AULA 5 Produtos Notáveis e Fatoração Frente 1 versao 1

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Produtos Notáveis E Fatoração 
 
Produtos Notáveis 
 
Os produtos notáveis são identidades que podem ser obtidas de maneira prática. Assim, como são muito frequentes no 
cálculo algébrico, iremos listar os principais. 
I. Quadrado da soma de dois termos: 
 
 
2 2 2a b a 2 a b b     
 
II. Quadrado da diferença de dois termos: 
 
 
2 2 2a b a 2 a b b     
 
III. Produto da soma pela diferença de dois termos: 
 
    2 2a b a b a b    
 
IV. Cubo da soma de dois termos: 
 
 
3 3 2 2 3a b a 3 a b 3 a b b        
 
V. Cubo da diferença de dois termos 
 
 
3 3 2 2 3a b a 3 a b 3 a b b        
 
 
Fatoração 
Seja uma expressão algébrica escrita como uma soma de termos. Fatorar essa expressão significa escrevê-la na forma 
de um produto. Para tanto, existem determinadas técnicas, descritas a seguir: 
 
Fator Comum 
Inicialmente, identificamos um termo comum a todas as parcelas da expressão. Em seguida, colocamos esse termo em 
evidência. 
Exemplos 
1º) ab + ac = a(b + c) 
2º) 24x3y2 – 6x4y + 12x2y5 = 6x2y (4xy – x2 + 2y4) 
 
Agrupamento 
Às vezes, não é possível identificar, de início, um fator comum a todas as parcelas de expressão. Nesse caso formamos 
dois ou mais grupos com um termo comum. Em seguida, colocamos em evidência o fator comum a todos os grupos. 
 
Exemplos 
1º) ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) 
 = (x + y) (a + b) 
 
2º) 8x2 – 4xz – 6xy + 3yz = 4x (2x – z) – 3y (2x – z) 
 = (2x – z) (4x – 3y) 
 
Exercício Resolvido 
01. Fatorar a expressão a2 – 4ba + 3b2. 
Resolução: 
2 2 2 2a 4ab 3b a ba 3ba 3b
a(a b) 3b(a b)
(a b)(a 3b)
     
   
  
 
 
Soma e diferença de cubos 
São identidades muito úteis em cálculo algébrico. 
São elas: 
I. Soma de cubos: 
  3 3 2 2a b a b a ab b    
 
II. Diferença de cubos: 
  3 3 2 2a b a b a ab b    
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
Aula 5 – Prof Raul Brito 
 
2 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Raul Brito PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
02. Fatorar a expressão x3 – 27: 
Resolução: 
x3 – 27 = x3 – 33 = (x – 3) (x2 + 3x + 9) 
 
Identificação de um produto notável 
Exemplos 
1º) x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 - Quadrado da soma. 
2º) 
       
222 2 6 3 3 3a b c ab c ab c ab c     
 - Produto da soma pela diferença. 
 
3º) a3 – 3a2 + 3a – 1 = (a – 1)3 – Cubo da diferença. 
 
Fatoração do trinômio da forma ax2 + bx + c 
Sejam x1 e x2, as raízes reais do trinômio P(x) = ax2 + bx + c, com a  0. Esse trinômio pode ser escrito na forma: 
     1 2P x a x x x x    
 
 
Observação 
As raízes podem ser obtidas pela Fórmula de Bhaskara: 
2bx , em que b 4ac
2a
  
   
 
 
Exercício Resolvido 
03. Fatorar a expressão x2 – 5x + 6. 
Resolução: 
Cálculo das raízes: 
 
2
1 2
5 4 1 6 25 24 1
5 1
x x 2 e x 3
2
        

   
 
Substituindo na forma fatorada, temos 1(x – 2) (x – 3). 
 
04. (FEI) fatorar 
2 2 2a b c 2ab.  
 
Resolução: 
2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2ab a 2ab b c (a b) c (a b c)(a b c)              
. 
 
05. (UFGO) Simplificando    3 2
2 2
x y 2y y x
x y
  

, obtém-se: 
a) (x + y)2 / (x – y) 
b) x – y – 2yx2 
c) x + y 
d) x – y 
e) (x2 + y2) / (x – y) 
 
Resolução: 
       
  
   3 2 2
2 2
x y x yx y 2y x y x y x y 2y
x y x yx y
      
 
 
 x y
 x y  x y
x y 
. 
 
