provas geometria analítica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
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NOTA
Geometria Analítica - 1
a
Avaliação - 6 de setembro de 2014
• Justifique todas as suas respostas.
1. Dados os vetores
−→u = (−2,−1) e −→v = (2,−4), determine os vetores −→m e −→n tais que:{
3−→m −−→n = 〈−→u ,−→v 〉−→u + −→v−→m +−→n = Proj−→u−→v
2. a) Prove que um quadrilátero inscrito em um círculo tal que uma de suas diagonais coincide
com o diâmetro do círculo possui, pelo menos, dois ângulos retos.
b) Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares.
3. Sejam
−→u ,−→v ∈ R2 tais que ||−→u || = ||−→v || = 1 e 〈−→u ,−→v 〉 = 0. Sendo −→w = a−→u + b−→v−→z = c−→u + d−→v , calcule em termos de a, b, c e d:
(a) ||−→w || e ||−→z ||.
(b) 〈−→w ,−→z 〉.
(c) O ângulo entre
−→w e −→z .
4. Considere r : x− y − 1 = 0 e s : x+ y − 1 = 0.
(a) Se Rθ(r) = s, sendo Rθ a rotação de ângulo θ no sentido anti-horário, quando vale o
ângulo θ?
(b) Qual o ângulo entre r e s?
5. Sejam as retas r : y − 2x− 1 = 0 e s : 6x− 3y + 9 = 0.
(a) Descreva o lugar geométrico dos pontos P ∈ R2 que satisfazem d(P, r) = d(P, s).
(b) Encontre uma translação de tal forma que o lugar geométrico descrito no item anterior
passe pela origem.
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NOTA
Geometria Analítica - 2a Avaliação - 26 de setembro de 2014
• Justifique todas as suas respostas.
1. (Valor: 2,5 pontos) Encontre a equação cartesiana da circunferência que contém os pontos
(4, 3) e (2, 5) e é tangente à reta y = 5.
2. (Valor: 2,5 pontos) Encontre a equação da elipse com focos F1 = (−2, 1) e F2 = (4, 1), tal
que a medida do semi-eixo maior a é igual à medida da distância do centro da elipse ao
ponto P = (−3, 1). Faça um esboço de tal cônica.
3. (i) (Valor: 1,5 pontos) Encontre a equação da hipérbole centrada na origem sabendo que
um de seus focos tem coordenadas (1, 0) e que a razão entre os eixos imaginários e
reais é de
4
3
.
(ii) (Valor: 1 ponto) Dada a equação da hipérbole abaixo encontre seus focos e seus
vértices reais e imaginários:
9x2 − 16y2 + 1 = 0.
4. (Valor 2,5 pontos) Um túnel será construído na forma de uma parábola e terá altura
máxima de seis metros. Qual a equação desta cônica para que se possa construir duas
faixas de trânsito de três metros cada de forma que veículos de até quatro metros altura
possam passar pelo túnel?
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NOTA
Geometria Analítica - 2a Avaliação - 27 de setembro de 2014
• Justifique todas as suas respostas.
1. (Valor: 2,5 pontos) Encontre a equação paramétrica da circunferência cujo centro está
sobre a reta y = x − 1 e é tangente ao eixo dos x no ponto (3, 0). Lembre-se que uma
circunferência tem equação paramétrica na forma{
x = x0 + rcos(t)
y = y0 + rsen(t)
2. (Valor: 2,5 pontos) Encontre a equação da elipse cujos focos são F1 = (−2, 2) e F2 =
(−2,−2) e que passa pelo ponto (0, 0). Faça um esboço de tal cônica.
3. (i) (Valor: 1 ponto) Encontre os vértices reais e imaginários e os focos da hipérbole cuja
equação é
x2 − 4y2 − 4x+ 20 = 0.
(ii) (Valor: 1,5 pontos) Encontre uma equação da hipérbole cujos focos são (3, 2) e (3,−4)
e a distância entre seus vértices reais é 2.
4. (Valor: 2,5 pontos) A figura abaixo representa uma parábola. Calcule a distância de seu
vértice à sua reta diretriz. Sugestão: Encontre o melhor sistema de coordenadas para
calcular a equação da parábola.
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Geometria Analítica - 3
a
Avaliação - 08/11/2014
• Justifique todas as suas respostas.
1. Sejam as retas
r :

x = 2 + 3t
y = 4 + 5t
z = mt
e s :
{
y = 2x+ 1
z =
1
2
x− 3
2
(a) (1,0 ponto) Calcular o valor de m para que r e s sejam concorrentes.
(b) (0,5 ponto) Determinar, para o valor de m encontrado acima, o ponto de interseção
de r e s.
