Apostila de Algebra Linear e GA 1º Sem 2014 Prof Alvesmar

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UNIVERSIDADE DE SOROCABA 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ENGENHARIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome do(a) aluno(a):_________________________________________________________________________ 
 
Curso:______________________________________________ 
 
Turma:______________ Turno:______________ Sala:_________ Prof. Alvesmar Ferreira 
 
 
 
 
1º Semestre – 2014 
2 
 
UNIVERSIDADE DE SOROCABA 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ENGENHARIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÕES 
Provas: 
P1: Data: ___/___/___ Páginas:_________________________________________ 
P2: Data: ___/___/___ Páginas:_________________________________________ 
P3: Data: ___/___/___ Páginas:_________________________________________ 
3 
 
 
SUMÁRIO 
 Capítulo 1 
Estudo de Matrizes.............................................................................................................................04 
Capítulo 2 
Sistemas de equações lineares..........................................................................................................19 
Capítulo 3 
Vetores em Rn.....................................................................................................................................29 
Capítulo 4 
Espaço vetorial....................................................................................................................................37 
Capítulo 5 
Subespaço vetorial..............................................................................................................................38 
Capítulo 6 
Vetores e Equações Lineares.............................................................................................................39 
Capítulo 7 
Dependência Linear............................................................................................................................40 
Capítulo 8 
Produto escalar...................................................................................................................................41 
Capítulo 9 
Base de um espaço vetorial................................................................................................................42 
Capítulo 10 
Vetores no Espaço, notação ijk em R³................................................................................................43 
 Capítulo 11 
 Equações da reta................................................................................................................................46 
 Capítulo 12 
 Equações de planos............................................................................................................................51 
 Capítulo 13 
 Cálculo de distâncias..........................................................................................................................54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
ESTUDO DAS MATRIZES 
INTRODUÇÃO 
Em uma editora, a venda de livros de Matemática, Física e Química no primeiro trimestre de uma ano pode 
ser expressa pela tabela a seguir. 
 Janeiro Fevereiro Março 
Matemática 20 000 32 000 45 000 
Física 15 000 18 000 25 000 
Química 16 000 17 000 23 000 
Se quisermos saber: 
 quantos livros de Matemática foram vendidos em fevereiro, basta olharmos o número que está na 
primeira linha e na segunda coluna; 
 quantos livros de Física foram vendidos em janeiro, basta olharmos o número que está na segunda 
linha e na primeira coluna; 
 quantos livros de Química foram vendidos em março, basta olharmos o número que está na 
terceira linha e na terceira coluna. 
Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos em 3 linhas e colunas, denomina-se matriz 3 x 3 
(lê-se três por três) e podemos representá-la por: 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO 
Sejam m e n dois números inteiros maiores ou iguais a 1. 
Denomina-se matriz m x n (lê-se m por n) uma tabela retangular formada por m . n números reais, 
dispostos em m linhas e n colunas. 
Dizemos que a matriz é do tipo m x n ou de ordem m x n. 
Exemplos: 
1º) 
 
 
 é uma matriz do tipo 2 x 2 (dois por dois). 
2º 
 
 
 
 
 é uma matriz do tipo 2 x 3 (dois por três). 
3º) Quando m = 1, a matriz é chamada matriz linha. Por exemplo, (1 3 -2) é uma matriz linha do tipo 1 x 3. 
4º) Quando n = 1, a matriz é chamada matriz coluna. Por exemplo, 
 
 
 
 
 é uma matriz coluna do tipo 4 x 1. 
Quando temos matrizes linha ou matrizes coluna, também podemos chamá-la de vetores. É muito comum 
uma matriz linha como [2 0 5] ser escrita como (2, 0, 5) quando se trabalha com vetores. 
5 
 
Exercícios 
01. Escreva a matriz correspondente às tabelas a seguir. 
a) Tabela de notas de três alunos no primeiro bimestre: 
 Matemática Física Química Biologia 
Ana 6 4 5 8 
Antônio 5 7 5 5 
Beatriz 5 6 7 4 
 
b) Tabela que mostra, em porcentagem, a localização da população brasileira de 1940 a 1990: 
 População urbana População rural 
1940 31 69 
1950 36 64 
1960 45 55 
1970 56 44 
1980 64 36 
1990 72 28 
 
02. Identifique o tipo das seguintes matrizes: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. Observe a matriz seguinte e responda: 
 
 
 
 
 
 
 
a) De que tipo é a matriz dada? 
b) Quais são os números da 1ª linha? 
c) E os da 3ª coluna? 
d) Qual é o número que está na 2ª linha e na 2ª coluna? 
e) E na 3ª linha e na 1ª coluna? 
f) E na 1ª linha e na 3ª coluna? 
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ 
Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos ou termos da matriz. 
Analisemos, por exemplo, a seguinte matriz: 
 
 
 
 
 
6 
 
Nela, podemos observar que: 
 o elemento 3 está na 1ª linha e na 1ª coluna, indica-se: a11 (lê-se a um um) = 3. 
 o elemento -5 está na 2ª linha e na 1ª coluna, indica-se: a21 (lê-se a dois um) = -5. 
 o elemento 6 está na 3ª linha e na 1ª coluna, indica-se: a31 (lê-se a três um) = 6. 
 o elemento 2 está na 1ª linha e na 2ª coluna, indica-se: a12 (lê-se a um dois) = 2. 
 o elemento está na 3ª linha e na 4ª coluna, indica-se: a34 (lê-se três quatro) = . 
Assim: 
 para representar o elemento de uma matriz, usamos uma letra com dois índices: o primeiro indica 
em que linha o elemento se encontra, e o segundo, em que coluna; por exemplo, a23 é o elemento 
que está na 2ª linha e na 3ª coluna; 
 o elemento genérico de uma matriz A será indicado por aij, em que i representa a linha e j 
representa a coluna na qual o elemento se encontra; ele é chamado de ij-ésimo elemento da 
matriz; 
 a matriz A, do tipo m x n, será escrita, genericamente, do seguinte modo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De maneira abreviada, podemos escrever a matriz A na forma: 
A = (aij)m x n, com 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n e i, j Є N 
Lê-se matriz A, dos elementos aij, do tipo m x n. 
Exemplos 
01. Escreva a matriz A (aij)3 x 2 tal que aij = 3i – 2j + 4. 
Pelos dados do problema, a matrizdeve ter 3 linhas e 2 colunas. 
A= 
 
 
 
 
aij = 3i – 2j + 4 é a “lei de formação” da matriz. Cada termo da matriz é definido substituindo-se i e j 
pelos valores correspondentes. 
a11 = 3 . 1 – 2 . 1 + 4 = 5 
a12 = 3 . 1 – 2 . 2 + 4 = 3 
a21 = 3 . 2 – 2 . 1 + 4 = 8 
a22 = 3 . 2 – 2 . 2 + 4 = 6 
a31 = 3 . 3 – 2 . 1 + 4 = 11 
a32 = 3 . 3 – 2 . 2 + 4 = 9 
Portanto, a matriz é A = 
 
 
 
 . 
02. Escreva a matriz X = (aij), com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3, tal que 
 
 
 . 
A matriz deve ter 3 linhas e 3 colunas tal que: 
a11 = a22 = a33 = 1 
a12 = a13 = a21 = a23 = a31 = a32 = 0 
Assim, X = 
 
 
 
 . 
7 
 
Exercícios 
01. Identifique: 
a) os elementos a11, a22 e a13 na matriz 
 
 
 ; 
b) os elementos a31, a23 e a33 na matriz 
 
 
 
 . 
02. Escreva as matrizes: 
a) A = (aij)2 x 3 tal que aij = i² + j² 
b) M = (aij), com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3, tal que aij = 3i + 2j – 5 
c) X = (aij)4 x 2 de modo que aij = 2i² - j 
TIPOS DE MATRIZES 
Dependendo de certas características, algumas matrizes recebem nomes especiais, como a matriz 
linha e matriz coluna, já vistas. 
A seguir, veremos mais algumas dessas matrizes. 
Matriz quadrada 
Consideremos uma matriz m x n. 
 Quando m = n (o número de linhas é igual ao número de colunas), diz-se que a matriz é quadrada 
do tipo n x n ou simplesmente de ordem n. 
Exemplos: 
1º) 
 
 
 é uma matriz quadrada de ordem 2 (m = n = 2). 
2º) 
 
 
 
 
 
 é uma matriz quadrada de ordem 3 (m = n = 3). 
Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos a11, a22, a33, ..., ann formam a diagonal principal 
da matriz (são os elementos aij com i = j). 
 
