AULA 7 Funções do 1º e do 2º graus versao 1

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FUNÇÕES DE 1o E 2o GRAUS NO VESTIBULAR 
 
FUNÇÃO DO 1o GRAU 
 
1 - Definição 
Denomina-se função do 1o grau toda função 
f : 
 definida por 
f(x) ax b 
, com a, b R e a 0. 
Da lei de formação 
f(x) ax b 
, podemos montar o gráfico da função, vejamos como se comporta o gráfico de uma 
função do 1º grau: 
 
2 - Gráfico 
O gráfico de uma função do 1o grau é uma reta inclinada. Podemos ter dois casos: 
 
Função Crescente Função Decrescente 
(a > 0) (a < 0) 
A partir do gráfico, tiramos 3 pontos extremamente importantes: 
1) O Zero ou Raiz da função. 
2) O Coeficiente Angular da função. 
3) O Coeficiente Linear da função. 
 
3 - Raiz ou Zero da Função do 1º grau 
A raiz de uma função do 1o grau é o valor de x que torna f(x) = 0, ou seja, o valor de x que torna y = 0. 
f(x) 0
f(x) ax b ax b 0

     
a
b
x


 
 raiz de f(x) 
 
Em outras palavras, a raiz de f(x) representa o ponto ONDE A RETA TOCA O EIXO X. 
 
4 - Coeficiente Angular da Função do 1º grau 
O coeficiente angular indica como o gráfico se comporta com relação ao eixo x, em outras palavras, ele vai dizer se a 
reta é pouco inclinada ou muito inclinada. Se tivermos duas retas no mesmo plano cartesiano, a que tiver a maior 
inclinação, terá o maior coeficiente angular, em valor absoluto. 
Exemplos: 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
Aula 7 - Prof Raul Brito 
 
2 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
Note que, nas figuras 1 e 2, o gráfico de f(x) é mais inclinado que o gráfico de g(x), em outras palavras: 
   f x g x tg tg a a        
 
Não invertemos o sinal, pois a função é crescente, ou seja, a > 0. 
 
Agora, veja o que acontece, quando a função é decrescente: 
 
 
Note que, na figura 3, o gráfico de f(x) é mais inclinado que o gráfico de g(x), em outras palavras: 
 
   f x g x tg tg a a        
. 
 
Invertemos o sinal, pois a função é decrescente, ou seja, a < 0. 
 
Apesar do módulo ser maior, o coeficiente angular é menor, devido à função ser decrescente. 
 
Outro modo de enxergar a função do 1º grau é pelo fato de que podemos substituir o valor do coeficiente angular a na 
função, nessa nova abordagem você consegue entender a relação entre o coeficiente angular e a inclinação da reta, 
vejamos como fazer isso: 
 
Considere a lei de formação 
f(x) ax b 
, sabemos que 
a tg 
, então substituindo, temos: 
 
     f(x) ax b f(x) tg x b
 
Assim, podemos montar o gráfico: 
 
Da figura, temos: 
y
tg
x

 

. 
Por isso fazemos uma divisão quando queremos encontrar o coeficiente angular. 
 
 
 
3 
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5 - Coeficiente Linear 
O coeficiente linear indica como o gráfico se comporta com relação ao eixo y, em outras palavras, ele vai dizer ONDE A 
RETA VAI TOCAR O EIXO Y, se é mais em cima, mais embaixo. Se tivermos duas retas no mesmo plano cartesiano, a 
que tocar o eixo y mais a cima, terá o maior coeficiente linear. 
 
Exemplos: 
 
Função Crescente: 
 
 
 
Note que f(x) toca o eixo y mais acima do que g(x), veja 
que 
   f x g xb b
. 
 
Função Decrescente: 
 
 
Note que f(x) toca o eixo y mais acima do que g(x), veja 
que 
   f x g xb b
. 
 
 
Aluno: Professor, e como eu faço para construir o gráfico? Não sei não. 
Professor: É simples!! Para construir o gráfico de uma função de 1º grau, basta tomarmos 2 pontos, pegamos a raiz 
(onde a reta toca o eixo x) e o ponto onde ela toca o eixo y, ou seja, o coeficiente linear!! 
 
Exemplo 1: Construa o gráfico da função 
 f x 2x 4 
. 
 
Resolução Passo a Passo: 
Passo 1: Encontramos a raiz. 
Para encontrarmos a raiz, basta igualarmos a função a 0, ou seja, fazemos 
 f x 0
. 
 
4
f x 0 2x 4 0 2x 4 x x 2
2
         
. 
Concluímos que a raiz é 2, em outras palavras, 2 é o valor de x que torna 
2x 4
 igual a 0, ou seja, 2 é onde a reta vai 
tocar o eixo x. 
 
Passo 2: Encontramos o coeficiente linear. 
Note que no caso geral 
 f x ax b 
, o valor de b é o coeficiente linear, ou seja, é o número que não tem x, no nosso 
exemplo, quem não está com o x é o 
4
, ou seja, o coeficiente linear é 
4
, a reta toca o eixo y lá no 
4
. 
Assim, temos: 
 
 
4 
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Exemplo 2: Construa o gráfico da função 
 f x 6x 3  
. 
Resolução Passo a Passo: 
Passo 1: Encontramos a raiz. 
Para encontrarmos a raiz, basta igualarmos a função a 0, ou seja, fazemos 
 f x 0
. 
 
3 1
f x 0 6x 3 0 6x 3 x x
6 2
            

. 
Concluímos que a raiz é 
1
2

, em outras palavras, 
1
2

 é o valor de x que torna 
6x 3 
 igual a 0, ou seja, 
1
2

 é onde a 
reta vai tocar o eixo x. 
 
Passo 2: Encontramos o coeficiente linear. 
Note que no caso geral 
 f x ax b 
, o valor de b é o coeficiente linear, ou seja, é o número que não tem x, no nosso 
exemplo, quem não está com o x é o 
3
, ou seja, o coeficiente linear é 
3
, a reta toca o eixo y lá no 
3
. 
Assim, temos: 
 
 
Vamos agora estudar os sinais da função, ou seja, onde ela é positiva, onde ela é negativa e onde ela é nula. 
 
6 - Estudo do Sinal da função do 1º grau 
Para estudarmos o sinal da função do 1º grau, temos que ver dois casos: quando a função é crescente e quando a 
função é decrescente, vamos lá: 
 
 1o caso: a > 0 (função crescente) 
 
 2o caso: a < 0 (função decrescente) 
 
 
 
7 - Regra Prática: 
Para facilitar o estudo dos sinais, usaremos a regra prática: 
 
 
 
 
 
 
5 
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8 - Determinação de f(x) a partir de 2 pontos quaisquer 
Para descobrir a expressão de uma função do 1o grau, sendo dados dois pontos da mesma, basta supor que a função é 
do tipo f(x) = ax + b, fazer um sistema de 2 equações com as incógnitas a e b e resolvê-lo. Depois substituir os valores 
encontrados de a e b na expressão f(x) = ax + b. 
 
