FA Exercícios

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FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA. 
AULA 01. 
1a Questão (Ref.: 201309751059) O conjunto R dotado da operação * tal que x ⋆ y=x+y2 é um grupo ? 
 Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo. 
 Sim, pois existe elemento neutro e=1. 
 Sim, pois existe elemento simétrico. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. 
 
2a Questão (Ref.: 201309751064) 
Considere as seguintes afirmações: 
(I) A operação x * y=x+y2, G = R sobre G é um grupo. 
(II) A operação * em Z, definida por x * y = x + y + xy não possui elemento neutro e, portanto, não é um grupo. 
(III) A operação * em Z, definida por x * y = x + y - 4 possui elemento neutro e = 4. 
Podemos concluir que 
 As afirmações I e III são falsas 
 A afirmação II é verdadeira 
 A afirmação I é verdadeira 
 A afirmação III é verdadeira 
 A afirmação III é falsa 
 
3a Questão (Ref.: 201309751042) 
 
 12 
 3 
 1 
 4 
 5 
 
 
4a Questão (Ref.: 201309751058) 
O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo? 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo. 
 Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
 Não, pois não existe elemento neutro. 
 Não, pois não existe elemento simétrico. 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201309751057) 
 Existe elemento neutro e = 1 
 Existe elemento neutro e = 0 
 Não existe elemento neutro 
 Existe elemento neutro e = 2 
 Existe elemento neutro e = -1 
___________________________________________________________ 
6a Questão (Ref.: 201309751054) 
O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 4 é um grupo ? 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. 
 Não, pois não existe elemento neutro. 
 Não, pois não existe elemento simétrico. 
 Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo. 
 AULA 02 
1a Questão (Ref.: 201309657920) 
Marque a alternativa que indica a solução do sistema de equações abaixo, em Z11. 
 
 {(-3,7)} 
 {(1,4)} 
 {(-14/13;119/39)} 
 {(0,6)} 
 {(2,3)} 
 
 2a Questão (Ref.: 201309751015) 
Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = 
{1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201309751067) 
 
 Não existe elemento neutro. 
 e = f4 
 e = f2 
 e = f3 
 e = f1 
 
 4a Questão (Ref.: 201309751061) 
Calcule o produto (27).(45) considerando Z10. 
 35 
 7 
 3 
 10 
 5 
 5a Questão (Ref.: 201309751060) 
 
 As afirmações I e II são verdadeiras 
 A afirmação III é verdadeira 
 Somente a afirmação II é verdadeira 
 A afirmação I é falsa 
 As afirmações I e III são falsas 
 
 6a Questão (Ref.: 201309751026) 
Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações: 
(I) e * x = x = x * e, para todo x. 
(II) a * x = a = x * a, para todo x. 
(III) x * x = e, para todo x diferente de a. 
(IV) b * d = c; 
(V) b, c, d são regulares. 
 
Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa. 
 a 
 b 
 d 
 c 
 e 
 
AULA 03. 
1a Questão (Ref.: 201309751066) 
 Considere o grupo (Z,+) e a = 4. Determine a2. 
 8 
 2 
 1 
 4 
 16 
 
2a Questão (Ref.: 201309735173) 
 A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine os geradores de G. 
 
 
 C e F 
 A e F 
 A e D 
 B e C 
 B, D e E 
 
3a Questão (Ref.: 201309751071) 
 Considere o grupo (Z10,+). Determine o subgrupo gerado pelo elemento 2. 
 
 [2] = {4,6,8,0} 
 [2] = {2,4,8,0} 
 [2] = {2,4,6,0} 
 [2] = {2,4,6,8,0} 
 [2] = {2,4,6,8} 
 
4a Questão (Ref.: 201309751056) 
 Seja (Z6, +) um grupo. Verifique se H = {0,2,3,4} é um subgrupo de (Z6, +). 
 
 H é um subconjunto de (Z6, +), pois foi verificada a soma 2 + 3 = 5 em Z6. 
 H não é subgrupo de (Z6, +). 
 H não é subgrupo de (Z6, +), pois H não é um subconjunto de (Z6, +). 
 H é subgrupo de (Z6, +). 
 H não é subgrupo de (Z6, +), pois o elemento neutro de Z6 não é elemento de H. 
 
