AULA 9 Progressão Geométrica Frente 1 versao 1

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Progressão Geométrica 
 
Introdução 
Progressão Geométrica ou simplesmente PG é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual 
ao anterior multiplicado por uma constante, chamada razão da progressão geométrica. 
 
Representação Matemática: 
(a1, a2, a3, ... , an-1, an, ...) 
A sequência acima é uma PG, de razão q, se: 
 
32 n
1 2 n 1
aa a
... ... q
a a a 
    
 
Para uma Progressão Geométrica de termos não nulos, temos que qualquer termo, a partir do segundo, é o seu antecessor 
multiplicado pela razão: 
n n 1a a q 
 
 
Fórmula do Termo Geral 
 
Qualquer termo de uma PG pode ser obtido através da fórmula: 
 
1n
1n qaa

 
Em que: a1 é o primeiro termo 
 an é o enésimo termo 
 q é a razão da PG 
 n é a número de termos da PG 
Atenção !!! 
Dados dois termos quaisquer an e ak de uma Progressão Geométrica, podemos relacioná-los a partir da seguinte 
expressão: an = ak  qn–k 
Representações Especiais 
 
Podermos utilizar as seguintes representações de PG, que facilitam a resolução de alguns exercícios: 
 
 PG de 3 termos  
)xq , x ,
q
x
(
 razão: q 
 PG de 4 termos  
)xq , xq , 
q
x
 ,
q
x
( 3
3
 razão: q2 
 PG de 5 termos  
)xq , xq , x , 
q
x
 ,
q
x
( 2
2
 razão: q 
 
Propriedades 
 
I) Dados 3 números em PG, o do meio é média geométrica dos seus vizinhos. 
 
PG (..., a, b, c, ...)  b2 = a  c 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
Aula 9 - Prof Raul Brito 
 
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CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – Prof. Raul Brito PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
II) Se dois termos são eqüidistantes dos extremos, então seu produto é igual ao produto dos termos extremos. 
 
PG (a1, a2, a3, ... , ap, ... , ak, ..., an) 
Se p + k = n + 1  ap  ak = an  a1 
 
III) Em toda PG de número ímpar de termos, o termo central é a média geométrica dos extremos 
 
PG (a1, ... , 
2
1na 
, ... , an)  
n1
2 aaa
2
1n 
 
Interpolação Geométrica 
Interpolar ou inserir k meios geométricos entre dois números a1 e an é formar uma PG de n termos, em que n = k + 2. 
 
Ex: Quais os 5 números que devemos inserir entre 4 e 256 para que eles formem uma PG? 
 
Fórmula da Soma dos n Primeiros Termos de uma Progressão Geométrica Finita 
 
PG (a1, a2, a3, ... , an) Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an 
 Se q = 1 
1n anS 
 
 
 Se 
1q 
   n1
n
a q 1
S
q 1



 ou 
n 1
n
a q a
S
q 1



 
 
 
Soma dos Termos de uma Série Geométrica Infinita e Convergente 
 
Uma série geométrica infinita e convergente é uma PG com infinitos termos, onde –1 < q < 1 e que an  0. A soma dos 
seus infinitos termos converge para um número real bem definido, que podemos calcular usando a fórmula: 
q1
a
S 1


 
Ex: 2 + 1 + ½ + ¼ + ... = 2/(1 – ½) = 4 
 
Produto dos n Termos de uma PG Finita 
 
PG (a1, a2, a3, ... , an) Pn = a1a2a3 ... an 
 
2
)1n(n
n
1n qaP


 ou 
 nn1n aaP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
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Questão 01 
Numa progressão geométrica crescente, 
3A = x
, 
5A = 4x
 e 
7A = 192
. O primeiro termo dessa progressão é: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
 
Questão 02 
Na progressão geométrica 
 3 63, 3, 3,...
 o quarto termo é: 
a) 1 
b) 3 
c) 5 
d) 7 
 
Questão 03 
Numa progressão geométrica 
4 2
8
A - A =
3
 e 
2 3
4
A + A =
3
. 
Encontre a razão dessa progressão. 
 
