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Progressão Aritmética Introdução: Progressão Aritmética ou simplesmente PA é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com uma constante, chamada razão da progressão aritmética. Representação Matemática: 1 2 3 4 n 1 na , a , a , a , ... a , a , ... A sequência acima é uma PA de razão r se: 2 1 3 2 n n 1a a a a ... a a ... r De maneira geral podemos afirmar que: n n 1a a r Fórmula do Termo Geral de uma PA Qualquer termo de uma PA pode ser obtido pela fórmula: r)1n(aa 1n Em que: 1a é o primeiro termo na é o enésimo termo n é o número de termos r é a razão da PA Atenção !!! Dados dois termos quaisquer na e ka de uma Progressão Aritmética, podemos relacioná-los a partir da seguinte expressão: n ka a (n k) r . Representações Especiais Podemos utilizar as seguintes representações de PA, que facilitam a resolução de alguns exercícios: PA de 3 termos (x – r, x, x + r) razão: r PA de 4 termos (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r) razão: 2r PA de 5 termos (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r) razão: r Propriedades I) Dados 3 números em PA, o do meio é média aritmética dos extremos. PA (... , a, b, c, ...) b = (a + c)/2 II) Se dois termos são equidistantes dos extremos então sua soma é igual à soma dos extremos. PA (a1, ... , ap, ... , ak, ... , an) Se p + k = n + 1 ap + ak = a1 + na III) Em toda PA com quantidade ímpar de termos, o termo central é a média aritmética dos extremos. PA (a1, ... , 2 1na , ... , an) 2 aa a n1 2 1n Interpolação Aritmética CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA Aula 8 - Prof Raul Brito 2 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois números a1 e an é formar uma PA de n termos, em que n = k + 2. Ex: Quais os 6 números que devemos inserir entre os números 7 e 42 para que eles formem uma PA ? Fórmula da Soma dos n Primeiros Termos de uma Progressão Aritmética Finita Podemos obter a soma dos n primeiros termos da PA (a1, a2, a3, a4, ... , an) finita, através da fórmula: n 1 n n S a a 2 Em que: a1 é o primeiro termo an é o enésimo termo n é o número de termos da PA Sn é a soma dos n termos da PA Ex.: 1 + 2 + 3 + ... + 100 = (1 + 100)100/2 = 5050 Dica !!! n 1i in321n aa...aaaS n 1i i2n2642pares aa...aaaS n 0i 1i21n2531impares aa...aaaS 3 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA PROBLEMAS DE APRENDIZAGEM Questão 01 Uma função f é definida recursivamente como 5/)2)(5()1( nfnf . Sendo f(1) = 5, o valor de f(101) é: a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 65 Questão 02 Em uma progressão aritmética, o sétimo termo é o quádruplo do segundo termo e a soma do quinto com o nono termo é 40. Apoiado nos dados acima, assinale V ou F e marque a opção em que consta a sequência correta. ( ) O décimo termo é 32 ( ) A razão é 2 ( ) O primeiro termo é dois. ( ) A soma dos doze primeiros termos é 222 ( ) A diferença entre o quinto e o segundo termo é igual ao triplo da razão. a) FFVVV b) FVFVV c) VFVVV d) FFFVV Questão 03 Três números estão em PA. A soma desses números é 15 e o produto é 105. Qual a diferença entre o maior e o menor? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Questão 04 Seja x tal que 2 10log , )12( 10log x e )32( 10log x estão, nessa ordem, em progressão aritmética, o valor de x22 é: a) 1 b) 5 c) 10 d) 20 e) 25 Questão 05 Seja ( 1A , 2A , 3A ,..., kA ,..., 50A ) uma progressão aritmética. Se 142 A , 1835 AA e 239kA , então k é igual a: a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 4 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA Questão 06 Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma PA cujo termo central é: a) 45 b) 52 c) 54 d) 55 e) 57 Questão 07 Numa progressão aritmética, o quarto e o sétimo termos são, respectivamente, 2 e -7. A soma dos vinte primeiros termos dessa progressão é: a) -350 b) -310 c) -270 d) -330 e) -290 Questão 08 Um atleta corre sempre 400 metros a mais do que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorreu um total de 35.200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a: a) 5100 b) 5200 c) 5300 d) 5400 e) 5500 Questão 09 Sabe-se que em uma PA de 101 termos ocorre: 421011 AA , então: 63 8760154251 AAAAA vale: a) 51 b) 119 c) 42 d) 31 e) 21 Questão 10 Qualquer número que pode ser representado como nas figuras abaixo é chamado de número triangular. Seguindo o padrão abaixo, calcule o vigésimo número triangular. a) 200 b) 210 c) 220 d) 230 5 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA Questão 11 Considere a sequência de conjuntos {1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9, 10}, ... . Desta sequência, seja U o conjunto cujo maior elemento é o número 91. A soma dos elementos de U é: a) 1100 b) 1105 c) 1110 d) 1115 e) 1120 Questão 12 Do conjunto {1, 2, 3, ... , 100} retiram-se cinco números em progressão aritmética. Se a soma dos números restantes no conjunto é 4745, o terceiro termo da progressão retirada é: a) 57 b) 59 c) 61 d) 63 e) 65 Questão 13 O número de termos, menores que 500, comuns às progressões aritméticas (2, 6, 10, 14, ...) e (3, 10, 17, 24, ...) é: a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 Questão 14 O número de inteiros positivos menores que 2004, que são múltiplos de 3 mas não são múltiplos de 5, é: a) 532 b) 533 c) 534 d) 535 e) 537 Questão 15 As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética de razão 3. Portanto, a soma das medidas desse triângulo é: a) 9 b) 18 c) 30 d) 36 e) 40 6 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA Questão 16 O quadrado mágico abaixo foi construído de maneira que os números em cada linha formam uma progressão aritmética de razão x, e, em cada coluna, uma progressão aritmética de razão y, como indicado pelas setas. Sendo x e y positivos, qual o valor de N? a) 14 b) 19 c) 20 d) 23 e) 25 Questão 17 Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir. Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura? a) C = 4Q b) C = 3Q + 1 c) C = 4Q – 1 d) C = Q + 3 e) C = 5Q - 2 Questão 18 (Unicamp) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidasdos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a : a) 3,0 m2. b) 2,0 m2. c) 1,5 m2. d) 3,5 m2. e) 4,5 m² 7 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA Questão 19 – (Unesp) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por 3n2 – 2n, onde n é um número natural. Para essa progressão, o primeiro termo e a razão são, respectivamente: a) 7 e 1. b) 1 e 6. c) 6 e 1. d) 1 e 7. e) 6 e 7. Questão 20 – (Fuvest) Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são: 1a, a, (11 a) O quarto termo desta P.A. é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 8 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA