às 
deformações; o material obedece a Lei de Hooke e o diagrama é linear. 0 ponto A é 
chamado limite de proporcionalidade, pois, a partir desse ponto deixa de existir a 
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30
proporcionalidade. Daí em diante inicia-se uma curva que se afasta da reta 0A, até que em 
B começa o chamado escoamento. 
 O escoamento caracteriza-se por um aumento considerável da deformação com 
pequeno aumento da força de tração. No ponto B inicia-se a região plástica. 
 O ponto C é o final do escoamento o material começa a oferecer resistência 
adicional ao aumento de carga, atingindo o valor máximo ou tensão máxima no ponto D, 
denominado limite máximo de resistência. Além deste ponto, maiores deformações são 
acompanhadas por reduções da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo-de-prova 
no ponto E do diagrama. 
 A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande 
deformação plástica é uma característica do aço, que é o mais comum dos metais 
estruturais em uso atualmente. Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer 
grandes deformações antes da ruptura. Materiais que apresentam grandes deformações, 
antes da ruptura, são classificados de materiais dúcteis. Outros materiais como o cobre, 
bronze, latão, níquel, etc, também possuem comportamento dúctil. Por outro lado, os 
materiais frágeis ou quebradiços são aqueles que se deformam relativamente pouco antes 
de romper-se, como por exemplo, o ferro fundido, concreto, vidro, porcelana, cerâmica, 
gesso, entre outros. 
 
4.3 Tensão admissível 
 Para certificar-se de que a estrutura projetada não corra risco de ruína, levando em 
conta algumas sobrecargas extras, bem como certas imprecisões na construção e possíveis 
desconhecimentos de algumas variáveis na análise da estrutura, normalmente emprega-se 
um coeficiente de segurança (γf), majorando-se a carga calculada. Outra forma de 
aplicação do coeficiente de segurança é utilizar uma tensão admissível (σ ou admσ ), 
reduzindo a tensão calculada (σcalc), dividindo-a por um coeficiente de segurança. A tensão 
admissível é normalmente mantida abaixo do limite de proporcionalidade, ou seja, na 
região de deformação elástica do material. Assim, 
f
calc
adm γ
σσσ == (3) 
 
4.4 Lei de Hooke 
 Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento de vários materiais, 
quando carregados por tração. Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto 
é, quando a carga é gradualmente diminuída até zero, a deformação sofrida durante o 
carregamento desaparecerá parcial oucompletamente. Esta propriedade do material, pela 
qual ele tende a retornar à forma original é denominada elasticidade. Quando a barra volta 
completamente à forma original, diz-se que o material é perfeitamente elástico; mas se o 
retorno não for total, o material é parcialmente elástico. Neste último caso, a deformação 
que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação permanente. 
 
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31
 A relação linear da função tensão-deformação foi apresentada por Robert HOOKE 
em 1678 e é conhecida por LEI DE HOOKE, definida como: 
εσ E= (4) 
onde 
σ = tensão normal 
E = módulo de elasticidade do material 
ε = deformação específica 
 
 O Módulo de Elasticidade representa o coeficiente angular da parte linear do 
diagrama tensão-deformação e é diferente para cada material. 
 A lei de HOOKE é valida para a fase elástica dos materiais. Por este motivo, 
quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitações sobre o material, vale a superposição 
de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada solicitação sobre o material e depois 
somá-los. 
 Alguns valores de E são mostrados na Tabela abaixo. Para a maioria dos materiais, 
o valor do Módulo de Elasticidade sob compressão ou sob tração são iguais. 
 
Tabela 4.1 Propriedades mecânicas típicas de alguns materiais 
Material Peso específico (kN/m3) 
Módulo de Elasticidade 
(GPa) 
Aço 78,5 200 a 210 
Alumínio 26,9 70 a 80 
Bronze 83,2 98 
Cobre 88,8 120 
Ferro fundido 77,7 100 
Madeira 0,6 a 1,2 8 a 12 
 
 Quando a barra é carregada por tração simples, a tensão axial é AP /=σ e a 
deformação específica é L/δε = . Combinando estes resultados com a Lei de HOOKE, 
tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra: 
EA
PL=δ (5) 
 Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é 
diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao 
módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto EA é conhecido como 
rigidez axial da barra. 
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32
4.4.1 Coeficiente de Poisson 
 Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma 
contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce seu 
comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta. A Figura 3 ilustra 
essas deformações. 
P
P
P
P
 
Figura 4.3. Deformações longitudinal e lateral nas barras 
 
 A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da 
região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (v); definido como: 
allongitudindeformação
lateraldeformação=υ (6) 
 Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D. 
Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmas propriedades elásticas em 
todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou ν ≈ 0,25. Experiências com 
metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35. 
 Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a 
direção escolhida, no ponto considerado, então é denominado, material isótropico. Se o 
material não possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material 
anisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção de suas 
fibras a madeira é mais resistente. 
 
