Lista2 gabarito

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MAW 117-Introdução ao cálculo-2015/1
Gabarito-Lista 2
1. Ache f(x) e g(x) de modo que
y = cos(x4 + x2 + 1) = f(g(x)) = (f ◦ g)(x)
Sol: f(x) = cos x; g(x) = x4 + x2 + 1
2. Ache f(x) e g(x) de modo que
y =
ex
ex + 2
= f(g(x)) = (f ◦ g)(x)
Sol: f(x) =
x
X + 2
x; g(x) = ex
3. Ache f(x), g(x) e h(x) de modo que
y =
√√√
x+ 1 = f(g(h(x))) = (f ◦ g ◦ h)(x)
Sol: f(x) =
√
x; g(x) =
√
x+ 1; h(x) =
√
x
ou f(x) =
√
x; g(x) =
√
x; h(x) =
√
x+ 1
4. Escreva a expressão para f(g(x)) e para g(f(x)) se
(a) f(x) = 2x e g(x) = cosx;
Sol:f(g(x)) = 2 cosx; g(f(x)) = cos(2x)
(b) f(x) = ex e g(x) =
5x
x− 1 ;
Sol:f(g(x)) = exp
(
5x
x− 1
)
; g(f(x)) =
5ex
ex − 1
(c) f(x) =
√
ex e g(x) = secx.
Sol:f(g(x)) =
√
esecx; g(f(x)) = sec
√
ex
5. (a) Ache f(g(1)) se f(x) = 3
√
x e g(x) = 5x+ 3;
Sol: f(g(1)) = 3
√
g(1) = 3
√
5 · 1 + 3 = 3√8 = 2
(b) Ache f(g(e)) se f(x) =
√
x e g(x) = ln(x4);
Sol: f(g(e)) =
√
g(e) =
√
ln(e4) =
√
4 ln e =
√
4 = 2
(c) Ache x∗ tal que f(g(x∗)) = 16 se f(x) = x2 e g(x) = x2.
Sol: f(g(x∗)) = f(x∗2) = x∗4
x∗4 = 16⇔ x∗ = 2 ou x∗ = −2
6. Ache a imagem de y = f(x) se
1
(a) f(x) = 2
x
2x+1
Sol: 0 < 2
x
2x+1
< 1 para qualquer x ∈ R, logo im f ⊂ (0, 1)
Se y ∈ (0, 1) então:
y =
2x
2x + 1
⇔ 2xy + y = 2x
⇔ y = 2x(1− y) (podemos aplicar ln pois 1− y > 0)
⇔ ln y = ln(2x(1− y)) = ln 2x + ln(1− y)
⇔ ln y = x ln 2 + ln(1− y)
⇔ x = ln y − ln(1− y)
ln 2
⇔ x = ln
y
y−1
ln 2
y = f
(
ln y
y−1
ln 2
)
⇒ y ∈ im f
Logo (0, 1) ⊂ im f
∴ im f = (0, 1)
(b) f(x) = (3x− 18)4 + 10
Sol: im f ⊂ [10,+∞)
Se y ∈ [10,+∞) , então:
y = (3x− 18)4 + 10⇔ y − 10 = (3x− 18)4 (como y − 10 ≥ 0)
⇔ 4
√
y − 10 = |3x+ 18|
⇔ 3x+ 18 = 4
√
y − 10 ou 3x+ 18 = − 4
√
y − 10
⇔ x =
4
√
y − 10− 18
3
ou x =
− 4√y − 10− 18
3
y = f
(
4√y−10−18
3
)
= f
(
− 4√y−10−18
3
)
⇒ y ∈ im f Logo im f ⊂ [10,+∞)
∴ im f = [10,+∞)
7. Ache o domínio de y = f(x) se
(a) f(x) = ln(x− 7)3;
Sol :dom f = {x ∈ R | (x− 7)3 ∈ (0,+∞) }
(x− 7)3 > 0⇔ x− 7 > 0⇔ x > 7
⇒ dom f = (7,+∞)
8. f(x) =
2x
−7− 3x ;
Sol: dom f = {x ∈ R | −7− 3x 6= 0 }
−7− 3x = 0⇔ 3x = −7
Como 3x > 0, ∀x ∈ R, dom f = R
2
9. f(x) = 6
√
x3 + 2x2 − 9x+ 18
Sol:dom f = [−3, 2] ∪ [3,+∞)
Calcule:
1. O valor máximo de f(x) = 3− x4 e para qual x∗ este valor é atingido;
Sol: O valor máximo é 3 atingido em x∗ = 0
2. O valor mínimo de f(x) = x38 − 19 e para qual x∗ este valor é atingido;
Sol: O valor mínimo é −19 atingido em x∗ = 0
3. O valor máximo de f(x) = 2x3− 5 se 1 ≤ x ≤ 2 e para qual x∗ este valor é atingido;
Sol: O valor máximo é 11 atingido em x∗ = 2
4. O valor mínimo de f(x) = 2x3 − 5 se 1 ≤ x ≤ 2 e para qual x∗ este valor é atingido;
Sol: O valor mínimo é −3 atingido em x∗ = 1
5. O valor máximo de f(x) = 2(x − 7)3 − 5 se 1 ≤ x ≤ 2 e para qual x∗ este valor é
atingido;
Sol: O valor máximo é −255 atingido em x∗ = 2
6. O valor mínimo de f(x) = 2(x − 7)3 − 5 se 1 ≤ x ≤ 2 e para qual x∗ este valor é
atingido.
Sol: O valor mínimo é −437 atingido em x∗ = 1.
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