PROBLEMAS DE FIXAÇÃO Questão 01 As projeções para a produção de arroz no período de 2012–2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção. Ano Projeção da produção (t) 2012 50,25 2013 51,50 2014 52,75 2015 54,00 A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de: a) 497,25. b) 500,85. c) 502,87. d) 558,75. e) 563,25. Questão 02 Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é: a) 21. b) 24. c) 26. d) 28. e) 31. Questão 03 Dois irmãos começaram juntos a guardar dinheiro para uma viagem. Um deles guardou R$ 50,00 por mês e o outro começou com R$ 5,00 no primeiro mês, depois R$ 10,00 no segundo mês, R$ 15,00 no terceiro e assim por diante, sempre aumentando R$ 5,00 em relação ao mês anterior. Ao final de um certo número de meses, os dois tinham guardado exatamente a mesma quantia. Esse número de meses corresponde a: a) pouco mais de um ano e meio. b) pouco menos de um ano e meio. c) pouco mais de dois anos. d) pouco menos de um ano. e) exatamente um ano e dois meses. Questão 04 Se a soma dos quatro primeiros termos de uma progressão aritmética é 42, e a razão é 5, então o primeiro termo é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA Questão 05 Denominando P a soma dos números pares de 1 a 100 e I a soma dos números ímpares de 1 a 100, P I é: a) 49. d) 52. b) 50. e) 53. c) 51. Questão 06 Um anfiteatro tem 12 fileiras de cadeiras. Na 1ª fileira há 10 lugares, na 2ª há 12, na 3ª há 14 e assim por diante (isto é, cada fileira, a partir da segunda, tem duas cadeiras a mais que a da frente). O número total de cadeiras é: a) 250 d) 256 b) 252 e) 258 c) 254 Questão 07 Em uma progressão aritmética, a soma nS de seus n primeiros termos é dada pela expressão 2 nS 5n 12n, com n . A razão dessa progressão é: a) –2 d) 10 b) 4 e) 12 c) 8 Questão 08 Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada pela expressão 2 nS 93n 4n , então a sua razão e o seu terceiro termo são iguais, respectivamente, a: a) -8 e 73 d) 8 e 81 b) 8 e 105 e) 81 e 251 c) -8 e 243 Questão 09 Os valores das prestações mensais de certo financiamento constituem uma P.A. crescente de 12 termos. Sabendo que o valor da 1ª prestação é R$ 500,00 e o da 12ª é R$ 2.150,00, pode-se concluir que o valor da 10ª prestação será igual a: a) R$ 1.750,00. b) R$ 1.800,00. c) R$ 1.850,00. d) R$ 1.900,00. e) R$ 1.950,00. Questão 10 Em janeiro de 2010, certa indústria deu férias coletivas a seus funcionários, e a partir de fevereiro recomeçou sua produção. Considere que a cada mês essa produção cresceu em progressão aritmética, que a diferença de produção dos meses de abril e outubro de 2010 foi de 420 itens, e que em outubro a produção foi de 1.120 itens. Desta forma, pode-se concluir que o número de itens produzidos em agosto de 2010 foi: a) 1.040 b) 910 c) 820 d) 980 10 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA Questão 11 Os números 1a 5x 5, 2a x 14 e 3a 6x 3 estão em PA. A soma dos 3 números é igual a: a) 48 b) 54 c) 72 d) 125 e) 130 Questão 12 Um consumidor, ao adquirir um automóvel, assumiu um empréstimo no valor total de R$ 42.000,00 (já somados juros e encargos). Esse valor foi pago em 20 parcelas, formando uma progressão aritmética decrescente. Dado que na segunda prestação foi pago o valor de R$ 3.800,00, a razão desta progressão aritmética é: a) 300. b) 200. c) 150. d) 100. e) 350. Questão 13 A soma dos