4.4.2 Forma geral da Lei de Hooke 
 Considerou-se anteriormente o caso particular da Lei de HOOKE, aplicável a 
exemplos simples de solicitação axial. 
 Se forem consideradas as deformações longitudinal (εL) e transversal (εt), tem-se, 
respectivamente: 
EL
σε = e 
ELt
υσνεε == (7) 
 No caso mais geral, no qual um elemento do material é solicitado por três tensões 
normais σx, σy e σz, perpendiculares entre si, às quais correspondem respectivamente às 
deformações εx, εy e εz, a Lei de HOOKE se escreve: 
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33
( )[ ]zyxx E σσυσε +−= 1 . 
( )[ ]xzyy E σσυσε +−= 1 (8) 
( )[ ]yxzz E σσυσε +−= 1 . 
 
 A lei de HOOKE é válida para materiais homogêneos, ou seja, aqueles que 
possuem as mesmas propriedades (mesmos E e ν) em todos os pontos. 
 
Exemplos 
1. Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra prismática de 
comprimento L=5,0m, seção transversal circular com diâmetro φ=5cm e Módulo de 
Elasticidade E=20.000 kN/cm2 , submetida a uma força axial de tração P=30 kN. 
L= 5 m
P P=30 kN
 
4
2πφ=A 6,19
4
52 =×= πA cm2 
A
P=σ 53,1
6,19
30 ==σ kN/cm2 ou 15,3 MPa 
EA
PL=δ 0382,0
6,19000.20
50030 =×
×=δ cm 
L
δε = 0000764,0
500
0382,0 ==ε ou × 1000 = 0,0764 (‰) 
 
2. A barra da figura é constituída de 3 trechos: trecho AB=300 cm e seção transversal com 
área A=10cm2; trecho BC=200cm e seção transversal com área A=15cm2 e trecho 
CD=200cm e seção transversal com área A=18cm2 é solicitada pelo sistema de forças 
indicado na Figura. Determinar as tensões e as deformações em cada trecho, bem como o 
alongamento total. Dado E=21.000 kN/cm2. 
300 cm
30kN
A
150kN
200 cm200 cm
B C
50kN
D
170kN
 
 
 
σy x
σ
σz
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34
Trecho A-B 
300 cm
150kN
A
170kN
50kN
30kN
B
R=150kN
 
A
P=σ 15
10
150 ==σ kN/cm2 
EA
PL=δ 214,0
10000.21
300150 =×
×=δ cm 
L
δε = 713,01000
300
214,0 =×=ε (‰) 
 
Trecho B-C 
30kNR=120kN
150kN
200 cm
B C
50kN
170kN
R=120kN
 
A
P=σ 8
15
120 ==σ kN/cm2 
EA
PL=δ 076,0
15000.21
200120 =×
×=δ cm 
L
δε = 38,01000
200
076,0 =×=ε (‰) 
 
Trecho C-D 
30kNR=170kN
150kN
200 cm
50kN
C D
170kN
 
A
P=σ 44,9
18
170 ==σ kN/cm2 
EA
PL=δ 0899,0
18000.21
200170 =×
×=δ cm 
L
δε = 45,01000
200
0899,0 =×=ε (‰) 
 
Alongamento total 
38,00899,0076,0214,0 =++=δ cm 
 
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35
4.5 Estruturas estaticamente indeterminadas 
 Nos exemplos anteriores, as forças que atuavam nas barras da estrutura podiam ser 
calculadas pelas equações da Estática. Tais estruturas são denominadas estaticamente 
determinadas. Há casos, porém, em que as equações de equilíbrio fornecidas pela Estática 
não são suficientes para a determinação de todas as ações e reações de uma estrutura. Para 
essas estruturas, denominadas, estruturas estaticamente indeterminadas, as forças e a 
reações só poderão ser calculadas se as deformações forem levadas em conta. 
 Um exemplo simples de estrutura estaticamente indeterminada é ilustrado na Figura 
4.4. 
Ra
A A
Ra
(c)
A
B
Rb
B
C
P
(a) (b)
B
L
b
a
C
P
 
