Ponte de Macarrão - Memória de Cálculo [Grupo VAI QUE COLA]

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO 
FACULDADE DE ARQUITETURA ENGENHARIA ETECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
PROJETO DE EXTENSÃO 
6a COMPETIÇÃO DE PONTES DE ESPAGUETE - 2015 
 
ANEXO B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEMÓRIA DE CÁLCULO 
 
VAI QUE COLA! 
 
 
 
 
 
Alunos: 
Carlos Aparecido Pereira Filho 3ª Série de Eng. Civil 
Izabelle Sabatine da Silva Izaias 2ª Série de Eng. Civil 
Marcela Magalhães Cabral 2a Série de Eng. Civil 
 
 
 
 
 
 
BARRA DO GARÇAS – MT 
MARÇO/2016 
 
 
1. DESCRIÇÃO 
O sucesso do sistema estrutural é determinado pela correta escolha de 
alguns indicadores que definem a sua geometria. Os principais indicadores que 
interferem no comportamento final da estrutura são: relação altura/vão, 
comprimento dos módulos, tipo de esforço solicitante, tipos de apoios, 
localização e distribuição destes apoios. 
Pela comparação dos cálculos dos esforços solicitantes com diferentes 
geometrias de treliças espaciais foi possível notar que nas treliças retangulares 
composta por triângulos os esforços solicitantes foram maiores que na treliça 
em arco. Devido a isso e outros fatores que serão citados a seguir, o uso da 
treliça em arco apresentou-se mais viável para a construção da ponte de 
macarrão. 
O macarrão, principal componente na confecção da ponte, apresenta 
maior resistência à tração em relação à compressão, pois a sua compressão está 
vinculada à flambagem, que depende do comprimento do fio de espaguete, das 
propriedades geométricas da sua seção transversal e das condições de 
vinculação das extremidades. 
A geometria da estrutura é formada por barras comprimidas que se ligam 
através de nós dando origem a um formato em arco imperfeito, seus nós são 
ligados por barras tracionadas que são direcionadas a um nó na base central da 
estrutura como mostra a figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Esquema da estrutura: barras comprimidas e tracionadas. 
As barras que formam o arco estão sob esforços de compressão e 
apresentam menor comprimento com relação às barras de todas as outras 
geometrias estruturais calculadas. Esse fator é de grande importância para o 
sucesso da estrutura, pois a flambagem das barras comprimidas requer uma 
atenção maior. A capacidade que a barra tem de envergar e, consequentemente, 
quebrar é determinada pela sua flambagem, quanto maior o comprimento da 
barra maior será sua chance de flambar. Devido as barras comprimidas serem 
menores, a estrutura em arco terá capacidade de suportar cargas mais elevadas. 
As barras tracionadas que estão ligadas ao arco apresentam mesma 
angulação e baixa tração, acarretando uma economia na quantidade de 
macarrão a ser utilizado. Devido elas não apresentarem flambagem foi possível 
o uso das mesmas com maior comprimento, servindo como cabos de tração, 
que quanto mais tracionados, mais estáveis e úteis estruturalmente serão. 
 
Barras Comprimidas 
Barras Tracionadas 
 
 
2. DESENHOS ESQUEMÁTICOS 
Como a ponte é simétrica, todas as barras da esquerda são idênticas às da 
direita. Todos os valores cotados neste tópico estão em centímetros e com uma 
precisão de quatro casas decimais. 
 Na figura 2 temos a vista longitudinal da ponte e a identificação das 
barras tracionadas (numeradas de 01 a 06) e comprimidas (ordenadas de 
a à e); 
 
Figura 2. Vista longitudinal e numeração das barras. 
 Na figura 3 temos a vista longitudinal da ponte e as distâncias entre os 
nós e na figura 4 e 5 a vista superior e vista lateral, respectivamente; 
 
 
 
 
Figura 3. Vista longitudinal com distância entre os nós. 
 