 
 
 
 Diagonal principal 
 
 
 
 
 
 Diagonal principal 
A outra diagonal da matriz quadrada denomina-se diagonal secundaria. 
 Diagonal secundária 
 
 
 
 
8 
 
 Diagonal secundária 
 
 
 
 
 
 
Matriz triangular 
 Vamos considerar uma matriz quadrada de ordem n. 
 Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, dizemos que a matriz 
é triangular. 
Exemplos 
 
 
 
 
 (matriz triangular inferior) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (matriz triangular superior) 
 
 
 
 (matriz triangular inferior) 
Matriz diagonal 
 A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são 
nulos é chamada de matriz diagonal. 
Exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em uma matriz diagonal, aij = 0 para i j. 
Matriz identidade 
A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os 
outros elementos são iguais a zero é chamada de matriz identidade e seu símbolo é In. 
Exemplos 
I3 = 
 
 
 
 I2 = 
 
 
 I5 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Em uma matriz identidade, temos 
 
 
 . 
Exercícios 
01. Qual é a ordem da matriz quadrada 
 
 
 
 
 ? 
02. Quais são os números que formam a diagonal principal da matriz quadrada 
 
 
 
 ? 
03. Calcule o produto dos elementos da diagonal principal da matriz 
 
 
 . 
04. Seja a matriz quadrada 
 
 
 . Calcule a diferença entre o produto dos elementos da diagonal 
principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
05. Escreva a matriz quadrada de ordem 2, cujo elemento genérico é aij = 4i -2j + 3. 
06. Escreva a matriz diagonal de ordem 3, em que aij = i + j para i = j. 
07. Escreva a matriz triangular de ordem 4, em que 
 
 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
OPERAÇÕES ENTRE DUAS MATRIZES 
Problema 1. 
Observe os dois polígonos representados no plano cartesiano: 
 
Esses dois polígonos são congruentes, e podemos considerar que o polígono EFGH é uma translação do 
polígono ABCD, isto é, EFGH foi obtido de duas movimentações de ABCD, sendo uma na horizontal e outra 
na vertical. 
a) Quantas unidades na horizontal e quantas unidades na vertical ABCD devem ser deslocadas para 
que, ao final, coincida com EFGH? 
 
b) Represente em uma matriz A(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono ABCD, de maneira que 
cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com a abscissa na primeira coluna e a 
ordenada na segunda coluna. 
 
 
c) Represente em uma matriz B(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono EFGH, de maneira que 
cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com a abscissa na primeira coluna e a 
ordenada na segunda coluna. 
 
 
d) Escreva uma matriz C(4x2) de tal forma que A + C = B. 
 
11 
 
Problema 2. 
Na representação seguinte de um aplano cartesiano, podemos observar três triângulos congruentes. O 
triângulo ABC pode ser transladado até coincidir com o triângulo DEF, que por sua vez, se transladado, 
poderá coincidir com o triângulo GHI. 
 
a) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma translação do 
triângulo ABC, a fim de que ele, ao final, coincida com o triângulo DEF? 
b) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma translação do 
triângulo DEF, a fim de que ele, ao final, coincida com o triângulo GHI? 
c) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma translação do 
triângulo ABC, a fim de que ele, ao final, coincida com o triângulo GHI? 
d) Descreva uma matriz 3 x 2 para cada triângulo, de maneira que cada linha da matriz contenha 
coordenadas de um vértice do triângulo, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na 
segunda coluna. Denomine a matriz referente ao triângulo ABC pela letra M, a matriz referente ao 
triângulo DEF pela letra N, e a matriz referente ao triângulo GHI pela letra P. 
e) Escreva uma matriz Q, tal que M + Q = N. 
f) Escreva uma matriz R, tal que N + R = P. 
g) Escreva uma matriz T, tal que M + T = P. 
 
 
 
 
12 
 
Problema 3. 
Consideremos as tabelas, que descrevem a produção de grãos em 3 regiões diferentes num período de dois 
anos consecutivos. 
Primeiro ano (em milhares de toneladas). 
 Soja Feijão Arroz Milho 
Região 1 3000 200 400 600 
Região 2 700 350 700 100 
Região 3 1000 100 500 800 
 
Segundo ano (em milhares de toneladas). 
 Soja Feijão Arroz Milho 
Região 1 5000 50 200 0 
Região 2 2000 100 300 300 
Região 3 2000 100 600 600 
Se quisermos saber qual é a produção acumulada em cada região durante os dois anos, devemos somar as 
produções. 
Produção de grãos durantes os dois anos (em milhares de toneladas). 
 Soja Feijão Arroz Milho 
Região 1 
Região 2 
Região 3 
 
Problema 4. 
Consideremos o seguinte, após o primeiro ano, houve muitos incentivos e condições climáticas favoráveis, 
então, a estimativa de produção para o próximo ano é que seja o dobro. 
Primeiro ano(em milhares de toneladas). 
 Soja Feijão Arroz Milho 
Região 1 3000 200 400 600 
Região 2 700 350 700 100 
Região 3 1000 100 500 800 
 
Qual será a produção estimada para o próximo ano? 
 Soja Feijão Arroz Milho 
Região 1 
Região 2 
Região 3 
 
 
 
13 
 
Problema 5. 
No campeonato Baiano da terceira divisão, após cinco rodadas, foram obtidos os seguintes resultados pelas 
cinco equipes participantes: 
Equipe Vitória Empate Derrota 
Barro Vermelho 3 2 0 
Carranca 2 1 2 
Veneza 2 0 3 
Colonial 1 1 3 
Olaria 1 0 4 
 
Resultado Pontos 
Vitória 3 
Empate 1 
Derrota 0 
 
Calcule quantos pontos cada time conquistou até agora, e represente os resultados em uma matriz de 
ordem 5 x 1. 
Problema 6. 
Um fabricante produz 3 tipos de componentes eletrônicos A, B e C. 
E para a produção desses componentes, é utilizado silício, níquel, gálio e ouro. E a quantidade de cada 
material é dado pela tabela a seguir: 
 Silício Níquel Gálio Ouro 
Componente A 2 0 1 1 
Componente B 1 1 0 0 
Componente C 3 2 2 1 
 
Se o preço de cada material é dado pela tabela a seguir: 
 Preço 
Silício 1 
Níquel 2 
Gálio 3 
Ouro 4 
 
Calcule o preço unitário de cada componente eletrônico. 
 Preço unitário 
Componente A 
Componente B 
Componente C 
 
 
14 
 
Problema 7. 
Um proprietário de duas cantinas em escolas diferentes deseja contabilizar o consumo dos seguintes 
produtos: suco de laranja, água mineral, queijo e presunto. Na cantina da escola A são consumidos, por 
semana, 40 dúzias de laranja, 140 garrafas de água mineral, 15 quilos de queijo e 9 quilos de presunto. Na 
cantina B são consumidos semanalmente 50 dúzias de laranja, 120 garrafas de água mineral, 18 quilos de 
queijo e 10 quilos de presunto. O proprietário das cantinas compra os produtos que revende de dois 
fornecedores, cujos preços, em R$, são expressos na tabela seguinte: 
Produtos Fornecedor 1 Fornecedor 2 
1 dúzia de laranja 1,20 1,10 
1 garrafa de água mineral 0,80 0,90 
1 quilo de queijo 5,00 6,00 
1 quilo de presunto 9,00 7,50 
 
Partindo dessas informações, determine: 
a) Uma matriz 2 x 4 em que esteja registrado o consumo dos produtos listados na cantina A e também 
na cantina B. 
b) Uma matriz 4 x 2 em que estejam registrados os preços praticados pelos fornecedores 1 e 2 para os 
produtos listados. 
c) Uma matriz 2 x 2 contendo os preços totais cobrados por fornecedor para cada cantina. 
d) Quanto o proprietário economizará comprando sempre no fornecedor mais barato, para os dois 
restaurantes. 
Problema 8. 
Na Páscoa, Jair resolveu ganhar um dinheiro extra, fabricando e vendendo ovos de chocolate. Para planejar 
seus investimentos e lucros no projeto, Jair elaborou as seguintes planilhas com quantidades necessárias e 
custo de material para quatro tipos de ovos. 
Tabela 1 – Quantidade de material necessário para a fabricação de uma unidade de cada tipo de ovo 
Tipo de ovo Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 
Chocolate (gramas) 120 250 180 160 
Açúcar (gramas) 100 120 100 80 
Recheio (gramas) 160 180 200 100 
Embalagem (folhas) 0,5 1,5 1,0 1,0 
 
Tabela 2 – Custo de cada tipo de material (R$) 
Chocolate (kg) Açúcar Recheio (kg) Embalagem (folhas) 
12,00 1,50 28,00 1,20 
a) Escreva uma matriz de ordem 1 x 4 contendo o custo total de fabricação de cada tipo de chocolate. 
b) Se Jair pretende trabalhar com as margens de lucro sobre o preço de custo expressas na tabela 
seguinte, calcule qual é o valor total das vendas que ele espera conseguir com 200 unidades da 
cada tipo de chocolate. 
Tabela 3 – Margem de lucro por tipo produzido 
Tipo de chocolate Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 
Margem de lucro (%) 60 80 100 100 
15 
 
Agora que vimos alguns exemplos, vamos definir cada operação. 
Adição de matrizes. 
A soma de duas matrizes de mesma ordem, Amxn e Bmxn é uma matrizes mxn, que denotamos A + B, cujos 
elementos são as somas dos elementos correspondentes de A e B. 
Exemplo: Sejam as matrizes A = 
 
 
 e B = 
 
 
 . Calcular A + B. 
A + B = 
 
 
 + 
 
 
 = 
Propriedades 
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem, temos: 
Comutativa: A + B = B + A 
Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 
Elemento neutro da adição: + A = A + = A, onde denota a matriz nula. 
Multiplicação de matriz por um escalar 
A multiplicação de uma matriz A por um escalar , resulta em uma nova matriz, onde cada elemento da 
nova matriz é produto do elemento correspondente da matriz A por . 
Exemplo: Sejam a matriz A = 
 
 
 e o escalar = 2, temos: 
2.A = 2 . 
 
