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Teoria dos Conjuntos Introdução A teoria dos Conjuntos é uma área da Matemática estabelecida por Georg Cantor, um notável matemático que nasceu na Rússia (1845-1918). Aos 11 anos, transferiu-se para Frankfurt, na Alemanha, onde viveu até sua morte. Tendo estudado Filosofia, Física e Matemática, Cantor, ainda jovem, por volta dos 27 anos, interessou-se por um assunto muito discutido na época: o infinito. Trabalhando com conjuntos infinitos, Cantor mostrou, entre outras coisas, que o conjunto dos números reais tem “mais” elementos que o dos racionais. Com isso, os resultados levaram-no a estabelecer um novo ramo da matemática chamado Teoria dos Conjuntos. Conjunto Um conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da Matemática. Intuitivamente, um conjunto é sinônimo de agrupamento, coleção, classe, lista, objetos ou coisas que o constituem. Principais símbolos lógicos | (tal que) (implicar) (interseção) (equivalente) (união) (e) (qualquer que seja) (ou) / (existe um único) > (maior que) < (menor que) (pertence) (existe ao menos um) (não pertence) (não existe) (contém) = (igual) (não contém) (desigual) (contido) (aproximadamente) (não contido) Representação dos conjuntos Nomeia-se seus elementos entre chaves, por letra minúsculas e separadas por vírgulas. Forma explícita Enumeração de seus elementos. Exemplo: A = {a, e, i, o, u} Forma implícita Propriedade característica. Exemplo: Se A = {x | x é vogal} Diagrama de Venn O matemático inglês John Venn (1834-1923) adotou uma maneira de representar conjuntos que muito nos ajuda na visualização das operações. Exemplo: CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA Aula 6 – Prof Raul Brito 2 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS Os elementos do conjunto A são representados por pontos da região interior de uma linha fechada. Verificando as relações de pertinência no diagrama a seguir, temos: a A, b A, i A. Número de elementos de um conjunto A: n(A) A = {x | x é dia da semana} n(A) = 7 Lembre-se: • Conjunto unitário A = {x | x é dia da semana que começa com a letra D} A = {domingo} n(A) = 1 • Conjunto vazio A = {x | x é dia da semana que começa com a letra M} A = { } ou n(A) = 0 { } = {} • Conjuntos finito e infinito A = {2, 3, 4} n(A) = 3 A é finito. B = {2, 3, 4, ...} B é infinito. • Conjuntos iguais A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 2, 3, 3} e C = {x | x e 1 x 3} A = B = C Pertinência e inclusão • De elementos para conjunto e (pertence) (não pertence) • De Subconjunto para conjunto e (contido) (não contido) • De conjunto para subconjunto e (contém) (não contém) 3 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS A é subconjunto de B. A B, lê-se A está contido em B. A é parte de B. Por exemplo: sendo A = {1, {1}, 2, 3}. De acordo com as afirmações: I. 1 A (verdadeiro) V. A (verdadeiro) II. {1} A (verdadeiro) VI. 2 A (falso) III. {1} A (verdadeiro) VII. 2 A (verdadeiro) IV. A (falso) VIII. {2} A (verdadeiro) Número de subconjuntos de um conjunto Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertencer também a B. Com a notação A B, indica-se que “A é subconjunto de B” ou “A é parte de B” ou “A está contido em B”. A negação de A B é indicada por A B, que se lê, A não está contido em B ou B não contém A. Simbolicamente, A B ( x) (x A x B). Saiba mais • O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A, isto é, A, A. • Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo, isto é, A A, A. • Chama-se subconjunto próprio de um conjunto os subconjuntos de A que são diferentes de A. • Simbolicamente: B A e B A. Exemplo: Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {a, b, c}? Vamos escrever todos os subconjuntos de A. , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c} Há, portanto, 8 subconjuntos. Analisando o que acontece com os elementos, em relação aos subconjuntos, pode-se dizer que cada um deles aparece ou não. Então, para o elemento a, tem-se duas possibilidades quanto à sua presença no subconjunto (aparecer ou não aparecer). O mesmo acontece com os elementos b e c. Portanto, segundo o P.F.C. ou principio multiplicativo na análise combinatória, temos: 2 2 2 Total = 2 . 2 . 2 Total = 8 subconjuntos de A = {a, b, c} 4 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS Exemplo: Quantos subconjuntos possui o conjunto A com n elementos? Pelo que foi explicado no exemplo anterior, cada elemento de A pode ou não estar presente em um determinado subconjunto C, pelo fato de A ter n elementos, então A possui: 2 2 2 2 n vezes Portanto: No de subconjunto = n vezes 2 2 2 2 Com isso: No de subconjuntos = 2n Exercícios Resolvido 1. Quantos subconjuntos de 3 elementos possui o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}? Solução: De acordo com as técnicas de análise combinatória, temos: A1 = {1, 2, 3} e A2 = {3, 2, 1}. Sabemos que A1 e A2 são os mesmos subconjuntos do conjunto A. Portanto, para a resolução do problema, é necessário utilizar combinação simples, isto é: 3 3 3 5 5 5 5! 