Lista 8 Problemas de otimização

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Lista 10 – Problemas de otimização 
 
1 – Um retângulo tem sua base no eixo x e seus dois vértices superiores na 
parábola y= 12 – x2. Qual é a maior área que esse retângulo pode ter? Quais 
são suas dimensões? 
 
2 – O melhor esquema para a cerca Uma área retangular em uma fazenda 
será cercada por um rio e nos outros três lados por uma cerca elétrica feita de 
um fio. Com 800 m de fio à disposição, qual é a maior área que você pode 
cercar e quais são suas dimensões? 
 
3 – Captando água da chuva Um tanque retangular com 1.125 pés³ de 
capacidade, de base quadrada, medindo x pés de lado e tendo y pés de 
profundidade, será construído com a parte superior nivelada com o solo para 
captar água pluvial. O custo associado ao tanque envolve não só o material a 
ser utilizado, mas também uma taxa de escavação proporcional ao produto xy. 
 
a) Sendo o custo total 
 
que valores de x e y vão minimizá-los? 
 
b) Apresente um cenário possível para a função custo do item (a). 
 
4 – Uma janela possui a forma de um retângulo sob um semicírculo. o 
retângulo será de vidro transparente, enquanto o semicírculo será de vidro 
transparente, enquanto o semicírculo será de vidro colorido, que transmite 
apenas metade da luz incidente. O perímetro total é fixo. Determine as 
proporções da janela que permitirão a maior passagem de luz. Ignore a 
espessura do caixilho. 
 
5 – O cocho da figura a seguir será feito nas dimensões apresentadas. Apenas 
o ângulo  pode variar. Que valor de  maximiza o volume do cocho? 
 
6 – Jane está em um barco a remo de 2 mi da costa e deseja chegar a uma 
cidade litorânea que está a 6 mi em linha da do ponto (na costa) mais próximo 
do barco. Ela rema a 2 mi/h e caminha a 5 mi/h. Onde ela deve aportar para 
chegar à cidade no menor tempo possível? 
 
7 – A viga mais curta O muro de 8 pés da figura a seguir está a 27 pés do 
edifício. Determine o comprimento da viga mais curta para alcançar o prédio, 
apoiado no solo do lado esquerdo do muro. 
 
 
8 – Movimento sobre uma reta As posições de duas partículas no eixo s são 
s1 = sen t e s2 = sen (t + /3), com s1 e s2 em metros e t em segundos. 
a) No intervalo 0 ≤ t ≤ 2, em que instante as partículas se encontram? 
b) Qual é a distância máxima entre as duas partículas? 
c) No intervalo 0 ≤ t ≤ 2, quando a distância entre as partículas varia mais 
rapidamente? 
 
9 – Um carro na ausência de atrito Um carrinho preso a uma parede por 
uma mola é afastado 10 cm de sua posição de repouso e liberado no instante t 
= 0, oscilando então durante 4 s. Sua posição no instante t é dada por s = 
10.cos t. 
a) Qual é a velocidade máxima do carrinho? Quando o carrinho se desloca 
com essa velocidade? Onde exatamente isso ocorre? Qual é a 
magnitude de sua aceleração nesse momento? 
b) Onde o carrinho se encontra quando a magnitude da aceleração é a 
maior possível? Qual é a velocidade do carrinho nesse momento? 
 
10 – Instalando um painel solar Você foi contratado para construir um 
painel solar no nível do solo no eixo leste-oeste entre dois prédios, conforme a 
figura a seguir. A que distancia do prédio mais alto você deve colocar o painel 
para maximizar o número de horas que o painel ficará exposto à luz quando o 
sol passar diretamente acima? Comece pela seguinte observação: 
 
 
 
 
 
 
 
Determine, então, o valor de x que maximiza ? 
 
 
11 – Movimento vertical A altura de um objeto que se desloca verticalmente é 
dado por 
 
com s em pés e t em segundos. Determine 
 
a) a velocidade do objeto quando t = 0. 
b) sua altura máxima e quando este ocorre. 
c) sua velocidade quando s = 0. 
 
12 – O princípio de Fermat na óptica O princípio de Fermat na óptica diz que 
a luz sempre se propaga de um ponto a outro por um trajeto que minimiza o 
tempo de propagação. A luz emitida por uma fonte A é refletida por um espelho 
plano para um observador em um ponto B, como se vê na figura a seguir. Para 
que a luz obedeça ao princípio de Fermat, demonstre que o ângulo incidente 
deve ser igual ao ângulo de reflexão, ambos medidos a partir da linha normal 
até a superfície refletora do espelho. (Esse resultado pode ser deduzido sem a 
utilização do cálculo. Há um argumento puramente geométrico que talvez você 
prefira.) 
 
 
13 – A trajetória descendente de um avião Um avião, voando à altitude H, 
começa a descer rumo à pista de pouso de um aeroporto que está a uma 
distância terrestre horizontal L do avião, como mostra a figura a seguir. Admita 
que a trajetória descendente do avião é o gráfico de uma função polinomial 
cúbica y = ax³ + bx² + cx +d, onde y(-L) = H e y(0) = 0. 
a) Quanto vale dy/dx quando x = 0? 
b) Quanto vale dy/dx quando x = -L? 
c) Utilize os valores para dy/dx quando x = 0 e x = -L juntamente com y(0) 
= 0 e y(-L) = H para demonstrar que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 – Nível de produção Suponha que c(x) = x³ - 20x² + 20.000x seja o custo 
para manufaturar x itens. Determine o nível de produção que minimizará o 
custo médio para produzir x itens. 
 
15 – Minimizando o custo médio Suponha que c(x) = 2.000 + 96x + 4x3/2, 
onde o x representa milhares de unidades. Há um nível de produção que 
minimize o custo médio? Em caso afirmativo, qual é? 
 
16 – Sejam f(x) e g(x) as funções deriváveis traçadas aqui. O ponto c é onde a 
distância vertical entre as curvas é máxima. Há algo especial em relação às 
tangentes às duas curvas em c? Justifique sua resposta. 
 
17 – Você foi incumbido de determinar se a função f(x) = 3 + cos x + cos 2x é 
negativa em algum momento. 
a) Explique por que você precisa considerar apenas os valores de x do 
intervalo [0; 2]. 
b) f é negativa em algum momento? Explique. 
 
Respostas 
 
1 – 32 u.a. 4 x 8 u.c. 
2 – 8.000 m²; 200 m x 400 m. 
3 – 15 pés e 5 pés. 
4 – 
 
 
 
 
 
 
5 – /6 
6 – 0,87 milhas 
7 – 46,87 pés 
8 – a) t = /3 ou 4/3 
b) 1 
c) t = /3 ou 4/3 
9 – a) 31,42 cm/s; 0,5 s, 1,5 s, 2,5 s, 3,5 s; 0 cm/s² 
b) 0,0 s, 1,0 s, 2,0 s, 3,0 s e 4,0 s; |s| = 10 cm; 0 cm/s² 
10 – 
11 – a) 96 pés/s 
b) 256 pés; 3 s. 
c) – 128 pés/s 
12 – 1 = 2 
13 – a) 0 
b) 0 
14 – $ 19.900 
15 – $156 por unidade 
16 – São paralelas 
17 – a) periódica em 2 
b) f(x) nunca é negativo