Livro de Cálculo 4

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Sumário
Aula 1: Integrais Duplas 11
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares . . . . . . . . 12
1.3 Integral Dupla: Domínios Não Retangulares Limitados 14
1.4 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Propriedades das Integrais Duplas . . . . . . . . . . 19
1.7 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 30
Aula 2: Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 33
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas . . . . . 34
2.3 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 46
Aula 3: Algumas Aplicações da Integral Dupla 47
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Algumas Aplicações da Integral Dupla . . . . . . . . 52
3.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 60
Aula 4: Integrais triplas 63
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Integração Tripla: Domínios Paralelepípedais . . . . 64
4.3 Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Li-
mitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6 Propriedades das Integrais Triplas . . . . . . . . . . 68
4.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 81
Aula 5: Mudança de Variáveis em Integrais tríplas 83
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas . . . . . . 84
5.3 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 104
Aula 6: Algumas Aplicações das Integrais tríplas 105
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3 Algumas Aplicações da Integral Tripla . . . . . . . . 110
6.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 120
Aula 7: Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3
123
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2 Curvas em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3 Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia de
Curvas em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.4 Campos Vetoriais: Trabalho, Circulação e Fluxo . . . 128
7.5 Independência do Caminho . . . . . . . . . . . . . . 130
7.6 Algumas Aplicações das Integrais de Linha . . . . . 133
7.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 143
Aula 8: Integrais de Superfícies 145
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.2 Superfícies em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.3 Área de Superfícies em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . 147
8.4 Momento de massa e Momento de Inércia de Super-
fícies de Casca Fina em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . 151
8.5 Superfícies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . 155
8.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 165
Aula 9: Teorema de Green e Teorema de Stokes 167
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.3 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.4 Estendendo o Teorema de Green para Outras Regiões 175
9.5 Verificação do Teorema de Green . . . . . . . . . . 178
9.6 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.7 Aplicação do Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . 183
9.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 188
Aula 10: Teorema de Divergência 189
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.3 Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.4 Estendendo o Teorema da Divergência . . . . . . . . 194
10.5 Algumas Aplicações do Teorema da Divergência . . 196
10.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 203
AULA
1Integrais Duplas
META:
Apresentar integrais duplas de funções de valores reais e domínio
em R2.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Definir a integral dupla de funções de valores reais e domínio em
R2.
Calcular algumas integrais duplas de funções de valores reais e do-
mínio em R2.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I.
Integrais Duplas
1.1 Introdução
Caros alunos iniciamos aqui nosso curso de Cálculo III com o
tema “Integrais Dupla”. A integração dupla, em essência, é uma
extensão natural da integral simples vista em Cálculo I e definida
como limite de somas de Riemann. Na prática, a integração dupla
é dada por duas integrações simples, cada uma efetuada sobre uma
variável e considerando as demais como constantes. É o que de-
nominamos de integrais interadas. Suas características e detalhes
próprios serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas duas
aulas.
1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares
Começamos por considerar uma função f definida em um do-
mínio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a≤ x ≤ b∧c ≤ y ≤ d}. Formal-
mente f : [a, b]× [c, d] 7→ R. Usando a imaginação, pensemos em R
coberta por uma rede de retas paralelas aos eixos coordenados e que
dividem R em pequenos retângulos (Fig. 1.1) . Oficialmente, con-
sideraremos duas partições P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . ,
xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d} onde
como visto em Cálculo I temos: x0 < x1 < · · · < xj < xj+1 <
· · · < xm e y0 < y1 < · · · < yk < yk+1 < · · · < yn.
Desta forma cada um dos Ij = [xj−1, xj ] e Jk = [yk−1, yk] pe-
quenos subintervalos têm comprimentos ∆xj = xj −xj−1 e ∆yk =
yk−yk−1, respectivamente. Definimos, agora, a uma partição para
o retângulo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto carte-
siano das partições P [a, b] e P [c, d]. As retas retalham a região
R em uma série de retângulos Ajk = [xj−1, xj ] × [yk−1, yk], 1 ≤
12
Cálculo III AULA
1
Figura 1.1: Partição de R = [a, b]× [c, d]
j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. A area de cada pequeno retângulo é dada
por ∆Ajk = ∆xj∆yk. Como tanto ∆xj quanto ∆yk são dife-
rentes de zero, a área de cada pequeno retângulo é também di-
ferente de zero. Podemos então definir a norma da partição por:
|P | = max
1≤j≤m
1≤k≤n
(∆Ajk), que corresponde a maior área entre todos os
pequeno retângulo.
Pausa para respirar que já vamos definir a integral dupla sobre
domínios retangulares. Para isto tomamos um ponto (ξj , ζk) ∈
BIOGRAFIA
Georg Friedrich
Bernhard Riemann
nasceu em Breselenz,
Reino de Hanôver,
17 de Setembro de
1826 e morreu em
Selasca, Itália, 20 de
Junho de 1866, foi um
matemático alemão,
com contribuições
fundamentais para a
análise e a geometria
diferencial. Wikipedia
[xj−1, xj ]× [yk−1, yk] em cada pequeno retângulo e definimos a se-
guinte soma de Riemann:
Smn =
m∑
j=1
n∑
k=1
f(ξj , ζk)∆Ajk
A integral dupla da função f(x, y) sobre o retângulo R, denotada∫ ∫
R
f(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:
∫ ∫
R
f(x, y)dxdy def= lim
|P |→0
Smn
13
Integrais Duplas
Figura 1.2: Soma de Riemann para f(x, y) em R = [a, b]× [c, d]
1.3 Integral Dupla: Domínios Não Retangula-
res Limitados
Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 7→ R
onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, co-
meçamos por considerar uma função F definida em um domí-
nio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal
que D ⊂ R e F (x, y) =
 f(x, y) , (x, y) ∈ D0 , (x, y) /∈ D . Formalmente
F : [a, b] × [c, d] 7→ R é uma extensão da função f(x, y). Usando
a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de retas pa-
ralelas aos eixos coordenados e que dividem R em pequenos re-
tângulos e procedemos como na integral dupla sobre domínios re-
tangulares, considerando a uma partição para o retângulo R por
14
Cálculo III AULA
1P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições
P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . , xm =
b} e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d}. Do mesmo
modo definimos a norma da partição por: |P | = max
1≤j≤m
1≤k≤n
(∆Ajk)
onde ∆Ajk = ∆xj∆yk, ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1. To-
mamos um ponto (ξj , ζk) ∈ [xj−1, xj ]× [yk−1, yk] em cada pequeno
retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann para a função
estendida F (x, y):
Smn =
m∑
j=1
n∑
k=1
F (ξj , ζk)∆Ajk
A integral dupla da função f(x, y) sobre o domínio D ⊂ R2, deno-
tada
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy def= lim
|P |→0
Smn
Observem na partição (Fig. 1.3) que apenas os pequenos retân-
gulos cinza claro contribuem para a soma de Riemann os demais
têm contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes
estão fora de D ⊂ R2 e portanto F (ξj , ζk) = 0.
1.4 Interpretação Geométrica
Quando a função f(x, y) é positiva na região R, como a da
(Fig. 1.2), vemos que a soma de Riemann aproxima o volume do
prisma sólido reto limitado inferiormente por R e superiormente
pela superfície z = f(x, y) e quanto maior for o refinamento da par-
tição de R melhor será a aproximação. Podemos então, interpretar
a integral dupla
∫ ∫
R
f(x, y)dxdy como o volume do prisma sólido
15
Integrais Duplas
Figura 1.3: Partição para F (x, y) em R = [a, b]× [c, d]
reto limitado inferiormente por R e superiormente pela superfície
z = f(x, y).
1.5 Integrais Iteradas
Do mesmo modo que para a integral simples, na integral dupla
a soma de Riemann não é um modo prático de se calcular uma
integral dupla. Vejamos agora um procedimento que facilitará o
cálculo de integrais duplas. Vamos exemplificar calculando o vo-
lume de um prisma reto de base retangular, limitado inferiormente
por [a, b] × [c, d] e superiormente pela função de valores positivos
f(x, y). para cada valor fixo de x no intervalo [a, b] consideremos
o perfil A(x) (área da seção transversal em x) (Fig. 1.4) fazemos
o produto por dx e integramos no intervalo [a, b]. Isto resulta no
16
Cálculo III AULA
1
Figura 1.4: A(x), x fixo, integramos em relação a y
volume do citado prisma.
V =
∫ b
a
A(x)dx
Por outro lado o perfil A(x) é dada pela área abaixo da curva
f(x, y), fixado o x, entre os valores de y no intervalo [c, d]. E como
vimos em Cálculo I A(x) =
∫ d
c
f(x, y)dy.
O volume do prisma pode ser então escrito como:
V =
∫ b
a
[∫ d
c
f(x, y)dy
]
dx
.
Podemos alternativamente calcular o mesmo volume considerando
os perfis A(y) (área da seção transversal em y) (Fig. 1.5) fazemos
o produto por dy e integramos no intervalo [c, d]. Isto resulta no
volume do citado prisma.
17
Integrais Duplas
Figura 1.5: A(y), y fixo, integramos em relação a x
V =
∫ d
c
A(y)dy
Da mesma forma como vimos em Cálculo I A(y) =
∫ b
a
f(x, y)dx.
O volume do prisma pode ser então escrito como:
V =
∫ d
c
[∫ b
a
f(x, y)dx
]
dy
.