 
 = 
 
 
 
Propriedades 
Dadas as matrizes A e B de mesma ordem e os escalares , temos: 
Distributiva 1: .(A + B) = .A + .B 
Distributiva 2: ( .A = .A + .A 
Multiplicação por zero: 0.A = , ou seja, ao multiplicarmos qualquer matriz pelo número zero, o resultado 
será a matriz nula. 
Associativa: .( .A) = ( . ).A 
Multiplicação de matrizes 
Dadas duas matrizes A e B a matriz resultante é calculada da seguinte forma: 
Amxn = 
 
 
 
 e Bnxp = 
 
 
 
 
16 
 
A.B = 
 
 
 
 
Exemplo: Sejam as matrizes A = 
 
 
 e B = 
 
 
 
 , calcule A.B. 
A.B = 
 
 
 . 
 
 
 
 = 
 
 
 
L1.C1 = 1.1 + 0.(-1) + 2.2 = 5 
L1.C2 = 1.(-1) + 0.0 + 2.0 = -1 
L2.C1 = -1.1 + 2.(-1) + 0.2 = -3 
L2.C2 = -1. (-1) + 2.0 + 0.0 = 1 
Observação: Só poderemos efetuar o produto de duas matrizes, se o número de colunas da primeira for 
igual ao número de linhas da segunda. 
Propriedades 
Dadas as matrizes A, B e C, temos: 
Multiplicação pela matriz identidade: A.I = I.A = A 
Distributiva 1: A.(B + C) = A.B + A.C 
Distributiva 2: (A + B).C = A.C + B.C 
Associativa: (A.B).C = A.(B.C) 
Multiplicação pela matriz nula .A = A. = 
Em geral a comutativa não é válida, ou seja, A.B B.A 
Igualdade de matrizes 
Duas matrizes só serão iguais se elas forem de mesma ordem e os elementos correspondentes forem 
iguais. 
Exemplo: 
Determine os valores de x e y, tal que as matrizes A = 
 
 
 e B = 
 
 
 sejam iguais. 
Para que as matrizes sejam iguais, então x + 2 = 3 e y – 2 = 5, o que resulta em 
x = 3 – 2 = 1 
y = 5 + 2 = 7 
Portanto x = 1 e y = 7 
17 
 
Exercícios 
01. Sejam as matrizes A = 
 
 
 , B = 
 
 
 , C = 
 
 
 
 e D = . Calcule: 
a) A + B 
b) A.C 
c) B.C 
d) C.D 
e) D.A 
f) A – B 
g) 2A + 3B 
h) 2(B-A)
 
02. Dadas as matrizes A = 
 
 
 , B = 
 
 
 e C = 
 
 
 . Determine a matriz X = 
 
 
 , em cada 
um dos casos: 
a) A + B = X 
b) X + 2C = A 
c) A + B + C + X = 
d) A + I = X 
e) A.B = X 
f) X = A.C 
g) A – 2C = X 
h) A² = X 
 
03. Dadas as matrizes A = 
 
 
 , B = 
 
 
 e C = 
 
 
 , calcule: 
a) A + B 
b) A + C 
c) B + C 
d) A + B + C 
04. Dadas as matrizes A = 
 
 
 
 , B = 
 
 
 
 e C = 
 
 
 
 , calcule: 
a) A + B – C 
b) A – B + C 
c) A – B – C 
05. Use = 2 e = 3, A = 
 
 
 
 e B = 
 
 
 
 e verifique as quatro propriedades da multiplicação 
de matriz por um escalar. 
06. Determine os produtos: 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d)Matriz inversa de uma matriz dada 
 Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, então X é 
denominada matriz inversa de A e é indicada por A-1. 
 Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz inversível ou não-singular. 
18 
 
Exemplos 
01. Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A = 
 
 
 . 
Resolução: 
Seja X a matriz quadrada de ordem 2 procurada, isto é, X = 
 
 
 . 
Pela definição, inicialmente devemos ter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , que resolvido nos dá a = -3 e c = 2. 
 
 
 
 
 , que resolvido nos dá b = 8 e d = -5. 
 
Daí, temos X = 
 
 
 
 
 
 , para a qual AX = I2 
 
A seguir, verificamos se XA = I2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, podemos dizer que 
 
 
 é a matriz inversa de 
 
 
 , ou seja, A-1 = 
 
 
 . 
 
02. Determine a matriz inversa de A = 
 
 
 , se existir. 
Seja X a matriz quadrada de ordem 2 procurada tal que X = 
 
 
 . 
Pela definição, devemos ter inicialmente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
  0 = -2 (impossível) 
 
 
 
 
 
Se o sistema (I) é impossível, não há necessidade da resolução do sistema (II). 
Podemos afirmar que a matriz A não admite inversa ou que a matriz A não é inversível ou que é 
singular. 
 
Exercício 
Determine, se existir, a inversa da cada uma das seguintes matrizes: 
a) A = 
 
 
 b) A = 
 
 
 c) A = 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
SISTEMAS LINEARES 
Problema 1. 
Duas locadoras de automóveis A e B estipulam a remuneração de seus serviços da seguinte maneira: 
 Locadora A: valor fixo de R$ 80,00 mais R$ 1,20 por quilômetro rodado. 
 Locadora B: valor fixo de R$ 120,00 mais R$ 1,00 por quilômetro rodado. 
Com base nesses dados, determine: 
a) O valor a ser pago às locadoras A e B pelo aluguel de um veículo que rodou 140 km. 
b) O valor a ser pago às locadoras A e B pelo aluguel de um veículo que rodou 300 km. 
c) A partir de quantos quilômetros rodados torna-se mais econômico alugar o automóvel em B do que 
em A. 
Problema 2. 
Uma loja de eletrodomésticos está fazendo uma promoção para a compra conjunta de dois tipos de 
eletrodomésticos, de maneira que o consumidor interessado paga: 
 R$ 590,00 por um forno micro-ondas e um aspirador de pó; 
 R$ 1 300,00 por um forno de micro-ondas e uma geladeira; 
 R$ 1 250,00 por um aspirador de pó e uma geladeira. 
Quanto a loja está cobrando por tipo de aparelho? 
Problema 3. 
Um funcionário recém-contratado por uma empresa recebeu em mãos a seguinte tabela contendo as 
quantidades de 3 tipos de produtos, A, B e C, recebidos ou devolvidos em 3 lojas da empresa, 
acompanhadas dos respectivos valores que cada loja deveria remeter à matriz pela transação. 
 Quantidade Valor da transação (em mil R$) 
Tipo A B C Total 
Loja 1 3 4 -1 8 
Loja 2 4 5 2 20 
Loja 3 1 -2 3 6 
Ajude o funcionário a calcular o valor unitário de cada tipo de produto. 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Problema 4. 
Quatro escolas participam de um torneio esportivo em que provas de 10 modalidades foram disputadas. 
Aos vencedores de cada prova foram atribuídas medalhas de ouro, de prata ou de bronze, dependendo da 
classificação final, respectivamente, 1º, 2º e 3º lugar. A quantidade de medalhas de cada escola, ao final da 
competição, é apresentada na tabela seguinte, assim como o total de pontos conseguidos pelas esolas, 
considerando que a cada tipo de medalha foi atribuída uma pontuação. 
Escolas 
Medalhas 
Pontuação final 
Ouro Prata Bronze 
A 4 2 2 46 
B 5 3 1 57 
C 4 3 3 53 
D 3 3 7 53 
Qual foi a pontuação atribuída a cada tipo de medalha? 
Problema 5. 
O técnico de uma equipe de futebol estima que ao final de 12 partidas sua equipe consiga 24 pontos. 
Sabendo-se que a quantidade de pontos por vitória é 3, por empate é 1 e por derrota é 0, determine: 
a) O número de pontos da equipe para o caso em que vença 4 jogos, empate 4 e perca 4. 
b) O número máximo de pontos que a equipe pode conseguir. 
c) Uma combinação possível de números de vitórias-empates-derrotas para que a equipe consiga os 
almejados 24 pontos. 
d) Todas as possibilidades para que a equipe consiga atingir 24 pontos. 
Problema 6. 
Na feira da quarta-feira, próxima à sua casa, Helena foi comprar, em uma única barraca, um kit para bolo. O 
kit continha farinha de trigo, fubá e chocolate em pó, em um total de 2 kg, e pelo qual pagou R$ 4,00. 
Intrigada com o preço do kit, Helena questionou o feirante sobre o preço de cada produto, ouvindo dele 
que o quilo da farinha custava R$ 1,00, que o quilo do chocolate em pó custava R$ R$ 20,00, e que o quilo 
do fubá custava R$ 2,00. Escreva uma possibilidade para as quantidades de cada produto do kit comprado 
por Helena. 
Problema 7. 
Paulo realizou uma prova de Matemática formada por três partes. Paulo acertou 24% das questões da 
primeira parte, acertou 50% das questões da segunda parte e acertou 75% da terceira parte, totalizando 
120 pontos. O total máximo de pontos que qualquer aluno poderia obter na prova era igual a 230. Escreva 
uma equação linear que relacione a quantidade de pontos conseguidos por Paulo nessa prova ao 
porcentual de acertos em cada parte. (sugestão: chame de x, y e z os totais de pontos máximos possíveis em 
cada uma das três partes.) 
a) Se o total máximo de pontos da primeira parte da prova é 60 e o total máximo da segunda é 90, 
quantos pontos Paulo fez na terceira parte? 
b) Uma combinação possível dos totais máximos de pontos na primeira, segunda e terceira parte da 
prova para que Paulo consiga os 120 pontos. 
 