5a Questão (Ref.:201309751028) 
 
 
 
 A afirmação III é falsa 
 As afirmações I e II são verdadeiras 
 As afirmações II e III são verdadeiras 
 As afirmações I e III são falsas 
 A afirmação I é verdadeira 
 
6a Questão (Ref.: 201309751029) 
 Considere o grupo (Z*7, .) e a = 5. Determine a2. 
 
 1 
 25 
 4 
 3 
 0 
 
AULA 04. 
1a Questão (Ref.: 201309751043) 
Considere o Teorema de Lagrange: “Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H, O(H), é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H)”. 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema. 
 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 
2a Questão (Ref.: 201309751046) 
 Considere o grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i} e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica as classes laterais G. 
 
 {i, - i} 
 {1, -1}, {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1} 
 {1, -1}, {i, - i}, {1, - i} 
 {1, -1}, {i, - i}, {i, -1} 
 {1, -1} , {i, - i} 
 
3a Questão (Ref.: 201309751073) 
 
 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H 
 
4a Questão (Ref.: 201309751047) 
 Considere o grupo aditivo (Z6,+) e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G. 
 
 G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N} 
 G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N} 
 G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N} 
 G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N} 
 G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N} 
 
5a Questão (Ref.: 201309751036) 
 Considere(Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3} subgrupo de (Z6, +). 
Determine o número de classes laterais. 
 
 1 
 6 
 2 
 4 
 3 
 
 6a Questão (Ref.: 201309751031) 
 
 
 
 2 + H 
 3 + H 
 H 
 1 + H 
 H + H 
 
AULA 05. 
1a Questão (Ref.: 201309751027) 
 Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta - De acordo com a teoria do isomorfismo de Grupos podemos dizer que os grupos S3 e Z6 não são isomorfos PORQUE S3 não é abeliano e Z6 é abeliano. 
 
 As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira. 
 As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira. 
 As duas afirmativas são falsas. 
 Apenas a segunda afirmativa é verdadeira. 
 Apenas a primeira afirmativa é verdadeira. 
 
2a Questão (Ref.: 201309751050) 
 Marque a alternativa que indica corretamente a definição de homomorfismo de grupos. 
 
 Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1 
 Dizemos que f é um homomorfismo de grupos se, e somente se, 
 f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1. 
 Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) . Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1. 
 Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆), e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, 
f(x*y) = f(x)*f(y), ∀ x,y ∈G1. 
 Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) , e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, 
f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1. 
 
 3a Questão (Ref.: 201309657918) 
 Considere o seguinte resultado sobre isomorfismos de grupos: Sejam m, n elementos de N* tais que m|n. Se n = md, d é um elemento de N, então pelo Teorema do Isomorfismo concluímos que 
 
De acordo com o resultado apresentado, marque a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4a Questão (Ref.: 201309657915) 
 Analise as proposições sobre isomorfismo de grupos e marque a alternativa correta. 
 (I) Os grupos G = (Z3,+) e H = (Z6,+) são isomorfos. 
(II) Os grupos G = (S3,o) e H = (Z6,+) não são isomorfos. 
(III) Os grupos G = (R*,.) e H = (R,+) são isomorfos. 
 
 III , apenas 
 II e III , apenas 
 I , apenas 
 II , apenas 
 I e II , apenas 
 
5a Questão (Ref.: 201309657923) 
 
 
 
 (12341432) 
 (12342413) 
 (12343124) 
 (12343241) 
 (12344213) 
 
6a Questão (Ref.: 201309657913) 
 
 
 
 (12343241) 
 (12341432) 
 (12342314) 
 (12344213) 
 (12343124) 
 
 SIMULADO 01. 
 
1a Questão (Ref.: 201309751035) Pontos: 1,0 / 1,0 Considere em Z a operação * definida por: * : Z x Z → Z (x,y) → x*y = x + y - 2 Verifique a existência de elementos simétrizáveis. 
 
 x-1 = 2 - x 
 x-1 = x + 1 
 x-1 = 4 + x 
 x-1 = 1 - x x-1 = 4 - x 
 
2a Questão (Ref.: 201309751038) Pontos: 1,0 / 1,0 Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 3. A partir dela podemos dizer que 15 * (-2) é: 
 
 0 
 12 
 4 1 
 13 
 
3a Questão (Ref.: 201309751025) Pontos: 1,0 / 1,0 Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação * apresentada na tábua de operação abaixo. 
 De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares. 
 