Como o volume dado pelas duas expressões é o mesmo temos que:
∫ d
c
[∫ b
a
f(x, y)dx
]
dy =
∫ b
a
[∫ d
c
f(x, y)dy
]
dx
ou seja a ordem em que as integrais simples são executadas não
altera o resultado final da integração dupla em domínios retangu-
lares. Este procedimento e conhecido como integrais iteradas.
18
Cálculo III AULA
11.6 Propriedades das Integrais Duplas
Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem de-
monstração, alguma das propriedades das integrais duplas. Caso
desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades,
recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na biblio-
grafia abaixo.
Propriedade 1.1. Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores
reais integrável em D e c ∈ R, então vale:
∫ ∫
D
cf(x, y)dxdy = c
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy
Propriedade 1.2. Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de
valores reais integráveis em D, então vale:
∫ ∫
D
(f + g)(x, y)dxdy =
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy +
∫ ∫
D
g(x, y)dxdy
Propriedade 1.3. Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores
reais integrável em D tal que f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale:
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy ≥ 0
Propriedade 1.4. Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de va-
lores reais integráveis em D tais que f(x, y) ≥ g(x, y),∀(x, y) ∈ D,
então vale:
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy ≥
∫ ∫
D
g(x, y)dxdy
Propriedade 1.5. Seja f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores
reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um
19
Integrais Duplas
número finito de curvas em R2, então vale:
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
A
f(x, y)dxdy +
∫ ∫
B
f(x, y)dxdy
OBS 1.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “line-
aridade” do operador integral dupla. As terceira e quarta pro-
priedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta
propriedade é denominada “aditividade”.
1.7 Alguns ExemplosNada mais natural que ilustrar um novo conceito com exem-
plos e, vamos aqui fazer exatamente isto, ilustrar o conceito de
integral dupla com dois exemplos. Antes porém, vale observar que
a na prática uma integral dupla equivale a duas integrais simples e
neste caso uma pergunta fica no ar e não deixaremos sem resposta.
Qual das duas variáveis x ou y integraremos primeiro? Muito bem,
a resposta é dada pela propria expressão da integral dupla. Isto
é, na integral
∫ ∫
R
f(x, y)dxdy primeiramente integramos na va-
riável x e depois na variável y. Já na integral
∫ ∫
R
f(x, y)dydx
primeiramente integramos na variável y e depois na variável x.
Vamos diretamente para o primeiro exemplo de integral dupla so-
bre domínios retangulares. A saber:
Exemplo 1.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R (Fig.
1.6) dada por f(x, y) = exp(−x− y) e determine a integral dupla
I =
∫ ∫
R
f(x, y)dxdy sobre a região R = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤
1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1}.
20
Cálculo III AULA
1
Figura 1.6: Função f : [0, 1]× [0, 1] 7→ R: f(x, y) = exp(−x− y)
SOLUÇÃO:
Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a
região R dada, segundo a ordem de integração:
I =
∫ 1
0
∫ 1
0
exp(−x− y)dxdy
Lembrando que: exp(−x− y) = exp(−x) exp(−y) temos:
I =
∫ 1
0
∫ 1
0
exp(−x) exp(−y)dxdy
Passo 2 integraremos na variável x considerando a variável y
como uma constante:
I =
∫ 1
0
(
− exp(−x)
∣∣∣1
0
)
exp(−y)dy
Substituindo os limites de integração temos:
I =
∫ 1
0
(− exp(−1)− (− exp(−0))) exp(−y)dy
Efetuando os cálculos temos:
I =
∫ 1
0
(1− exp(−1)) exp(−y)dy
Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável:
I = (1− exp(−1))
(
− exp(−y)
∣∣∣1
0
)
Substituindo os limites de integração temos:
I = (1− exp(−1)) (− exp(−1)− (− exp(−0)))
Efetuando os cálculos temos:
21
Integrais Duplas
I = (1− exp(−1))2 �
OBS 1.2. Daremos aqui um método prático para determinar os
limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não re-
tangular da forma: D.
Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando
as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D.
Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento
de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento
AB na Fig. 1.7)
Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na
Figura 1.7: Determinação prática dos limites para D
direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D
marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7).
Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na
direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D
marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7).
Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg-
22
Cálculo III AULA
1mento de reta AB através da região D. O limite inferior para a
variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento
entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x),
ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D.
Nossa integral será efetuada assim:
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy =
∫ b
a
∫ b(x)
a(x)
f(x, y)dydx
Exemplo 1.2. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R (Fig.
1.8) dada por f(x, y) = y(3x− x2 − y) e determine a integral du-
pla I =
∫ ∫
R
f(x, y)dxdy sobre a região D ∈ R2 interseção das
curvas y = 0 e y = 3x− x2.
Figura 1.8: Função f : [0, 1]× [0, 1] 7→ R: f(x, y) = x.y
SOLUÇÃO:
Passo 1 faremos o desenho das duas curvas que determinam os
limites para a região D. A saber y = 0 e y = 3x− x2 (Fig. 1.9).
Passo 2 usando o processo prático exposto acima determinamos
os limites de integração. A saber: a = 0, b = 3, a(x) = 0 e
b(x) = 3x− x2.
23
Integrais Duplas
Figura 1.9: Limites para o domínio D
A integral passa a ser escrita como:
I =
∫ ∫
f(x, y)dxdy =
∫ 3
0
∫ 3x−x2
0
y(3x− x2 − y)dydx
Operando no integrando fazendo o produto por y temos:
I =
∫ 3
0
∫ 3x−x2
0
(y(3x− x2)− y2)dydx
Passo 3 efetuando a integração em y temos:
I =
∫ 3
0
(
y2
2
(3x− x2)− y
3
3
)
∣∣∣3x−x2
0
dx
Substituindo os limit3es de integração temos:
I =
∫ 3
0
(
(3x− x2)2
2
(3x− x2)− (3x− x
2)3
3
)dx
Efetuando as simplificações teremos:
I =
∫ 3
0
(3x− x2)3
6
dx
Expandindo o binômio de Newton temos:
I =
1
6
∫ 3
0
(27x3 − 27x4 + 9x5 − x6)dx
Passo 4 efetuando a integração em x temos:
I =
1
6
(27
x4
4
− 27x
5
5
+ 9
x6
6
− x
7
7
)
∣∣∣3
0
Substituindo os limit3es de integração temos:
I =
1
6
(27
34
4
− 273
5
5
+ 9
36
6
− 3
7
7
)
Efetuando os cálculos, garantido muito trabalho, temos:
24
Cálculo III AULA
1
I =
729
280
�
1.8 Conclusão
Na aula de hoje, vimos que a integral dupla é uma extensão
natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I. E se
por um lado a integral simples pode ser interpretada como a área
sob a curva descrita pela função a ser integrada, a integral dupla
pode ser vista como o volume sob a superfície descrita pela função
a ser duplamente integrada.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 01 constam os seguintes tópicos:
Integração Dupla: Domínios retangulares
Considerando uma função f : R 7→ R onde R = {(x, y) ∈ R2|a ≤
x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} é um retângulo em R2. Podemos cobri-lo com
uma malha de retas formada pela partição: P = P [R] = P [a, b]×
P [c, d] onde cada P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . , xn = b}
e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , ym = d} são partições
dos intervalos [a, b] em x e [c, d] em y respectivamente. A ma-
lha divide R nos retângulos Ajk = [xj−1, xj ] × [yk−1, yk], 1 ≤ j ≤
n, 1 ≤ k ≤ m de área ∆Ajk = ∆xj∆yk onde ∆xj = xj − xj−1
e ∆yk = yk − yk−1 são os comprimentos dos subintervalos Ij =
[xj−1, xj ] e Jk = [yk−1, yk] respectivamente. Defini-se a norma da
partição por: |P | = max
1≤j≤n
1≤k≤m
(∆Ajk). Toma-se um ponto (ξj , ζk) ∈
25
Integrais Duplas
[xj−1, xj ]× [yk−1, yk] em cada retângulo Ajk e definimos a seguinte
soma de Riemann:
Snm =
n∑
j=1
m∑
k=1
f(ξj , ζk)∆Ajk
A integral dupla da função f(x, ) sobre o retângulo R, denotada∫ ∫
R
f(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:∫ ∫
R
f(x, y)dxdy def= lim
|P |→0
Snm
Integração Dupla: Domínios não Retangulares
Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 7→ R
onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, co-
meçamos por considerar uma função F definida em um domí-
nio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal
que D ⊂ R e F (x, y) =
 f(x, y) , (x, y) ∈ D0 , (x, y) /∈ D . Formalmente
F : [a, b] × [c, d] 7→ R é uma extensão da função f(x, y). A partir
daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição da inte-
gral dupla em domínios retangulares. Podemos definir a integral
dupla de uma função f(x, y) em um domínio não retangular D por:
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy def= lim
|P |→0
Smn
onde: Smn =
∑m
j=1
∑n
k=1 F (ξj , ζk)∆Ajk. é a soma de Riemann
para F (x, y)
Integrais Iteradas
As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R =
26
Cálculo III AULA
1[a, b]× [c, d] a ordem de execução das integrais simples não alteram
o valor da integral dupla, que pode ser representada por:
∫ d
c
[∫ b
a
f(x, y)dx
]
dy =
∫ b
a
[∫ d
c
f(x, y)dy
]
dx
.
