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Comprimento de Curvas Planas 1. Use o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do segmento de reta y = 2x entre (1, 2) e (2, 4) e confirme que o valor está de acordo com o comprimento calculado usando as fórmulas L = ∫ b a √ 1 + [f ′(x)]2dx e L = ∫ d c √ 1 + [g′(y)]2dy. Resposta: L = √ 5. 2-7. Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados. 2. y = 3x3/2 − 1 de x = 0 até x = 1. Resposta: 85 √ 85−8 243 3. r = e−θ de θ = 0 até θ = 2pi. Resposta: √ 2(1− e−2pi) 4. y = x2/3 de x = 1 até x = 8. Resposta: 80 √ 10−13√13 27 5. x = 1 3 y3 + 1 4y de y = 2 até y = 5. Resposta: 1563 40 . 6. 24xy = y4 + 48 de y = 2 até y = 4. Resposta: 17/6 7. x = (y3/3) + 1/4y de y = 1 a y = 3. Resposta: 53/6. 8. Expresse o comprimento de arco exato da curva y = ln(secx) de x = 0 até x = pi/4 dado como uma integral que tenha sido simplificada para eliminar o radical. Resposta: L = ln(1 + √ 2). 9. Determine a distância percorrida por uma partícula que se desloca entre os pontos A(2, 3) e B(0, 3) cuja posição, no instante t, é dada por x(t) = 1 + cos(3 √ t) e y(t) = 3 − sen(3√t) (observe que a resolução da integral envolve uma integral com descontinuidade). Resposta: pi 10. A posição de uma partícula, num instante t, é dada por x(t) = 2 cos t + 2t sen t e y(t) = 2 sen t−2t cos t. Calcule a distância percorrida por esta partícula entre os instantes t = 0 e t = pi/2. Resposta: pi 2 4 . 11-13. Encontre o comprimento de arco da curva. 11. x = 1 3 t3, y = 1 2 t2, 0 ≤ t ≤ 1. Resposta: 2 √ 2−1 3 . 12. x = cos 2t, y = sen 2t, 0 ≤ t ≤ pi/2. Resposta: pi. 13. x = et cos t, y = et sen t, 0 ≤ t ≤ pi/2. Resposta: (epi/2 − 1)√2. 14. Monte as integrais que permitem calcular o comprimento do arco da fronteira da região que é simultaneamente interior à r = 1 + sen θ e r = 3 sen θ. Resposta: L = 2 ∫ pi/6 0 √ 9 cos2 θ + 9 2 sen θdθ + 2 ∫ pi/2 pi/6 √ cos2 θ + (1 + sen θ)2dθ. 1 15. Encontre o comprimento das curvas que limitam a região formada pela interseção das curva r = √ 3 sen θ e r = 3 cos θ, situada no primeiro quadrante. Resposta: √ 3 3 pi + pi 2 16. A curva descrita por x(t) = 3e−t cos 6t e y(t) = 3e−t sen 6t é chamada de espiral logarítmica (veja figura abaixo). Mostre que a curva descrita por esta espiral quando t ∈ [0,+∞) possui comprimento finito. Resposta: O comprimento desejado é finito e igual a √ 333. 2
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