números inteiros compreendidos entre 100 e 400, que possuem o algarismo das unidades igual a 4, é: a) 1200 b) 2560 c) 4980 d) 6420 e) 7470 Questão 14 Em 2011, o Ministério da Saúde firmou um acordo com a Associação das Indústrias de Alimentação (Abio) visando a uma redução de sódio nos alimentos industrializados. A meta é acumular uma redução de 28.000 toneladas de sódio nos próximos anos. Suponha que a redução anual de sódio nos alimentos industrializados, a partir de 2012, seja dada pela sequência: (1.400, 2.000, 2.600,..., 5.600) Assim, assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir. ( ) A sequência é uma progressão geométrica de razão 600. ( ) A meta será atingida em 2019. ( ) A redução de sódio nos alimentos industrializados acumulada até 2015 será de 3.200 toneladas. A sequência correta é: a) F − V − V. b) V − F − V. c) V − V − F. d) F − V − F. e) F − F − V. 11 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA Questão 15 Se n é a soma dos 2013 primeiros números inteiros positivos, então o algarismo das unidades de n é igual a: a) 1. b) 3. c) 5. d) 7. Questão 16 Um triângulo UPE é retângulo, as medidas de seus lados são expressas, em centímetros, por números naturais e formam uma progressão aritmética de razão 5. Quanto mede a área do triângulo UPE? a) 15 cm2 b) 25 cm2 c) 125 cm2 d) 150 cm2 e) 300 cm2 Questão 17 A quantidade de números inteiros entre 50 e 100 que sejam múltiplos dos números 3 e 4 ao mesmo tempo é: a) 3. b) 4. c) 5. d) 13. e) 17. Questão 18 Durante o mesmo período, dois irmãos depositaram, uma vez por semana, em seus respectivos cofrinhos, uma determinada quantia, da seguinte forma: o mais novo depositou, na primeira semana, R$ 1,00, na segunda, R$ 2,00, naterceira, R$ 3,00 e assim, sucessivamente, enquanto que o mais velho colocou R$ 10,00 semanalmente até que ambos atingissem a mesma quantidade de dinheiro. Não havendo retirada em nenhum dos cofrinhos, a quantia que cada irmão obteve ao final desse período, em R$, foi de: a) 19. b) 21. c) 190. d) 210. e) 290. Questão 19 Um produtor rural teve problema em sua lavoura devido à ação de uma praga. Para tentar resolver esse problema, consultou um engenheiro agrônomo e foi orientado a pulverizar, uma vez ao dia, um novo tipo de pesticida, de acordo com as seguintes recomendações: • No primeiro dia, utilizar 3 litros desse pesticida. • A partir do segundo dia, acrescentar 2 litros à dosagem anterior e, assim, sucessivamente. Sabendo-se que, nesse processo, foram utilizados 483 litros de pesticida, conclui-se que esse produto foi aplicado durante: a) 18 dias b) 19 dias c) 20 dias d) 21 dias e) 22 dias 12 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA Questão 20 Quantos múltiplos de 13 existem entre 100 e 1000? a) 65. b) 80. c) 69. d) 49. e) 67. RESOLUÇÕES DAS QUESTÕES DE CASA Questão 01: Resolução: Note que a diferença entre dois termos consecutivos é constante, então de: 51,50 50,25 52,75 51,50 54 52,75 1,25, podemos concluir que a sequência 50,25; 51,50; 52,75; 54,00; é uma progressão aritmética de primeiro termo 1a 50,25 e razão r 1,25. Portanto, queremos calcular a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão aritmética, ou seja: 1 n 1 10 10 10 1 1 1 1 10 10 10 10 (a a ) n Sn , fazendo n 10, temos: 2 (a a ) 10 S , mas lembre-se que a a 9 r, portanto: 2 (a a 9r) 10 2a 9r 2 50,25 9 1,25 S S 10 S 10 S 558,75. 