 2, 3, 4 e 5 
 1, 3 e 4 
 1, 2 e 5 
 2, 3 e 5 
 1, 2 ,3, 4 e 5 
 
 4a Questão (Ref.: 201309657920) Pontos: 1,0 / 1,0 Marque a alternativa que indica a solução do sistema de equações abaixo, em Z11. 
 
 
 {(1,4)} 
 {(-3,7)} 
 {(-14/13;119/39)} 
 {(2,3)} {(0,6)} 
 
5a Questão (Ref.: 201309751056) Pontos: 1,0 / 1,0 Seja (Z6, +) um grupo. Verifique se H = {0,2,3,4} é um subgrupo de (Z6, +). 
 H não é subgrupo de (Z6, +). 
 H é um subconjunto de (Z6, +), pois foi verificada a soma 2 + 3 = 5 em Z6. 
 H não é subgrupo de (Z6, +), pois H não é um subconjunto de (Z6, +). 
 H é subgrupo de (Z6, +). 
 H não é subgrupo de (Z6, +), pois o elemento neutro de Z6 não é elemento de H. 
 
6a Questão (Ref.: 201309751049) Pontos: 0,0 / 1,0 Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈ Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: 
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉ 3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈ 3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, t-1 ∈3Z Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z. Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, t-1 ∈3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 
7a Questão (Ref.: 201309751031) Pontos: 1,0 / 1,0 
 
 
 H 
 1 + H 
 2 + H 3 + H 
 H + H 
 
 8a Questão (Ref.: 201309751036) Pontos: 1,0 / 1,0 Considere (Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3} subgrupo de (Z6, +). Determine o número de classes laterais. 
 
 6 
 2 
 4 3 
 1 
 
9a Questão (Ref.: 201309735411) Pontos: 1,0 / 1,0 Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis. 
 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: 
f(x + y) = f(x) + f(y). 
 Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(xy) = f(x)f(y). 
 
10a Questão (Ref.: 201309751030) Pontos: 1,0 / 1,0 Considere G = ZxZ com a seguinte operação adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d). f: G →G, f(x,y) = (0,3x + 5y) é um homomorfismo, determine seu núcleo. 
 
 N(f) = {(x,y) ∈ RxR / x + 5y = 0} 
 N(f) = {(x,y) ∈ RxR / x + y = 0} 
 N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x - 5y = 0} N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x + 5y = 0} 
 N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x + y = 0} AULA 06. 
1. 
 
Com as operações de anel estudadas analise as proposições abaixo e sinalize as corretas. 
(I) (Z, +), (Q, +), (R, +) e (C, +) são grupos abelianos finitos. 
(II) (Zn , +), n ∈ N é um grupo abeliano finito com n elementos. 
 
(III) Se A é um anel, então (Mn(A), +) é um grupo abeliano para cada n ∈ N. 
 
 As afirmativas II e III estão corretas 
 As afirmativas I e II estão corretas 
 As afirmativas I e III estão corretas 
 As afirmativas I, II e III estão corretas 
 Apenas a afirmativa II está correta 
 2. 
 
 Considere as operações x * y = x + y - 2 e x Δ y = xy - 2x - 2y + a, com a ∈ ℤ. Para que valor de a, (Z, * , Δ) é um anel? 
 a = 2 
 a = 3 
 a = 6 
 a = 1 
 a = - 2 3. 
 
 Julgue as proposiçõesabaixo e marque a alternativa correta. (I) (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z. (II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um anel. (III) Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por AK o conjunto de todas as funções de K em A. 
 III , apenas 
 I e II , apenas 
 I e III , apenas 
 I , apenas 
 II , apenas 4. 
 
Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta. (I) (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z. (II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um anel. (III) Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por 
 
AK o conjunto de todas as funções de K em A. 
 I e II , apenas 
 I e III , apenas 
 II , apenas 
 I , apenas 
 III , apenas 5. 
 
 Indique a opção que representa uma solução para o sistema de equações 6x+5y=7 e 3x + y=2 no anel Z12: 
 x= 3 e y= 4 
 x= 3 e y= 8 
 x=5 e y={3,8,9} 
 x= 3 e y= 5 
 x= 1 e y= 5 6. 
 
 Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a operação de multiplicação usual: 
 Z_ 
 Z 
 Q 
 Zn 
 nZ AULA 07. 
1a Questão (Ref.: 201309751157) 
 Um anel é um conjunto A, cujos elementos (x,y e z) podem ser adicionados e multiplicados satisfazendo as seguintes algumas propriedades. Diga, entre as opções abaixo a propriedade que identifica o anel comutativo. 
 
 x(y + z) = x.y + x.z 
 x + y = y + x 
 (x + y) + z = x + (y + z) 
 x.y= y.x 
 (x.y).z = x.(y.z) 
 
2a Questão (Ref.: 201309751164) 
 A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: Seja A um anel, a,b ∈ A e m ∈ ℤ temos que m(a + b) = ma + mb. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 Seja A um anel, a,b ∈ A e m ∈ ℤ. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora note que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que para m = k ≥ 1 temos 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
 Seja A um anel, a,b ∈ A e m ∈ ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 
 3a Questão (Ref.: 201309658023) 
 A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z, m(na) = (mn)a. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
 Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
 Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. 
m(ka) = (mk)a 
 Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n temos n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
 Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
 
4a Questão (Ref.: 201309751175) 
 A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: Seja A um anel, a ∈ A e ∀ ∈ ℤ temos (m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. 
(m - k)a = ma - ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
 Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 
5a Questão (Ref.: 201309658011) 
 A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: Seja A um anel, a,b ∈ A e m ∈ ℤ temos que m(a + b) = ma + mb. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
 Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que para m = k ≥ 1 temos 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora note que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈A e m∈ℤ. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 
6a Questão (Ref.: 201309658022) 
 A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinteproposição sobre o assunto estudado: seja A um anel, a ∈ A e ∀ ∈ ℤ temos que (m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 Seja A um anel, e m,n∈ℤ . 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
 Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈ℤ . Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. 
(m - k)a = ma - ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 
 
 
 
AULA 08 
 1a Questão (Ref.: 201309751166) 
 Considere as seguintes afirmações: 
(I) 2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6. 
(II) O anel Z7 possui divisores próprios de zero. 
(III) Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de 
zero, se o mdc (x,m) = 1. 
(IV) O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo n 
≥ 2. 
Podemos afirmar que: 
 
 Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. 
 Somente a afirmativa I é verdadeira. 
 Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
 Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. 
 Somente a afirmativa II é verdadeira. 
 
 2a Questão (Ref.: 201309751152) 
 Se B e C são subanéis de A, indique a opção que melhor representa a prova que a intersecção de B e C é subanel de A: 
 
 Sejam x e y pertencentes ao subanel B e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C, logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese), logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel. 
 Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x.y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C, logo x.y pertence a C (Subanel por hipótese), logo x.y pertence a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel. 
 Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x+y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro 
x e y pertence a C, logo x+y pertencem a C (Subanel por hipótese), logo x+y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel. 
 Sejam x e y pertencentes aos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C, logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese), logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel. 
 Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertencem a B, logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese); por outro x e y pertencem a C, logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese), logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel. 
 
 3a Questão (Ref.: 201309735363) 
 O anel Z6 admite quantos divisores de zero? 
 
 3 
 1 
 4 
 2 
 5 
 
 4a Questão (Ref.: 201309735355) 
 Marque a única alternativa correta sobre os subanéis. 
 
 O conjunto dos números ímpares é um subanel de Z 
 (Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.) 
 (Q,+,.) não é um subanel de (R,+,.) e (C,+,.) 
 O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6 
 O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto 
S = {2n/ n∈Z} 
 
 5a Questão (Ref.: 201309735367) 
 Determine todos os divisores de zero do anel Z15. 
 
 1, 3, 9, 10 e 12 
 2, 5, 9, 10 e 12 
 3, 5 e 9 
 3, 5, 9 e 10 
 3, 5, 9, 10 e 12 
 
 6a Questão (Ref.: 201309751194) 
 A definição de divisores de um anel diz que: Seja A um anel com as operações usuais de adição e multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. A partir da definição marque a alternativa correta. 
 
 O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) não tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 
 2 e 4 não são divisores de zero em Z8. 
 2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6 
 o anel Z7 possui divisores próprios de zero. 
 3, 5, e 12 são os únicos divisores de Z15. 
AULA 09. 
 1a Questão (Ref.: 201309735393) 
 No anel Z6 determine Idemp (Z6). 
 
