04 MOVIMENTO EM DUAS E TRES DIMENSOES

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MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES
CAPÍTULO 4O que um jogador de beisebol faz para saber onde deve estar 
para apanhar uma bola?
Posição, velocidade e aceleração:
r

Vetores Posição e velocidade: O vetor posição de uma partícula 
P é um vetor desenhado da origem de um sistema de coordenadas 
até a posição da partícula:
( 3 ) (2 ) (5 )r m i m j m k   
Vetor deslocamento
)( r


A variação da posição da partícula no decorrer do tempo é o vetor 
deslocamento 
)( r


2 1r r r  
2 (9 ) (2 ) (8 )r m i m j m k  
Exemplo 1:
1. O vetor posição de uma partícula é inicialmente , e 
depois passa a ser . Qual é o deslocamento 
da partícula.
1 ( 3 ) (2 ) (5 )r m i m j m k   
r
Exemplo 2
2. Um coelho atravessa um
estacionamento, no qual, por
alguma razão, um conjunto de
eixos coordenados havia sido
desenhado. As coordenadas da
posição do coelho em função do
tempo t são dadas por
2
2
0,31 7,2 28
0,22 9,1 30
x t t
y t t
   
  
Com t em segundos e x e y em 
metros 
Em t=15s, qual é o vetor posição 
do coelho na notação de vetores 
unitários e na notação de módulo 
- ângulo?
( ) ( )r x t i y t j 
Velocidade média )( médv
O vetor velocidade média é a razão entre o deslocamento e o 
intervalo de tempo 
12 ttt 
t
r
vméd





Velocidade instantânea
)(v

Define-se o vetor velocidade instantânea como o limite do vetor 
deslocamento quando
)0( t
dt
rd
t
r
v
t






 0
lim
jvivj
dt
dy
i
dt
dx
v
ou
j
t
y
i
t
x
t
jyix
t
r
v
yx
tttt
ˆˆˆˆ
ˆlimˆlim
ˆˆ
limlim
0000




























Exemplo7
7. Para o coelho do exemplo
anterior encontre a
velocidade vetorial no tempo
t = 15s, na notação de vetores
unitários e na notação de
módulo – ângulo.
x yv v i v j 
x y
dx dy
v v
dt dt
 
Aceleração média ( )méda
O vetor aceleração média é a razão entre a variação da velocidade e o 
intervalo de tempo 
12 ttt 
méd
v
a
t



A aceleração instantânea é o limite desta razão quando 
)0( t
0
lim
t
v dv
a
t dt 

 

kajaiak
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
a zyx
zyx ˆˆˆˆˆ 

8. Para o coelho do
exemplo anterior encontre
a aceleração vetorial no
tempo t = 15s, na notação
de vetores unitários e na
notação de módulo –
ângulo.
x ya a i a j 
yx
x y
dvdv
a a
dt dt
 
Exemplo8
Exemplo 9:
9. A posição de uma bola de beisebol é dada por 
2 2ˆ ˆ ˆ ˆ1,5 (12 / 16 / ) 4,9 / .r mi m si m sj t m s jt   
Obtenha sua velocidade e sua aceleração.
2 2ˆ ˆ ˆRe .: (12 / ) [16 / (9,8 / ) ] ; ( 9,8 / )sp v m s i m s m s t j a m s j    
Movimento de Projéteis:
O movimento de um projétil é a combinação de dois movimento:
movimento uniforme (MU) na horizontal e movimento
uniformemente variado (MUV) na vertical.
As Equações utilizada para esta situação são as mesmas já utilizadas para
estes movimentos separadamente.
0 0
0 0
cos
sen
x
y
v v
v v