06. Se 2
3
3
1 1
R 3, então R é igual a :
R R
 
   
 
 
a) 1 
b) 2 
c) 0 
d) 3 
e) 6 
 
Resolução: 
 
3 
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Dados: 
 
2
3 3
3 2 3
2 3 3
3 3 3 3
3 3 3
1
R 3
R
Desenvolvendo temos :
1 1 1 1 1 1 1
R R 3 R 3 R R R 3 R
R R R RR R R
1
Como R 3 temos :
R
1 1 1
3 R 3 3 3 3 R 3 3 R 0
R R R
 
  
 
     
                   
     
 
  
 
         
 
 
Letra “c” 
 
07. Simplificando 
4 4
3 2 2 3
a b
a a b ab b

  
 
Resolução: 
     2 22 2 2 24 4
3 2 2 3 2 2
a ba b a ba b
a a b ab b a (a b) b (a b)
 
 
     
   a b a b   
(a b)  2 2a b 
a b 
 
 
08. Simplificando a expressão 
2
2
a 7a 12
a 6a 9
 
 
 encontramos: 
a) 
a 4
a 3


 
b) 
12
9
 
c) 
19
15
 
d) 
a 7
a 6


 
e) 
4
3
 
 
Resolução: 
2
2
2
2
a 7a 12
Resolvendo as equações
a 6a 9
a 7a 12 0 a 3 a 4
a 6a 9 0 a 3 a 3
 

 
        

       
 
Podemos escrever a fatoração: 
2 2
2
2
a 7a 12 (a 3) (a 4) e a 6a 9 (a 3) (a 3)
Logo :
(a 3)a 7a 12
a 6a 9
         
 

 
(a 4)
(a 3)


a 4
a 3(a 3)



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
Se 
a.b 1
 e 
2 2a b 3 
. Qual o valor numérico da 
expressão 
2 2
2 2
a b
2
b a
 
 ? 
 
Questão 02 
Se o comprimento da diagonal de um quadrado é x + y, a 
área desse quadrado é: 
a) 
2 2x y
 
b)  2x y
2
 
c)  2x y
 
2
 
d) 
2 2x y
 
 
Questão 03 
Calculando 
2 2934287 934286
 obtemos: 
a) 1 
b) 2 
c) 1868573 
d) 1975441 
 
Questão 04 
O valor numérico da expressão 
4
2
a 1 a 1
.
a 1 a 1
 
 
, para a = 101, 
é: 
 
a) 101 
b) 1110 
c) 9801 
d) 9900 
e) 10000 
 
Questão 05 
O número real 
4 2
2
x 2x 1
r
x 2x 1
 

 
 é igual a: 
 
a) 2x x 
b) 2x x 1  
c) 
2x 2x 1 
 
d) 2x 2x 1  
e) 
x 1
 
 
Questão 06 
Se 
3x 3 7 
 e 
3y 7 1 
, calcule o valor numérico da 
expressão 
3 3 2 2x y 3x y 3xy  
 
 
a) 7 
b) 
3 7
 
c) 7 
d) 8 
e) 12 
 
 
 
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Questão 07 
Se m + n + p = 6 , mnp = 2 e mn + mp + np = 11, o valor 
numérico de 
 2 2 2m n p
mnp
 é: 
a) 1 
b) 3 
c) 7 
d) 18 
e) 22 
 
Questão 08 
Se 
8 11 n2 2 2 
 é um quadrado perfeito , o valor de n é: 
 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 18 
e) 20 
 
Questão 09 
Sabendo que x > 0 e simplificando a fração algébrica: 
 
   
       
   
3 3
1 1
E x 1 . x 1
x x
 obtemos: 
 
a)   
  
 
3
2x x 1
x
 
b)   
  
 
3
2x x 1
x
 
c) 
 
 
 
3
3
3
1
x
x
 
d) 3
2 x 1
x
 
  
 
 
e) 3
1
x
x
 
 
 
 
 
Questão 10 
O menor valor que a expressão 
2 236x y 12x 3  
 pode 
assumir para x e y reais é: 
 
a) 0 
b) – 1 
c) – 2 
d) – 3 
e) – 4 
 
Questão 11 
O valor de 
   
99 99
x 2 5 2 5   
 é: 
a) 2 
b) 
5
 
c) 
2 5
 
d) 1 
e) – 1 
 
 
6 
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Questão 12 
(Mackenzie-SP) A expressão   2
4
x x 6 x 2
x 16
  