 Idemp (Z6) = {1,2} 
 Idemp (Z6) = {1,3,4} 
 Idemp (Z6) = {1,2,3} 
 Idemp (Z6) = {1} 
 Idemp (Z6) = {2,3,4} 
 
 2a Questão (Ref.: 201309658017) 
 Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, então K é anel de integridade. 
Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição. 
 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos 
por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então 
xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K 
não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um 
anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por 
absurdo que x = 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y = 0, então xy ≠ 0. 
Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem 
divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por 
absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy = 0. 
Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem 
divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy ≠ 0. Suponhamos por 
absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. 
Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem 
divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por 
absurdo que x = 0 e y = 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. 
Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem 
divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 
 3a Questão (Ref.: 201309658016) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
 
 e = 5 
 e = 4 
 e = 3 
 e = 2 
 e = 1 
 
 4a Questão (Ref.: 201309735388) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 No anel Z4 determine Reg(Z4 ). 
 
 Reg(Z4 ) = {3} 
 Reg(Z4 ) = {1} 
 Reg(Z4 ) = {0,3} 
 Reg(Z4 ) = {1,3} 
 Reg(Z4 ) = {0,1,3} 
 
 5a Questão (Ref.: 201309751170) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, então K é anel de integridade. 
Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição. 
 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por 
absurdo que x = 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y = 0, então xy ≠ 0. 
Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem 
divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy ≠ 0. Suponhamos por 
absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. 
Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem 
divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por 
absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy = 0. 
Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem 
divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos 
por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então 
xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K 
não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um 
anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por 
absurdo que x = 0 e y = 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. 
Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem 
divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 
 6a Questão (Ref.: 201309751156) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 Marque a única afirmação correta. 
 
 Todo anel comutativo é um corpo 
 Todo anel de integridade finito é um corpo 
 Todo anel de integridade é um corpo 
 Todo subanel é um corpo 
 O anel Zn é um corpo para todo n 
 
AULA 10. 
 1a Questão (Ref.: 201309751205) 
 Marque a alternativa correta. 
 
 2Z é um ideal no anel Z. 
 Considere um anel (Q, +, .) e I = Z (conjunto dos números pares). Z é um 
ideal no anel Q. 
 Seja I é um ideal do anel A com unidade. Se I contém um elemento 
inversível de A, então I ≠ A. 
 Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0} e (RR, +, .). I é um ideal do anel (RR, 
+, .). 
 O conjunto dos números pares não é um ideal principal de Z gerado pelo 
elemento 2. 
 
 2a Questão (Ref.: 201309751198) 
 Marque a alternativa correta. 
 
 Seja f: A → B tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: A → B tal que f(a) = a. f não é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: Z → Z tal que f(x) = -x. f é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: Z x Z → Z tal que f(x,y) = x. f não é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: Z → Z tal que f(x) = 2x. f é um homomorfismo de anel. 
 
 3a Questão (Ref.: 201309751193) 
 Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis. 
 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(x + y) = f(x) + f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(xy) = f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, 
e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e 
f(xy) = f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
 
 4a Questão (Ref.: 201309751208) 
 
 
 
 N(f) = {(0,2)} 
 N(f) = {(0,3)} 
 N(f) = {(0,4)} 
 N(f) = {(0,0)} 
 N(f) = {(0,1)} 
 
 5a Questão (Ref.: 201309735399) 
 Determine todos os ideais de Z8. 
 
 {0}, {0,2,4,6}, {0,4} e Z8 
 {0}, {0,2,4,6} e {0,4} 
 {0,2,4,6}, {0,4} e Z8 
 {0}, {0,4} e Z8 
 {0} e {0,2,4,6} 
 
 6a Questão (Ref.: 201309751192) 
 Considere a seguinte proposição: Se I e J são ideais de um anel A, então I ∩ J 
é um ideal de A, I ∩ J = {x ∈A, x ∈ I e x ∈J}. A partir da proposição determine 
2Z ∩ 3Z. 
 