Questão 04 
Para que a soma dos n primeiros termos da progressão 
geométrica, 3, 6, 12, 24, ... seja um número compreendido 
entre 50000 e 100.000 devemos tomar n igual a: 
a) 16 
b) 14 
c) 12 
d) 15 
e) 13 
 
Questão 05 
Uma progressão geométrica finita possui primeiro termo igual 
a 1, razão igual a 4 e último termo igual a 
1002
. O produto dos 
termos desta progressão é igual a: 
 
a) 
27504
 
b) 
25004
 
c) 
30002
 
d) 
22502
 
 
Questão 06 
O valor da constante a na igualdade abaixo vale quanto ? 
a 1 a 1 a 1 a 1
- + - + - + - + ... = 2
3 4 9 8 27 16 81 32
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 07 
 
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A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Unindo-se 
os pontos médios de seus lados obtém-se um segundo 
triângulo eqüilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados 
desse novo triângulo eqüilátero obtém-se um terceiro, e 
assim por diante, indefinidamente. Calcule a soma dos 
perímetros de todos esses triângulos. 
a) 30 
b) 40 
c) 50 
d) 60 
e) 70 
 
Questão 08 
Em uma PG, o produto dos termos extremos é 
610
. Se essa 
PG apresenta 40 termos, todos positivos, quantos algarismos 
tem o produto desses termos? 
a) 118 
b) 119 
c) 120 
d) 121 
e) 122 
 
Questão 09 
(Quantos termos da PA (9, 11, 13, ...) devem ser somados a 
fim de que a soma seja igual a soma de nove termos da PG 
(3, -6, 12, -24, 48, ...) ? 
a) 19 
b) 20 
c) 18 
d) – 7 
 
Questão 10 
Sejam x e y números positivos. Se os números 3, x e y 
formam, nessa ordem, uma PG e se os números x, y e 9 
formam, nessa ordem, uma PA, então x + y é igual a: 
a) 
43
4
 
b) 
45
4
 
c) 
47
4
 
d) 
49
4 
 
Questão 11 
(Udesc 2011) Em uma escola com 
512
 alunos, um aluno 
apareceu com o vírus do sarampo. Se esse aluno 
permanecesse na escola, o vírus se propagaria da seguinte 
forma: no primeiro dia, um aluno estaria contaminado; no 
segundo, dois estariam contaminados; no terceiro, quatro, e 
assim sucessivamente. A diretora dispensou o aluno 
contaminado imediatamente, pois concluiu que todos os 
512
 
alunos teriam sarampo no: 
a) 9º dia. 
b) 10º dia. 
c) 8º dia. 
d) 5º dia. 
e) 12º dia 
 
 
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Questão 12 
Para que a sequência 
( 9, 5,3) 
 se transforme numa 
progressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus 
termos um certo número. Esse número é: 
a) par 
b) quadrado perfeito 
c) primo 
d) maior que 15 
e) não inteiro 
 
Questão 13 
(Enem PPL 2012) Uma maneira muito útil de se criar belas 
figuras decorativas utilizando a matemática é pelo processo 
de autossemelhança, uma forma de se criar fractais. 
Informalmente, dizemos que uma figura é autossemelhante 
se partes dessa figura são semelhantes à figura vista como 
um todo. Um exemplo clássico é o Carpete de Sierpinski, 
criado por um processo recursivo, descrito a seguir: 
Passo 1: Considere um quadrado dividido em nove 
quadrados idênticos (Figura 1). Inicia-se o processo 
removendo o quadrado central, restando 8 quadrados pretos 
(Figura 2). 
Passo 2: Repete-se o processo com cada um dos quadrados 
restantes, ou seja, divide-se cada um deles em 9 quadrados 
idênticos e remove-se o quadrado central de cada um, 
restando apenas os quadrados pretos (Figura 3). 
Passo 3: Repete-se o passo 2. 
 
 
Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou seja, 
divide-se cada um dos quadrados pretos da Figura3 em 9 
quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada 
um deles. 
O número de quadrados pretos restantes nesse momento é: 
a) 64. 
b) 512. 
c) 568. 
d) 576. 
 