 
 
Figura 4. Vista superior. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. Vista frontal. 
 Na figura 6 têm-se o esquema da numeração dos nós; 
 
Figura 6. Detalhamento dos nós. 
 
 
 
3. CÁLCULOS DOS ESFORÇOS 
Os esforços das estruturas foram determinados através do software 
FTOOL, uma ferramenta bastante utilizada para a análise de estruturas 
bidimensionais, criada por Luiz Fernando Martha e disponível em 
http://web.tecgraf.puc-rio.br/ftool/. Depois de desenhado o projeto da ponte, o 
programa calcula todos os esforços normais que cada seção irá sofrer. Deve-se 
ressaltar que os valores dos esforços dados pelo FTOOL estão levando em 
consideração as propriedades de um material genérico e trata de barras feitas 
com comprimentos superiores ao comprimento real dos fios de macarrão, ou 
seja, não levados em consideração a área, densidade, inércia e módulo de 
elasticidade do macarrão, bem como a quantidade de nós necessários para a 
estrutura. 
Os esforços atuantes foram calculados então considerando uma carga de 
400N no centro da ponte e o resultado obtido encontra-se na figura 7. Os valores 
positivos indicam que a barra está sendo tracionada e os negativos que está 
sendo comprimida, seguindo a convenção de estática. 
Figura 7. Esquema de esforços e reações. 
 
 
É bom lembrar, que como o programa é bidimensional, foi colocado 
apenas um lado da figura. Como o outro é exatamente igual, devido à simetria, 
a ponte toda irá suportar duas vezes o valor indicado, ou seja, 800N. 
A partir dos valores dos esforços obtidos, foi calculado o número fios de 
macarrão que seria necessário para cada seção da ponte. A fórmula para a seção 
que está sob tração é a seguinte: 
Número de fios =
Esforço Atuante (kgf)
4,627 (kgf)
 
(Equação 01) 
Tem-se então a seguinte tabela, sendo ID o número de identificação da 
seção: 
Tabela 1. Número de fios em barras tracionadas. 
É importante lembrar que cada seção tracionada contém 3 (três) nós, pois 
o comprimento unitário de cada macarrão é menor que o comprimento 
necessário para a seção, fazendo com que seja necessário emendar as pontas 
dos fios. Portanto, para satisfazer cada seção o número de fios adotados deve 
ser multiplicado por 3 (três) e o comprimento de cada parte deles será a 
distância entre os nós. Porém, para os cálculos aqui será considerado apenas o 
comprimento total da seção. 
TABELA DE FIOS EM TRAÇÃO 
ID Comprimento (cm) Esforço (kgf) Número de fios 
calculados 
Número de 
fios adotados 
1 53,0000 8,18835 1,91899 4 
2 49,2925 6,75055 1,58204 4 
3 46,2042 6,57719 1,54141 3 
4 43,9277 6,62818 1,55336 4 
5 42,4572 6,19990 1,45299 3 
6 42,0000 6,35286 1,48883 4 
 
 
Para o cálculo da seção sob compressão, utiliza-se a seguinte fórmula: 
Número de fios = √
N L2
279056 r4
 (Equação 02) 
Em que N é o Esforço Atuante em kgf, L é o comprimento em cm e r o 
raio médio do macarrão (utilizado 0,09 cm). 
A tabela de fios de compressão obtida segue abaixo, sendo ID a 
identificação da seção: 
Tabela 2. Número de fios em barras comprimidas. 
Como não há nós no meio de cada seção comprimida, apenas entre uma 
e outra, não há a necessidade de multiplicar o número de fios. Portanto, a seção 
será tratada normalmente como barra. 
 