5 4 3! C C C 10 5 3 3! 2 1 3! (subconjuntos de 3 elementos). Lembrete: p n n! C n p n p !p! Conjunto das partes de um conjunto Seja o conjunto A = {1, 2, 3}, que tem os seguintes subconjuntos: • o conjunto vazio; • os conjuntos com um elemento {1}, {2} e {3}; • os conjuntos com dois elementos {1, 2}, {1, 3} e {2, 3}; • o próprio conjunto A. Denominamos conjunto das partes do conjunto A o conjunto P(A), formado por todos os subconjuntos do conjunto A: P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Note que o conjunto vazio, o conjunto A e os outros subconjuntos de A são elementos do conjunto P(A). É correto, por exemplo, dizer que {3} P(A), mas é errado afirmar que {3} P(A). Número de elementos do conjunto das partes Observe o seguinte quadro: Conjunto A Conjunto P(A) Números de elementos P(A) Potência de 2 {} 1 20 {b1} {, {b1}) 2 21 {b1, b2} {, {b1}, {b2}, {b1, b2} 4 22 {b1, b2, ..., bn} n elementos {, {b1}, {b2}, {b1, b2, ... bn}} 2n 2n 5 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS De modo geral, podemos dizer que: Se A tem n elementos, então P(A) tem 2n elementos. Exercícios Resolvido 1. Quantos elementos tem o conjunto das partes do conjunto A, sabendo que A tem 4 elementos? Solução: Se o conjunto A tem 4 elementos, isto é, n = 4, então P(A) tem 24 elementos, ou seja, P(A) tem 16 elementos. Número de subconjuntos do conjunto das partes Se um conjunto A possui n elementos, então possui 2n subconjuntos, que podemos representar por: N(P(A)) = 2n(A) Sendo A = {a, b, c}, calcule o número de subconjuntos de A. a) n(P(A)) = 2n(A) = 23 = 8 b) n(P(P(A))) = 2n(A) = 322 = 28 = 256 Com relação aos exemplos anteriores, podemos afirmar que: a) n(P(A)) = 2n(A) b) n(P(P(A))) = n(A)22 c) n(P(P(P(A)))) = n(A)222 Generalizando 2n(A)2...22n(P(P(P(...)))) 2 Tome Nota A quantidade de letra “P” representa a quantidade de potência de “2”. Operações e problemas envolvendo conjuntos União É o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou B. • Matematicamente A B {x | x A ou x B} • Graficamente Caso 1 Caso 2 Nesse caso, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos (A B = ) 6 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS Caso 3 – Como B está contido em A, nesse caso A U B = A Propriedades da união A A = A A = A = A A B = B A (comutativa) Interseção É o conjunto formado pelos elementos comuns aos conjuntos A e B. • Matematicamente A B {x | x A e x B} • Graficamente Caso 1: Caso 2: Como A e B são disjuntos, dizemos que A B = Caso 3: Nesse caso B A, portanto A B = B 7 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS Propriedades da interseção A A = A A = A A = A B = B A (comutativa) Número de elementos de A x B Sejam A e B conjuntos não-vazios, então: n(A x B) = n(A) . n(B) Exemplo: Sejam A = {m, n} e B = {b, c, d} A . B = {(m, n), (m, c), (m, d), (n, b), (n, c), (n, d)} Note que: 2 36 n(A B n(A) n(B) Número de elementos da união Entre dois conjuntos n A B n A n B n A B Exemplo: 5 69 2 n A B n A n B n A B Para a união de três conjuntos, tem-se: n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(B C) – n(A C) + n(A B C) Subtração de conjuntos – Conjunto diferença A diferença de dois conjuntos A e B são os elementos que pertencem ao conjunto A, mas não pertencem a B. • Matematicamente A – B = {x | x A e x B} • Graficamente Caso 1: 8 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS Conjuntos numéricos Conjunto dos números naturais (N) Os números naturais surgiram para suprir uma necessidade primária do ser humano: a da contagem. Desse modo, para quantificar, por exemplo, as cabeças de gado, os pés de milho ou as próprias pessoas, utiliza-se os números naturais. Assim: N = {0, 1, 2, 3, ...} Excluindo-se o zero, temos o conjunto dos números naturais não nulos, indicada por: N* = {1, 2, 3, ...}, que é um subconjunto de N. O asterisco indica ausência do número zero no conjunto. Características • A soma de dois números naturais quaisquer é um número natural. • O produto de dois números naturais quaisquer é um número natural. • A diferença entre dois números naturais a e b (a – b) é igual a um número natural se, e somente se, a b. Conjunto dos números inteiros (Z) Com o advento das operações de adição e subtração, surgiram os números inteiros. Em sua essência, representam possíveis ganhos (números positivos) ou perda (números negativos), ou seja, ao somamos ou subtrairmos números inteiros, obteremos números inteiros. Características • Todo número natural é inteiro. • A soma de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro. Exemplo: 5 + (–8) = – 3 • A diferença entre dois inteiros quaisquer é um número inteiro. Exemplo: 2 – 6 = – 4 • O produto de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro. Exemplo: 4 . (– 10) = – 40 Assim: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Nesse conjunto destacamos os seguintes subconjuntos: – Conjunto Z* dos números inteiros não nulos: Z* = {x Z | x 0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...