Figura 4.4 Barra estaticamente indeterminada 
 
 A barra está carregada por uma força P no ponto C e as extremidades AB da barra 
estão presas em suportes rígidos. As reações Ra e Rb aparecem nas extremidades da barra, 
porém suas intensidades não podem ser calculadas apenas pelas equações da Estática. A 
única equação fornecida pelo equilíbrio estático é 
PRR ba =+ (9) 
a qual contém ambas as reações desconhecidas (2 incógnitas), sendo, portanto, insuficiente 
para seu cálculo com uma única equação. Há necessidade, portanto, de uma segunda 
equação, que considere as deformações da barra. 
 Para a consideração da deformação na barra, deve-se analisar o efeito de cada força 
sobre a barra se uma de suas extremidades estivesse livre. Considere-se, então, o efeito da 
carga P deslocando o ponto A, na estrutura livre, ilustrado na Figura 4.4b. O deslocamento 
(para baixo) do pontoA, devido ao encurtamento do trecho CD, submetido à carga P, é 
dado por: 
EA
Pb
P =δ 
 
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36
 Em seguida, analisa-se o efeito da reação Ra deslocando do ponto A, ilustrado na 
Figura 4.4c. Note-se que se está analisando o efeito da reação Ra com a extremidade A da 
barra livre. O deslocamento (para cima) é dado por: 
EA
LRa
R =δ 
 Ora, como a extremidade A da barra é fixa, o deslocamento final (δ), neste ponto, 
resultante da ação simultânea das forças P e Ra, é nulo. Logo, 
0=− PR δδ → RP δδ = , 
ou seja, 
EA
LR
EA
Pb a= . 
Logo, 
L
PbRa = . Substituindo o Ra na equação (9), tem-se: PRL
Pa
b =+ 
L
PaPRb −= L
PbPLRb
−= 
L
bLPRb
)( −= 
L
PaRb = 
 
 
Exemplos 
1. Uma barra constituída de dois trechos é 
rigidamente presa nas extremidades. Determinar as 
reações R1 e R2 quando se aplica uma força P. 
Dados: E=21.000 kN/cm2; AAB=5cm2; ABC=7,5cm2; 
P= 60 kN 
Solução 
Equação de equilíbrio 
PRR =+ 21 (1) 
Equação de compatibilidade das deformações: 
BCAB δδ = (2) 
Nota: As cargas P/2 provocarão um alongamento no trecho AB, e um encurtamento no 
trecho BC, de valores exatamente iguais. 
lembrando que 
EA
PL=δ , tem-se 
5,7
5,1
5
2 21
×
×=×
×
E
R
E
R 
21 2,04,0 RR = 4,0
2,0 2
1
RR = 21 5,0 RR = substituindo em (1) 
6021 =+ RR → 605,0 22 =+ RR → 605,1 2 =R → 402 =R kN 
mas, 60401 =+R logo 201 =R kN. 
 
 
2 cm
1,5 cm
P/2P/2
A
B
C
R2
R1
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37
2. É dado um cilindro de aço de 5cm de diâmetro no interior de um tudo de cobre de 8cm 
de diâmetro externo, com dimensões indicadas na Figura. Aplicando-se uma força de 
P=400 kN, qual a parcela de carga no cilindro de aço e qual a parcela de carga no cilindro 
de cobre? Dados: Eaço=21.000 kN/cm2; Ecobre=12.000 kN/cm2 
63,19
4
52 =×= πaçoA cm2 açototalcobrecobre AAA −= , 
63,30
4
5
4
8 22 =×−×= ππcobreA cm2 
400=+ açocobre PP kN (1) 
25,0+= cobreaço δδ (2) 
lembrando que 
EA
PL=δ , tem-se 
25,0
63,30000.12
300
63,19000.21
25,300 +×
×=×
× cobreaço PP 
25,0000817,0000728,0 += cobreaço PP 
30
0 
cm
5 cm
8 cm
cilindro
de cobre
P=400 kN
cilindro
de aço
0,
2 5
 c
m
posição final
placa rígida
000728,0
25,0000817,0 += cobreaço PP substituindo em (1), tem-se, 
400
000728,0
25,0000817,0 =++ cobrecobre PP kN 400000728,0
25,0
000728,0
000817,0 =++ cobrecobre PP kN 
4004066,3431223,1 =++ cobrecobre PP 66,26=cobreP kN substituindo em (1), tem-se: 
 34,37366,26400 =−=açoP kN 
 