 é: 
a) 
x 3
x 2


 
b) 
x 2
x 2


 
c) 
2
x 2
x 4


 
d) 
x 3
x 2


 
e) 
2
x 3x 4


 
 
Questão 13 
(UFMG) Os lados de um retângulo são 
1a x 1 
 e 
1b x 1 
 e os de outro retângulo são 
2a 3x 7 
 e 
2b 3x 7 
. Se os retângulos possuem a mesma área, 
o valor de x é: 
a) 
2 2
 
b) 3 
c) 
10
 
d) 2 
e) 4 
 
Questão 14 
(UFMG) Fatorando-se a expressão 
4 4 3 3x y 2x y 2xy ,  
obtém-se: 
a) 
   
2 2
x y x y 
 
b) 
  
3
x y x y 
 
c) 
  22 2x y x y 
 
d) 
 
4
x y
 
e) x + y 
 
Questão 15 
(UFMG) A expressão    3 2
2
x y y 3x y
x
  
 é igual a: 
a) x + y 
b) 3x – y 
c) 3x + y 
d) x – 3y 
e) x + 3y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
O valor numérico da expressão 
2 268 32
 está 
compreendido no intervalo: 
a) [30,40[ 
b) [40,50[ 
c) [50,60[ 
d) [60,70[ 
 
Questão 02 
Sejam x , y são IR com 
x y 16  
 e 
xy 64.
 O valor da 
expressão 
x y
y x

 é: 
a) – 2. 
b) – 1. 
c) 0. 
d) 1. 
e) 2. 
 
Questão 03 
Seja 
x
 um número real tal que 
3
x 9.
x
 
 Um possível valor 
de 
3
x
x

 é 
.α
 Sendo assim, a soma dos algarismos 
" "α
 
será: 
a) 
11
 
b) 
12
 
c) 
13
 
d) 
14
 
e) 
15
 
 
Questão 04 
O valor da expressão: 
   
2 2
a b a b 
 é: 
a) ab. 
b) 2ab. 
c) 3ab. 
d) 4ab. 
e) 6ab. 
 
Questão 05 
Se 
x
y , x 0,
2
 
 a expressão 2(x 2y) 4 x
4y 2 y
 


 é 
equivalente a: 
a) 
2x.
 
b) 
2y.
 
c) 
0.
 
d) 
1
x.
2
 
e) 
1
y.
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
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Questão 06 
Ao simplificar a expressão 3 2
2
x 4x 4x 16
y ,
x 6x 8
  

 
 em que 
x 2 e x 4, 
 obtém-se: 
a) x. 
b) x – 2. 
c) x + 2. 
d) x + 4. 
 
Questão 07 
A expressão: 2x2 – 4x + 5 – (x2 + 2x – 4) equivale a: 
a) 3x2 – 2x + 1. 
b) x2 – 6x + 1. 
c) (2x + 1)2. 
d) (x – 3)2. 
e) (x – 2)2 – (x + 1)2. 
 
Questão 08 
Leia com atenção a demonstração a seguir: 
 
Vamos provar por a + b que 1 + 1 = 1 
 
Passo 0: Sejam a e b números reais não nulos tais que a = 
b. 
Passo 1: Se a = b, podemos multiplicar os dois membros 
desta igualdade por a e obter: a2 = ab 
Passo 2: A seguir, subtraímos b2 dos dois membros da 
igualdade: a2 – b2 = ab – b2 
Passo 3: Fatorando as expressões, temos: (a + b)(a – b) = 
b (a – b) 
Passo 4: Agora, dividimos ambos os membros por (a – b) e 
obtemos: a + b = b 
Passo 5: Como no início, supomos que a = b, podemos 
substituir a por b. Assim: b + b = b 
Passo 6: Colocando b em evidência, obtemos: b (1 + 1) = b 
Passo 7: Por fim, dividimos a equação por b e concluímos 
que: 1 + 1 = 1 
 
É evidente que a demonstração acima está incorreta. Há 
uma operação errada: 
a) No passo 2. 
b) No passo 3. 
c) No passo 4. 
d) No passo 6. 
 