} – Conjunto Z*+ = N* dos números inteiros positivos: Z*+ = N* = {x Z | x > 0} = {1, 2, 3, ...} – Conjunto Z+ = N* dos números inteiros não negativos: Z+ = N* = {x Z | x 0} = {0, 1, 2, 3, ...} – Conjunto Z*– = N* dos números inteiros positivos: Z*– = N* = {x Z | x < 0} = {..., –3, –2, –1} – Conjunto Z– dos números inteiros não positivos: Z+ = N* = {x Z | x 0} = {..., –3, –2, –1, 0} 9 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS Conjunto dos números racionais (Q) Devido principalmente, ao surgimento da necessidade da operação de divisão, criaram-se os números racionais, uma vez que, ao dividirmos um número inteiro por outro, não se obtém, necessariamente, um número inteiro. Além do conjunto dos números naturais (N) e do conjunto dos números inteiros (Z), também são subconjuntos especiais do conjunto dos números racionais (Q): • Conjunto dos números racionais não nulos: Q* = {x Q | x 0} • Conjunto dos números racionais não negativos: Q+ = {x Q | x 0} • Conjunto dos números racionais positivos: Q*+ = {x Q | x > 0} • Conjunto dos números racionais não positivos: Q– = {x Q | x 0} • Conjunto dos números racionais negativos: Q*– = {x Q | x < 0} Característica – Todo número inteiro é racional Exemplos: • 2 Z 2 Q • 10 2 Z 10 2 Q • 12 3 Z 12 3 Q – Todo número decimal é racional Exemplos: • 0,36 Q 36 pois 0,36 100 • 0,314 Q 314 pois 0,314 1.000 • 1,111 Q 1.111 pois 1,111 1.000 • 3,14 Q 314 pois 3,14 100 – Toda dízima periódica simples é racional (dizimas periódicas representam uma fração) Exemplos: • 0,222... = 2 0,2 9 • 0,343434... = 34 0,34 99 • 0,567567... = 567 0,567 999 10 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS – Toda dizima periódica composta é racional Exemplos: • 0,3444... = 31 0,34 90 • 0,32828... = 325 0,328 990 • 0,3567567... = 3.564 0,3567 9.990 – A soma de dois números racionais quaisquer é um número racional Exemplo: (Q) (Q) (Q) • 3 23 4 5 5 – A diferença entre dois números racionais quaisquer é um número racional Exemplo: (Q) (Q) (Q) • 5 – 0,7 = 4,3 – O produto de dois números quaisquer é um número racional Exemplo: (Q) (Q) (Q) • 1 5 5 7 2 14 – O quociente de dois números racionais, sendo o divisor diferente de zero, é um número racional Exemplo: (Q) (Q) (Q) • 40 10 4 7 7 Conjunto dos números irracionais (I) Números como o 2 = 1,4142135..., cuja representação decimal é infinita e não periódica, são chamados de números irracionais, isto é, não racionais e, sendo assim, não são inteiros nem razão de dois inteiros, mas podem representar medidas no nosso mundo real, como a medida da diagonal do quadrado de lado igual a 1, por exemplo. Veja outros exemplos de números irracionais. • 0,1234567891011... • 1,01002000300004000005... • 3 = 1,7320508 • = 3,141592... Esse último exemplo ( = 3,141592...) é o mais conhecido dos números irracionais. Esse número é a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro (2R): C 2R 11 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS Vejamos mais alguns exemplos de números irracionais: • 0,101001000... • e 2,7182818284... • 5 2,2360679... • log2 0,30103...• log3 0,4771212... • log5 0,69897... Considerando R o conjunto dos números reais (serão citados a seguir), temos que: Q R I C R Q Q Q Características – Se o número n a , com n e N* e a N, não é inteiro, então é irracional Exemplos: • 2 (R – Q) • 3 3 (R – Q) • 5 8 (R – Q) • 4 1 (R – Q), pois 4 1 = 1 Q • 3 27 (R – Q), pois 3 27 = 3 Q • 9 0 (R – Q), pois 9 0 = 0 Q – A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional Exemplo: (Q) (I) (I) • 2 + 2,718... = 4,718... – A diferença entre um número racional e um número irracional, em qualquer ordem, é um número irracional Exemplo: (Q) (I) (I) • 3 6 9 6 9 6 54 – O quociente de um número racional, não nulo, por um número irracional é um número irracional Exemplo: (Q) (I) (I) • 18 18 2 18 2 18 2 9 2 81 2 81 2 162 22 2 2 12 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS Conjunto dos números reais (R) Todo número real ou é racional ou é irracional. Assim, observe os diagramas a seguir com alguns elementos em seus respectivos conjuntos numéricos. Alguns subconjuntos de R • R* = R – {0} (Reais nulos) • R+ = {x R | x 0} (Reais não negativos) • R– = {x R | x 0} (Reais não positivos) • R*+ = {x R | x > 0} (Reais estritamente positivos) • R*– = {x R | x < 0} (Reais estritamente negativos) Características Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de uma reta e os números reais. Ou seja, a cada ponto da reta corresponde um, e apenas um número real, assim como a cada número real corresponde um, e apenas um ponto da reta. Representação geométrica de R (reta real); Observação: + lê-se "mais infinito" – lê-se "menos infinito" I Q = R I Q = R – Q = I 13 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS Intervalos Denominamos intervalo qualquer subconjunto dos números reais Caso 1: Intervalos finitos (a < b) Mostramos abaixo alguns exemplos de intervalos finitos. • Fechado: [a, b] = {x R | a x b} • Aberto: ]a, b[ = {x R | a < x < b} = (a, b) • Fechado à esquerda: [a, b[ = {x R | a x < b} = [a, b) • Fechado à direita: ]a, b] = {x R | a < x b} = ]a, b] Exemplo 1: Sendo A = [0, 4] e B = [2, 5], determine A B e A B. Solução: Basta representar A e B na reta: Obtendo-se A B = [2, 4] e A B = [0, 5]. Portanto: A B = {x R | 2 x 4} = [2, 4] A B = {x R | 0 x 5} = [0, 5] Exemplo 2: Sendo A = {x R | 0 x 4} e B = {x R | 2 x 5}, determine A – B e B – A. Solução: Representação geométrica: A – B = [0, 2[ (observe que o extremo direito 2 (A – B), pois 2 B). 