 4Z 
 3Z 
 5Z 
 6Z 
 2Z 
 
Exercícios Extras. 
Aula 04. 
1. Considere (Z6,+) um grupo comutativo e H = {0, 2, 4} subgrupo de (Z6,+). Determine o conjunto das classes laterais à esquerda de H. 2. Seja G = {A ∈ Mn(R); A é inversível} e o subgrupo H = { A ∈ G; detA= 1}. Mostre que H é um subgrupo normal de G. 3. Considere o grupo G = (Z10, +). Verifique se o subconjunto H= {0,2,4} de G é um subgrupo de G. 4. Seja H = {0,8} um subconjunto de G = (Z10, +). Verifique se H é subgrupo de G. 5. Seja H = {1, 2, 4, 6, 8} um subconjunto de G = (Z10, +). Verifique se H é subgrupo de G. 6. Sejam G = (Z12, +) e H = {0,4,8} um subgrupo de G. Construa a tábua do grupo quociente (G/H, +), identifique seu elemento neutro e os inversos (aditivos) de 1 + H e 2 + H. 
Respostas em a4_t10.pdf. 
Aula 05. 
1. Verifique, em cada caso, se existe um homomorfismo de f: G → H. 
a) G = (Z,+) e H = (Z,+), f(x) = 8x 
b) G = (Z,+) e H = (Z,+), f(x) = 8x + 1 
c) G = (R,+) e H = (R,+), f(x) = |x| 
d) G = (R, .) e H = (R, .), f(x) = |x| 
e) G = (R, +) e H = (RxR, +), f(x) = (2x, 3x) 
2. Considere G = ZxZ com a seguinte operação adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d). Mostre que f: G → G, f(x,y) = (0,3x + 5y) é um homomorfismo. 3. Mostre que um grupo G é abeliano se, e somente se, f: G → G definida por f(x) = x-1 é um homomorfismo. 
Respostas em a05_t15.pdf. 
 