Exercícios 
1. Em uma máquina usa-se uma barra prismática de 10m de comprimento, comprimida por 
uma força de 500 kN. Sabendo-se que a tensão não deve exceder a 140 kN/cm2 e o 
encurtamento não deve exceder a 3mm, pede-se determinar o diâmetro da barra. 
E=21.000 kN/cm2. Resposta: φ=10cm 
 
2. Uma barra prismática está submetida à tração axial. A área da seção transversal é 2cm2 e 
o seu comprimento é 5m. Sabendo-se que a barra sofre o alongamento δ=0,714285cm 
quando é submetida à força de tração 60kN, pede-se determinar o módulo de elasticidade 
do material. Resposta: E=21.000 kN/cm2. 
 
3. Uma barra cilíndrica de 38mm de diâmetro e 20cm de comprimento sofre a ação de uma 
força de compressão de 200kN. Sabendo-se que o módulo de elasticidade da barra é 
E=9.000 kN/cm2 e o coeficiente de Poisson, υ=0,3, determinar o aumento de diâmetro da 
barra. Resposta: δt=0,00223cm. 
 
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38
 
4. A barra rígida AB é articulada em A, 
suspensa em B por um fio e apóia-se em C 
em um suporte de ferro. São dados: 
comprimento do fio: 1,7m; área da seção 
transversal do fio: 5cm2; módulo de 
elasticidade do fio E=21.000 kN/cm2; 
comprimento do suporte: 2m; área do 
suporte: 15cm2; módulo de elasticidade do 
suporte E=10.000 kN/cm2. Determinar as 
forças no fio, no suporte e na articulação. 
Respostas: 
Força no fio: 50kN 
Força no suporte: 25kN 
Força na articulação: 25kN 
B
1.
70
m
2.
0 
m
2.0 m1.0 m2.0 m
P=100 kN
CA B
Pf
PCPA
A C
P=100 kN
 
 
4.6 Tensões iniciais e Tensões Térmicas 
 Quando uma estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da 
temperatura em todo seu comprimento não acarreta nenhuma tensão, pois a estrutura é 
capaz de se expandir ou se contrair livremente. Por outro lado, a variação de temperatura 
em estruturas fixas, estaticamente indeterminadas, produz tensões em seus elementos, 
denominadas tensões térmicas. Esta conclusão pode ser observada pela comparação entre 
uma barra livre em uma das extremidades, com outra barra engastada nas duas 
extremidades, como mostrado na Figura 4.5. 
R
(c)
R
∆
B
A
(a)
R
B
L
A
(b)
B
T
A
∆T
 
Figura 4.5. Barra fixa nas extremidades, submetida a aumento de temperatura 
 
 
 Na barra da Figura 4.5b, a variação uniforme de temperatura sobre toda a barra 
causará o alongamento: 
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39
TL∆= αδ (10) 
onde: α = coeficiente de dilatação térmica 
 L = comprimento 
 ∆T = variação de temperatura (ºC) 
Como este alongamento pode ocorrer livremente, não surgirá nenhuma tensão na barra. 
 Na Tabela 4.2 estão indicados coeficientes de dilatação térmica de alguns materiais. 
Tabela 4.2 Valores Típicos do coeficiente de dilatação térmica 
Material Coeficiente de dilatação térmica α (10-6 ºC-1) 
Aço 11,7 
Alumínio 21,4 a 23,9 
Magnésio 26,1 
Cobre 16,7 
Concreto 7,2 a 12,6 
 
 No caso de barras estaticamente indeterminadas, como a que aparece na Figura 4.5, 
quando há aumento de temperatura, a barra não pode alongar-se, surgindo, como 
conseqüência, uma força de compressão que pode ser calculada pelo método descrito no 
item precedente. Para a barra engastada da Figura 4.5a, vê-se que, se a extremidade A for 
liberada, seu deslocamento para cima, devido ao acréscimo de temperatura, será o mesmo 
deslocamento para baixo, decorrente da ação da força R, ou seja, RL/EA. Igualando esses 
dois deslocamentos vêm: 
TEAR ∆= α (11) 
 Depois de se obter R, pode-se calcular a tensão e a deformação específica da barra 
pelas expressões: 
TE
A
R ∆== ασ e T
E
∆== ασε 
 Deste exemplo, conclui-se que a variação de temperatura produz tensões em 
sistemas estaticamente indeterminados, ainda que não se tenha a ação de forças externas. 
 