14 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS B – A = ]4, 5[ (observe que o extremo direito 4 (B – A), pois 4 A). Portanto: A – B = {x R | 0 x < 2} = [0, 2) B – A = {x R | 4 < x 5} = ]4, 5] = (4, 5] Exemplo 3: Sendo A = ]–3, 4[ e B = [–1, 5], determine A B, A B, A – B e B – A. Solução: Representação geométrica. Portanto: A B = [–1, 4[ = [–1, 0) A B = ]–3, 5] = (–3, 5] A – B= ]–3, –1[ = (–3, –1) B – A = [4, 5] B 15 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS Caso 2: Intervalos infinitos Mostramos abaixo alguns exemplos de intervalos infinitos. • [a, + [ = {x R | x a} = [a, + ) • ]a, + [ = {x R | x > a} = [a, + ) • ]– , a] = {x R | x a} = (– , a] • ]– , a[ = {x R | x < a} = (– , –a) Exemplo 1: Sendo A = (– , 2[ e B = [3, + ), determine A B e A B. Solução: Representação geométrica: Portanto: A B = A B = {x R | x < 2 ou x 3} Exemplo 2: Sendo P = {x R | x < 9} e Q = {x R | x > 6}, determine P – Q, Q – P, P Q e P Q. Solução: Representação geométrica: Portanto: P – Q = {x R | x 6} = (– , 6] Q – P = {x R | x 9} = [9, + ) P Q = {x R | 6 < x < 9} = (6, 9) P Q = {x R} = ]– , + [ = (– , + ) 16 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM QUESTÃO 01 Sejam x e y dois conjuntos quaisquer satisfazendo a seguinte propriedade: “A quantidade de subconjuntos de x é o dobro da quantidade de subconjuntos de y”. Sejam n(x) o número de elementos do conjunto x e n(y) o número de elementos do conjunto y. Então podemos sempre afirmar que a) n(x) = 2n(y). b) n(x) = 4n(y). c) n(x) = n(y) + 1. d) n(x) = n(y) + 2. QUESTÃO 02 Seja o conjunto x tal que x = {2, , {b}}; assim P(P(x)) possui a) 16 elementos b) 32 elementos c) 64 elementos d) 128 elementos e) 256 elementos QUESTÃO 03 A Comunidade dos Países de Língua Portuguesa (CPLP) foi criada em 17 de julho de 1996 por sete países- membros – Angola, Brasil, Cabo Verde, Guiné-Bissau, Moçambique, Portugal e São Tomé e Príncipe – e em 20 de maio de 2002 aderiu a este grupo o oitavo membro, Timor-Leste, que reconquistava sua independência. Esses países são lusófonos, ou seja, o idioma oficial é português. Considere os seguintes conjuntos: A = {países da África}, C = {países-membros da CPLP}, E = {países da Europa}. Após observar o mapa, julgue verdadeiro (V) ou falsas (F) as afirmativas a seguir: ( ) Brasil C ( ) Timor Leste A ( ) Cabo Verde A ( ) C E ( ) C A 17 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS ( ) E Portugal ( ) E {Portugal} ( ) A {Timor Leste, Moçambique} QUESTÃO 04 Seja o conjunto X = {{a}; {b}; }. São subconjuntos de X a) {{b}; } e {{a}; {b}}. b) {{}; {{a}}} e {{b}; } c) {{{a}}; {b}} e {{b}; } d) {{a}; } e {{b}; } QUESTÃO 05 Os muçulmanos sequer se limitam aos países de etnia árabe, como muitos imaginam. Por exemplo, a maior concentração de muçulmanos do mundo encontra-se na Indonésia, que não é um país de etnia árabe. Considere T o conjunto de todas as pessoas do mundo; M o conjunto de todas aquelas que são muçulmanas e A o conjunto de todas aquelas que são árabes. Sabendo que nem toda pessoa que é muçulmana é árabe, pode-se representar o conjunto de pessoas do mundo que não são muçulmanas nem árabes por a) T – (A M). b) T – A. c) T – (A M). d) (A – M) (M – A). e) M – A. QUESTÃO 06 Dentre os investimentos de “altos riscos”, podemos destacar os “mercado de derivativos”. No levantamento estatístico do perfil de investidores de “alto risco”, foram obtidos os seguintes resultados: • 60% desses investidores são homens; • 55% desses investidores são mulheres ou investiram em “mercado de derivativos”. Logo, podemos afirmar que a porcentagem de homens que investiram em “mercado derivativos” é de a) 10%. b) 15%. c) 20%. d) 25%. e) 30%. 18 CURSO DE MATEMÁTICAANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS Texto para a questão 07. O que os brasileiros andam lendo? O brasileiro lê, em média, 4,7 livros por ano. Este é um dos principais resultados da pesquisa Retratos da Leitura no Brasil, encomendada pelo Instituto Pró-livro ao Ibope Inteligência, que também pesquisou o comportamento do leitor brasileiro, as preferências e as motivações dos leitores, bem como os canais e a forma de acesso aos livros. Adaptado de: Associação Brasileira de Encadernação e Restauro. QUESTÃO 07 Supõe-se que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivo era verificar o que eles estão lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas leem somente revistas, 300 pessoas leem somente livros e 150 pessoas leem somente jornais. Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 leem livros e revistas, 50 leem jornais e revistas, 60 leem livros e jornais e 40 leem revistas, jornais e livros. Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações: I. Apenas 40 pessoas leem pelo menos um dos três meios de comunicação citados. II. Quarenta pessoas leem somente revistas e livros, e não leem jornais. III. Apenas 440 pessoas leem revistas ou livros. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. d) Somente a afirmativa II é verdadeira. e) Somente a afirmativa I é verdadeira. QUESTÃO 08 Um programa de proteção e preservação de tartarugas marinhas, observando dois tipos de contaminação dos animais, constatou em um de seus postos de pesquisa que, 88 tartarugas apresentavam sinais de contaminação por óleo mineral, 35 não apresentavam sinais de contaminação por radioatividade, 77 apresentavam sinais de contaminação tanto por óleo mineral como por radioatividade e 43 apresentavam sinais de apenas um dos dois tipos de contaminação. Quantas tartarugas foram observadas? a) 144 b) 154 c) 156 d) 160 e) 168 19 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS QUESTÃO 09 Um levantamento epidemiológico foi realizado em cinco praias paulistas frequentadas por grande número de famílias com crianças menores de 10 anos. Os principais aspectos do estudo foram relacionar a incidência de doenças gastrintestinais em banhistas com os índices de contaminação fecal das praias do litoral paulista. A pesquisa, feita com 2.100 pessoas, teve por objetivo detectar o número de pessoas com sintomas de vômitos (V), diarreia (D) e febre (F), conforme o quadro a seguir. Adaptado de: Revista Discutindo Ciência, Ano 1, n. 1. D F V D e V D e F F e V D, V e F 127 136 137 46 52 51 22 Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar que o número de pessoas entrevistadas que não apresentam nenhum dos sintomas pesquisados é a) 1.529. b) 2.078. c) 1.827. d) 1.951. e) 1.929. QUESTÃO 10 Uma editora estuda a possibilidade de relançar a publicação das obras Helena e Iracema, de Machado de Assis e do José de Alencar, respectivamente. Para isso, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que, em cada 1.000 pessoas consultadas, 395 leram Helena, 379 leram Iracema e 321 não tinham lido nenhuma dessas obras. O número de pessoas que leu as duas obras é a) 95. b) 100. c) 105. d) 110. e) 115. QUESTÃO 11 Um jornaleiro vende os jornais Estrela da manhã, Gazeta da Tarde e Boletim Diário. De seus 600 fregueses, 590 compram algum jornal, 300 compram o Boletim, 131 somente o Estrela, 77 somente a Gazeta e 7 compram os três jornais. Nenhum freguês compra mais de um número do mesmo jornal. Quantos fregueses compram o Estrela e o Gazeta? a) 87 b) 88 c) 89 d) 90 e) 85 20 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS QUESTÃO 12 Se A é um conjunto finito, seja n(A) o número de elementos de A. Sejam x, y e z três conjuntos, tais que: n(x) = 100, n(y) = 90, n(z) = 80; n(x –(y z)) = 50, n(x y z) = 10; n(x y) = n(x z) = n(y z). Nessas condições, o número de elementos que pertencem a mais de um conjunto é a) 70. b) 80. c) 90. d) 100. QUESTÃO 13 A fração geratriz de 3,74151515... é a) 37.415 10.000 b) 3.741.515 10.000 c) 37.041 9.900 d) 37.041 9.000 e) 370.415 99.000 QUESTÃO 14 Se x e y são números reais que satisfazem, respectivamente, as desigualdades 2 x 15 e 3 y 18, então todos os números da forma x y , possíveis, pertencem ao intervalo a) [5, 9]. b) 2 5 , . 3 6 c) 3 , 6 . 2 d) 1 , 5 . 9 QUESTÃO 15 Recentemente, os jornais noticiaram que, durante o mês de outubro de 2011, a população mundial deveria atingir a marca de 7 bilhões de habitantes, o que nos faz refletir sobre a capacidade do planeta de satisfazer nossas necessidades mais básicas, como o acesso à água e aos alimentos. Estima-se que uma pessoa consuma, em média, 150 litros de água por dia. Assim, considerando a marca populacional citada, o volume de água, em litros, necessário para abastecer toda a população humana durante um ano está entre 21 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS a) 1013 e 1014. b) 1014 e 1015. c) 1015 e 1016 d) 1016 e 1017. e) 1017 e 1018. QUESTÃO 16 A história do número tem mais de 2.000 anos, já a história do número e cobre apenas 4 séculos. O número originou-se de um problema de Geometria como encontra a circunferência e a área de um círculo. As origens do número e, porém, não são tão claras, elas parecem recuar ao século XVI, quando se percebeu que a expressão n 1 1 n , que aparecia na fórmula dos juros compostos, tendia a certo limite – cerca de 2,71828 – à medida que n aumentava. (...) Apesar disso, foi aproximadamente na mesma época que os matemáticos desvendaram a natureza dos dois números, com pequena vantagem para o e: Euler, em 1737, provou que tanto e quanto e2 eram irracionais; e Johann Lambert, em 1768, provou que