 
Aula 06. 
1 - O conjunto Z , dotado das leis de composição ⊕ e ⊗, é um anel. 
ݔ⊕ݕ=ݔ+ݕ+1 
ݔ⊗ݕ=ݔ+ݕ+ݔݕ 
A partir dessa informação, marque a alternativa que indica o elemento simétrico. 
( ) ∀ݔ∈ܼ,∃(−1−ݔ)∈ܼ 
( ) ∀ݔ∈ܼ, ∃(2+ݔ)∈ܼ 
( ) ∀ݔ∈ܼ, ∃(1−ݔ)∈ܼ 
( ) ∀ݔ∈ܼ, ∃(−2+ݔ)∈ܼ 
( ) ∀ݔ∈ܼ, ∃(−2−ݔ)∈ܼ 
2 - O conjunto ℤ, dotado das leis de composição * e Δ abaixo definidas, é um anel. 
ݔ∗ݕ=ݔ+ݕ 
ݔΔݕ=0 
A operação * é a operação de adição usual e a operação Δ é a operação de multiplicação usual. O elemento neutro desse anel é: 
( ) e = 1 ( ) e = -1 ( ) e = 0 ( ) e = 2 ( ) e = -2 
3- Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a operação de multiplicação usual. 
( ) Z_ ( ) Q ( ) Zm ( ) nZ ( ) Z 
4- Com as operações de anel estudadas, analise as proposições abaixo e sinalize as corretas: 
(I) (Z, +), (Q, +), (R, +) e (C, +) são grupos abelianos finitos. 
(II) (Zn , +), n∈N⋅ é um grupo abeliano finito com n elementos. 
(III) Se A é um anel, então (Mn(A), +) é um grupo abeliano para cada n∈N. 
( ) As afirmativas II e III estão corretas. 
( ) As afirmativas I, II e III estão corretas. 
( ) As afirmativas I e II estão corretas. 
( ) As afirmativas I e III estão corretas. 
( ) Apenas a afirmativa II está correta. 
5 - Marque a alternativa correta que apresenta o elemento neutro do anel (Q,*, Δ) com as operações definidas por a * b = a + b - 1 e a Δ b = a + b - ab. 
( ) e = 4 ( ) e = 5 ( ) e = 1 ( ) e = 2 ( ) e = 3 
6- Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta. 
(I) (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z. 
(II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um anel. 
(III) Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por AK o conjunto de todas as funções de K em A. 
7- Encontre a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 no anel Z8. 
( ) x=1 ( ) x=-5/2 ( ) x=5 ( ) x=10 ( ) x=9 
8- Considere as operações x * y = x + y - 2 e x Δ y = xy - 2x - 2y + a, com a∈Z. Para que valor de a, (Z, *, Δ) é um anel? 
( ) a = 2 ( ) a = 6 ( ) a = -2 ( ) a = 1 ( ) a = 3 
Responda 
1- Mostre que o conjunto Z, dotado das leis de composição * e Δ abaixo definidas, é um anel. 
ݔ∗ݕ=ݔݕ ݔΔݕ=ݔ+ݕ 
2 - Verifique os seis axiomas de anel com as operações vistas na questão 01. 
3 - Mostre que (A, +, o) não é um anel. Considere as funções f, g e h definidas de R em R por f(x) = x2, g(x) = 2x e h(x) = x + 2. 
4 - Seja (A,□) um grupo abeliano.Mostre que (A, □,+) não é um anel. Considere a operação a + b = a. 
Repostas em a06_t11.pdf. 
Aula 07. 
1 - Marque a única alternativa correta sobre os anéis com unidade. 
(Z, +, .) não é um anel com unidade. 
(R, + , .) não é um anel com unidade. 
(Q, +, .) não é um anel com unidade. 
(C,+, .) não é um anel com unidade. 
O anel (Zm,+, .) é um anel com unidade para m ≥ 2. 
2 - Considere as seguintes afirmações: 
(I) Se (A,+, .) é um anel comutativo, então, (AK, +, .) é comutativo. 
(II) Se A e B são anéis com unidade, então, A x B não tem unidade. 
(III) Se (A,+, .) é um anel com unidade, então, (Mnxn(A),+, .) tem unidade. 
(IV) (Zm, +, .) é um anel comutativo com unidade. 
Com relação às afirmações, podemos concluir que: 
Somente a I está correta. 
Somente a II e a III estão corretas. 
Somente a II e a IV estão corretas. 
Somente a I, a III e a IV estão corretas. 
Somente a III e a IV estão corretas. 
3 - Identifique o anel com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade. 
( ) Z ( ) 2z ( ) O conjunto M2(Z) das matrizes 2x2 ( ) Z+ ( ) Q 
Responda. 
1 - Verifique se o conjunto Z , dotado das leis de composição * e Δ definidas a seguir, é um anel. 
ݔ∗ݕ=ݔ-ݕ ݔΔݕ=ݔݕ 
2 - Verifique se o conjunto ℤ, dotado das leis de composição * e Δ definidas a seguir, é um anel comutativo com unidade. 
ݔ∗ݕ=ݔ+ݕ ݔ߂ݕ=0 
A operação * é a operação de adição usual, e a operação Δ é a operação de multiplicação usual. 
Repostas em a07_t09.pdf. 
AULA 08. 
1 - Marque a única alternativa correta sobre os subanéis. 