Exemplo 
Uma barra prismática, rigidamente presa 
nas extremidades é submetida a um 
aumento de temperatura de 20ºC, ao 
mesmo tempo em que recebe uma carga 
P=30 kN. Determinar as reações de apoio. 
Dados: A= 1,5 cm2; E=20.000 kN/cm2; 
α=11,7×10-6 ºC-1; ∆T= +20ºC 
 
Solução: 
a) determinação das reações R´A e R´B, devido ao aumento de temperatura TEAR ∆= α 
BA C
P=30 kN
250 cm100 cm
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40
BA
R'A =7,02 R'B =7,02 kN
 
 
02,720107,115,1000.20 6 =××××= −R kN → BA RRR ′=′= 
b) ao se aplicar a carga P= 30 kN no ponto C, o trecho AC sofrerá um alongamento 
exatamente igual ao encurtamento no trecho CB, portanto, BCAC δδ = . Assim, 
EA
R
EA
R BA 250100 ×′′=×′′ → BA RR ′′=′′ 5,2 
fazendo o equilíbrio de forças, tem-se: 
PRR AB =′′+′′ mas BA RR ′′=′′ 5,2 , logo, 
305,2 =′′+′′ BB RR → 305,3 =′′BR 
57,8=′′BR kN →Portanto, 43,21=′′AR kN 
R''B =8,57 kNR''B =21,43
A P=30 kN B
 
Como se trata de uma estrutura trabalhando no regime elástico, vale a superposição de 
efeitos, ou seja, os efeitos da temperatura na barra e da carga P: 
AAA RRR ′′+′−= 41,1443,2102,7 =+−=AR kN 
BBBRRR ′′+′= 59,1557,802,7 =+=BR kN 
 
Exercício 
 
1. A um tubo de aço se aplica uma carga axial de 200 kN 
por meio de uma placa rígida. A área da seção transversal 
do cilindro de aço é 20cm2. Determinar o acréscimo de 
temperatura ∆T para o qual a carga externa seja 
equilibrada pelos esforços que aparecem nos cilindros de 
aço e cobre. Dados: 
Eaço=21.000 kN/cm2; αaço=11,7×10-6 ºC-1 
Resposta: ∆T = 40,7ºC. 
50
cm
tubo de
aço
P=200 kN
 
 
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41
4.7 Tensão de cisalhamento 
 Denomina-se força cortante (V), a componente de uma força, contida no plano da 
seção transversal considerada, como ilustrado na Figura 4.6. A força cortante é uma força 
que atua no próprio plano da seção transversal. A outra componente é a força normal. 
resultante
força normal
barra engastada
L
P
força
tangencial V R
 
Figura 4.6 
 A força cortante dá lugar, em cada um dos pontos da seção, ao aparecimento de 
uma tensão tangencial, denominada tensão de cisalhamento, designada pela letra grega τ. 
Admitindo-se distribuição uniforme da tensão de cisalhamento na seção transversal de área 
A, tem-se, em cada ponto da seção: 
A
V=τ (12) 
 A tensão de cisalhamento, como a tensão normal, tem também a mesma unidade de 
pressão a qual, no Sistema Internacional é o pascal (Pa). 
 
Exemplo 
Considere-se o parafuso de 12,5 mm de diâmetro, da junta da Figura abaixo. A força P é 
igual a 15 kN. Admitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual o valor 
dessas tensões, em qualquer uma das seções transversais m—n ou p—q? 
P nm
A
qp
B
P
C mp
n
m
pq
V
B
V
n
q
 
Solução 
Supõe-se que a força P solicite igualmente as duas seções transversais. Nessas condições, a 
força que atua em cada plano é: 15/2=7,50 kN, sobre a seção de área π×1,252/4 = 1,23 cm2. 
Portanto, 
A
V=τ 1,6
23,1
5,7 ==τ kN/cm2 
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42
Exercícios 
 
1. Emprega-se um rebite para ligar duas barras 
de aço, como se indica na figura, Se o diâmetro 
do rebite é 19mm e a carga P = 30 kN, qual a 
tensão de cisalhamento no rebite? 
Resposta:τ= 10,6 kN/cm2. 
P
φ 19mm
P=30 kN
 