2 22 Resposta: Alternativa D Questão 02: Resolução: No que as colunas de cartas formam uma Progressão Aritmética, vamos calcular com quantas cartas podemos formar as 7 colunas. Se na primeira coluna temos 1 carta, na segunda coluna temos 2 cartas, na terceira coluna temos 3 cartas, ..., na sétima coluna temos 7 cartas, então a quantidade total de cartas usadas para formar as 7 colunas é a soma: 1 2 3 4 5 6 7 28 . Assim, a quantidade de cartas que forma o monte é dada por: monte total colunas monte 52 28 monte 24 . Resposta: Alternativa B Questão 03: Resolução: O primeiro irmão guarda 50 reais por mês, portanto, após n meses, ele terá acumulado 50.n reais, ou seja, para o 1º irmão, a soma vale Sn = 50.n. O segundo irmão acumula dinheiro da seguinte forma: n5 10 15 20 25 ... a . Não sabemos quanto vale o na , mas sabemos que na vale 1a n 1 r , ou seja: n n na 5 n 1 5 a 5 5n 5 a 5n . Assim, para a 2ª soma, podemos escrever: 1 n n n 5 5n na a . n S S 2 2 Assim, igualando o Sn de cada irmão, vem: 5 5n n 5 5n 95 50 n 50 100 5 5n 5n 95 n n 19 2 2 5 . Ou seja, um ano e sete meses, o que equivale a pouco mais de um ano e meio. Resposta: Alternativa A Questão 04: Resolução: Seja (a, a 5, a 10, a 15, ) a progressão aritmética cujo primeiro termo a queremos calcular. Como a soma dos 4 primeiros termos vale 42, podemos escrever: 12 a a 5 a 10 a 15 42 4a 30 42 4a 42 30 4a 12 a a 3 4 . Resposta: Alternativa C 14 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA Questão 05: Resolução: Do enunciado, temos: O números pares, formam uma PA de razão 2: (2,4, 6, ..., 100). Onde o primeiro termo é 2 e o último é 100, note que de 1 até 100, temos 50 números pares e 50 números ímpares. Então: 1 n n a a n 2 100 50 102 50 S P P P 51 50 2 2 2 e 1 n n a a n 1 99 50 102 50 S I I I 50 50 2 2 2 . Portanto: P I 51 50 50 50 P I 50 51 50 P I 50 1 P I 50 . Resposta: Alternativa B Questão 06: Resolução: O número de lugares forma uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 10 e razão 2. Logo, o número total de cadeiras é dado pela soma dos termos de uma PA. Mas antes, vamos calcular, quantas cadeiras tem na última fila: n n 12 1 12 12 12a a n 1 r a a 12 1 2 a 10 11 2 a 10 22 a 32 . Assim: 1 n n a a n 10 32 12 42 12 S T T T 252 2 2 2 . Resposta: Alternativa B Questão 07: Resolução: Para encontrar a razão, podemos achar dois termos consecutivos quaisquer e usar a definição. Vamos encontrar os dois primeiros e usar a definição de razão. Como ele deu a expressão da soma, temos que o primeiro termo já é 1S , assim para n = 1, temos: 2 1 1 1 1 1a S a 5 1 12 1 a 5 12 a 7 . Já a soma 2S , é dada por: 2 1 2S a a . Então, calcularemos o valor de 2S . Para n = 2, temos: 2 2 n 2 2 2 2S 5n 12n S 5 2 12 2 S 5 4 12 2 S 20 24 S 4 . Daí, temos: 2 1 2 2 2 2S a a 4 7 a a 4 7 a 3 . Portanto, pela definição de razão, temos: 2 1r a a r 3 7 r 3 7 r 10 . Resposta: Alternativa D Questão 08: Resolução: Para encontrar a razão, podemos achar dois termos consecutivos quaisquer e usar a definição. Vamos encontrar os dois primeiros e usar a definição de razão. Como ele deu a expressão da soma, temos que o primeiro termo já é 1S , assim para n = 1, temos: 2 1 1 1 1 1 1a S S 93 1 4 1 S 93 4 S 89 a 89 . Já a soma 2S , é dada por: 2 1 2S a a . Então, calcularemos o valor de 2S . Para n = 2, temos: 2 2 n n 2 2 2S 93 n 4 n S 93 2 4 2 S 186 4 4 S 186 16 S 170 . Daí, temos: 2 1 2 2 2 2S a a 170 89 a a 170 89 a 81 . Portanto, pela definição de razão, temos: 2 1r a a r 81 89 r 8 . Logo, o terceiro termo é 3 1 2 3 3 3a a a a 81 8 a 81 8 a 73 . Resposta: Alternativa A Questão 09: Resolução 1: Seja r a razão da progressão aritmética. Então, temos: Se o valor da 1ª prestação é R$ 500,00 e o da 12ª é R$ 2.150,00, então: Para encontrar a razão: n 1 12 1a a n 1 r a a 12 1 r 2150 500 11 r 11 r 2150 500 11 r 1650 1650 r r 150. 