3 – Equações Diferenciais de 1ª Ordem (parte 2)

Prévia do material em texto

1
3 – Equações Diferenciais 
de Primeira Ordem
Parte 2
Equações Exatas
Seja z = f (x, y) uma função com derivadas
parciais contínuas em uma região R do plano xy.
O seu diferencial total é dado por
dy
y
fdx
x
fdz
∂
∂
+
∂
∂
=
2
Equações Exatas
Uma equação diferencial da forma
é chamada equação exata se a expressão do 1º
membro for o diferencial total de alguma função
f (x, y).
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
Critério para Equações Exatas
Uma equação diferencial da forma
é dita equação exata se
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
.
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
3
Método de Resolução
Se a equação for exata,
suponha que
ao integrar em relação a x, temos
em que g (y) é a constante de integração.
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
),( yxM
x
f
=
∂
∂
)(),(),( ygdxyxMyxf += ∫
Método de Resolução
Agora, derivando em relação a y e supondo que
obtemos
Isolando teremos
),,( yxN
y
f
=
∂
∂
),()(),( yxNygdxyxM
yy
f
=′+
∂
∂
=
∂
∂
∫
)( yg ′
dxyxM
y
yxNyg ∫∂
∂
−=′ ),(),()(
4
Método de Resolução
Finalmente, integrando em relação a y e
substituindo em obtemos
que é a solução geral da equação exata
)( yg ′
)(),(),( ygdxyxMyxf += ∫
cdy
y
dxyxM
yxNdxyxMyxf =








∂
∂
−+= ∫
∫
∫
),(
),(),(),(
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
Equações exatas
Exemplo 1
Resolva as equações diferenciais abaixo
0)1(2) 2 =−+ dyxxydxa
0)542()23)( 2 =+−++ dyyxdxyxb
5
Equações Redutíveis a Exatas
Na equação , quando
podemos encontrar um fator integrante, isto é,
um fator que ao multiplicar ambos os membros da
equação a transforme em exata.
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
x
N
y
M
∂
∂
≠
∂
∂
Equações Redutíveis a Exatas
Para (*)
• se então é um fator integrante;
• se então é um fator integrante;
• se e (*) for homogênea então é
um fator integrante.
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
)(xf
N
x
N
y
M
=
∂
∂
−∂
∂
∫ dxxfe
)(
)( yg
M
y
M
x
N
=
∂
∂
−∂
∂
∫ dyyge
)(
0≠+ NyMx
NyMx +
1
6
Equações Redutíveis a Exatas
Exemplo 2
Resolva .0ln)( =++ xdyxdxyx
Equações Lineares
Uma equação diferencial da forma
é chamada equação linear.
Dividindo essa equação por a1(x), obtemos
)()()( 01 xgyxadx
dy
xa =+
)()()( ∗∗=+ xfyxP
dx
dy
7
Método de Resolução
Primeiro, coloque a equação linear na forma (**).
Se as funções P(x) e f (x) forem contínuas em um
intervalo I, multiplique a equação pelo fator integrante
Desse modo, a equação (**) se torna
∫ dxxPe
)(
)()( )()()( xfeyexP
dx
dy
e
dxxPdxxPdxxP ∫
=
∫+∫
Método de Resolução
Em seguida, observe que o 1º membro da equação
anterior é a derivada do produto de , ou seja
Finalmente, integre ambos os membros da equação
)(][ )()( xfeye
dx
d dxxPdxxP ∫
=
∫
ye
dxxP∫ )(
dxxfeyed dxxPdxxP )(][ )()( ∫=∫
8
Método de Resolução
Assim, obtemos a solução geral 
da equação linear



 +∫∫= ∫
−
cdxxfeey dxxPdxxP )()()(
)()( xfyxP
dx
dy
=+
Equações Lineares
Exemplo 3
a) Resolva a equação diferencial abaixo
b) Resolva o seguinte problema de valor inicial (PVI)
xexy
dx
dy
x 64 =−
0)2(,1 2 =−+= yyxdx
dy