 
2. A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos 
fixos quando a temperatura é de +25ºC. Determinar 
as tensões atuantes nas partes AC e CB da barra para 
a temperatura de –50ºC. 
Dados: E=200GPa e α=12×10-6/ºC. 
Respostas: σAC = 240 MPa; σCB = 120 MPa 
 
 
3. Determine a deformação da barra de aço 
sob a ação das cargas indicadas. 
Dado: E=210 GPa 
Resposta: δ=2,75×10-3m = 2,75mm 
 
 
 
4. A barra (1) da figura é de aço, possui A1=400mm2 de área de seção transversal e seu 
comprimento é L1= 800mm. Determinar para a barra (1): 
a) carga axial atuante (F1) 
b) tensão normal atuante (σ1) 
c) o alongamento (∆L1) 
d) a deformação longitudinal (ε1) 
e) a deformação transversal (εt1) 
Dados: Eaço=210 GPa; υ=0,3 
Respostas: 
a) F1=6,125 kN; b) σ1=15,3MPa 
c) ∆L1=58×10-6m; d) ε1=0,0000725; 
e) εt1=-0,000022 
 
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43
5. A barra rígida BDE é suspensa por duas hastes 
AB e CD. A haste AB é de alumínio (Eal=70GPa) 
com área de seção transversal de 500mm2; a haste 
CD é de aço (Eaço=200GPa) com área de seção 
transversal de 600mm2. Para a força de 30kN 
determine. 
a) deslocamento de B; 
b) deslocamento de D; 
c) deslocamento de E. 
 
Respostas: 
a) δB=0,514mm; b) δD=0,300mm; c) δE=1,928mm 
 
 
 
6. A viga da figura está apoiada n ponto A por 
meio de um pino com φ12,5mm de diâmetro e 
sustentada no ponto B por meio de um cabo de 
aço com φ4mm de diâmetro. Ao se aplicar uma 
carga P no ponto C, o cabo sofre um 
alongamento de 0,2cm. Determinar a carga P e a 
tensão de cisalhamento no ponto do suporte A. 
Desprezar o peso próprio da barra. Dado: 
σaço=2000 kgf/cm2 . 
Respostas: P = 377kgf τA = 102,4 kgf/cm2 . 
A
4 m
P
2 m
C B
2 
m
 
 
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44
5 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 
 
 O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de 
qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se 
distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade de se 
conhecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas que 
formam essas seções transversais. 
 A Figura abaixo ilustra uma barra reta de seção transversal constante, chamada 
barra prismática. O lado da barra que contém o comprimento (L) e a altura (h) é chamado 
de seção longitudinal e o que contém a largura (b) e a altura (h) é chamado de seção 
transversal. 
 
h
b
L
 seção
longitudinal
h
L
 seção
transversal
b
h
 
Figura 5.1 Barra prismática 
 
 As principais propriedades geométricas de figuras planas são: 
Área (A) Momento de Inércia (I) 
Momento estático (M) Módulo de resistência (W) 
Centro de gravidade (CG) Raio de giração (i) 
 
5.1 Área 
 A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para 
contornos complexos, a área pode ser obtida aproximando-se a forma real pela 
justaposição de formas geométricas de área conhecida (retângulos, triângulos, etc). 
 A unidade de área é [L]2 (unidade de comprimento ao quadrado). 
 A área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e compressão) e 
das tensões de transversais ou de corte. 
 
 
 
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45
5.2 Momento Estático 
 Analogamente à definição de 
momento de uma força em relação a um 
eixo qualquer, defini-se Momento Estático 
(M) de um elemento de superfície como o 
produto da área do elemento pela distância 
que o separa de um eixo de referência. 
dAyM x ⋅= e dAxM y ⋅= 
x
y
x
y
dA
 
 Momento Estático de uma 
superfície plana é definido como a 
somatória de todos os momentos estáticos 
dos elementos de superfície que formam a 
superfície total. 
∫=
A
x ydAM e ∫=
A
y xdAM 
A
x
y
x
y
dA
 
 A unidade do Momento Estático é área é [L]× [L]2 = [L]3. 
 O Momento Estático é utilizado para a determinação das tensões transversais que 
ocorrem em uma peça submetida à flexão. 
 O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras conhecidas é a 
somatória dos Momentos Estáticos de cada figura. 
Exemplo: determinar o Momento Estático das figuras abaixo 
A
3CG
y
3A
A 1
1
CG
2
CGy3CG
y
2CG
2
1CG
x
xxxx
CGx
CGx
CGx
MMMM
AyM
AyM
AyM
,3,2,1
33,3
22,2
11,1
++=
⋅=
⋅=
⋅=
 