 
FUNÇÃO 2o GRAU 
 
9 - Definição 
Denomina-se função do 2o grau ou função quadrática, toda função 
f : 
 definida por: 
f(x) = ax2 + bx + c com a, b, c  R e a 0. 
 
10 – Gráfico da função do 2º grau 
O gráfico de uma função do 2º grau qualquer, do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0 é uma curva denominada parábola. O 
formato dessa parábola depende da concavidade, que varia de acordo com o coeficiente a. Em outras palavras: 
Se a < 0 → a concavidade da parábola é voltada para baixo; 
Se a > 0 → a concavidade da parábola é voltada para cima; 
 
O gráfico também depende do discriminante da função, o famoso : 
Se Δ > 0 → a função tem duas raízes reais e diferentes. 
Se Δ = 0 → a função possui duas raízes reais e iguais. 
Se Δ < 0 → a função não possui raízes reais. 
 
Quando tivermos falando sobre as raízes, falaremos mais do . Agora vamos ver como se comportam os gráficos! 
Podemos ter seis casos: 
 
1o caso: a > 0 e > 0 
 
 
 
2o caso: a > 0 e  = 0 
 
 
 
3o caso: a > 0 e < 0 
 
 
4o caso: a < 0 e  > 0 
 
 
5o caso: a < 0 e  = 0 
 
 
6o caso: a< 0 e < 0 
 
 
 
11 - Raízes ou Zeros da função do 2º grau 
As raízes de uma função do 2o grau são os valores de x que tornam f(x) = 0, ou seja, os valores de x que tornam y = 0. 
Esses valores são encontrados pela fórmula de Báskara: 
  f(x) 02 2f x ax bx c ax bx c 0      
 
 
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1
2
2
b
x
b 2a
b 4ac e x 
2a b
x
2a
   

   
     
  

 
As raízes se comportam segundo o valor de Δ. Temos três casos: 
Δ > 0 → a função tem DUAS raízes reais e DISTINTAS, logo intercepta o eixo x em dois pontos; 
Δ = 0 → a função possui apenas DUAS raízes reais e IGUAIS, por isso intercepta o eixo x em apenas um ponto; 
Δ < 0 → a função NÃO POSSUI RAÍZES REAIS, logo não intercepta o eixo x; 
 
12 - Máximo e Mínimo Absolutos da Função Quadrática 
No estudo da função do 2º grau percebemos que seu gráfico é uma parábola e que esse gráfico apresenta pontos 
notáveis e de bastante aplicação na vida cotidiana e no estudo de outras ciências. Esses pontos são: as raízes da 
função (vista acima), o vértice da parábola e o ponto onde a parábola toca o eixo y. As raízes determinam quais os 
pontos onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas (eixo x); o vértice pode ser o ponto de máximo absoluto ou de 
mínimo absoluto da função, ou seja, o maior valor ou o menor valor que a função pode assumir em todo o seu domínio e 
o ponto onde toca o eixo y é o ponto onde x = 0. Vejamos como lidar com isso. 
 
13 - Coordenadas do Vértice da Parábola 
As coordenadas do vértice podem ser calculadas por: 
a2
b
xV 
 
a4
y V


 
 
O vértice da parábola pode ser um ponto de mínimo absoluto ou de máximo absoluto, mas não os dois ao mesmo 
tempo. 
O que determina um caso ou outro é a concavidade da parábola, veja que: 
 
Se a > 0, a concavidade for voltada para cima e a função apresenta ponto de mínimo absoluto. 
 
Note que o 
vy
 é o MENOR VALOR que a função pode assumir, não tem nenhum ponto abaixo do 
vy
 que pertence à 
parábola. Veja que todos os valores (eixo y) acima do 
vy
 pertencem à parábola, por isso que o conjunto imagem é 
sempre maior ou igual ao 
vy
, ou seja: 
     vIm f y / y y Im f y / y
4a
 
        
 
. 
 
Se a < 0, a concavidade for voltada para baixo e a função apresenta ponto de máximo absoluto. 
 
 
 
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Note que o 
vy
 é o MAIOR VALOR que a função pode assumir, não tem nenhum ponto acima do 
vy
 que pertence à 
parábola. Veja que todos os valores (eixo y) abaixo do 
vy
 pertencem à parábola, por isso que o conjunto imagem é 
sempre menor ou igual ao 
vy
, ou seja: 
     vIm f y / y y Im f y / y
4a
 
        
 
. 
 
CONCLUSÕES 
Se a > 0: 
 A parábola tem a concavidade voltada para cima e o vértice é o ponto de mínimo. Para encontrar o VALOR mínimo 
calculamos o 
vy
. 
 O 
a4
y V


 é o mínimo valor que f(x) pode assumir. 
Como o 
vy
 é o VALOR mínimo, a parábola terá imagem sempre maior ou igual a o 
vy
. 
 O conjunto imagem é dado por: 
     vIm f y / y y Im f y / y
4a
 
        
 
. 
Se a < 0: 
 A parábola tem a concavidade voltada para baixo e o vértice é o ponto de máximo. Para encontrar o VALOR máximo 
calculamos o 
vy
. 
 O 
a4
y V


 é o valor máximo que f(x) pode assumir. 
Como o 
vy
 é o VALOR máximo, concluímos que a parábola terá imagem sempre menor ou igual a o 
vy
. 
 O conjunto imagem é dado por: 
     vIm f y / y y Im f y / y
4a
 
        
 
. 
Nos dois casos, o vértice é o ponto 
 v v
b
V x ,y V ,
2a 4a
  
  
 
. 
 
É importante lembrar-se que: 
 Se pedirem O VALOR máximo ou mínimo da função, então estão pedindo o 
vy
. 
 Se pedirem O VALOR que torna a função máxima ou mínima, então estão pedindo o 
vx
. 
 Se pedirem O PONTO máximo ou mínimo da função, então estão pedindo o vértice 
 v vV y , x
. 
 
Vejamos exemplos de como isso é cobrado. 
 
