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TAXAS RELACIONADAS (seção 3.9, p.223, 6ª ed. livro texto) (seção 3.10, p.255, 5ª ed. livro texto) O que significa? Significa medir a taxa de variação de uma grandeza em termos da taxa de variação de outra grandeza que pode ser medida mais facilmente. A idéia é encontrar uma função composta que relaciona estas duas grandezas e, como determinar a taxa de variação instantânea (num certo instante), é determinar a derivada neste instante, usa-se a REGRA DA CADEIA para derivar esta função composta e encontrar esta taxa procurada. Como resolver? Podemos pensar em algumas etapas: 1. Ler cuidadosamente o problema, interpretando-o, definindo as variáveis dependentes e independentes e desenhando uma figura ou um diagrama se for possível. 2. Atribuir símbolos para estas grandezas, introduzindo a notação de cada uma e colocando as unidades. 3. Expressar a informação dada e a taxa requerida em termos das derivadas. 4. Escrever uma equação que relaciona as variáveis do problema. 5. Se for necessário, usar a geometria do problema para eliminar uma das variáveis. 6. Usar a Regra da Cadeia para derivar ambos os lados da equação em relação a t. 7. Substituir os valores conhecidos (as informações dadas no enunciado) dentro da equação e resolver a equação para o valor desconhecido. Exemplo 1: Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm3/s. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro do balão é 50 cm? 1. Interpretando o problema e definindo as variáveis: Um balão esférico está sendo enchido com ar, obviamente seu volume aumenta com o tempo e este fato está diretamente relacionado com o aumento de seu raio. Se me deram a taxa de crescimento do volume do balão, é possível portanto calcular a taxa de crescimento do raio do balão em algum instante desconhecido, instante este em que o raio é igual a 25 cm (diâmetro = 50 cm), já que o raio também aumenta com o tempo. 2. Atribuindo símbolos, introduzindo a notação e as unidades: Volume do balão: V = cm3 Raio do balão r em cm 3. Expressando a informação dada e a taxa requerida em termos das derivadas: Taxa de crescimento do volume: ; Raio do balão no instante desconhecido to : . 4. Relação entre as funções no instante t: Observa-se que volume e raio dependem do tempo e portanto existe uma função volume que é composta e que depende do raio e o raio depende do tempo. Assim: 5. (Não é necessário) 6. Relação entre as derivadas no instante t: utilizando a regra da cadeia: Relação entre as derivadas no instante : 7. Substituindo os valores conhecidos (as informações dadas no enunciado) dentro da equação e resolvendo a equação para o valor desconhecido: Vamos observar as unidades: em e em , portanto tem que estar em ATENÇÃO: O livro usa a outra notação: mas ela não está bem empregada pois não especifica o instante desconhecido to. Outros problemas: 1) Uma escada de 7m de altura está encostada em uma parede vertical. Se a base da escada é arrastada em direção à parede a 1,5 m/s, a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da parede, quando a base se encontra a 2m da parede? Resposta: = m / s 2) Um tanque de água com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado a uma taxa de 6 /min. A altura do cone é 24m e o raio da base é 12m. Ache a velocidade com que o nível de água está baixando, quando a profundidade da água é 10m. Resposta: = 3) Uma escada com 14 m de comprimento está encostada na parede de um edifício quando sua base começa a escorregar. A base da escada está se afastando do edifício a uma taxa de 1,5 m/s, no instante em que esta se encontra a 3m do edifício. a) Com que velocidade o topo da escada está escorregando na parede nesse mesmo instante? b) É correto afirmar que se a base se afasta a uma velocidade constante, então o topo também escorrega a uma velocidade constante? Justifique. 4) A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto a área do triângulo cresce a uma taxa de 2 /min. A que taxa está variando a base do triângulo quando a altura é 10 cm e a área , 100 c . Resposta: = - 8/5 cm / min 5) Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 4 pés/s. Um holofote localizado no chão a 20 pés do caminho focaliza o homem. A que taxa o holofote está girando quando o homem está a 15 pés do ponto do caminho mais próximo da luz? Resposta: = 16/125 rad / s 6) a) Determine a distância de um ponto do plano, (x,y), à origem. b) Determine a distância de um ponto (x,y) sobre a curva y = à origem. c) Uma partícula está se movendo ao longo da curva y = . Quando a partícula passa pelo ponto (4,2), sua coordenada x cresce a uma taxa de 3 cm/s. Determine a taxa de variação da distância da partícula à origem nesse instante. Resposta: = cm / s
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