 
Elemento vazado 
1
2
 
xxx MMM ,2,1 −= 
 
 
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46
5.3 Centro de Gravidade 
 Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da 
gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical atuando de 
cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si, constitui o 
peso do corpo. 
 Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá 
sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em relação 
ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as 
resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, chama-se Centro 
de Gravidade (CG). 
 Portanto, atração exercida pela 
Terra sobre um corpo rígido pode ser 
representada por uma única força P. Esta 
força, chamada peso do corpo, é aplicadano seu baricentro, ou cento de gravidade 
(CG). O centro de gravidade pode 
localizar-se dentro ou fora da superfície. 
 O centro de gravidade de uma 
superfície plana é, por definição, o ponto 
de coordenadas: 
CG
y
x CG
x
y CG
 
∫ ⋅==
A
y
CG dAxAA
M
x 1 ∫ ⋅==
A
x
CG dAyAA
My 1 
onde: 
xCG = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente; 
yCG = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente; 
Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x; 
My = momento estático da figura em relação ao eixo y; 
A = área da Figura. 
Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras 
 O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso 
por: 
x
1Ax 1
y1
y n
y
x n
A n
 
∑
∑
=
=
⋅
= n
i
i
n
i
ii
CG
A
xA
x
1
1 
 
∑
∑
=
=
⋅
= n
i
i
n
i
ii
CG
A
yA
y
1
1 
 
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47
Centro de gravidade de algumas figuras planas 
retângulo 
h
b
CG
y
CGx
x
y CG
 
2
bxCG = 
 
2
hyCG = 
triângulo 
h
y
CG
x
CGy
x CG
b 
3
bxCG = 
3
hyCG = 
círculo 
x
CG
y
 
 
0=CGx 
 
0=CGy 
Semicírculo 
CG 3
r r
___4Rπ
 
π3
4ryCG = 
¼ de círculo 
___4R
3
r
π
CG 3
___4Rπ
 
π3
4rxCG = 
 
π3
4ryCG = 
trapézio 
h
CG
y
2
h 1
x 
ba
bahh +
+⋅= 2
31
 
 
ba
bahh +
+⋅= 2
32
 
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48
Exemplos 
1. Determinar o centro de gravidade CG do retângulo 
em relação ao eixo x que passa pela sua base. 
Área do retângulo hbA ⋅= 
O Momento Estático do retângulo em relação ao eixo 
x é somatória do produto de cada elemento de área dA 
pela sua distância em relação ao eixo x. 
dy
h
b
dA
x
 
Momento Estático 
dybdA ⋅= 
∫∫ ⋅⋅=⋅=
h
A
x dybydAyM
0
 
2
0
22
2
0
2 ⋅−⋅=

 ⋅= bhbybM
h
x 2
2hbM x
⋅= 
Centro de Gravidade 
2
2
2
h
hb
hb
A
My xCG =⋅
⋅
== 
2
hyCG = 
 
2. Determinar o CG da Figura. 
(medidas em centímetros) 
( ) ( ) ( )
2
321
84
3446158
cmA
A
AAAA
=
×−×−×=
−−=
 
2
2 4
3
2
6
2
15
1
2
3
y C
G
2 x
3
= 
3,
5
1
= 
7,
5
C
G
y
y
= 
10
2
C
G
 
 
( )
( )
( )
3
,3,2,1
3
33,3
3
22,2
3
11,1
61842240900
42435,3
2404610
9001585,7
cmMMMM
cmAyM
cmAyM
cmAyM
xxxx
CGx
CGx
CGx
=−−=−−=
=××=⋅=
=××=⋅=
=××=⋅=
 
cm
cm
cm
A
My xCG 36,784
618
2
3
=== 
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49
3. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada. 
12
x CG8
33
2
1 3
9
5,
69
( )
( )
2
21
2
2
2
1
87
933
96812
cmAAA
cmA
cmA
=−=
=×=
=×=
 
 
3
,2,1
3
,2
3
,1
495
81339
5761286
cmMMM
cmM
cmM
xxx
x
x
=−=
=××=
=××=
 
 
cm
cm
cm
A
My xCG 69,587
576
2
3
=== 
 
4. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada (medidas em centímetro). 
x
y
3 3
6
4 2
3
4
5,
15
 
 
 A Figura 
hachurada pode ser o 
resultado de um 
retangulo (12×6) cm 
do qual foram retirados 
um triângulo e um 
semicírculo. 
 