o mesmo acontecia com . A partir das informações sobre a natureza dos números e e contidas no texto, é correto afirmar que a) 1 2 . e é um número irracional b) 2 é um número racional. c) ( + e)( + e)–1 é um número irracional. d) . e é um número racional. e) [(e + 2)2 – (2 – e)2] é um número racional. QUESTÃO 17 Com relação ao conjunto dos números reais e seus subconjuntos, analise as sentenças e assinale V para verdadeiro e F para falso. ( ) 0 Q ( ) N Q R ( ) 3,14141414 Q ( ) (R – Q) = (irracionais) ( ) 0,01002000300004 R ( ) 9 (irracionais) ( ) 5 Q ( ) 0123123123123 R 22 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS QUESTÃO 18 Números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma p q , com p, q inteiros e q 0. Dos números a seguir representados, qual não é racional? a) 2,23235 b) 0,232323... c) 64 d) 3 5 e) 3 16 QUESTÃO 19 Seja o número AB, em que A e B são algarismos das dezenas e das unidades, respectivamente. Invertendo-se a posição dos algarismos A e B, obtém-seum número que excede AB em 27 unidades. Se A + B é um quadrado perfeito, então B é igual a a) 3. b) ‘4. c) 5. d) 6. e) 7. QUESTÃO 20 Sejam M = 2 2 2 2 ... N = 3 3 3 3 ... O valor de M . N é a) 6. b) 24. c) 12. d) 18. e) 1. 23 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO QUESTÃO 01 Em uma enquete sobre a leitura dos livros selecionados para o processo seletivo, numa universidade de determinada cidade, foram entrevistados 1200 candidatos. 563 destes leram “Você Verá”, de Luiz Vilela; 861 leram “O tempo é um rio que corre”, de Lya Luft; 151 leram “Exílio”, também de Lya Luft; 365 leram “Você Verá” e “O tempo é um rio que corre”; 37 leram “Exílio” e “O tempo é um rio que corre”; 61 leram “Você Verá” e “Exílio”; 25 candidatos leram as três obras e 63 não as leram. A quantidade de candidatos que leram apenas “O tempo é um rio que corre” equivale a a) 434. b) 484. c) 454. d) 424. QUESTÃO 02 De acordo com a reportagem da Revista VEJA (edição 2341), é possível fazer gratuitamente curso de graduação pela Internet. Dentre os ofertados temos os cursos de Administração (bacharelado), Sistemas de Computação (Tecnólogo) e Pedagogia (licenciatura). Uma pesquisa realizada com 1.800 jovens brasileiros sobre quais dos cursos ofertados gostariam de fazer, constatou que 800 optaram pelo curso de Administração; 600 optaram pelo curso de Sistemas de Computação; 500 optaram pelo curso de Pedagogia; 300 afirmaram que fariam Administração e Sistemas de Computação; 250 fariam Administração e Pedagogia; 150 fariam Sistemas de Computação e Pedagogia e 100 dos jovens entrevistados afirmaram que fariam os três cursos. Considerando os resultados dessa pesquisa, o número de jovens que não fariam nenhum dos cursos elencados é: a) 150 b) 250 c) 350 d) 400 e) 500 QUESTÃO 03 No colégio municipal, em uma turma com 40 alunos, 14 gostam de Matemática, 16 gostam de Física, 12 gostam de Química, 7 gostam de Matemática e Física, 8 gostam de Física e Química, 5 gostam de Matemática e Química e 4 gostam das três matérias. Nessa turma, o número de alunos que não gostam de nenhuma das três disciplinas é a) 6. b) 9. c) 12. d) 14. 24 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS QUESTÃO 04 Dos 500 alunos matriculados em uma escola, constatou-se que: - 40% do total frequenta oficinas de xadrez; - 35% do total frequenta oficinas de robótica; - 75 alunos cursam, simultaneamente, xadrez e robótica; - x alunos cursam outras oficinas. Com base nessas informações, o número de alunos que frequentam outras oficinas é: a) 75. b) 100. c) 125. d) 200. e) 300. QUESTÃO 05 Numa escola de idiomas, 250 alunos estão matriculados no curso de inglês, 130 no de francês e 180 no de espanhol. Sabe-se que alguns desses alunos estão matriculados em 2, ou até mesmo em 3 desses cursos. Com essas informações, pode-se afirmar que o número de alunos que estão matriculados nos três cursos é, no máximo, a) 130 b) 180 c) 250 d) 310 e) 560 QUESTÃO 06 Considerando os intervalos de números reais, o resultado de ]5, 7[ [6, 9] é a) ]5, 9] b) c) [6, 7[ d) {6} QUESTÃO 07 Observe o diagrama com 5 organizações intergovernamentais de integração sul-americana: 25 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS Dos 12 países que compõem esse diagrama, integram exatamente 3 das organizações apenas a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8. QUESTÃO 08 Se a soma e o produto de dois números são, respectivamente, dois e cinco, podemos afirmar corretamente que a) os dois números são racionais. b) os dois números são irracionais. c) um dos números é racional e o outro é irracional. d) os dois números são complexos não reais. QUESTÃO 09 Deseja-se comprar lentes para óculos. As lentes devem ter espessuras mais próximas possíveis da medida 3 mm. No estoque de uma loja, há lentes de espessuras: 3,10 mm; 3,021mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm. Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura escolhida será, em milímetros, de a) 2,099. b) 2,96. c) 3,021. d) 3,07. e) 3,10. QUESTÃO 10 Sueli colocou 40mL de café em uma xícara vazia de 80mL, e 40mL de leite em outra xícara vazia de mesmo tamanho. Em seguida, Sueli transferiu metade do conteúdo da primeira xícara para a segunda e, depois de misturar bem, transferiu metade do novo conteúdo da segunda xícara de volta para a primeira. Do conteúdo final da primeira xícara, a fração correspondente ao leite é a) 1 4 d) 2 5 b) 1 3 e) 1 2 c) 3 8 QUESTÃO 11 Se colocarmos os números reais 5, 1, 3 5 e 3 8 em ordem decrescente, teremos a sequência a) 3 , 8 1, 3 , 5 5 b) 3 , 8 1, 5, 3 5 c) 1, 3 , 8 3 , 5 5 26 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS d) 1, 3 , 8 5, 3 5 QUESTÃO 12 O segmento XY, indicado na reta numérica abaixo, está dividido em dez segmentos congruentes pelos pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I. Admita que X e Y representem, respectivamente, os números 1 6 e 3 . 2 O ponto D representa o seguinte número: a) 1 5 b) 8 15 c) 17 30 d) 7 10 QUESTÃO 13 André, Carlos e Fábio estudam em uma mesma escola e desejam saber quem mora mais perto da escola. André mora a cinco vinte avos de um quilômetro da escola. Carlos mora a seis quartos de um quilômetro da escola. Já Fábio mora a quatro sextos de um quilômetro da escola. A ordenação dos estudantes de acordo com a ordem decrescente das distâncias de suas respectivas casas à escola é a) André, Carlos e Fábio. b) André, Fábio e Carlos. c) Carlos, André e Fábio. d) Carlos, Fábio e André. e) Fábio, Carlos e André. QUESTÃO 14 Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na rede. Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de popularidade é 0,3121212 O índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são a) 103 em cada 330. b) 104 em cada 333. c) 104 em cada 3.333. d) 139 em cada 330. e) 1.039 em cada 3.330.27 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS QUESTÃO 15 Um clube de futebol abriu inscrições para novos jogadores. Inscreveram-se 48 candidatos. Para realizar uma boa seleção, deverão ser escolhidos os que cumpram algumas exigências: os jogadores deverão ter mais de 14 anos, estatura igual ou superior à mínima exigida e bom preparo físico. Entre os candidatos, 7 8 têm mais de 14 anos e foram pré-selecionados. Dos pré-selecionados, 1 2 têm estatura igual ou superior à mínima exigida e, destes, 2 3 têm bom preparo físico. A quantidade de candidatos selecionados pelo clube de futebol foi a) 12. b) 14. c) 16. d) 32. e) 42. QUESTÃO 16 O número de alunos matriculados nas disciplinas Álgebra A, Cálculo II e Geometria Analítica é 120. Constatou-se que 6 deles cursam simultaneamente Cálculo II e Geometria Analítica e que 40 cursam somente Geometria Analítica. Os alunos matriculados em Álgebra A não cursam Cálculo II nem Geometria Analítica. Sabendo que a turma de Cálculo II tem 60 alunos, então o número de estudantes em Álgebra A é a) 8 b) 14 c) 20 d) 26 e) 32 QUESTÃO 17 Qual é o valor da expressão numérica 1 1 1 1 5 50 500 5000 ? a) 0,2222 b) 0,2323 c) 0,2332 d) 0,3222 QUESTÃO 18 Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento. 28 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é a) 6. b) 7. c) 8. d) 11. e) 12. QUESTÃO 19 Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação da reta numérica e o jogador deve posicionar as fichas contendo números reais corretamente no tabuleiro, cujas linhas pontilhadas equivalem a 1 (uma) unidade de medida. Cada acerto vale 10 pontos. Na sua vez de jogar, Clara recebe as seguintes fichas: Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura que representa seu jogo, após a colocação das fichas no tabuleiro, é: a) b) c) d) e) QUESTÃO 20 Num grupo de 87 pessoas, 51 possuem automóvel, 42 possuem moto e 5 pessoas não possuem nenhum dos dois veículos. O número de pessoas desse grupo que possuem automóvel e moto é a) 4. b) 11. c) 17. d) 19. 29 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS GABARITO Resposta da questão 1: [B] Considere o diagrama, em que o conjunto A representa os candidatos que leram “Você Verá”, o conjunto B representa os candidatos que leram “O tempo é um rio que corre” e o conjunto C representa os candidatos que leram “Exílio”. Portanto, a quantidade de candidatos que leram apenas “O tempo é um rio que corre” é igual a 484. Resposta da questão 2: [E] Considere a figura, em que A, S e P são, respectivamente, o conjunto dos alunos que fariam Administração, o conjunto dos alunos que fariam Sistemas de Computação e o conjunto dos alunos que fariam Pedagogia. Sendo #(U) 1800 e #(U (A S P)) x, temos 800 250 50 200 x 1800 x 500. Portanto, o número de jovens que não fariam nenhum dos cursos elencados é 500. Resposta da questão 3: [D] Utilizando M para matemática, F para física e Q para química, tem-se: 30 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS M 14 F 16 Q 12 MF 7 FQ 8 MQ 5 MQF 4 MQ MQF, logo têm-se 1 aluno que gosta de APENAS matemática e química e 4 que gostam das três matérias simultaneamente (5 4 1). As demais deduções podem ser feitas analogamente pela teoria de conjuntos, conforme diagrama a seguir. Assim, o total de alunos que gostam de ao menos uma matéria é: 6 3 4 1 5 4 3 26. Se o total de alunos na sala é 40, então o número de alunos que não gosta de nenhuma matéria é: 40 26 14. Resposta da questão 4: [D] Analisando as informações do enunciado, conclui-se: - 40% do total frequenta oficinas de xadrez, portanto X 500 40% 200 alunos. - 35% do total frequenta oficinas de robótica, portanto R 500 35% 175 alunos. - 75 alunos cursam, simultaneamente, xadrez e robótica, portanto XR 75 alunos. Como XR X, logo têm-se 100 alunos que frequentam de APENAS robótica. Analogamente, XR R, logo têm-se 125 alunos que frequentam de APENAS xadrez. Assim, se o total de alunos que matriculados é igual a 500, têm-se: 500 125 75 100 200 alunos que frequentam outras oficinas, conforme a figura a seguir demonstra. Resposta da questão 5: [A] O número máximo de alunos matriculados nos três cursos não pode superar o número de alunos matriculados no curso de francês. Portanto, o resultado pedido é 130. Resposta da questão 6: [C] 31 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS Resolvendo graficamente, a intersecção dos intervalos ]5,7[ e [6,9] será [6, 7[. Resposta da questão 7: [D] Os países que integram exatamente 3 das organizações são: Peru, Equador, Colômbia, Venezuela, Paraguai, Argentina e Uruguai. Portanto, a resposta é 7. Resposta da questão 8: [D] Sejam x e y os números. Tem-se que 2 x y 2 y 2 x x y 5 x (2 x) 5 y 2 x . (x 1) 4 Logo, sabendo que 2(x 1) 0 para todo x real, podemos concluir que x é um complexo não real. Em consequência, y também é um complexo não real. Resposta da questão 9: [C] Calculando o desvio absoluto da espessura de cada lente em relação à medida 3mm, obtemos: | 3,10 3 | 0,100; | 3,021 3 | 0,021; | 2,96 3 | 0,040; | 2,099 3 | 0,901 e | 3,07 3 | 0,070. Portanto, como o menor desvio absoluto é o da lente de espessura 3,021mm, segue o resultado. Resposta da questão 10: [D] Na primeira transferência, a primeira xícara ficou com 20mL de café, e a segunda ficou com 40mL de leite e 20mL de café. Após a segunda transferência, a primeira xícara ficou com 30mL de café e 20mL de leite. Por conseguinte, a resposta é 20 2 . 20 30 5 Resposta da questão 11: [C] Tem-se que 5 4 2 e 3 2. 5 Logo, escrevendo os números dados em ordem decrescente, vem 1, 3 , 8 3 , 5 5. Resposta da questão 12: [D] Sendo XA AB HI u, segue que 32 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 3 1 Y X 10u 10u 2 6 2 u . 15 Portanto, o ponto D representa o número 1 2 7 D X 4u 4 . 6 15 10 Resposta da questão 13: [D] Tem-se que 5 20 e 4 6 são frações próprias e 6 4 é uma fração imprópria. Logo, ambas são menores do que 6 . 4 Além disso, segue que 5 1 3 8 4 . 20 4 12 12 6 Portanto, a ordenação dos estudantesde acordo com a ordem decrescente das distâncias de suas respectivas casas à escola é Carlos, Fábio e André. Resposta da questão 14: [A] Tem-se que 0,3121212 0,3 0,0121212 1 0,3 0,121212 10 3 1 12 10 10 99 3 1 4 10 10 33 99 4 330 103 . 330 Portanto, o índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são 103 em cada 330. Resposta da questão 15: [B] A quantidade de candidatos selecionados pelo clube de futebol foi 7 1 2 48 14. 8 2 3 Resposta da questão 16: [C] Sejam X, Y e Z, respectivamente, o conjunto dos alunos que cursam Álgebra A, o conjunto dos alunos que cursam Cálculo II e o conjunto dos alunos que cursam Geometria Analítica. Sabemos que n(Y) 60, n(Y Z) 6, n(X Y) 0, n(X Z) e n(Z (X Y)) 40. Logo n(X Y Z) 0 e, portanto, n(Z) 46, pois 33 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS n(Z (X Y)) n(Z) n(X Z) n(Y Z) n(X Y Z). Desse modo, como n(X Y Z) 120, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, vem n(X Y Z) n(X) n(Y) n(Z) n(X Y) n(X Z) n(Y Z) n(X Y Z) 120 n(X) 60 46 6 n(X) 20. Resposta da questão 17: [A] 1 1 1 1 0,2 0,02 0,002 0,0002 0,2222. 5 50 500 5000 Resposta da questão 18: [C] Serão necessários 2 81 190 352 metros de tela para cercar o terreno. Logo, como cada rolo tem 48 metros de comprimento, segue-se que o número de rolos necessários é o menor número inteiro maior do que 352 7,3, 48 ou seja, 8. Resposta da questão 19: [D] Como 1 x 3 1,7; y 0,5 2 e 3 z 1,5, 2 tem-se t y z x. Assim, a figura que representa o jogo de Clara é a da alternativa [D]. Note que na alternativa [A], x 3. Resposta da questão 20: [B] Considere o diagrama, em que A é o conjunto das pessoas que possuem automóvel, e M é o conjunto das pessoas que possuem moto. Seja x o número de pessoas que possuem automóvel e moto. Como 51 pessoas possuem automóvel, segue que 51 x pessoas possuem apenas automóvel. Além disso, sabendo que 42 pessoas possuem moto, temos que 42 x pessoas possuem apenas moto. Portanto, dado que 5 pessoas não possuem nenhum dos dois veículos e que o grupo tem 87 pessoas, segue que 51 x x 42 x 5 87 98 x 87 x 11.
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