O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto S = {2n/ n ∈Z}. 
(Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.). 
O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6. 
(Q,+,.) não é um subanel de (R,+,.) e (C,+,.). 
O conjunto dos números ímpares é um subanel de Z. 
2 - A definição de divisores de um anel diz que: seja A um anel com as operações usuais de adição e multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. A partir da definição, marque a alternativa correta. 
O anel Z7 possui divisores próprios de zero. 
O anel das matrizes (Mn(A), +, .) não tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 
2 e 4 não são divisores de zero em Z8. 
2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6. 
3, 5, e 12 são os únicos divisores de Z15. 
RESPONDA. 
1 - Sejam R e S subanéis de um anel (A,+,.). Prove que ܴ∩ܵ também é um subanel de A. 
2 - Verifique se { a/2n | a, n ∈ Z, n≠0}é um subanel dos conjuntos dos racionais. 
3 - Verifique se os seguintes subconjuntos são subanéis do anel (Q,+, .): 
a) S = {ݔ ∈ ܳ / ݔ ∉ ܼ} 
b) S = 3Z 
c) S = Q – Z 
d) S = {-1, 0, 1} 
4 - Verifique se S é subanel de M2(R), sendo S = ൜൤0 ݔݖ ݕ൨ | ݔ, ݕ ∈ ℝൠ 
5 - O centro do anel A é o conjunto Z(A) = {ݔ∈ܣ∕ݔ ܽ=ܽݔ, ∀ܽ∈ܣ }. Verifique que Z(A) é subanel de A. 
6 - Mostre que, se A é um anel de integridade e x é um elemento de A tal que x2 =1, então, x = 1 ou x = -1. 
7 - Considere o anel comutativo com unidade 
(Q, □, ∆), onde x □ y = x + y – 1, x ∆ y = x + y - xy 
Verifique se (Q, □, ∆) é um anel de integridade. 
Respostas em a08_t14.pdf 
AULA 09. 
1- Qual dos anéis abaixo não pode ser definido como um corpo? 
Conjunto dos números racionais. 
Conjunto dos números complexos. 
Conjunto dos números reais. 
Conjunto dos números inteiros. 
Zp para p primo. 
2- Calcule U(Z6). 
U(Z6) = {1,2,3,4,5} 
U(Z6) = {2,3} 
U(Z6) = {1,5} 
U(Z6) = {2,5} 
U(Z6) = {2,6} 
3- Determine os elementos associados a 1 em Z7. 
{1,2,3} 
{1,2,3,4} 
{1,2,3,4,5} 
{1,2,3,4,5,6} 
{0,1,2,3,4,5,6} 
4- No anel Z6, determine Idemp(Z6). 
Idemp (Z6) = {1} 
Idemp (Z6) = {1,3,4} 
Idemp (Z6) = {1,2,3} 
Idemp (Z6) = {2,3,4} 
Idemp (Z6) = {1,2} 
5- No corpo Z11, resolva a equação x3 = x. Podemos afirmar que: 
S = {1,11} 
S = {0,10} 
S = {0,1} 
S = {0,2,12} 
S = {0,1,10} 
RESPONDA. 
1 - Verifique se (L, +, .) é um subcorpo de (R, +, .). ܮ={ܽ+ܾ √3∕ܽ,ܾ∈ܼ}. 
2 - Verifique se (L, +, .) é um subcorpo de (R, +, .). ܮ={ܽ+ܾ √3∕ܽ,ܾ∈ܳ}. 
3 - Verifique se (L, +, .) é um subcorpo de (R, +, .). ܮ={ܽ+ܾ ∛3∕ܽ,ܾ∈ܳ}. 
4 - No corpo Z11, resolva a equação x3 = x. 
5 - No anel Z8, determine Nilp (Z8 ). 
Repostas em a09_t13.pdf. 
AULA 10. 
1 - Considere a seguinte proposição: sejam m e n elementos do conjunto dos números naturais. Então, mZ + nZ = dZ se, e somente se, mdc(m,n) = d. A partir dela, marque a alternativa que representa a operação 2Z + 3Z. 
5Z 6Z Z 3Z 2Z 
2 - A função ߚ: Z → ZxZ é um homomorfismo do anel (Z,+, .) no anel (ZxZ,+, .). Nessas condições, quanto é ߚ(0)? 
(1,0) (0,1) (1,1) (0,0) (1,2) 
3 - Marque a alternativa que indica a função que é um homomorfismo de anéis. 
f: RxR → R, f(x,y) = x2 
f: RxR → R, f(x,y) = x + y 
f: RxR → R, f(x,y) = 0 
f: RxR → R, f(x,y) = -x 
f: RxR → R, f(x,y) = x2 -5x + 6 
4 - Marque a alternativa que indica o conjunto que é ideal de R. 
I = Z 
I = Q 
I = R - Q 
I = {Q[√2] = a + b√2 | a, b є Q} 
I = {0} 
5 - Qual dos conjuntos abaixo é um ideal do anel Z? 
I = {−4݇+1∕݇∈ܼ} 
I = {4݇+1∕݇∈ܼ} 
I = {−4݇+3∕݇∈ܼ} 
I = {−4݇∕݇∈ܼ} 
I = {4݇∕݇∈ܼ} 
RESPONDA. 
1 - Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0} e (RR, +, .). Verifique se I é um ideal do anel (RR, +, .). 
2 - Seja f: Z → Z tal que f(x) = 2x. Verifique se f é um homomorfismo de anel. 
3 - Seja f: C → C tal que f(x) = x . Verifique se f é um homomorfismo de anel. 
4 - Seja ܣ = ቄቂܽ 00 ܽቃ | ܯଶ ℝቅ . Verifique se existe um isomorfismo de anel. 
5 - Vamos considerar o anel Z4. Verifique se {0,2} é um ideal do anel Z4. 
Respostas em a10_t17.pdf.