 
 
 
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Questão 14 
 
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Quando o quinto termo da progressão (972, −324, 108,...) for 
colocado, simultaneamente, ao lado esquerdo do vigésimo 
segundo termo da sequência (−51, −44, −37,...) e ao lado 
direito do segundo termo (denotado por x) da progressão 
1
, x, 9, 54,... ,
4
 
 
 
 terá sido formada uma nova progressão: 
a) aritmética, de razão 
1
–
8
 
b) geométrica, de razão 
1
8
 
c) aritmética, de razão –8 
d) geométrica, de razão –8 
e) geométrica, de razão +8 
 
Questão 15 
Os números a, b e c determinam, nessa ordem, uma 
progressão aritmética (PA) de razão r ( r

0 ) . Na ordem b, 
c e a determinam uma progressão geométrica (PG) . Então a 
razão da PG é: 
a) – 3 
b) – 2 
c) – 1 
d) 1 
 
Questão 16 
O valor de P3 , onde 
...5252P 
, é : 
 
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 
 
Questão 17 
A razão de uma PG, cujos termos são os três lados de um 
triângulo retângulo é: 
 
a) 
2
51
 b) 
5
21
 c) 
2
31
 d) 
3
21
 
 
Questão 18 
Se P é o produto dos 20 primeiros termos de uma PG cujo 
primeiro termo e a razão são iguais a 7, então o valor de 
P
7
log
 
P é: 
 
a) 205 b) 210 c) 215 d) 220 
 
Questão 19 
(UFRGS 2013) A sequência representada, na figura abaixo, 
é formada por infinitos triângulos equiláteros. O lado do 
primeiro triângulo mede 
1,
 e a medida do lado de cada um 
dos outros triângulos é 
2
3
 da medida do lado do triângulo 
imediatamente anterior. 
 
 
 
 
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A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é 
 
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a) 
9.
 
b) 
12.
 
c) 
15.
 
d) 
18.
 
 
Questão 20 
(UEPB 2012) Na figura abaixo, temos parte do gráfico da 
função x
2
f(x)
3
 
  
 
 e uma sequência infinita de retângulos 
associados a esse gráfico. 
 
 
A soma das áreas de todos os retângulos desta sequência 
infinita em unidade de área é 
a) 
3
 b) 
1
2
 c) 
1
 d) 
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (PROPOSTOS PARA CASA) 
 
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Questão 01 
(Enem 2008) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) - 
objeto que pode ser dividido em partes que possuem 
semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada 
no século XX, estuda as propriedades e o comportamento 
dos fractais - objetos geométricos formados por repetições de 
padrões similares. 
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da 
geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes 
passos: 
 
1. comece com um triângulo equilátero (figura 1); 
2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade 
do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três 
cópias; 
3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo 
tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um 
dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2; 
4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia 
dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3). 
 
 
 
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da 
sequência apresentada acima é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
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Questão 02 
 
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Os museus são uma das formas de comunicar as produções 
científicas entre as gerações. Um exemplo dessa dinâmica é 
a comunicação da ideia de que “nada que é humano é 
eterno”, sugerida por um sistema composto por um motor e 
engrenagens exposto num museu de São Francisco, nos 
EUA. Suponha que esse sistema é composto por um motor 
elétrico que está ligado a um eixo que o faz girar a 120 
rotações por minuto (rpm), e este, por meio de um parafuso 
sem fim, gira uma engrenagem a uma velocidade 20 vezes 
menor que a velocidade do próprio eixo e assim 
sucessivamente. 
 
Texto Adaptado: Revista Cálculo, Agosto 2013. 
 
