Equação Diferencial Parcial - APLICAÇÃO - Equação da Onda

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MATO GROSSO – UFMT
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO ARAGUAIA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA - ICET
APLICAÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL:
EQUAÇÃO DA ONDA UNIDIMENSIONAL
IZABELLE SABATINE DA SILVA IZAIAS
Barra do Garças - MT
2016
UNIVERSIDADE FEDERAL DO MATO GROSSO – UFMT
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO ARAGUAIA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA - ICET
APLICAÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL:
EQUAÇÃO DA ONDA UNIDIMENSIONAL
IZABELLE SABATINE DA SILVA IZAIAS
Trabalho referente à disciplina de Equações Diferenciais, ministrada pelo professor Dr. Marco Donisete de Campos no curso de Engenharia Civil,.
Barra do Garças - MT
2016
INTRODUÇÃO
Equações Diferenciais são equações que apresentam derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes. Uma equação é chamada de Equação Diferencial Ordinária (EDO) quando as derivadas presentes na equação são tomadas em relação a uma única variável independente e de Equação Diferencial Parcial (EDP) quando são tomadas em relação a duas ou mais variáveis independentes. 
O estudo das equações diferenciais nos permite representar matematicamente uma infinidade de fenômenos de diversas áreas, sendo assim, torna-se uma ferramenta extremamente útil na resolução de problemas. Um exemplo comum é a Equação da Onda, que será deduzida neste trabalho.
DEFINIÇÃO
Primeiramente vamos considerar a corda na figura 1 de comprimento L, como uma corda de violão, homogênea, flexível e que está fixada e tensionada em dois pontos no eixo x, x = 0 e x =L.
Corda.
Vamos considerar que o movimento da corda vibrando se dará no plano xu e todos os pontos da corda vão se mover perpendicularmente ao eixo x, então o deslocamento vertical de qualquer ponto da corda será expresso por u(x, t), para t > 0. 
Como a corda é homogênea, sua massa m por unidade de comprimento é constante. Desta forma, podemos considerar que a inclinação da corda será pequena em todos os pontos e que a tensão T atuará tangencialmente à corda, como mostra a figura 2, e seu módulo T será o mesmo em todos os pontos.
A tensão é grande comparada com a força da gravidade e nenhuma outra força externa atua sobre a corda.
Segmento da corda.
Adotando um comprimento de corda extremamente pequeno Δ𝑠, temos que a massa pode ser definida como 𝑝Δ𝑠, sendo p peso linear da corda, e a aceleração vertical como a segunda derivada de u(x, t) em função do tempo. Assim, de acordo com as leis de Newton, temos:
Como os ângulos e são bem pequenos, podemos dizer que , então no ponto (x, t) e no ponto (x + Δx, t), pois a derivada é equivalente à inclinação de uma função no ponto. Consideremos . Substituindo na equação 1, temos:
ou
Aplicando limite para Δx→0 dos dois lados da equação, obtemos:
ou 
em que é a velocidade de propagação da onda.
A equação 3.2 define uma equação da onda. É classificada como EDP linear homogênea de segunda ordem.
SOLUÇÃO GERAL 
Para determinar a solução geral deste problema, o método mais indicado é o de separação de variáveis. A solução será então desta forma:
em que X é uma função dependente somente da variável x e Y uma função dependente apenas de t.
Substituindo na equação 3.2 temos:
Como sabemos que alguns membros da operação serão nulos, podemos reescrever a equação 5.1 da seguinte forma:
Dividindo ambos os membros por X(x).Y(t):
Como um dos lados da igualdade depende apenas de x e o outro apenas de t, a igualdade só se satisfaz se ambas forem iguais a uma constante, então:
Nota: Usaremos a constante – k2 por simplificação algébrica.
Desta forma, daremos origem a duas novas equações: 
e 
Daí, temos então que:
e
Pelos métodos já conhecidos de EDO, temos então que as soluções destas equações são:
e
Sendo assim, substituindo na equação 4, temos que a solução geral é da seguinte forma:
REFERÊNCIAS
MACHADO, K.D. Equações Diferencias Aplicadas. Vol 1. Editora Toda Palavra. 3ª Ed. Universidade Federal do Paraná.
SAIKI, M.E. Equação da onda unidimensional: Um estudo analítico e numérico. Universidade Católica de Brasília.
SODRÉ, U. Equações Diferenciais Parciais. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/fourier/edp.pdf>. Acesso em 05 de maio de 2016.