Prova 3

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Terceira Prova de Cálculo 2
Nome:
ATENÇÃO:
- Respostas sem cálculos ou justificativas não serão consideradas.
- Não é permitido qualquer tipo de consulta.
Questão 1 (7 pontos): Calcule a integral de linha
∫
C
−→
F • d−→r , onde −→F é o campo vetorial
−→
F (x, y) = (y2 +
√
x ex)
−→
i + (x3 +
√
y sen y)
−→
j
e C é o retângulo de vértices (0, 0), (0, 4), (3, 4) e (3, 0) sendo percorrido de (0, 0) a (0, 4) a
(3, 4) a (3, 0) a (0, 0).
Questão 2 (8 pontos): Considere o campo vetorial
−→
F (x, y, z) = ey
−→
i + (xey + y)
−→
j + ez
−→
k .
(a) Determine se
−→
F é ou não conservativo.
(b) Se
−→
F for conservativo, determine uma função potencial para ele.
(c) Calcule a integral de linha
∫
C
−→
F • d−→r , onde C é a curva descrita pela função vetorial
−→r (t) = t5−→i +−→j + ln t−→k , t ∈ [1, e]
Questão 3 (7 pontos): Calcule a integral superfície
∫∫
S
(rot
−→
F ) • d−→S onde −→F é o campo
vetorial −→
F (x, y, z) = x2z
−→
i + y2z
−→
j + exyz
−→
k
e S é a parte do parabolóide z = 2− x2− y2 que está acima do plano z = 1 orientada de forma
ascendente.
Questão 4 (8 pontos): Calcule a integral de superfície
∫∫
S
−→
F • d−→S onde −→F é o campo
vetorial
−→
F (x, y, z) = z2x
−→
i +
(
y3
3
+ arctan(xz)
)−→
j + (x2z + 1)
−→
k
e S é a metade superior da esfera x2+y2+z2 = 1 orientada de tal forma que os vetores normais
apontem para fora da esfera.
Questão 5 (4 pontos):
(a) Calcule
∫
C
yex dy onde C é o arco de parábola x = y2 de (1, 1) a (4, 2).
(b) Calcule
∫∫
S
xz dS onde S é a parte do cilindro y2 + z2 = 2 que está entre os planos
x = 0 e x = 3.
Boa prova!