Questão 09 
Ao fatorar a expressão 210xy + 75x2y + 147y, obtém-se: 
a) 3(7x + 5)2. 
b) 3y(5x + 7)2. 
c) 3(5x – 7)(5x + 7). 
d) 3y(7x – 5)(7x + 5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Raul Brito PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
Questão 10 
Considerando-se x

1 e y

0, ao simplificar a expressão 
1
,
1 ( 1)
x x y
x y x
 

 
 obtém-se: 
a) 
1
.
y
y

 
b) 
.
1
y
y 
 
c) 
1
.
x
x

 
d) 
.
1
x
x 
 
e) 2
.
1
x
x 
 
 
Questão 11 
Simplificando a expressão 4 3 3 4
2 2
a a b ab b
a b
  

, com 
a b
, 
obtém-se 
a) 
a b
a b


 
b) 
2 2a ab b 
 
c) 
a b
 
d) 
 
3
a b
 
 
Questão 12 
Se 
x y 2 
 e 
2 2x y 3 
, então 
3 3x y
 vale 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
e) 8. 
 
Questão 13 
Simplificando a expressão numérica 
   
2 2
123 456 123 455  
 encontra-se: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 12.345. 
d) 246.911. 
 
Questão 14 
Sabendo que 
   
2 2
y 2010 2000 2000 1990   
, o valor 
de 
7
y
10
 é igual a: 
a) 8 
b) 16 
c) 20 
d) 32 
 
 
 
 
 
 
10 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Raul Brito PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
Questão 15 
A expressão algébrica: 
2x x 1 x
.
x 1 x 1 2
 
 
  
 
equivale a: 
a) 2x 
b) x 
c) – 2x 
d) – x 
e) 
2
2
x
x 1
 
 
Questão 16 
Se 2
1
x 3
x
 
  
 
, então
2
2
1
x
x

, é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) 5 
d) 6 
 
Questão 17 
Sendo o número n = 6842 - 6832, a soma dos algarismos de 
n é: 
a) 14 
b) 15 
c) 16 
d) 17 
 
Questão 18 
Se x + (1/x) = 3, o valor de x3 + (1/x3) é: 
a) 27 
b) 18 
c) 9 
d) 6 
e) 12 
 
Questão 19 
Sabendo-se que p + q = 4 e pq = 5, então o valor de 
E = p3 + q3 + p2q + pq2 é: 
a) 24 
b) 26 
c) 30 
d) 34 
e) 36 
 
Questão 20 
P(x) = x2 - 50x + A, onde A ∈ IR. Para que o polinômio P(x) 
torne-se um trinômio quadrado perfeito, o valor de A é: 
a) 25 
b) 125 
c) 225 
d) 625 
e) 1025 
 
 
 
11 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Raul Brito PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
RESOLUÇÕES DAS QUESTÕES DE CASA 
 
Questão 01: 
Resolução: Usando o produto da soma pela diferença, podemos escrever: 
2 268 32 (68 32) (68 32) 100 36 100 36 10 6 60           
 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 02: 
Resolução: Tem-se que: 
2 2 2 2 2x y x y x y (x y) 2xy x y (x y) x y ( 16) x y
 2 2 4 2
y x xy y x xy y x xy y x 64 y x
x y
 2.
y x
    
                
  
 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 03: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
2
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
3 3 9 9
x 9 x 9 x 6 81 x 75 (I)
x x x x
3 3 9 9
x x x 6 x 6 (II)
x x x x
 
            
 
 
                 
 
 
Assim, comparando ( I ) e ( II ), temos: 
6 75 69    
 
Logo 
6 9 15 
. 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 04: 
Resolução: Desenvolvendo cada produto notável, temos: 
     2 2 2 2 2 2a b a b a 2ab b a 2ab b 4ab.        
 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 05: 
Resolução: Desenvolvendo a expressão: 
 
2
x 2y 4 x
4y 2 y
 


 (considerando que 
x
y
2

), temos: 
     
2 2 22 2 2x x 4 2x 4 4x 4 2 2x 2x 2 4x 4 4x 4 4x 4 4x 4x
x 2
x x 2x 2 x 2x 2 2x 2 2x 2 2x 2
4 2
2 2
2x.(2x 2)
2x
2x 2
         
         
    
 

 

 
Outra maneira seria: 
        
2 2 2 2x x 4 2x 4 2x 2 2x 2 2x 2x 2
x 2 2 2x 2 2 2x
x x 2x 2 x 2x 2 2x 2
4 2
2 2
     
           
  