21 
 
Resolução de um sistema linear 
Sistemas lineares 2 x 2 
Resolução pelo método da adição 
1) 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
Interpretação geométrica dos sistemas lineares 2 x 2 
Geometricamente em sistema 2 x 2, tem duas retas, e as posições dessas retas podem ser concorrentes, 
paralelas ou coincidentes. 
1) 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
Exercício 
Resolva cada sistema 2 x 2 usando o método da adição; classifique-o quanto ao número de soluções e faça 
sua representação gráfica. 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
Resolução de um sistema linear por meio do escalonamento. 
Exemplo 
Determine os valores de x, y e z, do sistema a seguir: 
 
 
 
 
 
22 
 
Para facilitar usaremos uma matriz que está associada ao sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 L3 = 7.L2 – 3.L3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo o sistema 
 
 
 
 é equivalente a 
 
 
 
 
Temos então que z = 2, substituindo na segunda equação temos y = -2 e substituindo y e z na primeira 
equação temos x = 3. 
Portando a solução do sistema é S = {(3, -2, 2)} 
Propriedades: 
1. Multiplicar uma equação por um número diferente de zero. 
2. Adicionar uma equação a outra. 
3. Permutar duas equações. 
Classificação e resolução de sistemas lineares escalonados 
 Para classificar um sistema escalonado, basta observar a últimalinha. Mas é preciso estar atento, 
pois a última linha num sistema de n incógnita é a n-ésima linha, que, se não existir, deve ser considerada 
totalmente nula (0x + 0y + 0z + ... = 0, equivale a 0 = 0). 
 Na última linha, podemos ter: 
 uma equação do 1º grau com uma incógnita (exemplo: 2z = 4; 5w = 0; z = -1, ...): o sistema é SPD; 
 uma igualdade sem incógnitas que é verdadeira (exemplo: 0 = 0; 2 = 2; 5 = 5; ...): o sistema é SPI; 
 uma igualdade sem incógnitas que é falsa (exemplo: 0 = 9; 0 = 2; 0 = -4; ...): o sistema é SI. 
SPD – o sistema é possível e determinado 
SPI – o sistema é possível e indeterminado 
SI – o sistema impossível 
Exemplos 
1º 
 
 
 
 ) sistema 3 x 3 já escalonado (número de equações = número de incógnitas) 
Da 3ª equação tiramos z = 2. 
Da segunda, fazendo z = 2, temos y = 1. 
Fazendo y = 1 e z = 2 na 1ª equação, temos x = -2. 
Podemos concluir que o sistema é possível e determinado, com S = {(-2, 1, 2)}. 
23 
 
2º) 
 
 
 
 
 sistema 4 x 4 já escalonado. 
A 4ª equação permite dizer que o sistema é impossível, logo S = . 
 
3º) 
 
 
 sistema 2 x 3 já escalonado (número de equações < número de variáveis) 
Quando um sistema escalonado tem mais incógnitas que equações e pelo menos um coeficiente não-nulo 
em cada equação, ele é possível e indeterminado, pois as equações que faltam podem ser consideradas 
todas 0 = 0. A incógnita que não aparece no começo das equações é chamada incógnita livre. Nesse 
exemplo, z é a incógnita livre. Fazemos z = k, com k R, para descobrir a solução geral do sistema. 
Da 2ª equação, temos 3y – 6k = 0  y = 2k. 
Usando z = k e y = 2k, temos x + 2k + k = 0  x = - 3k. 
Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solução geral é (-3k, 2k, k). 
No 3º exemplo dizemos que o grau de indeterminação é 1 (3 – 2) e que temos uma variável livre. 
 para k = 0, a solução é (0, 0, 0); 
 para k 0, as soluções são (-3, 2, 1), (-15, 10, 5) e outras. 
4º) 
 
 
 
Aqui o sistema é possível e indeterminado (está escalonado e tem duas equações e quatro incógnitas) e são 
duas as incógnitas livres (y e t). 
Fazemos y = e t = , com R e R. 
Substituindo nas equações: 
2z + 3 = 1  2z = 1 - 3  z = 
 
 
 
2x - + 
 
 
 – = 2  4x = 2 - 1 + 3 + 2 + 4  4x = 2 + 5 + 3  x = 
 
 
 
Solução geral: 
 
 
 
 
 
 
No 4º exemplo o grau de indeterminação é 2 (4 – 2) e são duas as variáveis livres. O sistema tem infinitas 
soluções e duas delas são (2, 0, -1, 1) e 
 
 
 . 
Sistemas lineares homogêneos 
Todo sistema linear, onde o termo independente é igual a zero, é chamado de sistema linear homogêneo. 
Exemplo: 
01) 
 
 
 
24 
 
02) 
 
 
 
 
 
Observação: todos os sistemas lineares homogêneos possuem pelo menos uma solução, chamada de 
solução trivial, é quando todas as incógnitas são iguais a zero. 
X = y = w = ... = z = 0 
Exercícios 
01. Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados. 
a) 
 – 
 
 
 
 
b) 
 – 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
02. Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo: 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
Resolução de sistemas pela regra de Cramer 
01. Resolva os sistemas pela regra de Cramer: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Resolva a equação matricial 
 
 
 
 
 
 
 
 usando a regra de Cramer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
03. Resolva o sistema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 usando a regra de Cramer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. Resolva o sistema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
Exercícios 
01. Classifique os sistemas lineares seguintes em determinado, indeterminado ou impossível em 
função do parâmetro m. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Determine os valores de k e de m a fim de que o sistema de equações seguinte seja indeterminado. 
Obtenha também a solução geral do sistema e, por fim, explicite duas soluções possíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
03. Determine o valor de m para que o sistema de equações seguinte seja indeterminado. Depois disso, 
com o valor obtido para m, encontre duas possíveis soluções reais, isto é, determine dois conjuntos 
de valores de a, b e c que verifiquem simultaneamente as três equações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
VETORES EM Rn 
Introdução 
 Em várias aplicações aparecem certas quantidades, tais com temperatura e peso, que possuem 
apenas uma “magnitude”. Tais quantidades podem ser representadas por números reais e são chamados 
escalares. Por outro lado, há também quantidades como força e velocidade, que são caracterizadas não só 
pela magnitude, como também pela direção. Essas quantidades podem ser representadas por setas, com 
comprimento e direção adequados, emanando de um ponto de referência O, e são chamados vetores. 
 Vetor provém do verbo latino vehere: transportar, levar. Vetor é particípio passado de vehere, 
significando transportado, levado. 
 Dados dois pontos A e B, temos o vetor , ou seja, o ponto A é “transportado” até B. 
Definição: 
Um vetor é composto por três grandezas, que são: 
A intensidade ou comprimento, chamado de módulo ou norma de vetor. 
A direção do vetor. 
O sentido do vetor. 
Representação de um vetor 
Dados dois pontos A e B a representação do vetor é uma seta partindo de A e chegando em B. 
 B 
 
 A 
Cálculo dos componentes de um vetor 
Podemos calcular os componentes de um vetor a partir das coordenadas dos pontos A e B. 
Exemplos: 
Sejam os pontos em R, A = 2 e B = 5. Calcule os vetores e . 
 = B – A = 5 – 2 = 3 
 = A – B = 2 – 5 = -3 
Sejam os pontos em R², A = (1, 2) e B = (5, 4). Calcule os vetores e . 
 = B – A = (5, 4) – (1, 2) = (4, 2) 
 = A – B = (1,2) – (5, 4) = (-4, -2) 
Sejam os pontos em R³, A = (3, 3, 4) e B = (-1, 0, 2). Calcule os vetores e . 
 = B – A = (-1, 0, 2) – (3, 3, 4) = (-4, -3, -2) 
 = A – B = (3, 3, 4) – (-1, 0, 2) = (4,3, 2) 
30 
 
Representação do vetor no plano 
Exemplo 1: Represente o vetor = (-2, 1) 
 
Observe que os vetores u, v e w são iguais, calculando suas componentes, temos: 
 = (-2, 1) – (0, 0) = (-2, 1) 
 = (1, 2) – (3, 1) = (-2, 1) 
 = (0, -1) – (2, -2) = (-2, 1) 
Exemplo 2: Represente os vetores = (1, 2), = (-2, 3) e = (3, -2) 
 
31 
 
Representação do vetor no espaço tridimensional R³ 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
33 
 
 
Módulo ou norma de um vetor 
É a distância da origem à extremidade de um vetor. 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: 
| | = 
 = 
Onde: a = e b = 
Exemplo: Calcule o módulo de = (1, 2) 
| | = = 
Analogamente, em R³, se = (a, b, c), temos: | | = . 
 