Um sistema similar ao sistema descrito acima contém 
n
 
engrenagens, todas ligadas umas às outras por meio de 
eixos e parafusos sem fim, que fazem cada uma das 
engrenagens girar 20 vezes mais lentamente do que a 
engrenagem anterior. Nestas condições, o número 
n
 de 
engrenagens necessárias para que a velocidade da última 
engrenagem seja igual a 
0, 015 rpm
 é: 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
 
 
Questão 03 
(Espcex (Aman) 2013) Um fractal é um objeto geométrico 
que pode ser dividido em partes, cada uma das quais 
semelhantes ao objeto original. Em muitos casos, um fractal 
é gerado pela repetição indefinida de um padrão. A figura 
abaixo segue esse princípio. Para construí-la, inicia-se com 
uma faixa de comprimento m na primeira linha. Para obter a 
segunda linha, uma faixa de comprimento m é dividida em 
três partes congruentes, suprimindo-se a parte do meio. 
Procede-se de maneira análoga para a obtenção das demais 
linhas, conforme indicado na figura. 
 
 
 
Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse 
procedimento for efetuado infinitas vezes, a soma das 
medidas dos comprimentos de todas as faixas é 
a) 
3 m
 
b) 
4 m
 
c) 
5 m
 
d) 
6 m
 
e) 
7 m
 
Questão 04 
 
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(Pucrj 2013) A sequência (2, x, y, 8) representa uma 
progressão geométrica. 
O produto xy vale: 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 14 
e) 16 
 
 
 
 
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Questão 05 
 
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A Copa do Mundo, dividida em cinco fases, é disputada por 
32 times. Em cada fase, só metade dos times se mantém na 
disputa pelo título final. Com o mesmo critério em vigor, uma 
competição com 64 times iria necessitar de quantas fases? 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
 
Questão 06 
(Fgv 2013) Uma mercadoria é vendida com entrada de 
R$500,00 mais 2 parcelas fixas mensais de R$576,00. 
Sabendo-se que as parcelas embutem uma taxa de juros 
compostos de 20% ao mês, o preço à vista dessa mercadoria, 
em reais, é igual a 
a) 1.380,00. 
b) 1.390,00. 
c) 1.420,00. 
d) 1.440,00. 
e) 1.460,00. 
 
Questão 07 
Vamos empilhar 5 caixas em ordem crescente de altura. 
A primeira caixa tem 
1m
 de altura, cada caixa seguinte tem 
o triplo da altura da anterior. A altura da nossa pilha de caixas 
será: 
a) 121 m 
b) 81 m 
c) 32 m 
d) 21 m 
e) 15 m 
 
 
 
 
 
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Questão 08 
 
20 
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Se a e b são números reais positivos tais quea sequência 
(a, 6, b)
é uma progressão aritmética e a sequência 
(a, 11, b)
 é uma progressão geométrica, então a soma de a 
com b é: 
a) 6. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 66. 
e) nda. 
 
 
 
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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
 
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Analise as sequências numéricas enumeradas abaixo. 
 
1. (3, 8, 13, 18, ...). 
2. (32, 16, 8, 4, 2, 1, ...). 
3. (– 2, 4, – 8, 16, – 32, ...). 
4. (4, 6, 8, 10, 12, 16). 
 
Questão 09 
(G1 - ifal 2012) Assinale a alternativa correta. 
a) Todas as sequências representam Progressões 
Aritméticas (P.A.). 
b) Apenas uma das sequências representa Progressão 
Geométrica (P.G.). 
c) Apenas a sequência 4 não representa uma P.G.. 
d) A sequência 2 representa uma P.G. de razão 
1
.
2
 
e) A sequência 1 representa uma P.A. finita. 
 
Questão 10 
Uma sequência de 5 (cinco) números inteiros é tal que: 
 
- os extremos são iguais a 4; 
- os três primeiros termos estão em progressão geométrica e os três últimos em progressão aritmética; 
- a soma desses cinco números é igual a 26. 
 
É correto afirmar que a soma dos números em progressão geométrica é igual a: 
a) - 8. 
b) - 2. 
c) 8. 
d) 12. 
e) 16. 
 