(c) (1,0 ponto) Estude a posição relativa de r e s se m é diferente do valor obtido do item
(a).
2. (a) (1,25 pontos) Calcule o volume do tetraedro de vértices A = (7, 9, 2), B = (7, 8, 3),
C = (6, 8, 1) e D = (9, 8, 4). (DICA: Todo paralelepípedo pode ser decomposto em
6 tetraedros de mesmo volume.)
(b) (1,25 pontos) Sabendo que o ângulo entre ~u e ~v × ~w é de pi3 e que o ângulo entre ~v e
~w é de pi6 . Calcule |~u · (~v × ~w)| sabendo ainda que ‖~u‖ = 5, ‖~v‖ = 10 e ‖~w‖ = 6.
3. (a) (0,5 ponto) Verifique que ABCD é um paralelogramo onde A = (0, 1, 1), B = (1, 1, 1),
C = (2, 3, 2) e D = (1, 3, 2).
(b) (1,0 ponto) Encontre as equações simétricas das retas que contêm as diagonais do
paralelogramo ABCD.
(c) (1,0 ponto) Calcule o ângulo entre as retas do item anterior.
4. Considere o plano pi : x− y + 2z = 4.
(a) (0,75 ponto) Calcule a distância do ponto A = (1, 1, 1) ao plano pi;
(b) (1,0 ponto) Encontre a equação cartesiana do plano que é perpendicular a pi e ao
plano−xz passando pelo ponto A;
(c) (0,75 ponto) Calcule o ângulo entre o plano obtido no item anterior e o plano−yz.
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Geometria Analítica - 4a Avaliação - 29 de novembro de 2014
• Justifique todas as suas respostas.
1. Considere a curva C :
{
z = 3y3
x = 0
(a) (1,5 pontos) Esboce e determine uma equação da superfície de revolução gerada pela
rotação de C em torno do eixo z.
(b) (1 ponto) Encontre uma reta r tal que sua intersecção com superfíce determinada no
item (a) contenha pelo menos 3 (três) pontos distintos.
2. (2,5 pontos) Verifique que a intersecção do plano z = 1 com o elipsóide
x2
16
+
y2
9
+
z2
4
= 1
é uma elipse e encontre seus focos e seus vértices.
3. Faça os seguintes itens
(a) (1,25 pontos)Descreva ou faça um esboço da superfície S : z2 =
x2
4
+ y2
(b) (1,25 pontos) Encontre a cônica resultante da interseção de S com x = 2, encontre
ainda seu eixo-focal.
4. (2,5 pontos) Deduza a equação do parabolóide eliptico com vértice (0, 0, 0) sabendo que a
intersecção com o plano pi : z = 1 é uma elipse com centro (0, 0, 1), um dos focos é (0,−2, 1)
e semi-eixo menor medindo 2.
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Geometria Analítica - Reavaliação da AB1 - Manhã - 05/12/14
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• Justifique todas suas respostas
1. i) (1,5 pontos) Determine a projeção ortogonal do ponto P = (2, 4) sobre a reta: x =
1 + 2t, y = −1 + 3t.
ii) (1,0 ponto) Sejam
−→u e −→v vetores não nulos do plano. Seja P−→v−→u a projeção do vetor−→v sobre o vetor −→u . Mostre que −→v − P−→v−→u é ortogonal −→u . Esboce seu resultado.
2. (2,5 pontos) Sejam
−→u ,−→v e −→w vetores do R2, tais que ||−→u ||= 5, ||−→v || = 6, ||−→w || = 7 e
−→u +−→v +−→w = −→0 . Calcule: 〈−→u ,−→v 〉, 〈−→u ,−→w 〉 e 〈−→v ,−→w 〉.
3. i) (1,25 pontos) Dada as equações das circunferências C : x2 + y2 − 4x − 8y − 5 = 0 e
D : x2 + y2 − 2x− 6y + 1 = 0, determine a intersecção entre elas.
ii) (1,25 pontos) Determine a equação da hipérbole que tem como focos (−7, 3) e (−1, 3)
sendo 4 o valor da distância entre os vértices reais.
4. (2,5 pontos) A excentricidade de uma elipse de semieixo maior a e distância focal 2c é
definida por e = ca .
Admita que a órbita da terra é uma elipse tendo o sol como um dos focos. Se a excentri-
cidade desta elipse é
1
62 e seu semieixo maior mede 1, 5× 108Km, determine as distâncias
máxima e mínima da terra ao sol.