11 15 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA Então, temos: 10 1 10 10 10a a 10 1 r a 500 9 150 a 500 1350 a 1850 . Resolução 2: Vamos encontrar a razão: n 1 12 1a a n 1 r a a 12 1 r 2150 500 11 r 11 r 2150 500 11 r 1650 1650 r r 150. 11 Assim, temos: n k 12 10 10 10 10a a n k r a a 12 10 r 2150 a 2 150 a 2150 300 a 1850 . Portanto, o valor da 10ª prestação é R$ 1 850,00. Resposta: Alternativa C Questão 10: Resolução: A produção mensal da indústria em 2010 corresponde à progressão aritmética 1 2 3 4 9 10a , a , a , a , , a , a , em que 1a denota a produção no mês de fevereiro. Assim teremos a1 = fevereiro a2 = março a3 = abril a4 = maio a5 =junho a6 = julho a7 = agosto a8 = setembro a9 = outubro A diferença de produção dos meses de abril e outubro de 2010 foi de 420 itens, ou seja, 9 3a a 420, assim, temos: 9 3a a 420 1 1a 8r (a 2r) 420 6r 420 r 70, sendo r a razão da progressão aritmética. Além disso, em outubro a produção foi de 1.120 itens, ou seja, 9a 1120, vem: 9 1 1 1a 1120 a 8r 1120 a 8 70 a 560 . Portanto, o número de itens produzidos em agosto de 2010 foi: 7 1 7 7a a 6r a 560 6 70 a 980 . Resposta: Alternativa D Questão 11: Resolução: Da definição de razão, temos: 2 1 3 2 2 2 3 1 2 1 3r a a a a a a a a 2a a a 2 x 14 5x 5 6x 3 2x 28 11x 8 36 9x 36 x x 4 9 . Assim, temos: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a 5x 5 a 5.4 5 a 15. a x 14 a 4 14 a 18. a 6x 3 a 6.4 3 a 21. Logo 1 2 3 1 2 3a a a 15 18 21 a a a 54 . Resposta: Alternativa B Questão 12: Resolução: Do enunciado, temos: 2 1 1 1a a r 3800 a r a 3800 r Como 42000 é o total, ele é a soma das 20 parcelas, assim, temos: 1 201 nn 20 1 1 1 a a 20a a n S S 4200 a a 20 1 r 10 420 2a 19r 2 2 . 16 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA Substituindo o valor encontrado acima, temos: 14200 2a 19r 4200 2 3800 r 19r 4200 7600 17r 17r 4200 7600 17r 3400 3400 r r 200. 17 Resposta: Alternativa B Questão 13: Resolução: Pelo enunciado, temos para os primeiros termos: 104, 114,... como o último tem que ser menor que 400, ele deve ser o 394, assim fica: 1 2 na 104; a 114; a 394 Calculando a razão: 2 1r a a 114 104 r 10 . Pelo termo geral: n 1a a n 1 r 394 104 n 1 10 290 10n 10 10n 300 n 30 . Assim, temos: 1 n n 30 30 30 a a n 104 394 30 S S S 498 15 S 7470 2 2 . Resposta: Alternativa E Questão 14: Resolução: I. Calculando a razão, temos: 2 1r a a r 2000 1400 r 600 , logo esse item é FALSO, pois fala que é a razão de uma PG. Na verdade é a razão de uma PA. II. Pela expressão da soma: 1 n n a a n 1400 5600 n 7000 n S 28000 28000 56000 7000 n n 8 2 2 2 , ou seja, essa PA tem o termos e como ele diz a partir de 2012, temos que o primeiro termo começa em 2012, o segundo em 2013, o terceiro em 2014 e assim por diante. Logo os termos são: 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018 e 2019. Note que se somarmos esses 8 termos teremos 28 000, ou seja, a