Propriedades das Integrais Duplas
As integrais duplas são de certo modo semelhantes às propriedades
das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase que uma
extensão natural destas. As integrais duplas têm, entre outras, as
seguintes propriedades:
Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores
reais integrável em D e c ∈ R,então vale:
∫ ∫
D
cf(x, y)dxdy = c
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy
Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valores
reais integráveis em D, então vale:
∫ ∫
D
(f + g)(x, y)dxdy =
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy +
∫ ∫
D
g(x, y)dxdy
Propriedade 3 Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores
reais integrável em D tal que f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale:
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy ≥ 0
27
Integrais Duplas
Propriedade 4 Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valo-
res reais integráveis em D tais que f(x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D,
então vale:
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy ≥
∫ ∫
D
g(x, y)dxdy
Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores
reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um
número finito de curvas em R2, então vale:
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
A
f(x, y)dxdy +
∫ ∫
B
f(x, y)dxdy
Determinação dos Limites de Integração
Para determinar os limites de integração em uma integral dupla
sobre domínio não retangular da forma: D seguimos os seguintes
passos:
Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando
as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D.
Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento
de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento
AB na Fig. 1.7)
Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na
direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D
marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7).
28
Cálculo III AULA
1Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na
direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D
marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7).
Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg-
mento de reta AB através da região D. O limite inferior para a
variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento
entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x),
ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D.
Nossa integral será efetuada assim:
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy =
∫ b
a
∫ b(x)
a(x)
f(x, y)dydx
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na in-
tegração dupla. O objetivo da mudança de variáveis em uma in-
tegral dupla será a de facilitar esta integração de uma de duas
formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A
segunda transformando o domínioD do integrando em um domínio
de forma geométrica mais simples.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais du-
plas.
ATIV. 1.1. Seja f : [−1,+1]× [−1,+1] 7→ R dada por f(x, y) =
29
Integrais Duplas
x2 + y2. Determine a integral dupla
∫ ∫
R
f(x, y)dxdy.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão
de guia.
ATIV. 1.2. Seja f : D ⊂ R2 7→ R dada por f(x, y) = x2 + y2,
onde D = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 1− x2}.
• Determine os limites da integral dupla
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy,
• esboce a região de integração e
• calcule a integral dupla
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão
de guia.
LEITURA COMPLEMENTAR
ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros
Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume
2, Editora Harbra, 1994.
STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN-
GAGE Learning, 2009.
SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume
2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.
THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,
30
Cálculo III AULA
12003.
KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard
Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora
McGraw-Hill do Brasil, 1971.
BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.
31
AULA
2Mudança de Variáveis emIntegrais Duplas
META:
Introduzir mudança de variáveis em integrais duplas de funções de
valores reais e domínio em R2.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Calcular o jacobiano de aplicações de R2 em R2.
Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em
R2 utilizando mudança de variáveis.
Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em
R2 em coordenadas polares.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas
polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01.
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
2.1 Introdução
Caros alunos a segunda aula do nosso curso de Cálculo III
tem com o tema “Mudança de Variáveis em Integrais Duplas”. As
vezes, na integral dupla
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy, dada a natureza ou de
HISTÓRIA
O teorema de mu-
dança de variáveis
em integrais duplas
foi primeiro proposto
por Euler quando ele
desenvolveu a noção
de integral dupla em
1769. Usado por
Legendre, Laplace e
Gauss, foi primeira-
mente generalizado
para n variáveis por
Mikhail Ostrogradski
em 1836, resistiu a
uma demonstração
mais rigorosa por longo
tempo (cerca de 125
anos). E foi satisfató-
riamente demonstrado
por Elie Cartan em
uma série de artigos
nos anos 1890.
f(x, y) ao do seu domínio D, fica mais fácil integrar se fizermos
uma mudança nas variáveis de integração, como quando D é uma
disco, um semi-disco, um setor circular ou mesmo uma faixa de
disco, usando-se o sistema de coordenadas polares de modo geral
a integral dupla é mais fácil de se determinar que em coordenadas
cartesianas.
2.2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Caros alunos começaremos revendo mudança de variáveis em
integrais simples. Considere uma função f : [a, b] 7→ R. A idéia
é mudar a variável inicial x para uma nova variável ξ relaciona-
das por x = g(ξ), onde g(ξ) é uma função biunívoca estritamente
crescente ou estritamente decrescente em [a, b]. Isto garante que
podemos inverter a mudança de variáveis.
Seja F (x) uma anti-derivada de f(x) tal que F ′(x) = f(x). Então,
da regra da cadeia temos:
d
dξ
F (g(ξ)) = F ′(g(ξ))g′(ξ) = f(g(ξ))g′(ξ).
Integrando com respeito a ξ temos:∫
d
dξ
F (g(ξ))dξ =
∫
f(g(ξ))g′(ξ)dξ
Das propriedades da integral temos:
F (g(ξ)) + C =
∫
f(g(ξ))g′(ξ)dξ
Como x = g(ξ) temos:
F (x) + C =
∫
f(g(ξ))g′(ξ)dξ
34
Cálculo III AULA
2Como F (x) é uma primitiva de f(x) a primeira expressão é a in-
tegral indefinida de f(x) com respeito a x e temos:∫
f(x)dx =
∫
f(g(ξ))g′(ξ)dξ
Que representa a mudança de variáveis em uma integral simples.
Para integrais definidas, se c = g(a) e d = g(b) então:∫ b
a
f(x)dx =
∫ d
c
f(g(ξ))g′(ξ)dξ
A expressão acima funciona bem quando g(ξ) é crescente neste
caso a < b e c < d. Porém, no caso de g(ξ) decrescente (g′(ξ) < 0)
pois neste caso a < b e d < c e portanto o limite inferior da se-
gunda integral não conhecide com o limite inferior do intervalo da
imagem de g(ξ) o mesmo acontecendo com o limite superior. Neste
caso, usando as propriedades da integral simples temos:∫ b
a
f(x)dx = −
∫ c
d
f(g(ξ))g′(ξ)dξ
De outra forma escrevemos:∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
d
f(g(ξ))|g′(ξ)|dξ.
e operaremos os limites inferiores e superiors das integrais como os
limites inferiores e superiores dos domínios (intervalos) e a expres-
são acima vale tanto pra g(ξ) crescente quanto decrescente. Vamos
OBSERVAÇÃO
heurística heu.rís.ti.ca
sf (gr heuristiké) 1
Ciência ou arte do pro-
cedimento heurístico.
2 Método de ensino
que consiste em que
o educando chegue à
verdade por seus pró-
prios meios. 3 Ramo
da ciência histórica que
consistena pesquisa
dos documentos do
passado.
agora diretamente ao assunto dando uma argumentação heurística
para a expressão da mudança de variáveis em integrais duplas.
Para isto, consideremos a integral dupla
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy sobre
uma região D ∈ R2 do plano (x, y) e a transformação (x, y) =
T (u, v) tal que o domínio D do plano (x, y) seja a imagem do
domínio D′ do plano (u, v) (podemos expressar este fato como
D = T (D′)). Mais especificamente podemos escrever: x = xˆ(u, v)
e y = yˆ(u, v) tomando uma partição para o domínio D′ no plano
(u, v) cobrindo-o com pequenos retângulos e usando a transforma-
ção T podemos levar o pequeno retângulo A′jk na pequena figura
35
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
plana Ajk = T (A′jk) (ver Fig 2.1 e Fig 2.2). A área do pequeno
retângulo no plano (u, v) é ∆A′jk a área da pequena figura Ajk no
plano (x, j), e ai é que reside a argumentação heurística, será apro-
ximada pela área do paralelogramo formado pelos vetores
∂T
∂v
∆vk
e
∂T
∂u
∆uj e pelas linhas tracejadas (paralelas aos respectivos veto-
res). Do calculo vetorial temos:
∂T
∂u
∆uj =
∂xˆ
∂u
∆uj~i+
∂yˆ
∂u
∆uj~j + 0~k.
∂T
∂v
∆vk =
∂xˆ
∂v
∆vk~i+
∂yˆ
∂v
∆vk~j + 0~k
Vistos como vetores de R3 e a área do paralelogramo (ver Vetores
e Geometria Analítica) dada pelo módulo do seguinte produto ve-
torial:
∆Ajk =
∣∣∣∂T
∂u
∆uj × ∂T
∂v
∆vk
∣∣∣.
Fazendo o cálculo do produto vetorial temos:
∂T
∂u
∆uj × ∂T
∂v
∆vk = det

~i ~j ~k
∂xˆ
∂u
∆uj
∂yˆ
∂u
∆uj 0
∂xˆ
∂v
∆vk
∂yˆ
∂v
∆vk 0

Fazendo os cálculos temos:
∂T
∂u
∆uj × ∂T
∂v
∆vk =
(∂xˆ
∂u
∂yˆ
∂v
− ∂xˆ
∂v
∂yˆ
∂u
)
∆uj∆vk~k.
Tomando o módulo da expressão acima, para a área de Ajk, temos:
∆Ajk ≈
∣∣∣∂xˆ
∂u
∂yˆ
∂v
− ∂xˆ
∂v
∂yˆ
∂u
∣∣∣∆uj∆vk.
A expressão dentro do módulo é o determinante de uma matrix
2 × 2 conhecida como jacobiano da transformação x = xˆ(u, v) e
y = yˆ(u, v) e denotado:
∂(x, y)
∂(u, v)
= det
 ∂xˆ∂u ∂yˆ∂u∂xˆ
∂v
∂yˆ
∂v
 = ∂xˆ
∂u
∂yˆ
∂v
− ∂xˆ
∂v
∂yˆ
∂u
.