 
 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 06: 
Resolução: Fatorando a expressão, temos: 
3 2 2 2
2
x 4x 4x 16 x (x 4) 4.(x 4) (x 4) (x 4) (x 2) (x 2)
y (x 2).
(x 2) (x 4) (x 2) (x 4) (x 2)x 6x 8
           
    
       
 
 
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Logo 
y x 2 
. 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 07: 
Resolução: Simplificando a expressão: 
   22 2 2 2 22x 4x 5 x 2x 4 2x 4x 5 x 2x 4 x 6x 9 x 3               
 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 08: 
Resolução: A operação errada foi no passo quatro, dividindo por a – b (1 – 1 = 0) estamos dividindo 2(a + b) e 1(b) por 
zero, o que não é possível. 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 09: 
Resolução: Fatorando a expressão, temos: 
   22 2210xy 75x y 147y 3y 25x 70x 49 3y 5x 7 .        
 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 10: 
Resolução: Podemos escrever da seguinte forma: 
x x y 1 yx x y 1 x(y 1) (y 1) (y 1).(x 1) (y 1)
x 1 y(x 1) y(x 1) y.(x 1) y.(x 1) y
          
    
    
. 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 11: 
Resolução: Simplificando, temos: 
   
   
   
   
   
 
3 3 2 23 34 3 3 4
2 2
2 2
a b a b a b a ab ba a b b a ba a b ab b
 a ab b
a b a b a b a b a ba b
          
     
      
 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 12: 
Resolução: Temos que 
 
   2 2 22 2 2 x y x yx y x 2xy y xy
2
  
     
. 
Portanto: 
     
   2 2 2 2
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3
3 3
x y x y 2 3
x y x y x y xy x y x y x y x y 2 3 
2 2
 x y 5.
                        
    
  
 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 13: 
Resolução: Usando o produto da soma pela diferença: 
         2 2123 456 123 455 123 456 123 455 123 456 123 455 246 911 .1 246 911      
 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 14: 
Resolução: Simplificando, temos: 
     2 2 7y 2000 2010 1990 y 2000 2010 1990 2010 1990 y 2000 4000 20 y 16 10               
 
 
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Logo, 7
7 7
y 16.10
16
10 10
 
. 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 15: 
Resolução: Simplificando, temos: 
   
 
 
2 2 2 2 2
2 2
22
2 2
x x 1 x x 1x x 1 x 1 x x x x x 1 x
. . . 
x 1 x 1 2 2 2x 1 x 1
2x. 1 x2x 1 x
 . x
2x 1 1 1 x .2
                
                          
    
    
     
 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 16: 
Resolução: Desenvolvendo o produto notável, temos: 
2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1
x 3 x 2.x. 3 x 2 3 x 5
x x x x x
   
               
   
 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 17: 
Resolução: Usando a diferença entre quadrados, temos: 
   2 2n 684 683 n 684 683 684 683 n 1367 1 n 1367           
 
Logo, a soma dos algarismos é 1 + 3 + 6 + 7 = 17. 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 18: 
Resolução: Elevando ao cubo, temos: 
3 2 3 2 3
3 3 2 3
2 3
3 3
3 3
1 1 1 1 1 1
x 3 x 3 x 3 x 27 x 3x 3x 27
x x x x x x
3 1 1 1
 x 3x 27 x 3 x 27.
x xx x
        
                                  
 
          
 
 
Substituindo o valor dado na questão: 
3 3 3 3
3 3 3 3
1 1 1 1
x 3 3 27 x 9 27 x 27 9 x 18
x x x x
              
. 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 19: 
Resolução: Elevando a soma ao cubo, temos: 
 
 
3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2
E
3 3 2 2 2 2
p q 4 p 3p q 3pq q 64 p p q pq q 2p q 2pq 64
Note que p q p q pq E, então : E 2p q 2pq 64 E 2pq(p q) 64
Substituindo os valores, temos :
E 2 5 4 64 E 40 64 E 24.
             
          
        
 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 20: 
Resolução: Para um polinômio ser da forma de um trinômio quadrado perfeito, ele deve tomar a forma: 
P(x) = (x + y)2. 
 
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Desenvolvendo, temos: 
2 2P(x) x 2xy y  
. 
Assim, comparando com os dados da questão, temos: 
2 2
2
2 2
P(x) x 2xy y
P(x) x 50x A
50
2xy 50x 2y 50 y y 25.
2
E y A A 25 A 625.
  
  
             
      
     
 
 
Resposta: Alternativa D