Exemplo 1: Dadas as funções abaixo, determine se elas possuem ponto de máximo ou mínimo absoluto e as 
coordenadas desses pontos. 
a) f(x) = 3x2 – 4x + 1 
 
Resolução: Observando a função, podemos afirmar que a = 3 > 0. Portanto, o gráfico da função é uma parábola com a 
concavidade voltada para cima. Isso implica que a função apresenta um ponto de mínimo absoluto. Vimos que esse 
ponto é o vértice da parábola e para determinar suas coordenadas utilizamos as fórmulas: 
 
   
v
2
v
4b 4 2
x .
2a 2 3 6 3
4 4 3 1 16 12 4 1
y .
4a 4 3 12 12 3
 
   

          
    

 
Dessa forma, o ponto de mínimo absoluto, que é o vértice da parábola, tem coordenadas:
 
 
 
2 1
V ,
3 3
 
 
Exemplo 2: O lucro de uma fábrica na venda de determinado produto é dado pela função 
L(x) = – 5x2 + 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine: 
 
a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos. 
 
Resolução: Como a função que determina o lucro da fábrica, L(x) = – 5x2 + 100x – 80, é uma função do 2º grau, 
percebemos que a = – 5 < 0. Isso implica que a parábola que representa essa função tem a concavidade voltada para 
baixo, tendo, portanto, um ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola. O lucro máximo da empresa será 
dado pelo 
vy
 (coordenada y do vértice). Assim, teremos: 
 
8 
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   
 
 
v
100 4 5 80 10000 1600 8400
y 420
4a 4 5 20 20
          
    
   
 
Portanto, o lucro máximo da fábrica será de R$ 420,00. 
 
 
b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo. 
 
Resolução: O número de produtos a serem vendidos para obtenção do lucro máximo será dado pelo 
vx
 (coordenada x 
do vértice). Teremos: 
 v
b 100 100
x 10
2a 2 5 10
  
   
  
. 
Concluímos que a fábrica precisa vender 10 produtos para obter o lucro máximo desejado. 
 
Vejamos agora algumas propriedades interessantes sobre a função do 2º grau: 
 
14 - Soma e Produto das Raízes 
Considere uma função do 2o grau do tipo 
  2f x ax bx c  
, onde 
1x
 e 
2x
 são as raízes. Temos: 
 
Soma:
a
b
xx 21 
 Produto:
a
c
xx 21 
 
 
15 - Função do 2° grau Através da Soma e Produto das Raízes 
Outra forma de escrevermos uma função do 2º grau é: 
  2f x x Sx P  
. Ajuda muito em algumas questões. 
Exemplo: Determine a função sabendo que a soma das raízes é 4 e o produto das raízes é 3. 
Resolução: Podemos aplicar a expressão da função em relação à soma e produto das raízes, a saber: 
   2 2f x x Sx P f x x 4x 3      
. 
 
16 - Forma Fatorada de uma Função do 2° grau 
Uma função do 2º grau também pode ser escrita em sua forma fatorada, é uma ferramenta que também ajuda em várias 
questões. A forma fatorada é dada por: 
      2 1 2f x ax bx c f x a x x x x      
. 
Onde: 
a 0
, 
1x
 e 
2x
 são as raízes. 
 
Estudo do Sinal 
Para estudarmos o sinal da função do 2º grau, temos que ver seis casos, a saber: 
 
 1o caso: a > 0e > 0 
 
 
 
y > 0  x < x1 ou x > x2 
y = 0 x = x1 ou x = x2 
y < 0  x1 < x < x2 
 
 
 2o caso: a > 0 e = 0 
 
 
y > 0  x  x1 
y = 0  x = x1 = x2 
y < 0  
Rx
 
 
 3o caso: a > 0 e < 0 
 
 
 
y > 0 
Rx
 
y = 0  
Rx
 
y < 0  
Rx
 
 
 4o caso: a < 0 e > 0 
 
 
 
 5o caso: a < 0 e = 0 
 
 
 
 6o caso: a < 0 e  < 0 
 
 
 
 
9 
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y > 0  x1 < x < x2 
y = 0  x = x1 ou x = x2 
y < 0  x < x1 ou x > x2 
 
y > 0 
Rx
 
y = 0  x = x1 = x2 
y < 0 x  x1 
 
y > 0 
Rx
 
y = 0 
Rx
 
y < 0 
Rx
 
 
 
 
RESUMO GERAL  
 Uma função do 2o grau terá 2 raízes reais e distintas quando  > 0. 
 Uma função do 2o grau terá 2 raízes reais e iguais quando  = 0. 
 Uma função do 2o grau não terá raízes reais quando  < 0. 
 Uma função do 2o grau terá raízes reais se   0. 
 Uma função do 2o grau terá raízes simétricas quando b = 0. 
 Uma função do 2o grau terá uma das raízes nula quando c = 0. 
 A soma das raízes de uma função do 2o grau é dada por –b/a. 
 O produto das raízes de uma função do 2o grau é dado por c/a. 
 O valor máximo (ou mínimo) de uma função do 2o grau é dado por yV = –/4a. 
 Quem torna a função do 2o grau máxima (ou mínima) é o xV = –b/2a. 
 As condições para que a função do 2o grau seja estritamente positiva são:  < 0 e a > 0. 
 As condições para que a função do 2o grau seja estritamente negativa são:  < 0 e a < 0. 
 A função do 2o grau f(x) = ax2 + bx + c poderá ser escrita da forma f(x) = x2 – Sx + P . 
 A função do 2o grau f(x) = ax2 + bx + c poderá ser escrita da forma f(x) = a(x – x1)(x – x2) onde x1 e x2 são as raízes. 
 
 
 
 
 
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PROBLEMAS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é 
reduzida por um sistema a partir do instante de seu 
desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão 
2t
T(t) 400,
4
  
 com t em minutos. Por motivos de 
segurança, a trava do forno só é liberada para abertura 
quando o forno atinge a temperatura de 39°. 
 
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se 
desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? 
a) 19,0 
b) 19,8 
c) 20,0 
d) 38,0 
e) 39,0 
 
Questão 02 
A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma 
parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. 
 
 
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano 
da figura, é dada pela lei 
23f(x) x 6x C,
2
  
 onde C é a 
medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. 
Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da 
parábola, localizado sobre o eixo x. 
 
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em 
centímetros, é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 03 
Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 
100g, três de 200g e uma de 350g. O gráfico mostra o custo 
para enviar uma carta não comercial pelos Correios: 
 
 
O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de 
a) 8,35. 
b) 12,50. 
c) 14,40. 
d) 15,35. 
e) 18,05. 
 