 
Questão 11 
A soma dos valores inteiros negativos de x, para os quais a expressão 
 
     x x x2 ...2 4 8      
 
é um número real, é: 
a) -1 
b) -2 
c) -3 
d) -4 
e) -5 
 
Questão 12 
Em um surto epidêmico ocorrido em certa cidade com cerca de 10.000 habitantes, cada indivíduo infectado contaminava 
10 outros indivíduos no período de uma semana. Supondo-se que a epidemia tenha prosseguido nesse ritmo, a partir da 
contaminação do primeiro indivíduo, pode-se estimar que toda a população dessa cidade ficou contaminada em, 
aproximadamente: 
a) 28 dias 
b) 35 dias 
c) 42 dias 
d) 49 dias 
 
 
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Questão 13 
 
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A figura a seguir mostra quadrados inscritos em 
circunferências cuja medida dos lados são termos de uma 
sequência infinita, em que a1 = 4 cm, a2 = 2 cm, a3 = 1 cm, a4 
= 0,5 cm, 
 
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a 
soma de todas as áreas dos círculos delimitados por essas 
circunferências converge para: 
a) 
2128 cm .
3
π
 
 
b) 
232 cm
3
π
 
 
c) 
264 cm
3
π
 
 
d) 16 cm2. 
e) 32 cm2. 
 
Questão 14 
Na sequência 1, 3, 7, ..., cada termo é duas vezes o anterior mais um. Assim, por exemplo, o quarto termo é igual a 15. 
Então o décimo termo é: 
a) 1000 
b) 1002 
c) 1015 
d) 1023 
e) 1024 
 
 
Questão 15 
Os valores da sequência numérica (a1,a2,a3,a4,1) estão em progressão geométrica de razão 
1
10
. 
Nessas condições, a1 vale 
a) -10000 
b) 10000 
c) 
1
10000

 
 
d) 
1
10000
 
 
e) 100 
 
 
 
 
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Questão 16 
 
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Uma fábrica vendia 12 camisetas por mês para certa rede de academias desde janeiro de um determinado ano. Devido 
ao verão, essa venda foi triplicada a cada mês, de setembro a dezembro. O total de camisetas vendidas nesse 
quadrimestre e a média de vendas, por mês, durante o ano, foi, respectivamente, 
a) 1.536 e 128 
b) 1.440 e 128 
c) 1.440 e 84 
d) 480 e 84 
e) 480 e 48 
 
Questão 17 
Sabe-se sobre a progressão geométrica a1, a2, a3, ... que a1 > 0 e 
a6 =  9
3
. Além disso, a progressão geométrica a1, a5, a9, ... tem razão igual a 9. Nessas condições, o produto a2  a7 
vale 
a) - 27
3
 
b) - 3
3
 
c) -
3
 
d) 3
3
 
e) 27
3
 
 
 
Questão 18 
A sequência 10x , 10x+1, 10x+2, ... representa: 
a) uma progressão aritmética de razão 10. 
b) uma progressão aritmética de razão 1. 
c) uma progressão geométrica de razão 10. 
d) uma progressão geométrica de razão 1. 
e) nem progressão aritmética nem progressão geométrica. 
 
Questão 19 
O conjunto solução da equação abaixo é: 
 
 x2 - x - (x/3) - (x/9) - (x/27) - ... = -1/2 
 
a) {1/2 , 1}. 
b) {-1/2 , 1}. 
c) {1 , 4}. 
d) {1 , -4}. 
e) {1 , 2}. 
 
Questão 20 
Numa progressão aritmética de razão 1/2, o primeiro, o sétimo e o décimo nono termo formam, nesta ordem, uma 
progressão geométrica cuja soma dos termos é 
a) 17. 
b) 18. 
c) 19. 
d) 20. 
e) 21. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE CASA 
 
Questão 01: 
 
27 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – Prof. Raul Brito PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Resolução: O número de triângulos pretos em cada passo constitui a PG 
(1, 3, 9, 27, ).
 