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Geometria Analítica- Reavaliação da AB1 - Tarde - 05/12/14
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• Justifique todas suas respostas
1. (2,5 pontos)Calcule o ângulo entre os vetores v e w sabendo que: ||u|| = ||w|| = 5; ||v|| = 1;
||u− v + w|| = ||u+ v + w|| e o ângulo entre u e v é pi/4
2. i) (1,25 pontos) Dado A = (2, 3), ache
−→
AP, onde P é pé da perpendicular baixada de A
à reta r : y = 5x+ 3.
ii) (1,25 pontos) Encontre os pontos da reta x+ y− 1 = 0 cuja distância à origem seja 2.
3. i) (1,25 pontos) Qual a distância entre os pontos de intersecção da reta
x
10
+
y
20
= 1 com
a circunferência x2 + y2 = 400?
ii) (1,25 pontos) Uma hipérbole tem seu centro na origem e seu eixo real coincide com o
eixo x. Sabendo que sua excentricidade é
√
6/2 e que passa pelo ponto (2, 1), determine
sua equação.
4. (2,5 pontos) A função y = ax2+ bx+ c, onde a 6= 0, b e c são constantes, é conhecida como
função quadrática. A mesma representa uma parábola. Encontre seu foco e seu vértice
em função de a, b e c.
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Geometria Analítica - Reavaliação da AB2 - Manhã 05/12/2014
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• Justifique todas suas respostas
1. (a) (1 ponto) Encontre o centro e o raio da esfera dada pela equação x2 + y2 + z2 + 4x−
6(y + z)− 3 = 0.
(b) (1 ponto) Ache a equação do plano tangente à esfera acima no ponto (−2, 0, 7).
2. (2 pontos) Prove que o lugar geométrico dos pontos de R3 que são equidistantes de A =
(a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) é um plano.
3. (a) (1,5 pontos) Considere o tetraedro formado pelo pontos A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 1),
C = (1, 1, 1) e D = (0, 0, 11). Calcule a altura relativa ao vértice A. Calcule o volume
deste tetraedro.
(b) (1,5 pontos) Dados os plano pi1 : x− y + 2z + 1 = 0 e pi2 : 3x+ y = 4 Encontre o reta
obtida pela interseção destes plano. Calcule a distância desta reta a origem.
4. (a) (1,5 pontos) Dado o elipsóide E :
x2
4
+
y2
12
+
z2
16
= 1. Encontre os focos da elipse
obtida pela interseção deste elipsóide com o plano y = 2.
(b) (1,5 pontos) Considere o parabolóide hiperbólico y = z2 − 4x2. Obtenha a equação
das cônicas obtidas pela interseção desta quadrica com os planos x = 1, y = 2 e e
z = 3.
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Geometria Analítica - Reavaliação da AB2 - Tarde 05/12/2014
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• Justifique todas suas respostas
1. (a) (1 ponto) Calcule o raio da circuferência obtida pela interseção do plano pi : x+ y +
z + 1 = 0 com a esfera x2 + y2 + z2 + 2x− 6y − 2z − 14 = 0.
(b) (1 ponto) Dados A = (5, 8,−2) e B = (6, 9, 0). Encontre a equação da esfera que tem
A como centro e raio ‖ ~AB‖. Apresente uma equação do plano tangente a esta esfera
no ponto B
2. (a) (1 ponto) Dada a parábola contida no plano-yz de foco F = (0, 1, 0) e reta diretriz
y = −1, x = 0. Encontre uma equação da quádrica obtida pela revolução desta
parábola em torno ao eixo y.
(b) (1 ponto) Encontre os pontos de interseção da reta r : x = t, y = t+1, z = t− 1 com
o cilindro C : x2 + 2z2 = 1, y ∈ R.
3. (a) (1,5 pontos) Calcule o volume do paralelepípado formado pelos vetores ~u,~v e ~w sa-
bendo que ~u = (1, k, 2), ~v = (0, 3, 3) e ~w = (k, 5, 4) e que ~u · ~w = −4.
(b) (1,5 pontos) Encontre a equação do plano que contém os pontos A = (0, 1, 2) e B =
(2, 0, 1) e é paralelo a reta r :
x− 1
2
= y =
z − 5
2
4. (a) (1,5 pontos) Dado o hiperbolóide H : −x
2
4
+
y2
25
− z
2
3
= 1. Demonstre que o plano
pi : 2y + 5z − 5 = 0 é tangente a este hiperbolóide e entre o ponto de interseção.
(b) (1,5 pontos) Encontre o valor de d para que o plano pi : 2x − 3y − z + d = 0 seja
tangente ao parabolóide eliptico P :
x2
9
+
z2
4
= 3y.
BOA PROVA!