 
 
34 
 
Exercícios 
01. Dados os pontos A = (1, 3), B = (-1, 0), C = (2, -1) e D = (-1, -3). 
a) Determine os vetores e represente no plano cartesiano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Calcule a norma dos vetores encontrados no item a. 
 
 
 
 
 
 
02. Represente os vetores: = (1, 2, 3), = (1, -2, 3) e = (0, 3, -2) e = (1, 2, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
As operações sobre vetores. 
(i) Adição: A resultante u + v de dois vetores u e v é obtida pela chamada regra do paralelogramo, 
isto é, u + v é a diagonal do paralelogramo formado por u e v, conforme ilustra a Figura 2.1(a). 
(ii) Multiplicação escalar: O produto k.u de um real k por um vetor u se obtém multiplicando a 
magnitude, ou módulo, de u por k, e conservando a mesma direção se k ≥ 0 ou a direção 
oposta se k < 0 (Figura 2.1(b)). 
 
(i) Adição: Se (a, b) e (c, d) são pontos extremos dos vetores u e v, então (a + c, b + d) será a 
extremidade de u + v, conforme Figura 2.2(a). 
(ii) Multiplicação escalar: Se (a, b) é uma extremidade de um vetor u, então (ka, kb) será a 
extremidade do vetor ku, conforme Figura 2.2(b). 
 
Matematicamente, identificamos o vetor u com a sua extremidade (a, b) e escrevemos u = 
(a, b). Além disso, iremos nos referir ao par ordenado (a, b) de reais como um ponto ou um vetor, 
dependendo de sua interpretação. Generalizamos esta noção, chamando vetor a uma ênupla (a1, a2, ..., an) 
de reais. Não obstante poderemos usar uma notação especial para os vetores no espaço R3. 
 
 
Vetores em Rn 
 O conjunto de todas as ênuplas de reais, denotado por Rn, constitui o espaço-n, ou espaço de n 
dimensões. Uma ênupla particular de Rn, digamos, u = (u1, u2, ..., un) é chamada um ponto ou um vetor; os 
reais ui são as componentes (ou coordenadas) do vetor u. Além disso, ao estudarmos o espaço R
n, 
usaremos o termo escalar para designar os elementos de R. 
36 
 
 Dois vetores u e v são iguais (escrevendo u =v), se têm o mesmo número de componentes, isto é, se 
pertencem ao mesmo espaço, e se as componentes correspondentes são iguais. Os vetores (1, 2, 3) e (2, 3, 
1) não são iguais, pois as componentes correspondentes não são iguais. 
Exemplo. 
(a) Considere os seguintes vetores 
(0, 1) (1, -3) (1, 2, , 4) (-5, ½, 0 , π) 
Os dois primeiros têm dois componentes, por isso são pontos de R²; os dois últimos têm quatro 
componentes e, assim, são pontos de R4. 
(b) Seja (x - y, x + y, z – 1) = (4, 2, 3). Então, pela definição de igualdade de vetores, 
x – y = 4; x + y = 2; z – 1 = 3 o que dá x = 3, y = -1, z = 4. 
Adição de Vetores, Multiplicação por Escalar 
Sejam u e v vetores em Rn: 
 u = (u1, u2, ..., un) e v = (v1, v2, ..., vn) 
A soma de u e v (escreve-se u + v) é o vetor obtido somando-se as componentes correspondentes: 
u + v = (u1 + v1 , u2 + v2, ..., un + vn) 
O produto de um real k pelo vetor u (escreve-se ku) é um vetor que se obtém multiplicando-se cada 
componente de u por k: 
 Ku = (ku1, ku2, ..., kun) 
Note-se que tanto u + v como ku são também vetores de Rn. Define-se também 
 -u = -1u e u – v = u + (-v) 
Não se define a soma de vetores com números diferentes de componentes. 
 No teorema seguinte descrevem-se as propriedades básicas dos vetores do Rn sob as operações de 
adição e multiplicação escalar. 
Teorema 2.1: Para quaisquer vetores u, v, w Є Rn e quaisquer escalares k, k’ Є R, 
 Adição: 
(i) Associativa: (u + v) + w = u + (v + w) 
(ii) Elemento neutro: u + 0 = u 
(iii) Elemento oposto: u + (-u) = 0 
(iv) Comutativa: u + v = v + u 
Multiplicação: 
(v) Distributiva em relação à adição de vetores: k(u + v) = ku + kV 
(vi) Distributiva em relação à adição de escalares: (k + k’)u = ku + k’u 
(vii) Associativa em relação aos escalares: (kk’)u = k(k’u) 
(viii) Elemento neutro: 1u = u 
37 
 
Sejam u e v vetores em Rn tais que u = kv para algum escalar não-nulo k. Então u é chamado 
múltiplo de v; e u terá a mesma direção de v se k ≥ 0, e direção oposta se k < 0. 
Exemplos: 
01. Sejam os vetores u = (1, 2, 3) e v = (0, -1, 1). Calcule u + v. 
u + v = (1, 2, 3) + (0, -1, 1) = (1, 1, 4) 
02. Represente os vetores u = (1, 2), 2.u e -2.u 
 
Espaço vetorial 
 Um espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, com duas operações, soma e multiplicação por 
escalar, tais que, satisfazem as propriedades (Teorema 2.1) da adição de vetores e multiplicação por 
escalar. 
Exercícios: 
01. Sejam u = (2, -7, 1), v = (-3, 0, 4), w = (0, 5, -8). Ache (a) 3u – 4v, (b) 2u + 3v – 5w. 
02. Calcule: 
(a) 2 
 
 
 
 - 3 
 
 
 
 
 
(b) -2 
 
 
 
 + 4 
 
 
 
 - 3 
 
 
 
 
03. Ache x e y (a) (x, 3) = (2, x + y); (b) (4, y) = x(2, 3). 
04. Como sabemos R² = {(x, y) / x, y Є R}. O R² pode ser visto como espaço vetorial sobre R desde 
que se definam adição e multiplicação por um número real assim: 
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e 
k(x, y) = (kx, ky) 
05. O R³ é o conjunto de todas as ternas ordenadas de números reais. Ou seja: R³ = {(x, y, z) / x, y, 
z Є R}. A adição e multiplicação por escalares são definidas no R³ por: 
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e 
k(x, y, z) = (kx, ky, kz) 
38 
 
06. Façam a verificação das propriedades relativas à adição e multiplicação descritas no Teorema 
2.1 
Subespaço vetorial 
 Às vezes é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial, subconjuntos que sejam eles 
próprios espaços vetoriais. Tais conjuntos serão chamados de subespaço vetorial. 
Exemplo 
Sabemos que R² é um espaço vetorial, mas nesse espaço vetorial há uma reta passando pela origem, e essa 
reta é um subespaço vetorial, pois a reta sozinha funciona como um espaço vetorial, já que se somarmos 
quaisquer dois vetores que estejam contidos na reta o vetor resultante também estará contido na reta, o 
mesmo acontece se multiplicarmos um vetor por um escalar, dizemos que o subconjunto é “fechado” para 
adição e multiplicação por um escalar. 
 
Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se: 
1º W 
2º Fechamento para a adição: Para quaisquer u, v W, tivermos (u + v) W. 
3º Fechamento para a multiplicação: Para quaisquer R e u W, tivermos .u R. 
Exemplo 1: Seja V = R² e W = {(x, 0)/x R} 
1º W, pois se x = 0, temos o vetor nulo (0, 0) 
2º Sejam u W e v W, tal que u = (x1, 0) e v = (x2, 0). 
u + v = (x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0), como x1 + x2 R, então u + v W. 
3º Sejam R e u W. 
 .u = .(x, 0) = ( x, 0), como x R, então .u W 
Portanto W é um subespaço vetorial de V. 
 