A alternativa (C) é a única que apresenta 27 triângulos pretos. 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 02: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
1 n 1a 120 ; q 20 e a 0,015  
 
Assim, da expressão do termo geral: 
 
 
n
n 1 1n 1 n
n 1 1 n 1 1n 1 n
n n n n 3
1 1
a a q a a q a a q 0,015 120 0,015 120 
20 20
120
 0,015 20 120 20 20 8000 20 20 n 3.
0,015
 

 
              
 
          
 
Observação: rpm é uma unidade de frequência, que é o número de revoluções por unidade de tempo. 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 03: 
Resolução: Os comprimentos das faixas constituem uma progressão geométrica infinita, sendo 
1a m
 o primeiro termo, 
2
q
3

 a razão. Note que 
2
0 q
3
 
, então a soma dos comprimentos de todas as faixas é dada por: 
1a m m mS S S S S 3m.
2 3 2 11 q
1
3 3 3
            

 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 04: 
Resolução: Da definição de razão, temos: 
2 4
2 3 1 4
1 3
a a
q a a a a .
a a
     
 
Assim, do enunciado, temos: 
x y 2 8 x y 16.     
 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 05: 
Resolução: O número de times em cada fase corresponde aos termos da progressão geométrica 
(64, 32, , 2).
 
Logo, sendo 
n
 o número de fases pedido, temos: 
n 1
n 1 1 n 1 n 6
n 1
1 1
2 64 2 64 2 2 64 2 64 2 2 n 6.
2 2

  

 
              
 
 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 06: 
Resolução: Dos juros compostos teria em cada parcela o valor dos juros embutido, por isso para o preço à vista, temos 
que dividir pelos juros que já seria cobrado, logo o preço à vista da mercadoria é igual a: 
2
576 576
p 500 p 500 480 400 p R$ 1.380,00.
1,2 (1,2)
        
 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 07: 
Resolução 1: A altura da pilha é igual a 
1 3 9 27 81 121m.    
 
 
Resolução 2: Poderíamos também fazer o seguinte: 
Note que: 
1a 1; q 3 e n 5  
. 
Logo, da expressão da soma:    n 51
n 5 5 5 5
a q 1 1 3 1 243 1 242
S S S S S 121
q 1 3 1 2 2
    
        
 
. 
 
28 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – Prof. Raul Brito PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 08: 
Resolução: Pela definição de razão, temos: 
2 1 3 2 2 2 1 3 2 1 3r a a a aa a a a 2a a a          
. 
Substituindo os valores, temos: 
2 6 a b a b 12 a 12 b        
. 
Pela definição de razão, temos: 
232
2 2 1 3 2 1 3
1 2
aa
q a a a a a a a
a a
        
. 
Substituindo os valores, temos:  
     
 
2
"a"
22 2
a b 11 a b 11
12 b b 11 12b b 11 b 12b 11 0 ; 12 4.1. 11 144 44 100.
12 100 12 10 12 10 22 12 10 2
b b b b b 11 ou b b b 1
2.1 2 2 2 2 2
    
                    
     
             
. 
Daí, temos: 
a 12 b a 12 11 a 1 ou a 12 b a 12 1 a 11             
. 
Como 
a b
, temos 
a 1 e b 11 
, portanto 
a b 1 11 a b 12     
 . 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 09: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
1. (3, 8, 13, 18, ...) _________________ P.A. de razão r = 5 
 
2. (32, 16, 8, 4, 2, 1, ...) _____________ P.G. de razão 
1
.
2
 
 
3. (– 2, 4, – 8, 16, – 32, ...) __________ P.G. de razão -2 
 
4. (4, 6, 8, 10, 12, 16) ______________ Não é P.A. e não é P.G. 
 
Portanto, a sequência 2 representa uma P.G. de razão 
1
.
2
 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 10: 
Resolução: Seja a sequência 
),4,c,b,a,4(
 com 
a, b, c
. Então, temos: 
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a a
b b
4 4
a 4b
a a
2c b 4 2c 4 c 2
4 8
a b c 18
a b c 18 a b c 18
a a a a a a
a b c 18 a 2 18 a 2 18 0 a 16 0 
4 8 4 8 4 8
 8a 2a a 128 0 3a 8a 128 0 ;
 
  
  
   
         
           
 
  
 
                    
 
 
           2 8 4.3. 128 64 1536 1600.
8 1600 8 40 16
 a a a 8 ou a (não convém)
2.3 6 3
          
   
       
 
 
 
 