Como a área do pequeno retânguloA′jk é dada por ∆A
′
jk = ∆uj∆vk
temos:
∆Ajk ≈
∣∣∣∂(x, y)
∂(u, v)
∣∣∣∆A′jk.
36
Cálculo III AULA
2
Figura 2.1: Plano (u, v) Figura 2.2: Plano (x, y)
O que nos leva a considerar a seguinte fórmula para a mudança de
variáveis em integrais duplas:∫ ∫
D
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
D′
f(xˆ(u, v), yˆ(u, v))
∣∣∣∂(x, y)
∂(u, v)
∣∣∣dudv.
Que representa a mudança de variáveis na integral dupla pela
transformação (x, y) = T (u, v).
OBS 2.1. Para o caso particular da mudança de variáveis do sis-
tema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas
polares (x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = xˆ(r, ϑ) =
r cos(ϑ) e y = yˆ(r, ϑ) = r sin(ϑ), o jacobiano é dado por:
∂(x, y)
∂(r, ϑ)
= det
 ∂xˆ∂r ∂yˆ∂r∂xˆ
∂ϑ
∂yˆ
∂ϑ
 = det
 cos(ϑ) sin(ϑ)
−r sin(ϑ) r cos(ϑ)
 = r.
Portanto o jacobiano da transformação
∂(x, y)
∂(r, ϑ)
= r a mudança de
variáveis na integral dupla toma a forma:∫ ∫
D
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
D′
f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ.
OBS 2.2. Daremos aqui um método prático para determinar os
limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não re-
tangular da forma: D em coordenadas polares.
37
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando
as curvas que limitam a região D.
Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio ~rrr(ϑ) orientado
na direção positiva (Fig. 2.3)
Passo 3 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ (di-
NOTA
Por convenção a
medida de ângulo tem
sinal positivo quando o
deslocamento é feito na
direção anti-horária,
direção contrária ao
movimento dos pon-
teiros do relógio e tem
sinal negativo quando
o deslocamento é feito
na direção horária,
direção do movimento
dos ponteiros do
relógio.
reção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando
Figura 2.3: Determinação prática dos limites para D
o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3).
Passo 4 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ
(direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D mar-
cando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3).
Passo 5 Tomando um ponto qualquer ϑ ∈ (α, β) passamos o raio
~rrr(ϑ) através de D o limite inferior para a variável r será a função
α(ϑ), ponto da curva onde o raio ~rrr(ϑ) entra na região D e o limite
superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio
~rrr(ϑ) sai da região D.
Nossa integral será efetuada assim:
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy =
∫ β
α
∫ β(ϑ)
α(ϑ)
f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ
38
Cálculo III AULA
22.3 Alguns Exemplos
Caros alunos, nesta seção ilustraremos, com dois exemplos, a
mudança de variáveis em integrais duplas. A rigor, trataremos
apenas de exemplos em coordenadas polares.
Exemplo 2.1. Determinar a integral dupla
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy onde
D = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x2 + y2 ≤ 1} e f(x, y) =
exp(−x2 − y2). O domínio da função representa um quarto de
disco (Fig 2.4).
Figura 2.4: Gráfico do exemplo 1
SOLUÇÃO:
Passo 1 Como o domínio D é um quarto de disco, o mais ade-
quado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Podemos usar
o método prático de determinação dos limites da integral dupla
em coordenadas polares (Fig 2.5) e verificar que: α = 0, β =
pi
2
,
α(ϑ) = 0 e β(ϑ) = 1.
Neste caso podemos descrever o domínio como: D′ = {(r, ϑ) ∈
R2|0 ≤ r ≤ 1∧0 ≤ ϑ ≤ pi/2}. E como x = r cos(ϑ) e y = r sin(ϑ) e
39
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Figura 2.5: Gráfico do exemplo 1
o módulo do jacobiano da transformação é dado por:
∣∣∣∣∂(x, y)∂(r, ϑ)
∣∣∣∣ = r.
Quanto a variável r varia no intervalo [0, 1] independentemente de
ϑ e a variável ϑ varia no intervalo [0, pi/2] ( a variação de ângulo no
primeiro quadrante). Podemos reescrever a integral dupla como:
I =
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy =
∫ 1
0
∫ pi/2
0
f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdϑdr Subs-
tituindo f(x, y) temos:
I =
∫ 1
0
∫ pi/2
0
exp(−(r cos(ϑ))2 − (r sin(ϑ))2)rdϑdr
Efetuando as simplificações temos:
I =
∫ 1
0
∫ pi/2
0
exp(−r2)rdϑdr
Passo 2 Integrando primeiramente na variável ϑ e como o inte-
grando não depende de ϑ temos:
I =
∫ 1
0
exp(−r2)ϑ
∣∣∣pi/2
0
rdr
Substituindo os limites de integração temos:
I = pi/2
∫ 1
0
exp(−r2)rdr
Passo 3 A última integral (variável r) podemos efetuar por mu-
dança de variáveis pondo ξ = r2 deste modo temos: dξ = 2rdr
ou seja rdr = −1
2
dξ e os limites r
 10 e ξ
 10 . Daí, a integral
40
Cálculo III AULA
2passará a forma:
I = pi/4
∫ 1
0
exp(−ξ)dξ
Cuja integração é fácil e da forma:
I = pi/4− exp(−ξ)
∣∣∣1
0
Efetuando os cálculo temos:
I =
pi
4
(1− exp(−1)) �
Vamos agora, diretamente ao nosso segundo exemplo. Trata-se de
uma curva já conhecida de vocês (Cálculo II) a lemniscata.
Exemplo 2.2. Determinar a área da região D, a parte da lemnis-
cata, r =
√
cos(2ϑ), que situa-se no primeiro quadrante. ver parte
cinza da (Fig 2.6).
Figura 2.6: Gráfico do exemplo 2
SOLUÇÃO:
Passo 1 Como o domínio D é um quarto de uma lemniscata, o
mais adequado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Pode-
mos usar o método prático de determinação dos limites da integral
dupla em coordenadas polares (Fig 2.7) e verificar que: α = 0,
41
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
β =
pi
4
, α(ϑ) = 0 e β(ϑ) =
√
cos(2ϑ).
Figura 2.7: Gráfico do exemplo 2
Neste caso podemos descrever o domínio como: D′ = {(r, ϑ) ∈
R2|0 ≤ ϑ ≤ pi/4 ∧ 0 ≤ r ≤ √cos(2ϑ)}. E como, neste exemplo,
queremos calcular área temos que f(x, y) = 1 e em coordenadaspolares podemos escrever na forma da seguinte integral dupla:
A =
∫ ∫
D
dxdy =
∫ pi/4
0
∫ √cos(2ϑ)
0
rdrdϑ
Integrando em r temos:
A =
∫ pi/4
0
r2
2
∣∣∣√cos(2ϑ)
0
dϑ
Substituindo os limites de integração temos:
A =
∫ pi/4
0
(√
cos(2ϑ)
)2
2
dϑ
Simplificando o integrando temos:
A =
∫ pi/4
0
cos(2ϑ)
2
dϑ
Integrando na variável ϑ temos:
A =
sin(2ϑ)
4
∣∣∣pi/4
0
Substituindo os limites de integração temos:
A =
sin(pi/2)− sin(0)
4
Portanto:
A =
1
4
�
42
Cálculo III AULA
2
OBS 2.3. Caros alunos, é muito importante neste ponto uma revi-
são cuidadosa e detalhada dos dois exemplos dados acima. Efetuar
uma mudança de varáveis em integrais duplas não é tão simples
quanto efetuar uma mudança de variáveis em integrais simples.
2.4 Conclusão
Na aula de hoje, vimos que a mudança de variáveis em integrais
dupla, nos permite, facilitar o cálculo das ditas integrais quando
trabalhamos com domínios de integração de geometrias específicas,
como a induzida pelas coordenadas polares.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 02 constam os seguintes tópicos:
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Consideramos a transformação (x, y) = T (u, v) tal que o domínio
D do plano (x, y) seja transformado no domínio D′ do plano (u, v)
(D = T (D′)) e mais especificamente x = xˆ(u, v) e y = yˆ(u, v).
Definindo o jacobiano da transformação, denotado
∂(x, y)
∂(u, v)
, por:
∂(x, y)
∂(u, v)
= det
 ∂xˆ∂u ∂yˆ∂u∂xˆ
∂v
∂yˆ
∂v
 = ∂xˆ
∂u
∂yˆ
∂v
− ∂xˆ
∂v
∂yˆ
∂u
.
Vale então,a seguinte fórmula para a mudança de variáveis en in-
tegrais duplas:
43
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
D′
f(xˆ(u, v), yˆ(u, v))
∣∣∣∂(x, y)
∂(u, v)
∣∣∣dudv.
Sistema de Coordenadas Polares
Para o caso particular da mudança de variáveis do sistema de co-
ordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas polares no
cálculo de integrais duplas temos:
(x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = xˆ(r, ϑ) = r cos(ϑ) e
y = yˆ(r, ϑ) = r sin(ϑ).
Vale a seguinte transformação de variáveis:
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
D′
f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ.
Determinação dos Limites de Integração em Coordena-
das Polares
Daremos aqui um método prático para determinar os limites de
integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular
da forma: D em coordenadas polares.
Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando
as curvas que limitam a região D.
Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio ~rrr(ϑ) orientado
na direção positiva (Fig. 2.3)
Passo 3 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ (di-
reção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando
o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3).
