Lista1 gabarito

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MAW 117-Introdução ao cálculo-2015/1
Gabarito-Lista 1
1. Função que representa, em cm2, a área do chão de um banheiro quadrado de lado
(R + 170)cm: A(R) = (R + 170)2 cm2 = (R2 + 340R + 28900) cm2
Número de azulejos necessários para azulejar este banheiro:
(R+170)2
R2
= R
2+340R+28900
R2
=
1 + 340
R
+ 28900
R2
Se R = 30, A(R) = (30 + 170)2cm2 = 40000cm2 = 40000
10000
m2 = 4m2
2. D(r) = V (r + 1)− V (r) = 1
3
pi(3r2 + 3r + 1)cm3
3. Se um dos lados tem comprimento x metros, a área em m2 é
A(x) = (10− x)x m2 = (−x2 + 10x)m2
4. (a) f(x) = (4− 2x)2 − 1
Sol: (4− 2x)2 ≥ 0 para todo x ∈ R
⇔ (4− 2x)2 − 1 ≥ −1 para todo x ∈ R
Logo im f ⊂ [−1,+∞)
Se y ∈ [−1,+∞),
y = (4− 2x)2 − 1⇔ y + 1 = (4− 2x)2 (como y ≥ −1⇔ y + 1 ≥ 0)
⇔ √y + 1 = |4− 2x|
⇔ x = 4+
√
y+1
2
ou x = 4−
√
y+1
2
Logo [−1,+∞) ⊂ im f
∴ im f = [−1,+∞)
(b) g(x) = 100(x+ 3)5 − 80
Sol: im g = R
(c) h(x) = 2x−6
Sol:imh = (0,+∞)
5. (a) f(x) = 5x2 − x
2−x
Sol: f(3) = 5 · 32 − 3
2− 3 = 48
(b) f(x) = −(1− x)3 + 3x
Sol:f(3) = −(1− 3)3 + 33 = 35
6. (a) f(x) =
1
2x2 + 28x+ 98
−√(x2 − 3x− 9)(2− x)
Sol: domf = {x ∈ R | 2x2 + 28x+ 98 6= 0 e (x2 − 3x− 9)(2− x) ≤ 0 }
2x2 + 28x+ 98 = 0⇔ x = −7
x2 − 3x− 9 ≥ 0 para todo x ∈ R pois p(x) = x2 − 3x− 9 não tem raíz real.
Logo (x2 − 3x− 9)(2− x) ≤ 0⇔ 2− x ≥ 0⇔ 2 ≥ x
∴ domf = {x ∈ R | x ≤ 2 e x 6= −7 }
1
(b) f(x) = −(1− x)3 + 2−x −
√
3(x− 2)
x2 − 6x+ 9
Sol: domf = {x ∈ R | x ≥ 2 e x 6= 3 }
7. (a) f(x) = |x+ 5|
Sol:
−6 −4 −2
2
4
6
x
y
(b) f(x) =
√
3− x
−3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
x
y
(c) f(x) =
1
x2
−3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
x
y
2
(d) f(x) =
9− x2
x+ 3
−4 −3 −2 −1 1
2
4
6
x
y
(e) f(x) =
|x|
x
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
x
y
3
(f) f(x) =
5x+ |x|
x
−3 −2 −1 1 2 3
2
4
6
x
y
(g) f(x) =
|5 + x|
x
−20 −10 10 20
−5
5
x
y
−4 −2 2 4 6
5
10
15
x
y
8. (a)
f(x)− f(2)
x− 2 , se f(x) = 3x
2 − 4, x 6= 2
Sol:
f(x)− f(2)
x− 2 = 3(x+ 2)
(b)
f(1 + h)− f(1)
h
, se f(x) =
1
x
Sol:
f(1 + h)− f(1)
h
=
−1
1 + h
4
(c)
f(2 + h)− f(2)
h
, se f(x) = 3x2 − 4, h 6= 0
Sol:
f(2 + h)− f(2)
h
= 3h+ 12
(d)
f(h)− f(0)
h
, se f(x) = 3x3 − 4x2 + 7x− 3, h 6= 0
Sol:
f(h)− f(0)
h
= 3h2 − 4h+ 7
5