 
 
 
 
TABELA DE FIOS EM COMPRESSÃO 
ID Comprimento (cm) Esforço (kgf) Número de fios 
calculados 
Número de 
fios adotados 
a 16,4157 21,97497 17,98427 34 
b 15,2472 23,41277 17,24193 34 
c 14,2779 24,60584 16,55209 34 
d 13,5914 25,48280 16,03456 33 
e 13,2197 25,93148 15,73275 33 
 
 
4. DIMENSÕES DAS BARRAS 
Os comprimentos aproximados são dados na figura 8, em centímetros. 
Como a figura é simétrica, sabe-se que as cotas serão iguais dos dois lados. A 
barra mais comprimida é que tem o menor comprimento, identificada 
anteriormente como barra e; já a barra mais tracionada é a de maior 
comprimento, identificada como barra 1. 
 
Figura 8. Comprimentos das barras. 
O diâmetro de cadaseção foi calculado através do raio médio de cada fio 
de macarrão (0,09cm). Sabe-se então que a área de cada fio é igual a π vezes o 
raio ao quadrado, ou seja: 
𝐴𝑢 = 𝜋0,09
2 (Equação 03) 
E sabemos também que a área total será n vezes a área unitária, sendo n 
o número de fios adotado. Logo: 
𝐴𝑡 = 𝑛𝐴𝑢 = 𝑛𝜋0,09
2 (Equação 04) 
 
 
Como a área total também é dada por π vezes o diâmetro ao quadrado 
total dividido por quatro, basta igualar isso à equação 04 e isolar o diâmetro 
que obteremos a seguinte dedução: 
𝑑𝑠 = √4 𝑛 0,092 (Equação 05) 
Obtém-se então a seguinte tabela: 
ID NFA d (cm) 
1 4 0,3600 
2 4 0,3600 
3 3 0,3118 
4 4 0,3600 
5 3 0,3118 
6 4 0,3600 
a 34 1,0496 
b 34 1,0496 
c 34 1,0496 
d 33 1,0340 
e 33 1,0340 
A 2 0,2546 
B 2 0,2546 
Tabela 3. Diâmetro das seções. 
Em que A e B são as barras que ligam as partes da estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
5. CÁLCULO DO PESO 
A partir do número de fios que será adotado (NFA), do comprimento de 
cada seção (L), do peso linear do macarrão (0,03937g/cm) e número de seções 
iguais no mesmo plano (NS), devido a simetria, é possível obter o peso total 
previsto de macarrão por seção (PTS), em que: 
Peso total da seção = NFA × NS × L × 0,03937 (Equação 06) 
Os dados obtidos são conforme a tabela seguinte: 
ID L (cm) NFA NS PTS (g) 
1 53,0000 4 2 16,69288 
2 49,2925 4 2 15,52517 
3 46,2042 3 2 10,91436 
4 43,9277 4 2 13,83547 
5 42,4572 3 2 10,02924 
6 42,0000 4 1 6,61416 
a 16,4157 34 2 43,9475 
b 15,2472 34 2 40,8192 
c 14,2779 34 2 38,2242 
d 13,5914 33 2 35,3162 
e 13,2197 33 2 34,3503 
Tabela 4. Peso das seções. 
O peso total de um lado da estrutura (peso 1) é dado pelo somatório do 
peso total de cada seção. Então: 
Peso 1 = ∑ PTS = 266,2686g (Equação 07) 
Como a estrutura é formada por duas partes iguais, o peso deve ser 
multiplicado por 2 (dois). Além disso, deve ser considerado o macarrão que 
 
 
estará ligando as duas partes, como pode ser observado na vista frontal e na 
vista superior. O cálculo do peso destas barras de macarrão (barra A e barra B) 
foi feito considerando o comprimento do mesmo como igual à largura da ponte 
(16cm) para as barras horizontais e considerando um comprimento médio de 
22cm para as barras diagonais e, para ambos, utilizado dois fios de macarrão 
por seção. O peso total das barras de ligação é então de 36,2204g. Neste valor 
está considerado que são 15 (quinze) barras de 16cm e 10 (dez) barras de 22cm. 
O valor do peso total do macarrão previsto na ponte será então de 
568,7577g.