Passo 4 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ
(direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D mar-
cando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3).
Passo 5 Tomando um ponto qualquer ϑ ∈ (α, β) passamos o raio
44
Cálculo III AULA
2~rrr(ϑ) através de D o limite inferior para a variável r será a função
α(ϑ), ponto da curva onde o raio ~rrr(ϑ) entra na região D e o limite
superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio
~rrr(ϑ) sai da região D.
Nossa integral será efetuada assim:
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy =
∫ β
α
∫ β(ϑ)
α(ϑ)
f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos algumas das inúmeras aplica-
ções da integral dupla. Nossa atenção estará voltada para o cálculo
do centro de massa de perfis planos bem como no cálculo de seus
momentos de inércia.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões.
ATIV. 2.1. Determine a área da parte da cardióide r(ϑ) = 1 +
cos(ϑ) que fica acima do eixo dos x (Fig 2.8) que está em cinza.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os
exemplos acima, eles lhe servirão de guia.
ATIV. 2.2. Determine a área entre a cardióide r(ϑ) = 1+cos(ϑ) e
o círculo r(ϑ) = 1 acima do eixo do x (Fig 2.9) que está em cinza.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os
exemplos acima, eles lhe servirão de guia.
45
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Figura 2.8: Atividade 1 Figura 2.9: Atividade 2
LEITURA COMPLEMENTAR
ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros
Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume
2, Editora Harbra, 1994.
STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN-
GAGE Learning, 2009.
SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume
2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.
THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,
2003.
KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard
Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora
McGraw-Hill do Brasil, 1971.
BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.
46
AULA
3Algumas Aplicações daIntegral Dupla
META:
Apresentar algumas aplicações das integrais duplas de funções de
valores reais e domínio em R2.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Determinar área, massa, centro de massa, momento de massa e
momento de inércia de figuras planas usando integrais duplas de
funções de valores reais e domínio em R2.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas
polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01 e aula 02.
Algumas Aplicações da Integral Dupla
3.1 Introdução
Caros alunos nesta terceira aula do nosso curso de Cálculo III
com o tema “Algumas Aplicações das Integrais Duplas”. Dentre as
inúmeras aplicações da integral dupla, veremos apenas duas pelo
pouco tempo que dispomos. Veremos apenas como usar as inte-
grais duplas para calcular a massa de uma região plana dada sua
distribuição de densidade e como calcular seu centro de gravidade.
Para outras aplicações recomendo uma busca na INTERNET
3.2 Preliminares
Consideraremos uma região D ⊂ R2 finita, com uma distri-
buição de densidade mássica superficial (massa por unidade de
superfície) %(x, y),∀(x, y) ∈ D.
Determinação da massa
Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida
em um domínio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤
y ≤ d} tal que D ⊂ R e Φ(x, y) =
 %(x, y) , (x, y) ∈ D0 , (x, y) /∈ D .
Considerando a uma partição para o retângulo R dada por P =
P [R] = P [a, b]×P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b]
e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . , xm = b}
e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d}. Tomamos um
ponto (ξj , ζk) ∈ [xj−1, xj ] × [yk−1, yk] em cada pequeno retângulo
e definimos a seguinte soma de Riemann:
Smn =
m∑
j=1
n∑
k=1
Φ(ξj , ζk)∆Ajk.
48
Cálculo III AULA
3A massa da regiãoD, denotadam(D), será a integral dupla da fun-
ção %(x, y) sobre o domínio D ⊂ R2, denotada
∫ ∫
D
%(x, y)dxdy
será então definida como o seguinte limite:
m(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)dxdy def= lim
|P |→0
Smn
.
OBS 3.1. Para a determinação do peso da região D toma-se a
seguinte soma de Riemann:
Smn =
m∑
j=1
n∑
k=1
g(ξj , ζk)Φ(ξj , ζk)∆Ajk
onde g(ξj , ζk) é a aceleração da gravidade no ponto (ξj , ζk). E o
peso da região D, denotado p(D), será dado pela integral dupla:
p(D) =
∫ ∫
D
g(x, y)%(x, y)dxdy def= lim
|P |→0
Smn
.
Determinação do Momento de Massa
Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa
de uma região D limitada com distribuição de densidade %(x, y).
Para calcular o momento de massade um pequeno retângulo com
relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξjΦ(ξj , ζk)∆Ajk. O
momento de massa total em relação ao eixo y para a região D será
aproximado pelo limite da soma de Riemann:
Smn =
m∑
j=1
n∑
k=1
ξjΦ(ξj , ζk)∆Ajk
.
O momento de massa da região D em relação ao eixo y será dada
49
Algumas Aplicações da Integral Dupla
pelo limite:
My(D) =
∫ ∫
D
x%(x, y)dxdy def= lim
|P |→0
Smn
.
De forma semelhante chega-se ao momento de massa da região D
em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann:
Smn =
m∑
j=1
n∑
k=1
ζkΦ(ξj , ζk)∆Ajk
.
O momento de massa da região D em relação ao eixo x será dada
pelo limite:
Mx(D) =
∫ ∫
D
y%(x, y)dxdy def= lim
|P |→0
Smn
.
Determinação do Centro de Massa
O centro de massa de uma região plana D ⊂ R2 finita, com uma
distribuição de densidade mássica superficial %(x, y), ∀(x, y) ∈ D,
é o ponto (x¯, y¯) definido por:
x¯ =
My(D)
m(d)
=
∫ ∫
D
x%(x, y)dxdy∫ ∫
D
%(x, y)dxdy
y¯ =
Mx(D)
m(d)
=
∫ ∫
D
y%(x, y)dxdy∫ ∫
D
%(x, y)dxdy
Determinação do Momento de Inércia
Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa
50
Cálculo III AULA
3de uma região D limitada com distribuição de densidade %(x, y).
Para calcular o momento de inércia de um pequeno retângulo com
relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξ2jΦ(ξj , ζk)∆Ajk. O
momento de inércia total em relação ao eixo y para a região D será
aproximado pelo limite da soma de Riemann:
Smn =
m∑
j=1
n∑
k=1
ξ2jΦ(ξj , ζk)∆Ajk
.
O momento de inércia da região D em relação ao eixo y será dada
pelo limite:
Iy(D) =
∫ ∫
D
x2%(x, y)dxdy def= lim
|P |→0
Smn
.
De forma semelhante chega-se ao momento de inércia da região D
em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann:
Smn =
m∑
j=1
n∑
k=1
ζ2kΦ(ξj , ζk)∆Ajk
.
O momento da região D em relação ao eixo x será dada pelo limite:
Ix(D) =
∫ ∫
D
y2%(x, y)dxdy def= lim
|P |→0
Smn
.
O momento de inércia em relação a origem é dado pela seguinte
integral dupla:
51
Algumas Aplicações da Integral Dupla
I0(D) =
∫ ∫
D
(x2 + y2)%(x, y)dxdy
.
3.3 Algumas Aplicações da Integral Dupla
Faremos duas aplicações da integral dupla ao cálculo do centro
de massa de duas figuras planas. Na primeira usaremos o sistema
de coordenadas cartesiano. Na segunda usaremos uma mudança
de variáveis para o sistema de coordenadas polares.
Vamos aos nossos exemplos.
Exemplo 3.1. Para o primeiro exemplo desejamos determinar o
centro de massa de uma região triangular D dada pela interseção
das retas x = 0, y = 0 e a reta que passa pelos pontos (0, a) e
(b, 0) com a, b > 0 (Fig 3.1), cuja densidade superficial de massa
é constante %(x, y) = %.
Figura 3.1: Gráfico do exemplo 1
52
Cálculo III AULA
3SOLUÇÃO:
Começaremos por determinar os limites de integração inspecio-
nando a (Fig 3.1) e verificando que 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ b(1− x
a
)
.
Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respec-
tivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx(D)
e My(D) respectivamente.
Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla:
m(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)dxdy =
∫ a
0
∫ b(1−x/a)
0
%dydx
Integrando em y temos:
m(D) = %
∫ a
0
y
∣∣∣b(1−x/a)
0
dx
Substituindo os limites de integração temos:
m(D) = %
∫ a
0
b
(
1− x
a
)
dx
Integrando em x temos:
m(D) = %b
(
x− x
2
2a
)∣∣∣a
0
Substituindo os limites de integração temos:
m(D) = %b
(
a− a
2
2a
)
Simplificando temos:
m(D) = %
ab
2
Passo 2 calcular o momento de massa Mx(D) dado pela integral
dupla:
Mx(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)ydxdy
Substituindo os limites temos:
Mx(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)ydxdy =
∫ a
0
∫ b(1−x/a)
0
%ydydx
Integrando em y teremos:
Mx(D) =
∫ a
0
%
y2
2
∣∣∣b(1−x/a)
0
dx
Substituindo os limites de integração temos:
Mx(D) =
∫ a
0
(b(1− x/a))2
2
dx
Simplificando o integrando temos:
53
Algumas Aplicações da Integral Dupla
Mx(D) = %
∫ a
0
(b2
2
− b
2x
a
+
b2x2
2a2
)
dx
Integrando em x teremos:
Mx(D) = %
(b2x
2
− b
2x2
2a
+
b2x3
6a2
)∣∣∣a
0
Substituindo os limites de integração temos:
Mx(D) = %
(b2a
2
− b
2a2
2a
+
b2a3
6a2
)
Simplificando as frações temos:
Mx(D) = %
b2a
6
Passo 3 calcular o momento de massa My(D) dado pela integral
dupla:
My(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)xdxdy
My(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)xdxdy
Substituindo os limites temos:
My(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)xdxdy =
∫ a
0
∫ b(1−x/a)
0
%xdydx
Integrando em y teremos:
My(D) =
∫ a
0
%xy
∣∣∣b(1−x/a)
0
dx
Substituindo os limites de integração temos:
My(D) =
∫ a
0
%bx
(
1− x
a
)
dx
Integrando em x teremos:
My(D) = %b
(x2
2
− x
3
3a
)∣∣∣a
0
Substituindo os limites de integração temos:
My(D) = %b
(a2
2
− a
3
3a
)
Simplificando as frações temos:
My(D) = %
ba2
6
Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas:
x¯ =
My(D)
m(D)
e y¯ =
Mx(D)
m(D)
.