22
2 2
8a 64
b b b
b 16 b 164 4 4
a 8 
64 c 8 2 c 10a 8 c 2c 2 c 2 88 8
          
          
              
 
 
29 
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Portanto, 
PG S 4 a b S 4 8 16 S 12         
. 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 11: 
Resolução: Chamando a expressão de E, temos: 
PG infinita
x x x
E 2 ... E 2 S
2 4 8

 
        
 
. Assim basta calcularmos a 
soma da PG infinita, vamos lá: 
Da definição de razão, temos: 
2
1
x
a x 2 14q q q
xa 4 x 2
2
      
. 
Usando a expressão da soma infinita, temos: 
1
x x
a x 22 2S S S S S x
1 11 q 2 1
1
2 2
             


. 
Como a soma infinita deu x, substituindo na expressão fica 
E 2 x 
. 
Pela condição de existência da raiz: 
2 x 0 x 2    
, assim os inteiros negativos que satisfazem essa condição são: 
- 2 e – 1. Logo a soma s pedida vale: 
 s 1 2 s 1 2 s 3          
. 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 12: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
Total = 10 000, ou seja, 
na 10 000
. Como cada 1 contaminava 10, temos que a razão vale 10. 
Como a semana só é contada depois que os 10 primeiros são contaminados, temos 
1a 10
. 
Assim, pela expressão do termo geral, temos: 
n 1 n 1 4 1 n 1 4 n
n 1a a q 10 000 10 10 10 10 10 10 n 4
             
. 
Como uma semana tem 7 dias, temos: 
d 7 4 d 28 dias   
. 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 13: 
Resolução: Note que pela figura, temos que o raio vale a metade da diagonal do quadrado, ou seja:  
 
221 1
1 1 1 1 1 1 1 1
222 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
23 3
3 3 3 3 3 3 3 3
d 2 4 2
R R R R 2 2 A R A 2 2 A 8 .
2 2 2
d 2 2 2
R R R R 2 A R A 2 A 2 .
2 2 2
d 2 1 2 2 2
R R R R A R A A .
2 2 2 2 2 2
                 
                 
  
                  
 
 
E assim sucessivamente. 
Calculando a razão: 
2
1
a 2 1
q q q
a 8 4

    

. 
Pela expressão da soma infinita, temos: 
 
1a 8 8 4 32S S S S 8 S
1 31 q 3 3
1
4 4
    
  
          


. 
 
Resposta: Alternativa B 
 
30 
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Questão 14: 
Resolução: Note que se somarmos uma unidade a essa sequência ela se torna uma PG, assim temos: 
 
1 11 1
 1 , 3 , 7 ,15, ...
2, 4, 8, 16, ...
  
  
 
Logo, pelo termo geral, o 10º termo é: 
n 1 10 1 9 9 10
n 1 10 1 10 1 10 10 10a a q a a q a a q a 2 2 a 2 a 1024.
               
 
Como somamos uma unidade a cada termo para formar a PG, para encontrarmos o 10º termo da sequência original, 
temos que subtrair uma unidade do 10º termo da PG. Assim o 10º termo dessa sequência é 1023. 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 15: 
Resolução: Do termo geral, temos: 
4 4
n 1 5 1 4
n 1 5 1 5 1 1 1 14 4
4
1 1
1 1 1
a a q a a q a a q 1 a 1 a 1 a 
10 10 10
 a 10 a 1000.
 
    
                          
   
 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 16: 
Resolução: Pelo enunciado podemos montar o seguinte esquema: 
Janeiro: 12; Fevereiro: 12; Março: 12; Abril: 12; Maio: 12; Junho: 12; Julho: 12 e agosto: 12 
No verão, de Setembro a Dezembro, as vendas triplicaram a cada mês, ou seja: 
Setembro: 36; Outubro: 3.36 = 108; Novembro: 3.108 = 324 e Dezembro = 3.324 = 972. 
Assim, o total de vendas no verão foi: 36 + 108 + 324 + 972 = 1440. 
De Janeiro a Agosto, temos: 12.8 = 96, assim a média no ano vale: 
total 96 1440 1536
M M M M 128
quantidade 12 12