A componente vertical da velocidade do skatista está variando, mas não a 
horizontal que é igual a do skate.
Fotografia estroboscópica de uma bola de tênis amarela quicando em 
Uma superfície dura. Entre os impactos a trajetória da bola é balística.
• O fato de uma bola
estar em se movendo
horizontalmente
enquanto está caindo
não interfere o seu
movimento vertical, ou
seja, os movimentos
horizontal e vertical são
independentes.
Análise do movimento de um projétil
Movimento Horizontal
0xa
tvxtx x00)( 
0 0 cosxv v 
0 0( cos )x x v t 
Na ausência da resistência do ar, a partícula fica sujeita apenas à
aceleração de queda livre, verticalmente, para baixo.
gay 
A componente y da velocidade varia com o tempo devido a aceleração,
logo:
0yv v sen gt 
O deslocamento y será dado por:
2
0 0
1
( )
2
yy t y v t gt  
Movimento vertical
Alcance horizontal (R): 
É a distância total na horizontal percorrida por um projétil. Se as 
elevações inicial e final forem iguais, pode-se obter o alcance 
pela expressão:
2
2
0 sen
g
v
R 
•O alcance será máximo quando θ=450;
•Na altura máxima Vy=0
•Vx é constante em todo o movimento
Animação
10. Na figura um avião de
salvamento voa a
198km/h, a uma altura
de 500m, rumo a um
ponto diretamente
acima da vítima de um
naufrágio, para deixar
cair uma balsa.
a) Qual deve ser o ângulo da linha de visada do piloto para a vítima
no instante em que o piloto deixa cair a balsa?
b) No momento em que a balsa atinge a água qual a sua velocidade?
11. A fig. Mostra um navio
pirata a 560m de um
forte que protege a
entrada de um porto.
Um canhão de defesa,
situado ao nível do
mar, dispara balas com
uma velocidade de
82m/s.
a) Com que ângulo em relação a horizontal as balas devem ser
disparadas para acertar o navio?
b) Qual é o alcance máximo das balas de canhão?
12. Com que velocidade
inicial o jogador d
basquete da Fig. Deve
arremessar a bola, com
um ângulo de 550
acima da horizontal,
para converter o lance
livre? As distancias
horizontais são d1 =
1,0 ft e d2 = 14 ft e as
alturas são h1 = 7 ft e
h2 = 10 ft.
13. Um helicóptero descarrega um pacote de suprimentos para as 
vítimas de uma inundação que estão sobre uma balsa em uma área 
alagada. Quando o pacote é lançado, o helicóptero está 100m acima 
da balsa e voando a 25m/s para cima com um ângulo 
em relação a horizontal. 
(a) Durante quanto tempo o pacote permanece no ar? 
(b) A que distância da balsa cai o pacote? 
(c) Se o helicóptero voa com velocidade constante, onde ele estará 
quando o pacote atingir a água? 
09,36
2
00
2
1
)( gttvyty y 
0 0( cos )xx v t v t 
0 0( ) yy t y v t 
Movimento Circular Uniforme
É o movimento circular com velocidade constante. A aceleração 
centrípeta pode ser calculada pela relação:
r
v
aa c
2

Para uma volta completa: , em que T é o período.
Se a velocidade for variável, aparece a aceleração tangencial a 
trajetória, dada por: 
T
rv 2
dt
dv
at 
Animação
Exemplo 14:
14. Um menino gira uma bola, amarrada a uma corda, em um circulo
horizontal com raio de 0,8m. A quantas voltas por minuto a bola ficará
sujeita se o módulo de sua aceleração centrípeta for g (o módulo da
aceleração da gravidade)?
Exemplo 15:
Um Menino faz uma pedra girar descrevendo uma
circunferência horizontal de raio 1,5m e 2m acima do chão. A
corda se parte e a pedra é arremessada horizontalmente,
chegando ao solo depois de percorrer uma distância
horizontal de 10m. Qual era o módulo da aceleração
centrípeta da pedra durante o movimento circular?
Exemplo 16:
16. Na figura, qual é a rapidez inicial mínima que o dardo deve ter 
para atingir o macaco antes que este chegue ao chão, que está a 11,2 
m abaixo da posição inicial do macaco, se x = 50 m e h = 10 m? 
(ignore a resistência do ar)