Usando os resultados anteriores temos:
54
Cálculo III AULA
3
x¯ =
%
ba2
6
%
ab
2
e y¯ =
%
b2a
6
%
ab
2
Simplificando temos:
x¯ =
a
3
e y¯ =
b
3
�
Como segundo exemplo usaremos uma região em que o sistema de
coordenadas polares facilita os cálculos.
Exemplo 3.2. Para o segundo exemplo desejamos determinar o
centro de massa de uma região D dada pelo quarto da coroa cir-
cular de raio interno a e raio externo b que situa-se no primeiro
quadrante (Fig 3.2), cuja densidade superficial de massa é cons-
tante %(x, y) = %.
Figura 3.2: Gráfico do exemplo 2
SOLUÇÃO:
Começaremos por determinar os limites de integração inspecio-
nando a (Fig 3.2) e verificando que 0 ≤ ϑ ≤ pi/2 e a ≤ r ≤ b.
Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respec-
tivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx(D)
e My(D) respectivamente.
55
Algumas Aplicações da Integral Dupla
Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla:
m(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)dxdy =
∫ pi/2
0
∫ b
a
%rdrdϑ
Integrando em r temos:
m(D) =
∫ pi/2
0
%
r2
2
∣∣∣b
a
dϑ
Substituindo os limites de integração temos:
m(D) = %
∫ pi/2
0
(b2
2
− a
2
2
)
dϑ
Integrando em ϑ temos:
m(D) = %
(b2
2
− a
2
2
)
ϑ
∣∣∣pi/2
0
Substituindo os limites de integração temos:
m(D) =
1
4
%pi(b2 − a2)
Passo 2 calcular o momento de massa Mx(D) dado pela integral
dupla:
Mx(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)ydxdy
Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que
y = r sin(ϑ) temos:
Mx(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)ydxdy =
∫ pi/2
0
∫ b
a
%r sin(ϑ)rdrdϑ
Integrando em r temos:
Mx(D) = %
∫ pi/2
0
sin(ϑ)
r3
3
∣∣∣b
a
dϑ
Substituindo os limites de integração temos:
Mx(D) = %
∫ pi/2
0
sin(ϑ)
(b3
3
− a
3
3
)
dϑ
Integrando em ϑ temos:
Mx(D) = %
(b3
3
− a
3
3
)
(− cos(ϑ))
∣∣∣pi/2
0
Substituindo os limites de integração temos:
Mx(D) = %
(b3
3
− a
3
3
)
(− cos(pi/2)−− cos(0))
Simplificando temos:
Mx(D) =
1
3
%(b3 − a3)
Passo 3 calcular o momento de massa My(D) dado pela integral
dupla:
56
Cálculo III AULA
3
My(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)xdxdy
My(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)xdxdy
Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que
x = r cos(ϑ) temos:
Mx(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)ydxdy =
∫ pi/2
0
∫ b
a
%r cos(ϑ)rdrdϑ
Integrando em r temos:
Mx(D) = %
∫ pi/2
0
cos(ϑ)
r3
3
∣∣∣b
a
dϑ
Substituindo os limites de integração temos:
Mx(D) = %
∫ pi/2
0
cos(ϑ)
(b3
3
−a
3
3
)
dϑ
Integrando em ϑ temos:
Mx(D) = %
(b3
3
− a
3
3
)
(sin(ϑ))
∣∣∣pi/2
0
Substituindo os limites de integração temos:
Mx(D) = %
(b3
3
− a
3
3
)
(sin(pi/2)− sin(0))
Simplificando temos:
Mx(D) =
1
3
%(b3 − a3)
Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas:
x¯ =
My(D)
m(D)
e y¯ =
Mx(D)
m(D)
.
Usando os resultados anteriores temos:
x¯ = y¯ =
1
3
%(b3 − a3)
1
4
%pi(b2 − a2)
Levando em conta que b3 − a3 = (b− a)(b2 + ba+ a2) e b2 − a2 =
(b− a)(b+ a) temos:
x¯ = y¯ =
1
3
%(b− a)(b2 + ba+ a2)
1
4
%pi(b− a)(b+ a)
Simplificando temos:
x¯ = y¯ =
4
3pi
.
b2 + ba+ a2
b+ a
�
57
Algumas Aplicações da Integral Dupla
3.4 Conclusão
Na aula de hoje, vimos que dentre as inúmeras aplicações da
integral dupla, dentro da área da física destacamos, entre outras,
algumas das mais importantes que são: a determinação da massa
de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de
densidade, o cálculo do momento de massa de uma região plana
limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade, o mo-
mento de inércia de uma região plana limitada por curvas, dada
sua distribuição de densidade e o cálculo do centro de massa de
uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de
densidade.
RESUMO
Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia
Dada uma regiãoD ∈ R2 plana limitada com distribuição de densi-
dade superficial %(x, y) podemos calcular a massa deD, o momento
de massa em relação ao eixo x, o momento de massa relativo ao
eixo y, o momento de inércia em relação ao eixo x, o momento de
inércia relativo ao eixo y e momento de inércia relativo a origem,
denotados respectivamente m(D), Mx(D), My(D), Ix(D), Iy(D)
e I0(D), pelas integrais duplas:
m(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)dxdy
Mx(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)ydxdy
My(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)xdxdy
Ix(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)y2dxdy
58
Cálculo III AULA
3
Iy(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)x2dxdy e
I0(D) =
∫ ∫
D
%(x, y)(x2 + y2)dxdy
Centro de Massa
Podemos também calcular o centro de massa, denotado (x¯, y¯) usando
as seguintes fórmulas:
x¯ =
My(D)
m(d)
=
∫ ∫
D
x%(x, y)dxdy∫ ∫
D
%(x, y)dxdy
y¯ =
Mx(D)
m(d)
=
∫ ∫
D
y%(x, y)dxdy∫ ∫
D
%(x, y)dxdy
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos as integrais triplas. Primeira-
mente definindo-as para funções de domínios retangulares através
do limite de somas de riemann estendendo a definição para funções
definidas em domínios não retangulares porém limitados.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades dois problemas de determinação do
centro de massa.
ATIV. 3.1. Determine o centro de massa da região D dada pela
interseção das retas y = 0, x = 1 e y = ax2 (Fig 3.3) região em
cinza.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as
59
Algumas Aplicações da Integral Dupla
Figura 3.3: Atividade 1 Figura 3.4: Atividade 2
demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso
coordenadas cartesianas.
ATIV. 3.2. Determine o centro de massa da região D dada pelo
semi-círculo superior x2 + y2 = a2 (Fig 3.4) região em cinza.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as
demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso
coordenadas polares.
LEITURA COMPLEMENTAR
ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros
Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume
2, Editora Harbra, 1994.
STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN-
GAGE Learning, 2009.
SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume
2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.
60
Cálculo III AULA
3THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,
2003.
KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard
Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora
McGraw-Hill do Brasil, 1971.
BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.
61
AULA
4Integrais triplas
META:
Apresentar integrais triplas de funções de valores reais e domínio
em R3.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Definir integral tripla e calcular algumas integrais triplas de fun-
ções de valores reais e domínio em R3.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I.
Integrais triplas
4.1 Introdução
Caros alunos a quarta aula do nosso curso de Cálculo III com o
tema “Integrais Triplas”. Bem como a integral dupla, vista na nossa
primeira aula, a integração tripla, em essência, é uma extensão
natural da integral simples vista em Cálculo I e definida como
limite de somas de Riemann. Na prática, a integração tripla é dada
HISTÓRIA
A primeira técnica
sistemática documen-
tada para o cálculo
de integrais triplas no
cálculo de volume foi
o método da exaustão
de Eudoxus cerca
de 370AC. O maior
avanço no cálculo
de integrais triplas
veio do Iraque, no
século 11, na figura
de Ibn AL-Haythan
(conhecido na Europa
por Alhazen ). En-
quanto resolvia o que
ficou conhecido como
“Problema de Alhazen”
(um problema de ótica)
ele calculou o volume
de um parabolsóide
usando um método de
indução. Wikipédia.
por três integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável
e considerando as demais como constantes. É o que denominamos
de integrais interadas. As características e detalhes próprios das
integrais triplas serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas
três aulas.
4.2 Integração Tripla: Domínios Paralelepípe-
dais
Começamos por considerar uma função φ definida em um do-
mínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤
d ∧ e ≤ z ≤ f}. Formalmente φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] 7→ R.