      
. 
Obs.: No verão, poderíamos calcular as vendas da seguinte maneira: 
Setembro: 
1a
, Outubro: 
2a
, Novembro: 
3a
, Dezembro: 
4a
e a razão é 3. 
Logo, pela expressão da soma dos termos de uma PG finita: 
     4 41
4 4 4 4 4
a q 1 36 3 1 36 81 1
S S S S 18 80 S 1440
q 1 3 1 2
  
         
 
. 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 17: 
Resolução: Vamos montar as duas PG’s: 
Primeira PG: (
1 2 3a , a , a ,...
), com 
1 1 6a 0, razão q e a 9 3  
. 
Segunda PG: (
1 5 9a , a , a ,...
), com 
2q 9
. 
Assim, usando a primeira PG: 
   
6 1 5
6 1 1 6 1 1a a q a a q

    
, por outro lado 
 
6 5
6 5 1 6 5 1a a q a a q

    
, 
dividindo uma pela outra, temos: 
   
   
45 1 6 5 5
15 4
6 11 1 1 1
a q a a a
 1 q eq1
a aa q a q

    
 
 
Usando a definição de razão para a segunda PG, temos: 
5 5
2
1 1
a a
q 9
a a
  
. 
 
31 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – Prof. Raul Brito PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Logo, substituindo em (eq1): 
   
4 45 4
1 1 1 1
1
a
q 9 q q 9 q 3
a
      
 
Agora, vamos encontrar o valor de 
1a
: 
Usando a primeira PG, temos: 
     
5 45
6 1 1 1 1 1 1a a q 9 3 a 3 9 3 a 3 3 9 3 a 9 3 a 1                 
 
Para finalizar: 
         
7 626 2 7
2 7 1 1 1 1 2 7 1 1 2 7 2 7
2 7
a a a q a q a a a q a a 1 3 a a 3 3
 a a27 3 .
                 
  
 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 18: 
Resolução: Pela definição de razão, temos: x 1
x 1 x 12
x
1
a 10
q q q 10 q 10 q 10
a 10

         
. Com o outro 
termo: 
 
x 2
x 2 x 1 x 2 x 1 13
x 1
2
a 10
q q q 10 q 10 q 10 q 10
a 10

     

          
. 
Assim concluímos que é uma PG de razão 10. 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 19: 
Resolução: Do enunciado temos: 
2 2x x x 1 1x x ... x S 0
3 9 27 2 2

 
           
 
, logo vamos calcular essa soma, 
primeiro calcularemos a razão: 
2
1
x
a x 1 13q q q q
a x 3 x 3
       
. 
Logo:
1a x x 3 3xS S S S x S
1 21 q 2 2
1
3 3
   
         


. 
Assim substituindo na equação, temos: 
 
 
2 2 2
22
1 3x 1
x S 0 x 0 2x 3x 1 0
2 2 2
b 4ac 3 4.2.1 9 8 1
3 1b 3 1 3 1 3 1 1
x x x x x 1 ou x x .
2a 2.2 4 4 4 2
          
              
       
           
 
Assim o conjunto solução é 
1
S ,1
2
 
  
 
. 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 20: 
Resolução: Vamos montar a PA e a PG: 
PA: (
1 2 3a , a , a ,...
) e razão 
1
2
. 
PG: (
1 7 19a , a , a
), calculando 
7 1 7 1 7 1
1
a a 6r a a 6 a a 3
2
        
 e 
19 1 19 1 19 1
1
a a 18r a a 18 a a 9
2
        
. 
Logo a PG: (
1 1 1a , a 3, a 9 
) 
 
32 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – Prof. Raul Brito PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Assim da definição de razão, numa PG: 
      2 232 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1
1 1 1 1 1 1
aa a 3 a 9
q a 3 a 3 a a 9 a 6a 9 a 9a 
a a a a 3
 6a 9 9a 9a 6a 9 3a 9 a 3 .
 
               

         
 
Assim a PG: (3, 6, 12), logo a soma pedida é s = 3 + 6 + 12 = 21. 
 
Resposta: Alternativa E