Esboço de curvas Roteiro

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Roteiro para esboçar uma curva 
 
A lista a seguir pretende servir como um guia para esboçar uma curva 
)(xfy 
 a mão. 
Nem todos os itens são relevantes para cada função. (Por exemplo, uma dada curva 
pode não ter assíntotas ou não possuir simetria.) Mas o roteiro fornece todas as 
informações necessárias para fazer ma esboço que mostre os aspectos mais importantes 
da função. 
1. Domínio: É frequentemente proveitoso começar determinando o domínio
D
 de
f
, 
isto é, o conjunto dos valores de 
x
 para os quais 
)(xf
está definida. 
2. Interceptos: O intercepto 
y
 é 
)0(f
 e nos diz onde a curva intercepta o eixo 
y
. Para 
achar o intercepto 
x
, fazemos 
0y
e resolvermos para 
x
. (Você pode omitir essa 
etapa se a equação for difícil de resolver.) 
3. Simetria: 
3.1. Se 
)()( xfxf 
 para todo 
x
 em 
D
, então 
f
 é uma função par, e a curva é 
simétrica em relação ao eixo 
y
. Isso significa que nosso trabalho fica cortado 
pela metade. Se soubermos como é a curva para 
0x
, então somente 
precisaremos refletir em torno do eixo 
y
 para obter a curva completa. 
3.2. Se 
)()( xfxf 
 para todo
x
em 
D
, então 
f
 é uma função ímpar, e a curva 
é simétrica em relação à origem. Novamente podemos obter a curva completa 
se soubermos como ela é para 
0x
. 
4. Assíntotas: 
4.1. Assíntotas horizontais. Lembre-se que se o 
Lxf
x


)(lim
 ou 
Lxf
x


)(lim
, 
então a reta 
Ly 
 é uma assíntota horizontal da curva 
)(xfy 
. Se resultar 
que 


)(lim xf
x
 então não temos assíntota, mas essa informação é 
proveitosa no esboço da curva. 
4.2. Assíntotas verticais. Lembre-se que a reta 
ax 
 é uma assíntota vertical se pelo 
menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira: 


)(lim xf
ax
, 


)(lim xf
ax
, 


)(lim xf
ax
 ou 


)(lim xf
ax
. (*) 
Para funções racionais você pode localizar as assíntotas verticais igualando a 
zero o denominador após ter cancelado qualquer fator comum. Mas para outras 
funções esse método não é aplicável. Além disso, ao esboçar a curva é muito 
proveitoso saber exatamente qual das afirmativas em (*) é verdadeira. Se 
)(af
 
não estiver definida, mas 
a
 for um extremo do domínio de 
f
, então você deve 
computar 
)(lim xf
ax 
 ou 
)(lim xf
ax 
 se esse limite for infinito ou não. 
5. Intervalos de crescimento e decrescimento. Calcule 
)(' xf
 e encontre os intervalos 
nos quais ela é positiva (
f
 é crescente) e os intervalos nos quais é negativa (f é 
decrescente). 
6. Valores máximo e mínimo locais: Encontre os números críticos de 
f
 ( os números 
c
 nos quais 
0)(' cf
 ou 
)(' cf
 não existe). Use então o teste da Derivada 
Primeira: Se 
'f
 mudar de positiva para negativa em um número crítico 
c
, então 
)(cf
 é o máximo local. Se 
'f
 mudar de negativa para positiva em um número 
crítico 
c
, então 
)(cf
 é um mínimo local. 
Embora seja usualmente preferível o Teste da Derivada Primeira, você pode usar o 
Teste da Derivada Segunda. Se 
c
for um número crítico no qual 
0)(" cf
 então 
0)(" cf
 implica que 
)(cf
 é um mínimo local, enquanto que 
0)(" cf
 implica 
que 
)(cf
 é um máximo local. 
7. Concavidade e Ponto de Inflexão. Calcule 
)(" xf
 e use o Teste da Concavidade. A 
curva é côncava para cima se 
0)(" xf
, e côncava para baixo se 
0)(" xf
. Os 
pontos de inflexão ocorrem quando muda a direção da concavidade. 
8. Esboço da curva. Usando as informações nos itens 1-7, faça o gráfico. Coloque as 
assíntotas como linhas tracejadas. Marque os interceptos, pontos de máximo e de 
mínimo, e pontos de inflexão. Então faça a curva passar por esses pontos, subindo 
ou descendo de acordo com 5, com a concavidade de acordo com 7 e tendendo Às 
assíntotas. Se uma precisão adicional for desejada próximo de algum ponto, você 
poderá computar o valor da derivada aí. A tangente indica a direção na qual a curva 
segue. 
 
 
 
 
Use o roteiro para esboçar a curva. 
a) 
34 4xxy 
 
b)
329152 xxxy 
 
c) 
1

x
x
y
 
d) 
9
1
2 

x
y
 
e) 
2
2
1
1
x
x
y