Usando a imaginação, pensemos em R retalhada por uma rede
de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem R em
pequenos paralelepípedos. Oficialmente, consideraremos três par-
tições P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . , xl = b}, P [c, d] =
{y0 = c, y1, . . . , yj , yj+1, . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1,
. . . , zk, zk+1, . . . , zn = f} onde como visto em Cálculo I temos:
x0 < x1 < · · · < xi < xi+1 < · · · < xl, y0 < y1 < · · · < yj <
yj+1 < · · · < ym e z0 < z1 < · · · < zk < zk+1 < · · · < zn. Desta
forma cada um dos pequenos subintervalos Ii = [xi−1, xi], Jj =
64
Cálculo III AULA
4[yj−1, yj ] e Kk = [zk−1, zk] têm comprimentos ∆xi = xi − xi−1,
∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1, respectivamente. Definimos,
agora, a uma partição para o paralelepípedo R por P = P [R] =
P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b],
P [c, d] e P [e, f ]. Os planos retalham a região R em uma série de pe-
quenos paralelepípedos Vijk = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]× [zk−1, zk], 1 ≤
i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume de cada pequeno paralele-
pípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi∆yj∆zk. Como tanto ∆xi quanto
∆yj quanto ∆zk são diferentes de zero, o volume de cada pequeno
paralelepípedo é também diferente de zero. Podemos então definir
a norma da partição por: |P | = max
1≤i≤l
1≤j≤m
1≤k≤n
(∆Vijk), que corresponde
ao maior volume entre todos os pequenos paralelepípedos.
Pausa para respirar que já vamos definir a integral tripla sobre do-
mínios paralelepípedais. Para isto tomemos um ponto (ξi, ζj , ηk) ∈
[xi−1, xi] × [yj−1, yj ] × [zk−1, zk] em cada pequeno paralelepípedo
e definimos a seguinte soma de Riemann:
Slmn =
l∑
i=1
m∑
j=1
n∑
k=1
φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk
A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R,
denotada
∫ ∫ ∫
R
φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se-
guinte limite:
∫ ∫ ∫
R
φ(x,y, z)dxdydz def= lim
|P |→0
Slmn
65
Integrais triplas
4.3 Integração Tripla: Domínios Não Paralele-
pípedais Limitados
Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 7→
R onde D é limitado não paralelepipedal, começamos por con-
siderar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal
R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f} tal
que D ⊂ R e Φ(x, y, z) =
 φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D0 , (x, y, z) /∈ D . Formal-
mente Φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] 7→ R é uma extensão da função
φ(x, y, z). Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma
rede de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem
R em pequenos paralelepípedos e procedemos como na integral
tripla sobre domínios paralelepípedais, considerando a uma parti-
ção para o paralelepípedo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] ×
P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ]
onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . , xl = b}, P [c, d] =
{y0 = c, y1, . . . , yj , yj+1, . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1,
. . . , zk, zk+1, . . . , zn = f}. Do mesmo modo definimos a norma
da partição por: |P | = max
1≤i≤l
1≤j≤m
1≤k≤n
(∆Vijk) onde ∆Vijk = ∆xi∆yj∆zk,
∆xi = xi − xi−1, ∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1. Tomamos
um ponto (ξi, ζj , ηk) ∈ [xi−1, xi] × [yj−1, yj ] × [zk−1, zk] em cada
pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann
para a função estendida Φ(x, y, z):
Slmn =
l∑
i=1
m∑
j=1
n∑
k=1
Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk
66
Cálculo III AULA
4A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o domínio D ⊂ R3,
denotada
∫ ∫ ∫
D
φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se-
guinte limite:∫ ∫ ∫
D
φ(x, y, z)dxdydz def= lim
|P |→0
Slmn.
Observem que, semelhante ao caso das integrais duplas, apenas os
pequenos paralelepípedos cujo ponto escolhido pertence ao domínio
D ⊂ R3, contribuem para a soma de Riemann os demais têm
contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes estão
fora de D ⊂ R2 e portanto Φ(ξi, ζj , ηk) = 0.
4.4 Interpretação Geométrica
Quando a função φ : D ⊂ R3 7→ R é constante e igual a um
(φ(x, y, z) = 1,∀(x, y, z) ∈ D) e a região domínio D é limitada,
vemos que a soma de Riemann aproxima o volume da região D e
quanto maior for o refinamento da partição de R3 ⊃ R ⊃ D melhor
será a aproximação. Podemos então, interpretar a integral tripla∫ ∫ ∫
D
dxdydz como o volume da região D ⊂ R3.
4.5 Integrais Iteradas
Dada uma função φ : R 7→ R onde R = [a, b]× [c, d]× [e, f ], do
mesmo modo que na integral dupla, valem as integrais interadas:
1.
∫ ∫ ∫
R
φ(x, y, z)dxdydz =
∫ b
a
[ ∫ d
c
[ ∫ f
e
φ(x, y, z)dz
]
dy
]
dx
2.
∫ ∫ ∫
R
φ(x, y, z)dxdydz =
∫ b
a
[ ∫ f
e
[ ∫ d
c
φ(x, y, z)dy
]
dz
]
dx
67
Integrais triplas
3.
∫ ∫ ∫
R
φ(x, y, z)dxdydz =
∫ d
c
[ ∫ b
a
[ ∫ f
e
φ(x, y, z)dz
]
dx
]
dy
4.
∫ ∫ ∫
R
φ(x, y, z)dxdydz =
∫ d
c
[ ∫ f
e
[ ∫ b
a
φ(x, y, z)dx
]
dz
]
dy
5.
∫ ∫ ∫
R
φ(x, y, z)dxdydz =
∫ f
e
[ ∫ d
c
[ ∫ b
a
φ(x, y, z)dx
]
dy
]
dz
6.
∫ ∫ ∫
R
φ(x, y, z)dxdydz =
∫ f
e
[ ∫ b
a
[ ∫ d
c
φ(x, y, z)dy
]
dx
]
dz
Em outras palavras, quando o domínio da integral tripla é parale-
lepipedal a ordem de integração não importa.
4.6 Propriedades das Integrais Triplas
Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem de-
monstração, alguma das propriedades das integrais triplas. Caso
desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades,
recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na biblio-
grafia abaixo.
Propriedade 4.1. Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores
reais integrável em D e c ∈ R, então vale:
∫ ∫ ∫
D
cf(x, y, z)dxdydz = c
∫ ∫ ∫
D
f(x, y, z)dxdydz
Propriedade 4.2. Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de
valores reais integráveis em D, então vale:
∫ ∫ ∫
D
(f + g)(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫ ∫
D
f(x, y, z)dxdydz
+
∫ ∫ ∫
D
g(x, y, z)dxdydz
68
Cálculo III AULA
4Propriedade 4.3. Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores
reais integrável em D tal que f(x, y, z) ≥ 0, ∀(x, y, z) ∈ D, então
vale:
∫ ∫ ∫
D
f(x, y, z)dxdydz ≥ 0
Propriedade 4.4. Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valo-
res reais integráveis em D tais que f(x, y, z) ≥ g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈
D, então vale:
∫ ∫ ∫
D
f(x, y, z)dxdydz ≥
∫ ∫ ∫
D
g(x, y, z)dxdydz
Propriedade 4.5. Seja f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores
reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um
número finito de superfícies em R3, então vale:
∫ ∫ ∫
D
f(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫ ∫
A
f(x, y, z)dxdydz
+
∫ ∫ ∫
B
f(x, y, z)dxdydz
OBS 4.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “line-
aridade” do operador integral tripla. As terceira e quarta pro-
priedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta
propriedade é denominada “aditividade”.
4.7 Exemplos
Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exem-
plos e, vamos aqui fazer exatamente isto. Ilustrar o conceito de
integral tripla com dois exemplos. Antes porém, vale observar
69
Integrais triplas
que a na prática uma integral tripla equivale a três integrais sim-
ples e neste caso uma pergunta fica no ar. Qual das duas variá-
veis x, y ou z integraremos primeiro? Muito bem, a resposta é
dada pela propria expressão da integral tripla. Isto é, na integral∫ ∫ ∫
R
f(x, y, z)dxdydz primeiramente integramos na variável x,
depois na variável y e por último na variável z. Já na integral∫ ∫ ∫
R
f(x, y, z)dzdydx primeiramente integramos na variável z,
depois na variável y e por último na variável x.
Exemplo 4.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] 7→ R
dada por f(x, y) = x2 + y2 + z2 e determine a integral tripla
I =
∫ ∫
R
f(x, y, z)dxdydz sobre a região R = {(x, y, z) ∈ R3|0 ≤
x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}.
SOLUÇÃO:
Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a
região R dada, segundo a ordem de integração:
I =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
(x2 + y2 + z2)dxdydz
Passo 2 integraremos na variável x considerando as variáveis y e
z como constantes:
I =
∫ 1
0
∫ 1
0
(
x3
3
+ y2x+ z2x
)
dydz
Substituindo os limites de integração temos:
I =
∫ 1
0
∫ 1
0
(
13
3
− 0
3
3
+ y2(1− 0) + z2(1− 0)
)
dydz
Efetuando os cálculos temos:
I =
∫ 1
0
∫ 1
0
(
1
3
+ y2 + z2
)
dy
Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x
como constante:
70
Cálculo III AULA
4
I =
∫ 1
0
(
1
3
y +
y3
3
+ z2y
) ∣∣∣1
0
dz
Substituindo os limites de integração temos:
I =
∫ 1
0
(
1
3
(1− 0) + 1
3
3
− 0
3
3
+ z2(1− 0)
)
dz
Efetuando os cálculos temos:
I =
∫ 1
0
(
1
3
+
1
3
+ z2
)
dz
Passo 4 último passo, integraremos na variável z:
I =
(
1
3
z +
1
3
z +
z3
3
) ∣∣∣1
0
Substituindo os limites de integração temos:
I =
(
1
3
(1− 0) + 1
3
(1− 0) + 1
3
3
− 0
3
3
)
Efetuando os cálculos temos:
I =
1
3
+
1
3
+
1
3
= 1 �
Figura 4.1: Determinação prática dos limites para D
OBS 4.2. Daremos aqui um método prático para determinar os
limites de integração em uma integral tripla sobre domínio não re-
tangular da forma: D.
Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 4.1) identificando
as superfícies inferior a(x, y) e superior b(x, y) que limitam a região
71
Integrais triplas
D, bem como a sombra projetada no plano xy por D, denotada
D∗ e identificar as curvas limites da região D∗ a(x) curva inferior
e b(x) curva superior, como na AULA01.
Passo 2 Atravessar toda a região D∗ e o eixo x com um segmento
de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmentor na Fig. 4.1)
Passo 3 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na di-
reção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D∗
marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 4.1).
Passo 4 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na di-
reção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D∗
marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 4.1).
Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg-
mento de reta r através da região D∗ paralelo ao eixo y na direção
positiva do eixo x. O limite inferior para a variável y será a fun-
ção a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D∗ e o
limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o
segmento de reta sai da região D∗.
Passo 6 Tomando um ponto qualquer (x, y) ∈ D∗ passamos o
segmento de reta s através da região D, paralelo ao eixo z orien-
tado na direção positiva de z. O limite inferior para a variável z
será a função a(x, y), ponto da superfície onde o segmento entra
na região D e o limite superior para a variável z será b(x, y), ponto
da superfície onde o segmento de reta sai da região D.
Nossa integral será efetuada assim:
∫ ∫ ∫
D
f(x, y)dxdy =
∫ b
a
∫ b(x)
a(x)
∫ b(x,y)
a(x,y)
f(x, y, z)dzdydx
72
Cálculo III AULA
4
Vamos diretamente para um segundo exemplo de integral dupla
sobre domínios não retangulares. A saber:
Exemplo 4.2. Considere a função f : D ⊂ R3 7→ R dada por
f(x, y) = xyz e determine a integral dupla
∫ ∫
D
f(x, y, z)dxdydz
sobre a região D = {(x, y, z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2 ∧ 0 ≤
z ≤ 1}, (Fig. 4.2).
Figura 4.2: Domínio D para o exemplo 2
SOLUÇÃO:
Passo 1 faremos o desenho das superfícies que determinam os
limites para a região D. A saber x = 0, x = 1, y = x2, x = 0 e
z = 1 (Fig. 4.2).
Usando o processo prático exposto acima determinamos os limi-
tes de integração. A saber: a = 0, b = 1, a(x) = 0, b(x) = x2,
a(x, y) = 0 e b(x, y) = 1.
I =
∫ 1
0
∫ x2
0
∫ 1
0
xyzdzdydx
Passo 2 integraremos na variável z considerando a variável y
73
Integrais triplas
e x como uma constante:
I =
∫ 1
0
∫ x2
0
(
xy
z2
2
∣∣∣1
0
)
dydx
Substituindo os limites de integração temos:
I =
∫ 1
0
∫ x2
0
(
xy
12
2
− xy0
2
2
)
)
dydx
Efetuando os cálculos temos:
I =
1
2
∫ 1
0
∫ x2
0
xydydx
Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x
constante temos:
I =
∫ 1
0
x
y2
2
∣∣∣x2
0
dx
Substituindo os limites de integração temos:
I =
1
2
∫ 1
0
(
x
(x2)2
2
− x0
2
2
)
dx
Efetuando os cálculos temos:
I =
1
4
∫ 1
0
x5dx
Integrando , finalmente , na variável x temos:
I =
1
4
(
x6
6
∣∣∣1
0
)
Substituindo os limites de integração temos:
I =
1
4
(
16
6
− 0
6
6
)
Efetuando os cálculos temos: I =
1
24
�
4.8 Conclusão
Na aula de hoje, vimos que a integral tripla é uma extensão
natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I e também
uma extensão natural do conceito de integral dupla, vista em nossa
primeira aula do curso de Cálculo III. E se por um lado a integral
simples pode ser interpretada como a área sob a curva descrita por
74
Cálculo III AULA
4função positiva f(x) em um domínio [a, b] e a integral dupla pode
ser vista como o volume de um prisma reto limitado superiormente
pela a superfície descrita por uma função positiva f(x, y) e limitado
inferiormente pelo domínio [a, b] × [c, d], a integral tripla só tem
interpretação geométrica no caso simples em que f(x, y, z) = 1.
Neste caso a integral tripla representa o volume da região limitada
D ⊂ R3.
RESUMO
Integração Tripla: Domínios Paralelepipedais
Considerando uma função φ definida em um domínio paralelepi-
pedal R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f}.
Podemos dividir R em pequenos paralelepípedos considerando os
planos paralelos ao planos cartesianos gerados pela partição P =
P [R] = P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições
P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . ,
xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yj , yj+1, . . . , ym = d} e P [e, f ] =
{z0 = e, z1, . . . , zk, zk+1, . . . , zn = f}. Os planos retalham a região
R em uma série de pequenos paralelepípedos Vijk = [xi−1, xi] ×
[yj−1, yj ] × [zk−1, zk], 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume
de cada pequeno paralelepípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi∆yj∆zk.
A norma da partição fica estabelecida como: |P | = max
1≤i≤l
1≤j≤m
1≤k≤n
(∆Vijk).
Toma-se um ponto (ξi, ζj , ηk) ∈ [xi−1, xi] × [yj−1, yj ] × [zk−1, zk]
em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de
Riemann:
75
Integrais triplas
Slmn =
l∑
i=1
m∑
j=1
n∑
k=1
φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk
A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R,
denotada
∫ ∫ ∫
R
φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se-
guinte limite:∫ ∫ ∫
R
φ(x, y, z)dxdydz def= lim
|P |→0
Slmn
Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Limi-
tados
Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 7→ R
onde D é não paralelepipedal limitado, começamos por conside-
rar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R =
{(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f} tal que
D ⊂ R e Φ(x, y, z) =
 φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D0 , (x, y, z) /∈ D . Formalmente
Φ : [a, b]× [c, d]× [e, f ] 7→ R é uma extensão da função φ(x, y, z).
A partir daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição
da integral tripla em domínios paralelepipedais. Podemos definir
a integral tripla de uma função φ(x, y, z) em um domínio não re-
tangular D por:
∫ ∫ ∫
D
φ(x, y, z)dxdydz def= lim
|P |→0
Slmn
onde Slmn =
∑l
i=1
∑m
j=1
∑n
k=1 Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk é a soma de Rie-
mann para Φ(x, y, z.
Integrais Iteradas
As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R =
[a, b]× [c, d]× [e, f ] a ordem de execução das integrais simples não
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Cálculo III AULA
4alteram o valor da integral tripla, que pode ser representada por:
1.
∫ ∫ ∫
R
φ(x, y, z)dxdydz =
∫ b
a
[ ∫ d
c
[ ∫ f
e
φ(x, y, z)dz
]
dy
]
dx
2.
∫ ∫ ∫
R
φ(x, y, z)dxdydz =
∫ b
a
[ ∫ f
e
[ ∫ d
c
φ(x, y, z)dy
]
dz
]
dx
3.
∫ ∫ ∫
R
φ(x, y, z)dxdydz =
∫ d
c
[ ∫ b
a
[ ∫ f
e
φ(x, y, z)dz
]
dx
]
dy
4.
∫ ∫ ∫
R
φ(x, y, z)dxdydz =
∫ d
c
[ ∫ f
e
[ ∫ b
a
φ(x, y, z)dx
]
dz
]
dy
5.
∫ ∫ ∫
R
φ(x, y, z)dxdydz =
∫ f
e
[ ∫ d
c
[ ∫ b
a
φ(x, y, z)dx
]
dy
]
dz
6.
∫ ∫ ∫
R
φ(x, y, z)dxdydz =
∫ f
e
[ ∫ b
a
[ ∫ d
c
φ(x, y, z)dy
]
dx
]
dz
Propriedades das Integrais triplas
As integrais triplas são, de certo modo, semelhantes às proprie-
dades das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase
que uma extensão natural destas. As integrais triplas têm, entre
outras, as seguintes propriedades:
Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores
reais integrável em D e c ∈ R, então vale:
∫ ∫ ∫
D
cf(x, y, z)dxdydz = c
∫ ∫ ∫
D
f(x, y, z)dxdydz
Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valores
reais integráveis em D, então vale:
∫ ∫ ∫
D
(f + g)(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫ ∫
D
f(x, y, z)dxdydz
+
∫ ∫ ∫
D
g(x, y, z)dxdydz
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Integrais triplas
Propriedade 3 Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores
reais integrável em D tal que f(x, y, z) ≥ 0,∀(x, y, z) ∈ D, então
vale:
∫ ∫ ∫
D
f(x, y, z)dxdydz ≥ 0
Propriedade 4 Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valores
reais integráveis em D tais que f(x, y, z) ≥ g(x, y, z),∀(x, y, z) ∈
D, então vale:
∫ ∫ ∫
D
f(x, y, z)dxdydz ≥
∫ ∫ ∫
D
g(x, y, z)dxdydz
Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R3 7→