39 
 
Exemplo 2: Verifique se S é subespaço vetorial de R², S = {(x, y)/y = x²} 
 1º S, pois0 = 0² 
2º Sejam u S e v S, tal que u = (x1, y1) e v = (x2, y2). 
u + v = (x1, y1) + (x2, y2). = (x1 + x2, y1 + y2), mas y1 + y2 (x1 + x2)² 
Logo u + v S. 
Portanto S não é subespaço vetorial de R². 
Exercícios 
1. Quais dos conjuntos abaixo são subespaços de R²? 
S = {(x, y) R²/ x – y = 0} 
T = {(x, y) R²/ x = 2} 
U = {(x, y) R²/ y = 2x} 
V = {(x, y) R²/ x + y = 1} 
2. Quais dos conjuntos abaixo são subespaços de R³? 
S = {(x, y, z) R³/ x = y = 0} 
T = {(x, y, z) R³/ y = 1} 
U = {(x, y, z) R³/ x = y = z} 
V = {(x, y, z) R³/ x + y = 3} 
 
Vetores e Equações Lineares 
 Dois importantes conceitos envolvendo vetores, combinações lineares e dependência linear estão 
estreitamente relacionados com os sistemas de equações lineares. 
Combinações Lineares 
Seja um sistema não homogêneo de m equações com n incógnitas: 
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 
............................................. 
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm 
Este sistema é equivalente à seguinte equação vetorial: 
x1 
 
 
 
 
 + x2 
 
 
 
 
 + ... + xn 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
Isto é, à equação vetorial 
 x1u1 + x2u2 + ... + xnun = v 
onde u1 , u2 , ... , un e v são os vetores colunas acima, respectivamente. 
40 
 
 Se o sistema acima tem solução, então diz-se que v é uma combinação linear dos vetores ui. 
Enunciemos formalmente este importante conceito. 
Observação: A expressão combinação linear significa multiplicar os vetores por escalares e somá-los. 
Definição: Um vetor v é uma combinação linear de vetores u1 , u2 , ... , un se existem escalares k1, k2, ... kn 
tais que 
 v = k1u1 + k2u2 + ... + knun 
Isto é, se a equação vetorial 
 v = x1u1 + x2u2 + ... + xnun 
Tem solução, para os xi escalares. 
 A definição aplica-se tanto aos vetores coluna como aos vetores linha, embora a ilustração se 
baseie só em vetores coluna. 
Exemplo: Suponhamos 
v = 
 
 
 
 , u1 = 
 
 
 
 , u2 = 
 
 
 
 e u3 = 
 
 
 
 
Então v é uma combinação linear de u1 , u2 , u3 pois a equação vetorial (ou sistema) 
 
 
 
 
 = x 
 
 
 
 + y 
 
 
 
 + z 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
Tem a solução x = -4, y = 7, z = -1. Em outras palavras v = -4u1 + 7u2 – u3 
 
Dependência Linear 
 Consideremos homogêneo de m equações em n incógnitas: 
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0 
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0 
............................................. 
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0 
Este sistema é equivalente à seguinte equação vetorial: 
x1 
 
 
 
 
 + x2 
 
 
 
 
 + ... + xn 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
ou seja, à equação vetorial 
 x1u1 + x2u2 + ... + xnun = 0 
onde os u1, u2, ... un são os vetores coluna acima, respectivamente. 
41 
 
 Se o sistema homogêneo acima tem solução não trivial, os vetores u1, u2, ... un dizem-se 
linearmente dependentes; por outro lado, se a equação tem somente a solução trivial, ou zero, os vetores 
dizem-se linearmente independentes. Enunciemos formalmente este importante conceito. 
Definição: Os vetores u1, u2, ... un de R
n são linearmente dependentes se existem escalares k1, k2, ... kn, não 
simultaneamente nulos, tais que: 
k1u1 + k2u2 + ... + knun = 0 
Isto é, se a equação vetorial 
 x1u1 + x2u2 + ... + xnun = 0 
tem solução não trivial, onde os xi são escalares não conhecidos. Caso contrário, os vetores classificam-se 
como linearmente independente. 
 A definição acima aplica-se tanto aos vetores coluna como aos vetores linha. 
Exemplo: 
(a) A única solução de 
x 
 
 
 
 + y 
 
 
 
 + z 
 
 
 
 = 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
é a solução zero x = 0, y = 0, z = 0. Logo, os três vetores são linearmente independente. 
(b) A equação vetorial (ou sistema de equações lineares) 
x 
 
 
 
 + y 
 
 
 
 + z 
 
 
 
 = 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
tem solução não trivial (3, -2, 1), isto é, x = 3, y = -2, z = 1. Assim, os três vetores são linearmente 
dependentes. 
 
Produto escalar 
Sejam u e v vetores de Rn: 
 u = (u1 , u2 , ... , un) e v = (v1 , v2 , ... , vn) 
O produto escalar, ou produto interno, de u e v, denotado por u . v, é o escalar obtido pela multiplicação 
das componentes correspondentes, comando-se os produtos resultantes: 
 u . v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn 
Os vetores u e v são ortogonais (ou perpendiculares) se seu produto escalar é zero, isto é, se u . v = 0. 
Exemplo: 
 Sejam u = (1, -2, 3, -4), v = (6, 7, 1, -2) e w = (5, -4, 5, 7). Então 
 u . v = 1 . 6 + (-2) . 7 + 3 . 1 + (-4) . (-2) = 6 – 14 + 3 + 8 = 3 
 u . w = 1 . 5 + (-2) . (-4) + 3 . 5 + (-4) . 7 = 5 + 8 + 15 – 28 = 0 
42 
 
Assim, u e w são ortogonais. 
 Seguem-se as propriedades básicas do produto escalar em Rn. 
 
Terema 2.2: Para quaisquer vetores u, v, w em Rn e qualquer escalar k Є R, 
(i) (u + v) . w = u . w + v . w 
(ii) (ku) . v = k(u . v) 
(iii) u . v = v . u 
(iv) u . u ≥ 0, e u . u = 0 se e somente se u = 0 
Observação: O espaço Rn com as operações acima de adição vetorial, multiplicação escalar e produto 
escalar é usualmente chamado espaço Euclidiano de dimensão n. 
Exercícios: 
01. Converta a seguinte equação vetorial em um sistema de equações lineares e resolva: 
 
 
 
 
 = x 
 
 
 
 + y 
 
 
 
 + z 
 
 
 
 
02. Escreva o vetor v = (1, -2, 5) como combinação linear dos vetores u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3) e u3 = 
(2, -1, 1). 
03. Escreva o vetor v = (2, 3, -5) como combinação de u1 = (1, 2, -3), u2 = (2, -1, -4) e u3 = (1, 7, -5). 
04. Determine se os vetores u1 = (1, 1, 1), u2 = (2, -1, 3), e u3 = (1, -5, 3) são linearmente dependentes 
ou linearmente independentes. 
05. Determine se os vetores (1, -2, -3), (2, 3, -1) e (3, 2, 1) são linearmente dependentes. 
06. Calcule u . v, onde u = (1, -2, 3, -4) e v = (6, 7, 1, -2) 
07. Sejam u = (3, 2, 1), v = (5, -3, 4), w = (1, 6, -7). Ache: 
(a) (u + v) . w 
(b) u . w + v . w 
08. Sejam u = (1, 2, 3, -4), v = (5, -6, 7, 8), e k = 3. Ache: 
(a) k(u . v) 
(b) (ku) . v 
(c) u . (kv) 
09. Sejam u = (5, 4, 1), v = (3, -4, 1) e w = (1, -2, 3). Quais os pares (se houver) de vetores 
perpendiculares? 
10. Determine k de maneira que os vetores u = (1, k, -3) e v = (2, -5, 4) sejam ortogonais. 
11. Prove o Teorema 2.2. 
 
Base de um espaço vetorial 
 Um conjunto de vetores é chamado de base de um espaço vetorial V, se os vetores do conjunto 
forem L.I. e gerarem o espaço vetorial V. 
a. {v1, v2, ..., vn} é L.I. 
b. [v1, v2, ..., vn] = V 
43 
 
Base canônica 
 A base canônica, é uma base formada pelos vetores dos eixos coordenados, de módulo 1 (versor). 
A base canônica do espaço R² é {(1, 0); (0, 1)} 
A base canônica do espaço R³ é {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)}. 
Exercícios 
01. Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.: 
a) u = (3, -1) e v = (9, -3) 
b) u = (2, 3), v = (-1, -1) e w = (2, 0) 
c) u = (1, 4) e v = (0, 2) 
d) u = (4, 2, 3), v = (2, 0, 0) e w = (-1, 2, 3) 
e) u = (1, 2, 3), v = (-1, -1, 4) e w = (0, -2, 2) 
02. Encontre uma base para os seguintes subespaços vetoriais: 
U = [(1, 2); (0, 2); (3, 0)] 
V = [(1, 0, 1); (0, 2, 3); (1, 2, 4)] 
S = {(x, y) R²/ x = y} 
T = {(x, y) R²/ 2x + y = 0} 
U = {(x, y, z) R³/ x = y = z} 
V = {(x, y, z) R³/ 2x = y e z =-3x} 
 
Vetores no Espaço, Notação ijk em R3 
Os vetores em R3, chamados vetores no espaço, aparecem em muitas aplicações, especialmente na física. 
Usa-se com frequência uma notação especial para tais vetores: 
 i = (1, 0, 0) é o vetor unitário na direção-x, 
 j = (0, 1, 0) é o vetor unitário na direção-y, 
 k = (0, 0, 1) é o vetor unitário na direção-z. 
Então, qualquer vetor u = (a, b, c) em R3 pode expressar de maneira única como 
 u = (a, b, c) = ai + bj + ck 
Como i, j, k são vetores unitários mutuamente ortogonais, temos: 
 i . i = 1, j . j = 1, k . k = 1 e i . j = 0, i . k = 0, j . k = 0 
 As várias operações com vetores estudadas anteriormente podem expressar-se na notação acima 
como segue: Sejam u = a1i + a2j + a3k e v = b1i + b2j + b3k. Então: 
 u + v = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j + (a3 + b3)k 
u.v = a1b1 + a2b2 + a3b3 
 u = a1i + a2j + a3k , onde é um escalar 
||u|| = 
 