Área da figura 
( ) ( )[ ] ( )
2
22
72,53
72,565,0635,0612
cmA
cmrA
AAAA SCTR
=
=××−××−×=
−−=
π 
Momento Estático 
3
, 2163612 cmM xR =××= 
3
, 36635,04 cmM xT =×××= 
32
, 37,323
24625,0 cmM xSC =

 ×−×= ππ 
3
,,, 63,147 cmMMMM xCCxTxRx =−−= 
Coordenada yCG do centro de gravidade 
A
My xCG = cmyCG 6,272,56
63,147 == 
 
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50
Analogamente, determina-se a coordenada xCG. 
x
y
6
3 3 4 2
1
8
6
 
3
,,,
3
2
,
3
,
3
,
73,372
26,50
2
28
9
2
631
4326126
cmMMMM
cmM
cmM
cmM
ySCyTyRy
ySC
yT
yR
=−−=
=××=
=××=
=××=
π 
 
Coordenada xCG do centro de gravidade 
A
M
x yCG = cmxCG 57,672,56
73,372 == 
 
5.4 Momento de Inércia 
 O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência é 
definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área que compõem a 
superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de referência, elevadas ao quadrado. 
A
x
y
x
y
dA
 
∫
∫
=
=
Ay
Ax
dAxI
dAyI
2
2
 
 A unidade do momento de inércia é [L]2×[L]2=[L]4 . 
 O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no 
dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a 
resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma 
peça, maior a sua resistência. 
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51
Propriedade: 
O momento de inércia total de uma 
superfície é a somatória dos momentos de 
inércia das figuras que a compõe. 
xxxx IIII ,3,2,1 ++= 
A 3 CG 3
A
CG
A
CG 1
2
2
1
 
 
Exemplo 
Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x que passa 
pelo CG. (medidas em centímetros) 
3
8
4
4
6
6
x CG
 
12
3hbI
CGx
⋅= 
 
( )33 83128
12
1 ×−×=
CGx
I 
 
4024.1 cmI
CGx
= 
 
5.5 Translação de eixos 
 O momento de inércia de uma 
superfície em relação a um eixo qualquer 
é igual ao momento de inércia em relação 
ao eixo que passa pelo seu centro de 
gravidade, acrescido do produto da área 
(A) pelo quadrado da distância que separa 
os dois eixos. 
2
CGxx yAII CG ⋅+= 2CGyy xAII CG ⋅+= 
onde: 
y y
x CG
CG
CG
x
y CG
CG
x
 
Ix = momento de inércia da figura em relação ao eixo x. 
Iy= momento de inércia da figura em relação ao eixo x. 
CGx
I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGx que passa pelo CG da figura. 
CGy
I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGy que passa pelo CG da figura. 
CGx = distância do eixo y até o eixo CGy . 
CGy = distância do eixo x até o eixo CGx . 
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52
 O momento de inércia é utilizado para a determinação das tensões normais a que 
estão sujeitas as peças submetidas à flexão. 
 As formulações acima podem ser expressas em função do momento estático: 
AyM x ⋅= → 222 AyM x ⋅= → 2
2
2
A
My x= 
 
 
A
MII xxx CG
2
+= 
2
CGxx yAII CG ⋅+= → AA
MII xxx CG ⋅+= 2
2
 ⇒ 
 
A
MII xxxCG
2
−= 
 
Exemplo: 
Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos seguintes eixos: 
a) x, passando pela base inferior. 
b) CGx , passando pelo CG. 
a) 
 
x
h
b
dy
dA=b.dy
 
 
∫= Ax dAyI 2 
 
∫ 

 ⋅==
h h
x
ybbdyyI
0 0
3
2
3
 → 
3
3hbIx
⋅= 
b) 
h/2
-h/2
x
b
CG
h/2
+h/2
 
 
dAyI
AxCG ∫= 2 
 
 
2
2
32
2
2
3
h
h
h
h
x
hbbdyyI
CG
−−


 ⋅== ∫ 
 



 

−−

⋅=
33
223
hhbI
CGx 
 


 +⋅=
883
33 hhbI
CGx
 
 
128
2
3
33 hbhbI
CGx
⋅=⋅= 
 
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53
Utilizando a formulação de mudança de eixos 
x
CG
h/2
h
h/2
CG
x
b 
Momento de inércia do retângulo em 
relação ao seu CG → 
12
3

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