meta será atingida em 2019, portanto o item é VERDADEIRO. III. Calculando o termo 2015, temos: n 1 4 4 4a a n 1 r a 1400 4 1 600 a 1400 1800 a 3200 . Como ele diz acumulado, temos em 2015, a soma dos termos de 2012, 2013, 2014 e 2015, logo pela soma usada no item II: 1 n n 4 4 4 a a n 1400 3200 4 S S S 4600.2 S 9200 2 2 . Portanto o item é FALSO. Resposta: Alternativa D Questão 15: Resolução: A questão pede a soma S = 1 + 2 + ... + 2013, note que 2013 1n 2013; a 2013; a 1 e r 1 , assim pela soma dos termos, temos: 1 n n 2013 2013 2013 a a n 1 2013 2013 S S S 1007.2013 S 2027091 2 2 . Logo, o algarismo das unidades é 1. Obs.: Se não quiséssemos calcular o produto 1007.2013, poderíamos pegar apenas as unidades (já que ele quer somente o algarismo das unidades), assim, pegando apenas as unidades, teríamos: 7.3 = 21, logo concluímos que o algarismo das unidades é 1. Resposta: Alternativa A Questão 16: Resolução: Usando a representação de uma PA de três termos, temos que os lados do triângulo são: x – 5, x e x + 5, como x + 5 é o maior termo, ele é a hipotenusa do triângulo, então, podemos formar a figura abaixo: 17 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA Pelo teorema de Pitágoras, temos: 2 22 2 2 2 2 2x 5 x x 5 x 10x 25 x x 10x 25 10x x 10x x 20x 0 x x 20 0 x 0 ou x 20 0 x 20. Se x = 0, teremos uma medida negativa para o lado do triângulo, portanto não serve, assim temos que x = 20. Substituindo, encontramos os valores 15, 20 e 25 para os lados, logo a área é dada por: 15.20 300 A A A 150 2 2 . Obs.: Num triângulo retângulo, a área vale a metade do produto dos catetos. Resposta: Alternativa D Questão 17: Resolução: Se é múltiplo de 3 e 4 ao mesmo tempo é múltiplo de 12 (que é o mmc de 3 e 4), assim temos: Para encontrar o primeiro termo, vamos dividir 50 por 12 e o último, vamos dividir 100 por 12. Note que 48 < 50, então temos que pegar 5.12 = 60, logo o primeiro termo é 60. Como 96 <100, temos que o último termo é 96, sendo a razão igual a 12, temos: n 1 48 a a n 1 r 96 60 n 1 12 12n 12 36 12n 48 n n 4 12 Resposta: Alternativa B Questão 18: Resolução: Pelo enunciado temos: 1 2 na 1, a 2, ..., a n . Como as quantidades são iguais, temos: 1 n n 1 n 10 n 10 n 1 20 n 20 1 n 19 2 2 . Assim, a quantia vale 19.10 = 190. Obs.: Usamos a expressão da soma dos termos de uma PA e o 10n é a quantia do irmão mais velho. Resposta: Alternativa C Questão 19: Resolução: Do enunciado temos: 1a 3, r 2 , logo n 1 n na a n 1 r a 3 n 1 2 a 2n 1 . Assim pela soma dos termos de uma PA, temos: 1 n n 2 2 2 2 a a n 3 2n 1 n 2n 4 n 2 n 2 n S 483 483 483 483 n 2 n 2 2 2 2 483 n 2n n 2n 483 0 b 4ac 2 4.1. 483 4 1932 1936. b 2 1936 2 44 2 44 n n n n n 21. 2a 2.1 2 2 Obs.: Só pegamos a solução positiva, pois não temos litros negativos. Resposta: Alternativa D 18 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – PROF RAUL BRITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA Questão 20: Resolução: Para encontrar o primeiro termo, vamos dividir 100 por 13 e o último, vamos dividir 1000 por 13. Note que 91 < 100, então temos que pegar 8.13 = 104, logo o primeiro termo é 104. Como 988 <100, temos que o último termo é 988(76.13 = 988), sendo a razão igual a 13, temos: n 1 897 a a n 1 r 988 104 n 1 13 13n 13 988 104 13n 13 884 13n 897 n 13 n 69. Resposta: Alternativa C
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