Questão 04 
Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes 
potências, que representam consumos e custos diversos. A 
potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto 
entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente 
elétrica (i) que por ele circula. O consumo de energia 
elétrica (E), por sua vez, é diretamente proporcional à 
potência do aparelho. 
Considerando as características apresentadas, qual dos 
gráficos a seguir representa a relação entre a energia 
consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica 
(i) que circula por ele? 
a) d) 
b) e) 
c) 
 
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Questão 05 
As curvas de oferta e de demanda de um produto 
representam, respectivamente, as quantidades que 
vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar 
em função do preço do produto. Em alguns casos, essas 
curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as 
quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, 
respectivamente, representadas pelas equações: 
 
QO = –20 + 4P 
QD = 46 – 2P 
 
em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de 
demanda e P é o preço do produto. 
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os 
economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, 
ou seja, quando QO e QD se igualam. 
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? 
a) 5 
b) 11 
c) 13 
d) 23 
e) 33 
 
Questão 06 
A figura a seguir apresenta dois gráficos com informações 
sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo 
Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, 
em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada informa 
o número de reclamações recebidas no dia, o de linha 
continua é o número de reclamações resolvidas no dia. As 
reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia ou 
demorarem mais de um dia para serem resolvidas. 
 
 
 
O gerente de atendimento deseja identificar os dias da 
semana em que o nível de eficiência pode ser considerado 
muito bom, ou seja, os dias em que o número de 
reclamações resolvidas excede o número de reclamações 
recebidas. 
Disponível em: http://bibliotecaunix.org. Acesso em: 21 jan. 2012 
(adaptado). 
 
O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no 
conceito de eficiência utilizado na empresa e nas 
informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito 
bom na 
a) segunda e na terça-feira. 
b) terça e na quarta-feira. 
c) terça e na quinta-feira. 
d) quinta-feira, no sábado e no domingo. 
e) segunda, na quinta e na sexta-feira. 
 
13 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
Questão 07 
O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no 
período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram 
acentuadamente em curtos intervalos de tempo. 
 
 
 
Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o 
mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de 
acordo com a seguinte tabela. 
 
Investidor Hora da Compra Hora da Venda 
1 10:00 15:00 
2 10:00 17:00 
3 13:00 15:00 
4 15:00 16:00 
5 16:00 17:00 
 
Com relação ao capital adquirido na compra e venda das 
ações, qual investidor fez o melhor negócio? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
Questão 08 
As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, 
podem ser compradas por quilogramas, existindo também a 
variação dos preços de acordo com a época de produção. 
Considere que, independente da época ou variação de 
preço, certa fruta custa 
R$ 1,75
o quilograma. Dos gráficos 
a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela 
compra de n quilogramas desse produto é 
a) 
 
 
b) 
 
 
14 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
Questão 09 
O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para 
dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma 
licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira 
cobrou 
R$ 100.000,00
 por kmconstruído (n), acrescidos de 
um valor fixo de R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrou 
R$ 120.000,00
 por km construído (n), acrescidos de um 
valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apresentam 
o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas 
apenas uma delas poderá ser contratada. 
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria 
encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente 
para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas 
apresentadas? 
a) 
100n 350 120n 150  
 
b) 
100n 150 120n 350  
 
c) 
100(n 350) 120(n 150)  
 
d) 
100(n 350.000) 120(n 150.000)  
 
e) 
350(n 100.000) 150(n 120.000)  
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
Questão 10 
O saldo de contratações no mercado formal no setor 
varejista da região metropolitana de São Paulo registrou 
alta. Comparando as contratações deste setor no mês de 
fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 
4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores 
com carteira assinada. 
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 
(adaptado). 
 
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor 
varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do 
ano. Considerando-se que y e x representam, respectiva-
mente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e 
os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e 
assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas 
quantidades nesses meses é 
a) 
y 4300x
 
b) 
y 884 905x
 
c) 
y 872 005 4300x 
 
d) 
y 876 305 4300x 
 
e) 
y 880 605 4300x 
 
 
Questão 11 
(FGV-SP-2012) Uma fábrica de paletós trabalha com um 
custo fixo mensal de R$ 10 000,00 e um custo variável de 
R$ 100,00 por paletó. O máximo que a empresa consegue 
produzir, com a atual estrutura, é 500 paletós por mês. O 
custo médio na produção de x paletós é igual ao quociente 
do custo total por x. 
a) R$ 100,00. 
b) R$ 105,00. 
c) R$ 110,00. 
d) R$ 115,00. 
e) R$ 120,00. 
 
Questão 12 
(UERJ-2015) As baterias B1 e B2, de dois aparelhos 
celulares apresentam em determinado instante, respectiva-
mente, 100% e 90% da carga total. 
Considere as seguintes informações: 
• as baterias descarregam linearmente ao longo do tempo; 
• para descarregar por completo, B1 leva t horas e B2 lava 
duas horas a mais que B1; 
• no instante z, as duas baterias possuem o mesmo 
percentual de carga igual a 75%. 
Observe o gráfico: 
 
O valor de t, em horas, equivale a: 
a) 1 c) 3 
b) 2 d) 4 
 
16 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
Questão 13 
(UFG-GO-2012) Para uma certa espécie de grilo, o número 
N, que representa os cricrilados por minuto, depende da 
temperatura ambiente T. Uma boa aproximação para essa 
relação é dada pela lei de Dolbear, expressa na fórmula 
N = 7T – 30, com T em graus Celsius. Um desses grilos fez 
sua morada no quarto de um vestibulando às vésperas de 
sua prova. Com o intuito de diminuir o incômodo causado 
pelo barulho do inseto, o vestibulando ligou o condicionador 
de ar, baixando a temperatura do quarto para 15ºC, o que 
reduziu pela metade o número de cricrilados por minuto. 
Assim, a temperatura, em graus Celsius, no momento em 
que o condicionador de ar foi ligado era, aproximadamente, 
de: 
a) 75 
b) 36 
c) 30 
d) 26 
e) 20 
 
Questão 14 
(Unicamp-SP-2012) Em determinada região do planeta, a 
temperatura média anual subiu de 13,35ºC em 1995 para 
13,8ºC em 2010. Seguindo a tendência de aumento linear 
observada entre 1995 e 2010, a temperatura média em 
2012 deverá ser de: 
a) 13,83ºC 
b) 13,86ºC 
c) 13,92ºC 
d) 13,89ºC 
 
Questão 15 
(PUC-SP) O prefeito de certa cidade solicitou uma equipe 
de trabalho que obtivesse uma fórmula que lhe permitisse 
estudar a rentabilidade mensal de cada um dos ônibus de 
determinada linha. Para tal, os membros da equipe 
consideraram que havia dois tipos de gastos – uma quantia 
mensal fixa (de manutenção) e o custo do combustível – e 
que os rendimentos seriam calculados multiplicando-se 2 
reais por quilômetro rodado. A tabela a seguir apresenta 
esses valores para um único ônibus de tal linha, 
relativamente ao mês de outubro de 2008. 
 