 
 (norma ou comprimento do vetor u) 
44 
 
Exemplo: Sejam u = 3i + 5j – 2k e v = 4i – 3j + 7k. 
(a) Achar u + v, somamos as componentes correspondentes: 
u + v = 7i + 2j + 5k 
(b) Para achar 3u – 2v, multiplicamos primeiro os vetores pelos escalares, e então somamos: 
3u – 2v = (9i + 15j – 6k) + (-8i + 6j – 14k) = 4i + 21j – 20k 
(c) Para achar u . v, multiplicamos as componentes correspondentes e somamos: 
u . v = 12 – 15 – 14 = -17 
(d) Para achar ||u|| = 
 
 
Produto Vetorial 
Há uma operação especial para vetores u, v em R3, chamada produto vetorial, e denotada por u x v. 
Especificamente, suponhamos: 
 u = a1i + a2j + a3k e v = b1i + b2j + b3k 
Então: 
 u x v = (a2b3 – a3b2)i + (a3b1 – a1b3)j + (a1b2 – a2b1)k 
Note-se que u x v é um vetor, daí a designação de produto vetorial (também chamado produto externo) de 
u e v. 
 Utilizando a notação de determinante, onde 
 
 
 = ad – bc, o produto vetorial também pode ser 
expresso como 
u x v = 
 
 
 i - 
 
 
 j + 
 
 
 k 
ou, equivalentemente, 
u x v = 
 
 
 
 
Seguem-se duas propriedades importantes do produto vetorial. 
45 
 
Teorema 2.3: Sejam u, v, w vetores em R3. 
(i) O vetor w = u x v é ortogonal a u e a v. 
(ii) O valor absoluto do produto triplo (ou produto misto) u . v x w representa o volume do 
paralelepípedo formado pelos vetores u, v, w, conforme se vê na Figura 2.9. 
 
 
 
Exemplo: 
(a) Sejam u = 4i + 3j + 6k e v = 2i + 5j – 3k. Então 
u x v = 
 
 
 i - 
 
 
 j + 
 
 
 k = -39i + 24j + 14k 
 
(b) (2, -1, 5) x (3, 7, 6) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = (-41, 3, 17) 
(aqui, obtemos o produto vetorial sem usar a notação ijk) 
 
Exercícios: 
01) Determine u x v, onde 
(a) u = (1, 2, 3) e v = (4, 5, 6) 
(b) u = (7, 3, 1) e v = (1, 1, 1) 
(c) u = (-4, 12, 2) e v = (6, -18, 3) 
02) Considerando os vetores u = 2i – 3j + 4k, v = 3i + j -2k, w = i + 5j + 3k. Determine 
(a) u x v 
(b) u x w 
(c) v x w 
03) Ache ||w|| se w = (-3, 1, -2, 4, -5). 
04) Determine k tal que ||u|| = , com u = (1, k, -2, 5). 
 
46 
 
Exercícios complementares: 
01) Sejam u = (2, -1, 0, -3), v = (1, -1, -1, 3), w = (1, 3, -2, 2). Ache: 
(a) 2u – 3v (b) 5u – 3v – 4w (c) –u + 2v – 2w (d) u . v; u . w; v . w (e)||u||; ||v||; ||w|| 
02) Determine x e y se: 
(a) x(3, 2) = 2(y, -1) 
(b) x(2, y) = y(1, -2) 
03) Sejam 
u1 = 
 
 
 
 , u2 = 
 
 
 
 e u3 = 
 
 
 
 
Expresse v como combinação linear de u1, u2, u2, onde 
(a) v = 
 
 
 
 , (b) v = 
 
 
 
 , (c) v = 
 
 
 
 
04) Determine se os seguintes vetores u, v, w são linearmente independentes; se não forem expresse um 
deles como combinação linear dos outros. 
(a) u = (1, 0, 1), v = (1, 2, 3), w = (3, 2, 5); 
(b) u = (1, 0, 1), v = (1, 1, 1), w = (0, 1, 1); 
(c) u = (1, 2), v = (1, -1), w = (2, 5); 
(d) u = (1, 0, 0, 1), v = (0, 1, 2, 1), w = (1, 2, 3, 4); 
(e) u = (1, 0, 0, 1), v = (0, 1, 2, 1), w = (1, 2, 4, 3). 
05) Dados u = 3i – 4j + 2k, v = 2i + 5j – 3k, w = 4i + 7j + 2k. Determinar: 
(a) u x v, (b) u x w, (c) v x w, (d) v x u. 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
Equações de retas 
Equação geral da reta 
A equação geral da reta é do tipo ax + by + c = 0 
Demonstração: 
Sejam os pontos A = (x1, y1), B = (x2, y2) e um ponto genérico P = (x, y) de uma reta r. 
 
47 
 
Como os triângulos APE e ABF são semelhantes, podemos calcular a razão entre os catetos. 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
O que implica em: 
 
 
 
 
 
 
 
Equação reduzida da reta 
Para a equação reduzida da reta, basta explicitar o y na equação geral da reta para obtermos a equação 
reduzida. 
Explicitando y na equação, 
(y1 – y2).x + (x2 – x1).y + (x1.y2 – y2.y1) = 0 
temos: 
 
 
 
 
 
Observe o gráfico a seguir. 
 
48 
 
A razão 
 
 
 é constante para dois pontos distintos quaisquer da reta e é igual a tangente de (ângulo de 
inclinação da reta). 
A razão m = 
 
 
 é chamada de coeficiente angular da reta. 
Equação segmentária da reta 
Consideremos a seguinte situação: 
 
Temos os pontos P = (p, 0) e Q = (0, q), que substituindo a equação, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , dividindo toda a equação por pq, temos: 
 
 
 
 
 
 
 , esta equação é a equação segmentária da reta. 
Equação vetorial da reta 
Dados os pontos P1 = (x1, y1) e P = (x, y) e um vetor diretor = (a, b). 
 
Como os vetores e são paralelos, então 
 = .t, onde t R 
49 
 
P – P1 = t. 
(x, y) = (x1, y1) + t.(a, b) 
Para R³ a equação vetorial é: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t.(a, b, c) 
Equações paramétricas de reta 
A partir da equação vetorial da real (x, y) = (x1, y1) + t.(a, b) obtemos o sistema de equações. 
(x, y) = (x1, y1) + (at, bt) 
(x, y) = (x1, + at, y1 +bt) 
 
 
 
 
Para R³, temos 
 
 
 
 
 
Equação simétrica da reta 
Partindo das equações paramétricas da reta e explicitando o t, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
, onde a 0 e b 0 
Portanto 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Dados o ponto P = (1, 2) e o vetor diretor = (-1, 3). Determine a equação vetorial, as equações 
paramétricas e a equação simétrica da reta. 
Solução 
A equação vetorial da reta é (x, y) = (1, 2) + t.(-1, 3) 
As equações paramétricas da reta são 
 
 
 
A equação simétrica da reta é 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Dados o ponto P = (4, 2, 3) e o vetor diretor = (-1, 3, -2). Determine a equação vetorial, as 
equações paramétricas e a equação simétrica da reta. 
Solução 
A equação vetorial da reta é (x, y, z) = (4, 2, 3) + t.(-1, 3, -2) 
As equações paramétricas da reta são 
 
 
 
 
50 
 
A equação simétrica da reta é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Determine o valor de “a” para que o ponto (3, -1) pertença a reta ax – 9y + 6 = 0. 
2. Determine os pontos em quea reta 2x – 3y – 12 = 0 intercepta os eixos coordenados. 
3. Dados os pontos A = (-1, 2) e B = (2, 3), pertencentes à reta r, faça o que se pede: 
a) A equação geral da reta r. 
b) A equação reduzida da reta r. 
c) O coeficiente angular da reta r. 
d) A equação segmentária da reta r. 
e) A equação vetorial da reta r. 
f) As equações paramétricas da reta r. 
g) A equação simétrica da reta r. 
h) Verifique se os pontos C = (-4, 1) e D = (1, 2) pertencem a reta r. 
i) Determine os pontos em que a reta r intercepta os eixos coordenados. 
4. Determine o ângulo formado pela reta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , t R 
5. Determine a equação geral, a equação reduzida, a equação vetorial, as equações paramétricas e a 
equação simétrica, das retas dos gráficos abaixo: 
a) 
 
b) 
 
 
6. Calcule o ângulo formado pelas retas: 
a) x + 3y + 1 = 0 e 3x – y – 1 = 0 
b) 2x – y + 3 = 0 e 6x – 3y – 3 = 0 
7. Calcule os ângulos internos do triângulo cujos vértices são (0, 2); (2, 0) e (4, 2). 
8. Prove que os coeficientes a e b da reta ax + by + c = 0 são as componentes do vetor normal da reta. 
51 
 
Equações de planos 
Equação geral do plano 
A equação geral do plano é da forma ax + by + cz + d = 0, onde o vetor normal ao plano é . 
Exemplo 1: Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A = (1, 4, -2) e possui vetor 
normal . 
Solução 
Substituindo a, b, e c da equação ax + by + cz + d = 0 pelos componentes do vetor normal, temos: 
5x – 2y – 3z + d = 0 
Como o plano passa pelo ponto A, podemos aplicar o ponto A na equação. 
5.1 – 2.4 – 3.(-2) + d = 0  d = -3 
Portanto, a equação geral do plano é 5x – 2y – 3z – 3 = 0. 
Exemplo 2: Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A = (1, 0, 2) B = (-1, 1, 0) e C = 
(2, 2, 1). 
Solução 
Vamos considerar o vetor normal . 
Observe a figura: 
 
