2 vetores notas de aula

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Física Geral e Experimental I - 1° Semestre - 2009 
Notas de aulas - Vetores 
 
1. O conceito de Vetores 
 
 Algumas grandezas físicas além de seu valor e unidade precisam de mais duas 
informações para sua caracterização. Estas grandezas precisam ser caracterizadas também 
pela sua direção e sentido. Alguns exemplos são o deslocamento, velocidade, aceleração, 
forças, campos elétricos e gravitacionais e outras grandezas físicas. Por depender de direção e 
sentido, os vetores são melhores explorados em termos de conceitos geométricos, tais como 
aqueles que envolvem trigonometria e representação no espaço. Vejamos sua notação. 
 Abaixo há a representação do vetor A
r
. Observe que, agora, para representar um 
vetor, inicialmente, usa-se uma “flecha” acima da letra que representa este vetor. 
Geometricamente, há o “início” e o “fim” do vetor. 
 
 A figura acima apresenta três vetores distintos, o A
r
, o B
r
e o C
r
. Cada um apresenta 
seu módulo (tamanho), sua direção, ou seja a reta onde ele repousa, e o sentido, ou seja, 
para onde ele é direcionado. 
2. Soma de Vetores 
 Os vetores podem ser somados, ou seja, gerarem novos vetores baseados na 
composição geométrica de outros. Há duas regras, uma que une os vetores a partir de suas 
extremidades e outra chamada regra do paralelogramo. A regra das extremidades é a mais 
simples e poderá ser visualizada a seguir. Acompanhe. O vetor A
r
utilizado é somado ao 
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vetor , de maneira que a soma seja S. Observe que a soma é geométrica, ou em outros 
termos, vetorial, no sentido que não há a soma dos módulos, e sim dos vetores em um 
sentido geométrico. A figura formada é um triângulo, cujos lados constituem cada vetor. 
Veja a seguir. 
B
r
 
θ 
A extremidade inferior do vetor B
r
é posicionada na extremidade final (cabeça) de A
r
. 
Assim, para obtenção do vetor S
r
, unem-se extremidade inferior do A
r
 com a extremidade 
superior (cabeça) do . Este vetor resultante é a soma dos vetores B
r
A
r
 e . Para obtenção 
do módulo deste vetor soma, utiliza-se a Lei dos Cossenos, muito utilizada para obtenção 
de lados de triângulos que não formam um ângulo reto de 90° entre si. Esta lei é expressa 
por: 
B
r
θcos2222 BABAS rrrrr −+= 
onde S
r
representa, por exemplo, o módulo (tamanho) do vetor S. O ângulo θ é aquele 
entre os vetores e BA
r r
. 
Para o caso do triângulo retângulo, o ângulo entre os vetores é de 90°, portanto seu cosseno 
é zero, recaindo na fórmula de Pitágoras para obtenção do módulo do vetor soma, que é a 
hipotenusa do triângulo retângulo. 
 A regra do paralelogramo permite também expressar a soma de vetores. Entretanto, 
esta regra deve ser tomada apenas com dois vetores de cada vez. Vejamos como aplicar 
então esta outra maneira de somar vetores. 
 Para que os vetores possam ser somados com a regra do paralelogramo, usa-se retas 
paralelas aos vetores envolvidos. Lembre-se: são sempre aos pares. O posicionamento dos 
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vetores, para sua soma, também é diferente: ambos devem estar unidos pelas suas 
extremidades de origem. Veja a figura a seguir. 
 
 
θ 
Nesta figura os vetores e foram somados através da regra do paralelogramo. O ângulo 
entre eles é diferente, pois agora ele é formado partindo-se do vetor B e finalizando-se em 
A. 
A
r
B
r
 Os vetores também podem ser expressos em termos de componentes e composições. 
Vejamos estes tópicos a seguir. 
 
3. Componentes de um vetor 
 Os vetores podem ser caracterizados por componentes. Componentes são vetores 
que, ao se somarem em um sistema de coordenadas, fornecem o vetor inicial. Estas 
componentes, projetadas nos eixos coordenados x e y, fornecem dois vetores adicionais que 
permitem representar separadamente o vetor original. Vejamos esta representação 
geometricamente, e vamos obter os valores do módulo de cada componente. Esta 
dependerá do módulo do vetor que as componentes representam e do ângulo que o vetor 
forma com o eixo x. Acompanhe a seguir. 
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θ 
 
A componente Ay ,representada pela cor verde, é a projeção na direção da ordenada, ou eixo 
y. A componente Ax , representada pela cor vermelha, é a projeção na direção da abscissa, 
ou eixo x. Assim, há duas componentes que, quando somadas, fornecem o vetor . É 
importante entender que a decomposição de vetores nos eixos coordenados fornece uma 
maneira simplificada de somar vetores. Antes de falarmos nesta maneira de somar, vamos 
obter os módulos das componentes (que também são vetores). O ângulo θ é aquele 
formado entre o vetor e o eixo das abscissas x. Assim, as componentes apresentam os 
seguintes módulos: 
A
r
A
r
θcosAAx
r= 
θsinAAy
r= 
O ângulo, por si só, pode ser obtido através da razão entre as componentes, e é expresso 
tanto pela função trigonométrica tangente, quanto por sua função inversa, ou seja, 
θtg
A
A
x
y = 
ou, obtendo apenas o ângulo, vem, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
A
A
x
yarctgθ 
A resposta deste ângulo pode ser tanto em graus, como em radianos. Se ele é obtido através 
do uso de uma calculadora, é necessário saber a configuração desta para que os valores 
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obtidos possam ser interpretados corretamente. Vejamos como expressar, também, os 
vetores através do uso de vetores unitários. 
 
4. Vetores unitários e seu uso na representação das componentes de 
um vetor 
Vetores unitários são aqueles que possuem módulo unitário. Isto significa que eles possuem 
tamanho, ou módulo, 1. Desta maneira é possível representar o módulo de qualquer vetor 
como múltiplos destes vetores unitários e expressar a soma, ou composição de vetores, 
através destes mesmos vetores especiais. Para utilização em Física, os vetores unitários são 
representados por e . O primeiro é utilizado para as componentes na direção do eixo x, 
enquanto o segundo, para o eixo y. Um exemplo geométrico destes vetores pode ser 
representado a seguir, com um vetor 
i
r
j
r
A
r
expresso em termos dos módulos de suas 
componentes e dos vetores unitários i
r
e j
r
. Acompanhe. 
 
Nesta figura, as componentes x e y possuem módulos, respectivamente, 5 e 3. Portanto, o 
vetor pode ser expresso em termos de vetores unitários A
r
i
r
e j
r
 da seguinte maneira: 
jiA
rrr
35 += 
A componente x, do vetor possui módulo 5, enquanto a componente y, módulo 3. 
Simples assim! 
A
r
O módulo do vetor é 3492535 2222 =+=+=+= AA yxA
r
 
 
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