 Outubro 
Quantia fixa (reais) 1 150 
Consumo de combustível (litros/100 km) 40 
Custo de 1 litro de combustível (reais) 4 
Rendimentos/km (reais) 2 
Distância percorrida (km) x 
 
Considerando constantes os gastos e o rendimento, a 
MENOR quantidade de quilômetros que o ônibus deverá 
percorrer no mês para que os gastos não superem o 
rendimento é: 
a) 2 775 
b) 2 850 
c) 2 875 
d) 2 900 
e) 2 925 
 
 
 
 
 
 
17 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
Questão 16 
(Unimontes-MG) Dada a função 
f : ,
definida por 
f(x) = x2 – 1, o valor de x, tal que f(x) = f(x + 2), é: 
a) 1 
b) 
1
2

 
c) 1 
d) 
3
2
 
 
Questão 17 
(UCS-RS-2014) O lucro obtido por um distribuidor com a 
venda de caixas de determinada mercadoria é dado pela 
expressão 
26 0,01L(x) x x 0,6x,
5 5
 
   
 
em que x denota o 
número de caixas vendidas. Quantas caixas o distribuidor 
deverá vender para que o lucro seja máximo? 
a) 60 
b) 120 
c) 150 
d) 600 
e) 1 500 
 
Questão 18 
(UNIFESP) A figura mostra um arco parabólico ACB de 
altura CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. M é o 
ponto médio de AB. 
 
A altura do Arcom em centímetros, em um ponto base que 
dista 5 cm de M, é: 
a) 15 
b) 14 
c) 13 
d) 12 
e) 10 
 
Questão 19 
(UEG-GO-2012) Em um terreno na forma de um triângulo 
retângulo, será construído um jardim retangular conforme 
figura a seguir. 
 
Sabendo-se que os dois menores lados do terreno medem 
9 m e 4 m, as dimensões do jardim para que ele tenha a 
maior área possível, serão, respectivamente: 
a) 2,0 m e 4,5 m. 
b) 3,0 m e 4,0 m. 
c) 3,5 m e 5,0 m. 
d) 2,5 m e 7,0 m. 
 
18 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
Questão 20 
(UFOP-MG) A figura a seguir representa o gráfico da função 
quadrática f(x) = ax2 + bx + c. 
 
Nessas condições, os coeficientes a, b e c satisfazem 
simultaneamente as relações: 
a) a < 0, b < 0, c < 0. 
b) a > 0, b > 0, c > 0. 
c) a < 0, b < o, c > 0. 
d) a < 0, b > 0, c < 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
 
PROBLEMAS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
Uma empresa de telefonia fixa oferece dois planos aos seus 
clientes: no plano K, o cliente paga 
R$ 29,90
 por 200 
minutos mensais e 
R$ 0,20
 por cada minuto excedente; no 
plano Z, paga 
R$ 49,90
 por 300 minutos mensais e 
R$ 0,10
 por cada minuto excedente. 
O gráfico que representa o valor pago, em reais, nos dois 
planos em função dos minutos utilizados é 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
20 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
 
Questão 02 
O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio 
de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação 
nesse número entre os anos considerados é linear. 
 
 
 
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver 
nos próximos 6 anos, e sabendoque o número de favelas 
em 2010 e 968, então o número de favelas em 2016 será 
a) menor que 1150. 
b) 218 unidades maior que em 2004. 
c) maior que 1150 e menor que 1200. 
d) 177 unidades maior que em 2010. 
e) maior que 1200. 
 
 
 
21 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
Questão 03 
Acompanhando o crescimento do filho, um casal constatou 
que, de 0 a 10 anos, a variação da sua altura se dava de 
forma mais rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 
17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até 
se tornar imperceptível. Para ilustrar essa situação, esse 
casal fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas 
idades consideradas. 
 
Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal 
em função da idade? 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
Questão 04 
Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por 
dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para 
cada centavo de desconto que concedia por litro, eram 
vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em 
 
22 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 
10.200 litros. 
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no 
preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia 
com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e 
x é 
a) V = 10.000 + 50x – x2. 
b) V = 10.000 + 50x + x2. 
c) V = 15.000 – 50x – x2. 
d) V = 15.000 + 50x – x2. 
e) V = 15.000 – 50x + x2. 
 
Questão 05 
Um experimento consiste em colocar certa quantidade de 
bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo 
nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a 
seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o 
nível da água é função do número de bolas de vidro que são 
colocadas dentro do copo. 
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento 
realizado. 
número de bolas (x) nível da água (y) 
5 6,35 cm 
10 6,70 cm 
15 7,05 cm 
Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado). 
 
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da 
água (y) em função do número de bolas (x)? 
a) y = 30x. 
b) y = 25x + 20,2. 
c) y = 1,27x. 
d) y = 0,7x. 
e) y = 0,07x + 6. 
 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
A população mundial está ficando mais velha, os índices de 
natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No 
gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por 
pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas 
(ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos 
ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita 
representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 
havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos 
países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da 
população total nos países desenvolvidos. 
 
 
23 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
Questão 06 
Em 2050,a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma 
pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população dos 
países desenvolvidos, será um número mais próximo de 
a) 
1
2
 d) 
1
5
 
b) 
7
20
 e) 
3
25
 
c) 
8
25
 
 
Questão 07 
A figura a seguir representa o boleto de cobrança da 
mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 
2008. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 
M(x)
 é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em 
que 
x
 é o número de dias em atraso, então 
a) 
 M(x) 500 0,4x.
 
b) 
 M(x) 500 10x.
 
c) 
 M(x) 510 0,4x.
 
d) 
 M(x) 510 40x.
 
e) 
 M(x) 500 10,4x.
 
 
Questão 08 
O gráfico a seguir, obtido a partir de dados do Ministério do 
Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de 
espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção. 
 
 
 
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de 
 
24 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies 
ameaçadas de extinção em 2011 será igual a 
a) 465. 
b) 493. 
c) 498. 
d) 538. 
e) 699. 
 
Questão 09 
O jornal de uma pequena cidade publicou a seguinte notícia: 
 
CORREIO DA CIDADE 
ABASTECIMENTO COMPROMETIDO 
 
O novo polo agroindustrial em nossa cidade tem atraído um 
enorme e constante fluxo migratório, resultando em um 
aumento da população em torno de 2000 habitantes por 
ano, conforme dados do nosso censo: 
 
Ano População 
1995 11.965 
1997 15.970 
1999 19.985 
2001 23.980 
2003 27.990 
 
Esse crescimento tem ameaçado nosso fornecimento de 
água, pois os mananciais que abastecem a cidade têm 
capacidade para fornecer até 6 milhões de litros de água 
por dia. A prefeitura, preocupada com essa situação, vai 
iniciar uma campanha visando estabelecer um consumo 
médio de 150 litros por dia, por habitante. 
A análise da notícia permite concluir que a medida é 
oportuna. Mantido esse fluxo migratório e bem sucedida a 
campanha, os mananciais serão suficientes para abastecer 
a cidade até o final de 
a) 2005. 
b) 2006. 
c) 2007. 
d) 2008. 
e) 2009. 
 
Questão 10 
 
 
 
Na seleção para as vagas deste anúncio, feita por telefone 
ou correio eletrônico, propunha-se aos candidatos uma 
questão a ser resolvida na hora. Deveriam calcular seu 
salário no primeiro mês, se vendessem 
500 m
 de tecido 
com largura de 
1,40 m,
 e no segundo mês, se vendessem o 
dobro. Foram bem sucedidos os jovens que responderam, 
respectivamente, 
a) R$ 300,00 e R$ 500,00. 
b) R$ 550,00 e R$ 850,00. 
c) R$ 650,00 e R$ 1000,00. 
d) R$ 650,00 e R$ 1300,00. 
e) R$ 950,00 e R$ 1900,00. 
 
Questão 11 
 
25 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
Para medir o perfil de um terreno, um mestre-de-obras 
utilizou duas varas 
I(V
 e 
IIV ),
 iguais e igualmente 
graduadas em centímetros, às quais foi acoplada uma 
mangueira plástica transparente, parcialmente preenchida 
por água (figura abaixo). 
Ele fez 
3
 medições que permitiram levantar o perfil da linha 
que contém, em sequência, os pontos 
1 2 3P , P , P
 e 
4P .
 Em 
cada medição, colocou as varas em dois diferentes pontos e 
anotou suas leituras na tabela a seguir. A figura representa 
a primeira medição entre 
1P
 e 
2P .
 
 
 
 
 
Medição 
Vara I Vara II 
Diferença 
(LI - LII) (cm) 
Ponto 
Leitura 
LI (cm) 
Ponto 
Leitura 
LII (cm) 
1ª P1 239 P2 164 75 
2ª P2 189 P3 214 -25 
3ª P3 229 P4 174 55 
 
Ao preencher completamente a tabela, o mestre-de-obras 
determinou o seguinte perfil para o terreno: 
 
a) b) 
 
 
c) d) 
 
 
e) 
 
 
 
 
26 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
Questão 12 
Após a ingestão de bebidas alcoólicas, o metabolismo do 
álcool e sua presença no sangue dependem de fatores 
como peso corporal, condições e tempo após a ingestão. 
O gráfico mostra a variação da concentração de álcool no 
sangue de indivíduos de mesmo peso que beberam três 
latas de cerveja cada um, em diferentes condições: em 
jejum e após o jantar. 
Tendo em vista que a concentração máxima de álcool no 
sangue permitida pela legislação brasileirapara motoristas é 
0,6 g/L, o indivíduo que bebeu após o jantar e o que bebeu 
em jejum só poderão dirigir após, aproximadamente, 
 
 
 
a) uma hora e uma hora e meia, respectivamente. 
b) três horas e meia hora, respectivamente. 
c) três horas e quatro horas e meia, respectivamente. 
d) seis horas e três horas, respectivamente. 
e) seis horas, igualmente. 
 
 
 
Questão 13 
O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um 
atleta profissional em corridas de longa distância como a 
maratona (42,2km), a meia-maratona (21,1km) ou uma 
prova de 10km. Para saber uma aproximação do intervalo 
de tempo a mais perdido para completar uma corrida devido 
ao excesso de peso, muitos atletas utilizam os dados 
apresentados na tabela e no gráfico: 
 
Altura (m) 
Peso (kg) ideal para atleta masculino de 
ossatura grande, corredor 
de longa distância 
1,57 m 56,9 kg 
1,58 m 57,4 kg 
1,59 m 58,0 kg 
1,60 m 58,5 kg 
... ... 
 
 
27 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – Prof. Raul Brito FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NO VESTIBULAR 
 
 
Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, 
pesando 63kg e com altura igual a 1,59m, que tenha corrido 
uma meia-maratona, pode estimar que, em condições de 
peso ideal, teria melhorado seu tempo na prova em 
a) 0,32 minuto. b) 0,67 minuto. c) 1,60 minuto. 
d) 2,68 minutos. e) 3,35 minutos. 
 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: 
Um boato tem um público-alvo e alastra-se com 
determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente 
proporcional ao número de pessoas desse público que 
conhecem o boato e diretamente proporcional também ao 
número de pessoas que não o conhecem. Em outras 
palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-
alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-
se: R(x) = k . x . (P - x), onde k é uma constante positiva 
característica do boato. 
 
Questão 14 
Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é 
de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação 
ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de 
pessoas igual a: 
a) 11.000. b) 22.000. c) 33.000. d) 38.000. 
e) 44.000. 
 
Questão 15 
O gráfico cartesiano que melhor representa a função R(x), 
para x real, é: 
a) b) 
 
 
c) d) 
 
 e) 
 
 
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Questão 16 
(UFES) Uma produtora pretende lançar um filme em fita de 
vídeo e prevê uma venda de 20 000 cópias. O custo fixo de 
produção do filme foi R$ 150 000,00, e o custo por unidade 
foi de R$ 20,00 (fita virgem, processo de copiar e 
embalagem). Qual o preço MÍNIMO que deverá ser cobrado 
por fita, para não haver prejuízo? 
a) R$ 20,00 
b) R$ 22,50 
c) R$ 25,00 
d) R$ 27,50 
e) R$ 35,00 
 
Questão 17 
(FGV-SP) Uma função polinomial f do 1º grau é tal que 
f(3) = 6 e f(4) = 8. Portanto, o valor de f(10) é: 
a) 16 
b) 17 
c) 18 
d) 19 
e) 20 
 
Questão 18 
(UFRGS-RS) O ônibus X parte da cidade A com velocidade 
constante de 80 km/h, à zero hora de certo dia. Às 2 horas 
da madrugada, o ônibus Y parte da mesma cidade, na 
direção e sentido do ônibus X, com velocidade constante de 
100 km/h. O ônibus Y vai cruzar com o ônibus X, pela 
manhã, às: 
a) 6 horas. 
b) 8 horas. 
c) 10 horas. 
d) 11 horas. 
e) 12 horas. 
 
Questão 19 
(Cesgranrio) Uma barra de ferro com temperatura inicial de 
– 10ºC foi aquecida até 30ºC. O gráfico a seguir representa 
a variação da temperatura da barra em função do tempo 
gasto nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após o 
início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0ºC. 
 
a) 1 min 
b) 1 min e 5 s 
c) 1 min e 10 s 
d) 1 min e 15 s 
e) 1 min e 20 s 
 
 
 
 
 
 
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Questão 20 
(PUC-Campinas-SP) O gráfico a seguir representa o 
crescimento de uma planta durante um certo período de 
tempo. 
 
Esse crescimento pode ser representado pela função f 
definida por: 
a) 
t
, se 0 t 60
6
f (t)
t
5, se 60 t 120
12

 
 
   

 
b) 
t
, se 0 t 60
6
f (t)
t
5, se 60 t 120
12

 
 
   

 
c) 
t
, se 0 t 60
6
f (t)
t
, se 60 t 120
12

 
 
  

 
d) 
6t, se 0 t 60
f (t)
12t, se 60 t 120
 
 
 
 
e) 
t
, se 0 t 60
6
f (t)
51
t , se 60 t 120
12

 
 
   

 
 
Questão 21 
(UFRGS-RS-2013) Dada a função f, definida por 
f(x) = x2 + 9 – 6x, o número de valores de x que satisfazem 
a igualmente f(x) = – f(x) é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
Questão 22 
(AMAN-RJ-2015) Um fabricante de poltronas pode produzir 
cada peça ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida 
por x reias, esse fabricante venderá, por mês, (600 – x) 
unidades, em que 0  x  600. 
Assinale a alternativa que representa o número de unidades 
vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo. 
a) 150 
b) 250 
c) 350 
d) 450 
e) 550 
 
 
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Questão 23 
(FGV-SP) A função 
f : 0, 5   
é definida por 
f(x) = x2 – 6x + 8. 
A diferença entre o valor máximo e o valor mínimo dessa 
função é: 
a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 e) 9 
 
Questão 24 
(PUC-Campinas-SP) Na figura a seguir, tem-se um 
quadrado inscrito em outro quadrado. 
 
Pode-se calcular a área do quadrado interno, subtraindo-se 
da área do quadrado externo as áreas dos 4 triângulos. 
Feito isso, verifica-se que A é uma função da medida x. O 
valor MÍNIMO de A é: 
a) 16 cm2. 
b) 24 cm2. 
c) 28 cm2. 
d) 32 cm2. 
e) 48 cm2. 
 
Questão 25 
(UEPB-2014) O gráfico da função 
f : 
dada por 
f(x) = mx2 + nx + p com m  0 é a parábola esboçada a 
seguir, com vértice no ponto V. Então, podemos concluir 
CORRETAMENTE que: 
 
a) m < 0, n < 0 e p < 0. 
b) m < 0, n > 0 e p > 0. 
c) m < 0, n < 0 e p > 0. 
d) m > 0, n < 0 e p > 0. 
e) m > 0, n > 0 e p > 0. 
 
 
 
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RESOLUÇÃO DAS QUESTOES DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
No plano k: y = 
29,90 se 0< t 200
29,90 + (t- 200).0,20 se t >200



 
No plano z: y = 
49,90 se 0< t 300
49,90 + (t- 300).0,20 se t >300



 
 
Portanto, a resposta correta é a letra [D]. 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 02: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
Variação entre 2004 e 2010 = 968 – 750 = 218 
Logo, em 2016 teremos: 968 + 218 = 1186 favelas. 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 03: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
O gráfico A é o mais adequado, pois a inclinação de 10 a 17 é maior que a inclinação para valores maiores que 17. 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 04: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
V= (1,5 –x/10). (1000 + 100x) 
V = 15000 + 50x – x2 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 05: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
A função é do primeiro grau y = ax + b 
Calculando o valor de a: a = 
7,05 - 6,70
= 0,07
15-10
 
 
Portanto y = 0,07x + b  7,05 = 0,07.1,05 + b  b = 6 
 
Logo y = 0,07x + 6 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 06: 
Resolução: No gráfico o número procurado se encontra entre 30% e 35% 
Escrevendo todas as frações na forma decimal temos: 
 
½ = 50% 7/ 20 = 35%8/25 = 32% 1/5 = 20% 3/25 = 12% 
 
Então o valor procurado é de 32%( ou seja 8/25) 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 07: 
 
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Resolução: De acordo com as instruções do boleto, o valor a ser pago 
x
 dias após o vencimento é dado por 
    M(x) 500 10 0,4.x 510 0,4x
 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 08: 
Resolução: Seja 
f :
 a função definida por 
 f(x) ax b,
 que associa a cada ano 
x
 o número 
f(x)
 de espécies 
ameaçadas de extinção. 
Queremos calcular 
f(2011).
 
Temos que 
 

 

461 239
a 9,25
2007 1983 
e 
       f(1983) 239 239 9,25 1983 b b 18103,75.
 
 
Portanto, 
 
   f(2011) 9,25 2011 18103,75 498.
 
 
Também poderíamos convenientemente ter considerado o ano 1983 como o ano zero, com 
f(0) 239.
 Daí, 
2007
 
corresponderia ao ano 
24
 e o resultado procurado seria 
f(28).
 Por conseguinte, 
 

 

461 239
a 9,25
24 0 
e 
   f(28) 9,25 28 239 498.
 
 
Resposta: C 
 
Questão 09: 
Resolução: Se 
p
 é a população máxima da cidade para a qual o fornecimento de água estará garantido, então 
 
   p 150 6000000 p 40.000.
 
 
Sabendo que a população tem uma taxa de crescimento constante de 2.000 habitantes por ano, segue que a população 
da cidade 
x
 anos após 2003 é dada por 
 
  p(x) 2000 x 27990.
 
 
Queremos calcular 
x
 para o qual 
p(x) 40000.
 Logo, 
 
     
12010
2000 x 27990 40000 x 6.
2000
 
 
Portanto, até o final de 
 2003 6 2009
 os mananciais serão suficientes para abastecer a cidade. 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 10: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
O salário no primeiro mês é dado por: 
   300 0,5 500 1,4 R$ 650,00.
 
No segundo mês, vendendo o dobro de metros quadrados de tecido, o salário será de 
    300 2 0,5 500 1,4 R$ 1.000,00.
 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 11: 
Resolução: De acordo com as informações da tabela, temos o seguinte gráfico: 
 
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Resposta: Alternativa A 
Questão 12: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
 
 
 
 
Observando o gráfico, temos: 
 
Após o jantar _____ 3 horas. 
Em jejum ________ 4,5 horas 
 
Resposta: Alternativa C 
 
 
Questão 13: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
Excesso de peso: p =63 – 58 = 5kg 
De acordo com o gráfico, para a meia-maratona, para 1 kg de excesso, o tempo perdido é de 0,67min 
Portanto, para um excesso de peso 5x maior (5 kg), o tempo perdido seria de 5  0,67 = 3,35 min 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 14: 
Resolução: Determinando o x do vértice temos: 
 
V
b 44000k
x 22000
2a 2.( k)

   

 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 15: 
Resolução: Pode-se dizer que a função, que representa a rapidez da propagação, é de segundo grau. 
 
2R(x) kx k P x    
 
 
Como k é positivo, –k será negativo, logo seu gráfico é uma parábola com concavidade para baixo. 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 16: 
Resolução: Do enunciado, podemos escrever: 
 f x 150 000 20x 
, onde x é a quantidade de unidades. 
 
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Como são 20 000 cópias, temos um preço de custo de 
       
 
f x 150 000 20x f 20 000 150 000 20 20 000 f 20 000 150 000 400 000 
 f 20 000 550 000
        
 
 
Logo, o custo total foi de 550 000,00, como são 20 000 cópias, para encontrar o preço mínimo de uma unidade, basta 
dividir o valor total, pelo preço total de custo. 
Assim 
mín mín mín
550 000 55
p p p 27,5
20 000 2
    
 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 17: 
Resolução: Uma função polinomial do primeiro grau pode ser escrita da forma 
 f x ax b 
. Assim, pelo enunciado, 
temos: 
   
   
f 3 a 3 b 6 3a b 6 eq1
f 4 a 4 b 8 4a b 8 eq2
      
      
 
Fazendo (eq2) – (eq1), temos: 
4a 3a 8 6 a 2    
. 
Substituindo em (eq1): 
3 2 b 6 6 b 6 b 0       
. 
Assim, temos que 
     f x a x b f x 2 x 0 f x 2x        
. 
Logo: 
   f 10 2 10 f 10 20   
. 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 18: 
Resolução: Para o ônibus x: 
x
x x x x x x
x
d
v d v t d 80t
t
     
. 
Para o ônibus y: 
   
y
y y y x y x y x
y
d
v d v t 2 d 100 t 2 d 100t 200
t
          
. 
No cruzamento, temos: 
y x x x x x x x x
200
d d 100t 200 80t 100t 80t 200 20t 200 t t 10
20
            
. 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 19: 
Resolução: Da inclinação da reta, temos: 
 30 10 30 10 40
a a a a 8
5 0 5 5
  
      

, assim a função é dada por: 
 f t 8t k 
. 
Substituindo o valor da temperatura no inicio, temos: 
 f 0 8 0 k 10 k 10       
 (lembre-se que a temperatura inicial é – 10°C) 
Logo a função é 
 f t 8t 10 
, para a temperatura 0°C, temos: 
 
10 5 4 1 4 1 1
f t 0 8t 10 0 t t t t 1 min 60 s t 1 min 15 s
8 4 4 4 4 4

                  
. 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 20: 
Resolução: Da inclinação da primeira reta, temos: 
1 1 1
10 0 10 1
a a a
60 0 60 6

    

, assim a primeira reta é: 
 
t
f t , 0 t 60
6
  
. 
Da inclinação da segunda reta: 
 
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2 2 2
15 10 5 1
a a a
120 60 60 12

    

, assim a segunda reta é: 
 
t
f t , 60 t 120
12
  
. 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 21: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
           f x f x f x f x 0 2f x 0 f x 0        
. 
Logo: 
   22f x x 6x 9 0 x 3 0 x 3 0 x 3           
. 
Obs.: Podemos resolver essa equação pela fórmula de Bhaskara: 
   
 
22 2
1 2 1 2
f x x 6x 9 0 b 4ac 6 4 1 9 36 36 0.
6 0b 6 0 6
x x x x x x x 3.
2a 2 1 2 2
                     
     
          

 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 22: 
Resolução: O lucro = venda – custo, assim podemos escrever: 
         2 2L x x 600 x 300 600 x L x 600x x 180000 300x L x x 900x 180000             
. 
O lucro máximo ocorre no vértice, assim: 
 máx máx máx máx
b 900 900
x x x x 450
2a 2 1 2
        
 
. 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 23: 
Resolução: O valor mínimo é o vértice dessa parábola que é calculado pela expressão 
vy
4a

 
, logo, do enunciado, 
temos: 
   22 2f x x 6x 8 b 4ac 6 4 1 8 36 32 4                    
 
Assim, temos: 
v v v
4
y y y 1
4a 4 1

       

 queé o valor mínimo. 
Para encontrar o valor máximo, devemos substituir os valores extremos do domínio, logo: 
       
       
2 2
2 2
Para x 0 : f x x 6x 8 f 0 0 6 0 8 f 0 0 0 8 f 0 8.
Para x 5 : f x x 6x 8 f 5 5 6 5 8 f 5 25 30 8 f 5 3.
              
              
 
Logo, o valor máximo é 8. Portanto a diferença entre o máximo e o mínimo é: 
 d 8 1 d 8 1 d 9       
. 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 24: 
Resolução: Temos que a área do quadrado externo vale 
2 2
ext ext extA A 8 A 64    
. 
A área de cada triângulo é: 
 8 x x
A
2



. 
Assim a área do quadrado interno vale: 
 
   2int ext int int int
2
int
8 x x
A A 4A A 64 4 A 64 2 8 x x A 64 16x 2x
2
 A 64 16x 2x .


              
   
 
 
36 
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Calculando o 
vy
, temos: 
 22
v v mín mín mín
mín mín
16 4 2 64b 4ac 256 512 512 256
y y A A A
4a 4a 4 2 8 8
256
 A A 32.
8
      
            

   
 
 
Resposta: Alternativa D 
 
 
Questão 25: 
Resolução: Como a concavidade é pra baixo, temos: 
m 0
. 
Calculando o 
vx
, temos: 
v v
b n
x x
2a 2m
    
. 
Da figura, temos 
vx 0
 e 
m 0
, logo 
v
0
n n
x 0 0 n 0
2m 2m

      
. 
Cuidado com isso, lembre-se que multiplicando uma desigualdade por um número negativo, temos que inverter o sinal. 
Fazendo x = 0, temos: 
2 2mx nx p m 0 n 0 p 0 0 p p          
, ou seja, para x = 0, temos y = p. Pelo gráfico temos 
p 0
. Logo 
m 0, n 0, p 0  
. 
 
Resposta: Alternativa B