Funções Polinomiais (Função Quadrática)

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FUNÇÕES POLINOMIAIS (Função Quadrát8ica 1)
Frente: 01 Aula: 12 
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PROFº: PIMENTEL 
 
01. DEFINIÇÃO: 
 
Toda função f:IR → IR definida por f(x)=ax²+bx+c, 
com a ∈ IR* e a, b, c ∈ IR é chamada função do segundo 
grau. 
 
02. GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
Toda função quadrática tem como gráfico uma 
figura chamada parábola. 
 
OBSERVAÇÃO: Quando construímos o gráfico de uma 
função quadrática, notamos sempre que: 
 
 Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada 
para cima; 
 Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada 
para baixo; 
 A parábola tem sempre ponto de máximo ou de 
mínimo,que é chamado vértice da parábola V; 
 A parábola apresenta sempre uma simetria em 
relação à reta que passa pelo vértice e é 
perpendicular ao eixo x: 
 
03. RAÍZES OU ZEROS: 
 
Chama-se raízes de uma função quadrática 
f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0 os números reais x tal que f(x)=0 
Para obtê-las, basta resolver a equação ax² + bx + c = 0, 
usando as fórmulas: 
 
a2
bxou
a2
bx 21 ⋅
∆−−=⋅
∆+−= 
 
na qual ca4b2 ⋅⋅−=∆ . 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
 > 0 ⇒ duas raízes reais e diferentes. 
 = 0 ⇒ duas raízes reais iguais. 
 < 0 ⇒ não existem raízes reais. 
 
 
04. COORDENADAS DO VÉRTICE DA PARÁBOLA. 
 
 
 
 
As coordenadas do vértice V são dadas por: 
 
a4
y
a2
bx VV ⋅
∆−=⋅−= 
 
Portanto, as coordenadas do V são: 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⋅
∆−⋅− a4;a2
b
 
 
 
05. ANÁLISE DE GRÁFICO: 
 
Exemplo 01. 
 
 
 
CONCLUSÃO 01: 
 
 
 
 ∆ > 0 ⇒ a parábola intercepta o eixo da abscissa em 
dois pontos distintos. 
 c > 0 ⇒ a parábola intercepta o eixo da ordenada 
positivo. 
 a > ⇒ a parábola tem concavidade para cima. 
 Como 
a2
bxV ⋅−= , logo temos b < 0. 
 
 
 
 
 
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CONCLUSÃO 02: 
 
 
 
06. CONJUNTO IMAGEM. 
 
6.1. Quando a > 0. 
 
 
 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
⋅
∆−≥∈=
a4
y/IRyIm 
 
 
6.2. Quando a < 0. 
 
 
 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
⋅
∆−≤∈=
a4
y/IRyIm 
 
 
 
 
 
07. MÁXIMO ou MÍNIMO. 
 
7.1. Quando a > 0. 
 
 
 
mínimo. valor denominado é 
a4
y ⋅
∆−= 
 
 
7.2. Quando a < 0. 
 
 
 
máximo. valor denominado é 
a4
y ⋅
∆−= 
 
 
 
08. CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA. 
 
 O valor do coeficiente a define a concavidade da 
parábola. 
 Os zeros ou raízes definem os pontos em que 
parábola intercepta o eixo dos x. 
 O vértice indica o ponto mínimo ou máximo da 
parábola. 
 Para x = 0, temos y = a.0² + b.0 + c, então (0, c) é 
ponto em que parábola corta o eixo dos y. 
 
Por exemplo: y = x² – 2x – 3. 
 
9 Concavidade voltada para cima, pois a > 0. 
9 Os zeros x1 = – 1 ou x2 = 3. 
9 O vértice V (1 , – 4). 
9 Intersecção com eixo y: (0 , c) = (0 , - 3).