Como os vetores são L.I. e ambos os vetores são ortogonais ao 
vetor normal . 
Então temos em subespaço n, tal que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o sistema obtemos: 
 
52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos então que 
 
 
 
 
 
 
Qualquer vetor desse subespaço n é um vetor normal, vamos usar o vetor 
Substituindo na equação do plano ax + by + cz + d = 0, temos -5x + 4y + 3z + d = 0 
Aplicando no ponto A temos d = -1 
Portanto, a equação do plano é -5x + 4y + 3z – 1 = 0 
Equação segmentária do plano 
Sejam os pontos A = (p, 0, 0), B = (0, q, 0) e C = (0, 0, r), os pontos de interseção do plano com os eixos 
ortogonais. 
A equação segmentária do plano é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Qual é a equação segmentária do plano que contém os pontos A = (5, 0, 0), B = (0, 2, 0) e C 
= (0, 0, -3) 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Qual é a equação segmentária do plano , cuja equação geral é 2x – 3y – z + 6 = 0. 
Solução: vamos determinar os pontos de interseção do plano com os eixos ortogonais. 
Para A = (p, 0, 0), p = -3 
Para B = (0, q, 0), q = 2 
Para C = (0, 0, r), r = 6 
Portanto, a equação segmentária é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação vetorial do plano 
Sejam os vetores e paralelos ao plano e o ponto A pertencente ao plano, para que um ponto 
qualquer P pertença ao plano, e suficiente e necessário que o vetor seja uma combinação 
linear dos vetores e , ou seja, os vetores devem ser L.D. 
53 
 
Temos então: 
 
Portanto, 
Exemplo: Dados os vetores e paralelos ao plano e o ponto A = (1, 3, -2) 
do plano, encontres a equação vetorial do plano 
Solução: 
 
Equações paramétricas do plano 
A partir da equação vetorial do plano podemos determinar as equações paramétricas do plano. 
(x, y, z) = (a, b, c) + t1.(u1, u2, u3) + t2.(v1, v2, v3) 
 
 
 
 
 , onde 
 
Exercícios 
01. Quais dos pontos abaixo pertencem ao plano 
a) (0, 0, 12) 
b) (5, 2, 6) 
c) (4, 4, 4) 
d) (0, 0, 0) 
e) (3, 0, 0) 
02. Dados os pontos A = (1, 1, 2), B = (-1, 3, 0) e C = (2, 5, -3), que pertencem ao plano , faça o que se 
pede: 
a) A equação geral do plano . 
b) A equação segmentária do plano . 
c) A equação vetorial do plano . 
d) As equações paramétricas do plano . 
e) Verifique se a reta r: (x, y, z) = (2, 5, -3) + t.(-2, -2, 2), está contida no plano . 
03. Encontre a equação do plano que é paralelo ao plano : x + 2y – z + 4 = 0 e passa pelo ponto A = 
(0, 1, 2). 
04. Verifique se os plano a seguir são um subespaço de R³. 
a) 
b) 
05. Encontre a equação do plano que é perpendicular à reta r: (x, y, z) = (2, 5, -3) + t.(-2, 3, 2) e passa 
pelo ponto A = (-1, 3, 2). 
06. Determine a equação do plano que passa pelo ponto A = (1, 2, -1) e que corta os eixos coordenados 
em segmentos iguais. 
54 
 
07. Calcule os valores de a e b para que os planos e 
 sejam paralelos. 
08. Determine k para que os planos e sejam ortogonais. 
09. Obtenha o plano que contenha o ponto P = (0, 1, 2) e é ortogonal aos planos 
e . 
10. Determine a equação do plano que passa pela reta de interseção dos planos 
e e é perpendicular ao plano yz. 
 
Cálculo de distâncias 
Distância de ponto a ponto 
Dados os pontos A = (x1, y1) e B = (x2, y2), a distância do ponto A ao ponto B é a norma do vetor . 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: 
 
 
Onde: a = x2 – x1 e b = y2 – y1 
Exemplo: Calcule a distância entre os pontos A = (2, 3) e B = (3, 5). 
Solução: calculando o vetor = B – A = (3, 5) – (2, 3) = (1, 2) 
Calculando a norma do vetor temos: 
 
Portanto a distância entre os pontos A e B é dAB = . 
Da mesma forma a distância entre dois pontos em R³ é: 
Se , temos: dAB = 
55 
 
Distância de ponto à reta 
No espaço R² 
Dada a reta r: ax + by + c = 0 e o ponto P = (x1, y1). 
A distância de ponto pode ser encontrada através da fórmula: 
 
 
 
 
Como a demonstração requer conhecimento de relações trigonométricas, a mesma se encontra em 
apêndices. 
No espaço R³ 
Antes de vermos como se calcula a distância de ponto à reta no espaço R³, voltemos ao produto 
vetorial. 
Produto vetorial 
Dados os vetores , o produto vetorial de por é um vetor , tal que 
o vetor é perpendicular aos vetores e : 
 x = 
Onde é a base canônica de R³. 
 
 
 
A mesma expressão pode ser escrita na forma do determinante da seguinte matriz. 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O módulo do produto vetorial de por é 
56 
 
Geometricamente o módulo do produto vetorial representa a área do paralelogramo por e 
 . 
 
Demonstração: 
A área do paralelogramo é base vezes altura, da figura temosbase = e altura, h = . 
Portanto, a área do paralelogramo é 
Exemplo 1: 
Dados = (1, 2, 2) e = (0, 1, -2). Calcule . 
 
 
 
 
 
 
Distância de ponto à reta 
Dado uma reta r e um ponto P não pertencente a r, podemos calcular a distância d. 
Vejamos a figura: 
 
57 
 
Como d = e , temos então: 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule a distância do ponto P = (1, 0, 1) a reta r: (x, y, z) = (0, 0, 3) + t.(1, 2, 0), t R. 
Solução: 
Tomemos um ponto qualquer da reta r, seja esse ponto o ponto A = (0, 0, 3), então o vetor = (1, 0, -2) e 
temos o vetor diretor da reta = (1, 2, 0). 
Vamos calcular o produto vetorial 
 
 
 
 
 
Vamos agora calcular as normas dos vetores 
 
 
Portanto a distância é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distância de ponto ao plano 
Para calcular a distância de um ponto P = a um plano podemos fazer 
uso da fórmula: 
 
 
 
 
Ou podemos calcular a distância da seguinte forma: 
Considerando um ponto P não pertencente ao plano, então existe uma reta passando por P e que é 
perpendicular ao plano, agora basta calcular a distância do ponto P ao ponto de intersecção da reta com o 
plano. 
Exemplo: Calcule a distância do ponto P = (1, 0, 1) ao plano . 
58 
 
 
Com o vetor normal do plano e o ponto P, obtemos a reta: 
 
 
 
 
 
Agora basta determinarmos o ponto de intersecção E do plano com a reta. 
Substituindo x, y e z da reta r no plano , temos t = 
 
 
. 
Temos então E = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos calcular a distância do ponto P ao ponto E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distância entre duas retas 
Só poderemos calcular a distância entre duas retas se elas não forem concorrentes, ou seja, não possuem 
nenhum ponto em comum. 
Se as retas forem paralelas, podemos pegar um ponto de uma delas e calcular a distância desse ponto até 
outra reta. 
 
59 
 
Se as retas forem reversas a distância entre duas retas reversas, r e s é a distância entre um ponto qualquer 
de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta. 
 
Exercícios 
1. Calcule a distância do ponto (0, 0) a reta . 
2. Calcule a distância entre as retas e . 
3. Calcule a distância do ponto P = (1, 0, 1) ao plano . 
4. Os planos e são paralelos. Determine a distância 
entre eles. 
5. Calcule a distância do plano até a origem do sistema cartesiano R³. 
6. Calcule a distância entre as retas r: (x, y, z) = (0, 1, 1) + t(1, 0, 1) e s: (x, y, z) = (1, 2, 1) + t(1, 1, 2). 
7. Calcule a medida da altura do triângulo da figura: 
 
8. Encontre um ponto do eixo y cujo distância ao plano é de 2 unidades. 
 
 
 
60 
 
Apêndice 
Determinante de uma matriz de ordem 3, pela regra de Sarrus 
Repetem-se, à direita da matriz, as duas primeiras colunas. Acompanhando as flechas em diagonal, 
multiplicam-se os elementos entre si, associando-lhes o sinal indicado. 
 
Somam-se algebricamente os produtos obtidos, calculando-se, assim, o valor do determinante. 
Demonstração da fórmula da distância entre ponto e reta no espaço R² 
Sejam a reta r: ax + by + c = 0 e ponto P = (x1, y1) 
 
Queremos calcular a distância d, temos: 
1) 
 
 
 
Como 
 
 
 
 
61 
 
2) 
 
 
 
Como 
 
 
 
, temos então: 
3) 
 
 
 
Substituindo 2 e 3 em 1, temos: